電動力學(xué)期末復(fù)習(xí)

1、第一章、選擇題1位移電流實(shí)質(zhì)上是電場的變化率，它是(D )首先引入的。A).赫茲 B).牛頓 C).愛因斯坦 D).麥克斯韋3、兩個(gè)閉合恒定電流圈之間的相互作用力，兩個(gè)電流元之間的相互作用力，上述兩個(gè)相互作用力，哪個(gè)滿足牛頓第三定律(C )。A).都滿足 B).都不滿足C).前者滿足 D).后者滿足二、填空題1. 麥克斯韋 在理論上預(yù)言了電磁波的存在，并指出光波就是一種電磁波。2.電荷守恒定律的微分形式為rJ 0t3、均勻線性介質(zhì)中電磁場的能量密度 w的表達(dá)式為1 r r r rw (E D H B)。24、5、線性介質(zhì)的電磁能量密度w=電磁波(電矢量和磁矢量分別為 E和H )在真空中傳播，空

2、間某點(diǎn)處的能流密度 S1 r rrr 1212 r r r 1 rr答：w = 2(E dhb)或 1(E1B)； S=7或EB6、電場、磁場的切向分量的邊值關(guān)系分別為:r(H 2H 1) r 或 HhtH 1trrr答: en (E2 E1)0 或 E2t E1t ； ?三、判斷題1. 穩(wěn)恒電流場中，電流線是閉合的。2. 電介質(zhì)中DE的關(guān)系是普遍成立的。3.跨過介質(zhì)分界面兩側(cè)，電場強(qiáng)度 E的切向分量一定連續(xù)。4.電磁場的能流密度S在數(shù)值上等于單位時(shí)間流過單位橫截面的能量，其方向代表能量傳輸方向。()V5.電流元1、2分別屬于兩個(gè)閉合穩(wěn)恒電流圈，則電流元1、2之間的相互作用力服從牛頓第三定律。

3、()四、簡答題r r r r1.寫出一般形式的電磁場量 D、E、B、Hr的邊值關(guān)系。答:(D2rD1)r0 或 D2nDm(B2B1)0或B2nB1nrr(E2E1)0或E2tE1trrrf(H2H1)0? ? ?2介質(zhì)中麥克斯韋方程組的微分形式r處 r B答： E t0；3、寫出洛侖茲力密度表達(dá)式。v答:_S t c2五、1.證明題由場和電荷系統(tǒng)的能量守恒定律、（1）電磁場的能量密為麥克斯韋方程組和洛侖茲力公式證明:rr _D-t（2）能流密度為S E1證明：場和電荷系統(tǒng)的能量守恒定律為由洛侖茲力密度公式frB)vE將上式代入（1）式得rH)r rE (H)=r(ErE)r(ErH)將上式代

4、入（3）式得J Er(ErH)B (4)t比較（2 ）、（4 ）式，可得 電磁場的能量密為 能流密度為2、用邊值關(guān)系證明：在絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上，在靜電情況下，導(dǎo)體外的電場線總是垂r rvDvE(1 )式直于導(dǎo)體表面。（提示：考慮D、E的邊值關(guān)系）2證明：介質(zhì)2與導(dǎo)體1的邊值關(guān)系（靜電情況）r?其中n為界面法線單位矢量，D、E為介質(zhì)2中的場量,v? D 0 v E 0v r根據(jù)線性介質(zhì)性質(zhì)D= E，（1 ）式化為?導(dǎo)體內(nèi)靜電平衡時(shí)場量 D、E為00E n 0Et00，導(dǎo)體外的電場只有法線方向分量，即總是垂直于導(dǎo)體表面。3、用邊值關(guān)系證明：在線性絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上,在恒定電流情況下，導(dǎo)

5、體內(nèi)表面的電場線總是平行于導(dǎo)體表面。3證明：設(shè)介質(zhì)1為導(dǎo)體，介質(zhì)2為絕緣體r2e(e2穩(wěn)恒電流時(shí)絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的邊值關(guān)系為：re'（JJi) 0Ei)0絕緣介質(zhì)中電流為零，因此J2nJ2n0E2tE1t從而有E2nE2n0E2tE1t0即電場只有平行于界面的分量和2分別為兩種介質(zhì)的介電常數(shù)，1和2分別為界面兩側(cè)電場線與法線的夾角。（提示：考丿，其中114、證明當(dāng)兩種絕緣介質(zhì)的分界面上不帶自由電荷時(shí)，電場線的曲折滿足：gtg 1rE的邊值關(guān)系）4證明：v n? (D2 t?世考慮分界面上不帶自由電荷，由理想介質(zhì)邊值關(guān)系rD1）vE1D2nE2tD1nE1t2E2n 1E2t E1tEm

6、(1)2E2COSor(2) E2sin21E1 cos2 E1s in 11 (1)/(1)tg 2tg 1tg 2tg 15、當(dāng)兩種導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)流有穩(wěn)恒電流時(shí)，分界面上電場線曲折滿足tg 2tg 1其中r別為兩種媒質(zhì)的電導(dǎo)率。（提示：考慮J、E的邊值關(guān)系）5證明:穩(wěn)恒電流時(shí)導(dǎo)體之間的邊值關(guān)系v2v2r n Jr n (EvJJ 0vE1)02 E2n1 E1nE2tE1t(1)or2E2cosE2 sin2E1 sin1E1 cos1 (1)/(1)E2t 2E 2nE1t1 E1ntg 2tg 1tg 2tg 16、證明（X），其中r|X|。6證明：（1）0時(shí),rr3 rrr)r41 r

7、rT(exr X3 r r(-r)rrr""3 r因此0,(2)（或當(dāng)r零，只有在0時(shí),取一小球面21dr V0時(shí)，在r 0點(diǎn),s包圍著原點(diǎn)，取對小球體積1-奇異，上式不成立。因此rV積分,4dSS r2 1是這樣一個(gè)函數(shù)，它在r0處的值為r 0點(diǎn)上可能不等于零。為了進(jìn)一步確定這樣的函數(shù)，我們采用極限方法。21dV limra 0(r2C223a r dr dr a )作積分變換r a ，可見上式的極存在,2丄dVr122 1 )3/2因此我們證明了（X）7、已知一個(gè)電荷系統(tǒng)的偶極矩定義為rP(t)(X ,t)X dV，證明rdPdtV J(X,t)dV7證明：方法1：rd

8、Pdtddt(X )X dV(X) XtdVV (X )v dVV JdV方法2 :由電何守恒定律dPd(X, t)XdVVX dVV (dtdt VtVrrr rrrr rr rrr由(fg)(f )g(f)g (f)g(f g) (f)gr dPr rr rrrdtv(J)xdVV(J X )(J)x dVrrr rrt r式中(J )xJ XJI J則r dPr rrrrrrdtV(J X )dVV JdV?S(Jx)dS VJdVr則右邊第一項(xiàng)的面積分為0，Jl)XdV將上式中積分區(qū)域取為大于電荷分布區(qū)域,&葩dtjr(X ,t)dV五、綜合題1、已知電容率為的均勻介質(zhì)內(nèi)部體自

9、由電荷密度為求這種介質(zhì)的體極化電荷密度P。1、解:0)E0）f)(10)2根據(jù)算符的性質(zhì)，推導(dǎo)下列公式A)A2 (A - )A02 解：由 C (A B) A(C B) B(C A)A1A ( A) - (A A) (A -21 2-A2 (A - )A23、由麥克斯韋方程組導(dǎo)出電流連續(xù)性方程。解：由麥?zhǔn)戏匠躺鲜絻蛇吳笊⒍萺H)(1)左邊所以有rD t第二章、選擇題1在兩個(gè)夾角為90°的接地導(dǎo)體平板內(nèi)有一點(diǎn)電荷 Q,用鏡像法求解空間電勢時(shí)其像電荷的數(shù)目為:答：B(A) 兩個(gè)(B) 三個(gè)(C) 四個(gè)(D) 五個(gè)2、電四極矩可反映電荷分布對球?qū)ΨQ的偏離， 沿Z軸方向拉長的旋轉(zhuǎn)橢球體，其內(nèi)

10、部電荷均勻分布，則電四級矩D33 0 答：AA) .大于0B) .小于0C) .等于0D) .不確定1xi xj R展開式中第一項(xiàng)的物理意義是,第二項(xiàng)的物理意義是、填空題1如果一個(gè)體系電荷分布關(guān)于原點(diǎn)對稱，則它的電偶極矩 1答：0 2電荷體系激發(fā)的勢在遠(yuǎn)處的多級展開式為(X) 4(R P 右 1 Dj40 RR 6 i,j答:把電荷體系看作全部電荷集中于坐標(biāo)原點(diǎn)處的點(diǎn)電荷所激發(fā)的勢;放置在坐標(biāo)原點(diǎn)處與電荷體系同等電偶極矩的等效電偶極子P產(chǎn)生的電勢。3、對于均勻線性介質(zhì)，靜電場中電勢 滿足的泊松方程為答: 20/、判斷題3、在穩(wěn)恒電路中，供給負(fù)載消耗的電磁能量是通過導(dǎo)線內(nèi)的電子運(yùn)動傳遞給負(fù)載的。

11、X導(dǎo)線周圍的電磁場三、綜合題Ri的導(dǎo)求這個(gè)1、一個(gè)內(nèi)徑和外經(jīng)分別為R2和R3的導(dǎo)體球殼，帶電荷Q，同心的包圍著一個(gè)半徑為體球(Ri R2 )o使這個(gè)導(dǎo)體球接地，(1)試用分離變量法求空間各點(diǎn)的電勢；(2)導(dǎo)體球的感應(yīng)電荷。1解：見教材第48頁例題1.(1)電勢滿足拉普拉斯方程。電勢分布有球?qū)ΨQ性。球殼內(nèi)外的電勢通解為IIb_Rd (R2>R R3)R(R R3)選擇無窮遠(yuǎn)處電勢為則邊界條件為1)IIR=R1I2)IIR=R2IR=R3R.卡 R2d確定解中的待定系數(shù)a、b、c、Qi4 0Qi4 0 R1Qi4 0其中Q1R31R11 R21 R3tQ得電勢的解:R3)II汽乍十)(R 2

12、 >R>R1)(2)導(dǎo)體球的感應(yīng)電荷為0Rh2、半徑為Ro，電容率為的介質(zhì)球置于均勻電場E0中，球外為真空，設(shè)球外電勢分布為球內(nèi)電勢分布為2，試用分離變量法求空間電勢2解：(見教材第49頁例題2.)取極軸通過外電場Eo方向，以1代表球外區(qū)域的電勢,球內(nèi)的電勢。此問題有軸對稱性，球內(nèi)外均1和2以及球內(nèi)的電場E 0球心沿2代表無自由電荷，因此1、2滿足拉普拉斯方程，其通解為(anRnnb,品)Pn(cos )(R Ro)(cnRndn討T)Pn(cos )(R Ro)邊界條件包括:rE|r lr 1|R=R,rE0有限2 I R=R0(1)由邊界條件（1），得因而 a1 E0,由邊界條

13、件（2）由邊界條件（3）由邊界條件（4）比較P1系數(shù)得由以上兩式得R Ir=R0E0RcosE0RP1(cos )an比較其他Pn項(xiàng)系數(shù)得于是得電勢為dn(n 1)E0R0P1(cosEoPdcos )E。(nE0R02b1b1C1Rb)Pn(cosR0Rn)Pn(cos07 C1R0R02C10宀,E02 0bnCn 0E0Rcos(n1)cn Re? Pn (cos )n0 E0R027 R2nCnRf 1 Pn (cos )-E0Rcos02球內(nèi)的電場為E3、在電容率為 的無限大均勻介質(zhì)內(nèi)，有一個(gè)半徑為R0的球形空腔，和一個(gè)外加均勻電場Eo。用分離變量法求空腔內(nèi)電勢分布。（14分）0Z3

14、解：（將教材第49頁例題2的與0交換即為本題）設(shè)球腔內(nèi)、外電勢分別為1、2，應(yīng)具有軸對稱性。（1）球內(nèi)外均無自由電荷，因此1、2滿足拉普拉斯方程，其通解為r R0r R0I (anr" -nnT)Pn(cosn 0rII (Cnr"冬)P" (cos"0r1)I is limitted, (r0)2)IIEorcos , (r)邊界條件：3）III,(rR)4)I0IIrr R0rr R0（3）由邊值關(guān)系1bn=0 ；1分由邊值關(guān)系2c1 =-E 0,cn=0, n1由邊值關(guān)系3a"R0"R(c"0os )E0R0 cos（

15、2）取原點(diǎn)電勢為有限值，可設(shè)為0呂"iP" (cos )(a)n 0 R0由邊值關(guān)系40 nanR)n1Pn(cos ) E0cosn 0(nn 01)訥巳(cos )(b)&(5)在(a)、(b)中比較系數(shù)d1an = 0 dn = 0,(6)空腔內(nèi)電勢分布為：14、在均勻外電場中置入半徑為接有電池，使球與地保持電勢差中的電勢2。-E0R3,0-E0rcos04解：以導(dǎo)體球心作原點(diǎn)建立球坐標(biāo)。微分方程及其解:(anrnn 0件)Pn(C0S選擇電勢參考點(diǎn):導(dǎo)體置入前原點(diǎn)電勢為a1(r2E020R)Ro的導(dǎo)體球，導(dǎo)體球0，求導(dǎo)體球外真邊界條件：2)確定2中的待定系數(shù)

16、0:a。an、由1)b0R0以上取0:b0a0aR0)R0r(rR。)Eorcos , (rbn :bnR0n1(a)；由0 (b)a。2)a1an0E。0 (n 2:)E0b1E0R03a1n 1: an 0bn00=0亦可。(若無求解系數(shù)的的過程，只寫出正確答案則扣2分。)(E0r205.均勻介質(zhì)球的中心置一點(diǎn)電荷 Qf ,球的電容率為，球外為真空，試用分離變量法求空間電勢分布。0。5解：以球心為原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系。自由電荷分布有限，設(shè)無窮遠(yuǎn)處電勢為本題所求的電勢是由點(diǎn)電荷 Qf與介質(zhì)球的極化電荷兩者各自產(chǎn)生的電勢的疊加。因此，其解Qf4 r其中為球面極化電荷產(chǎn)生的電勢，滿足拉普拉斯方程2

17、1 O (r2 2 O (rRo）；尺）由4)由于是球?qū)ΨQ的，其通解為a b (rrd/ -(rr邊界條件1)2)11r O2 Ir有限o邊值關(guān)系3)1(Ro)4)Ro)；Ro)2(Ro),brdrQf (4 rQfr(rRo)；Ro)RoRo1|r有限，b=OQf4 r(rRo)；由2)2|rc=OQf4(rRo)；由3)1 (Ro)2(Ro),得QfRoQf 飛(1)Ro，得將（2）式代入（RoQf4 Ro2odRo2OQf4Ro21 ）式，得(1Qf4 oRo1 (1 -")4k 耗(r R0)；2 4-(r R0)4 0rQ,求空間電6、空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)、外半徑為 Ri和R2

18、,球心置一電偶極子Pf，球殼帶電勢分布。方程；殼內(nèi)心有自由電偶極子，因此電0。整個(gè)區(qū)拉普拉斯勢1滿足0由邊值關(guān)系1)bn 0, (n0 :);由邊值關(guān)系2)Cn0, (n0 :)泊松方程而非拉普拉斯方程。球殼為等勢體，設(shè)電勢為0。應(yīng)用疊加法。已知自由電偶極子P在真空中產(chǎn)生的電勢即泊松方程的特解rr30P cos 4 0r電場有軸對稱性，電勢1、2的通解IIZ n©rn 0Pcos4 02dnr)Pn(cos(anr0b-n)Pn(cos ) r無窮遠(yuǎn)處電勢為0,邊界條件為1)2)3)I有限,II 0,I(R1)(r(rII0)(R2)04)丄dS r一 dSR1 r確定通解中的待定系

19、數(shù):由邊值關(guān)系3 )得n0： ao01: a11: anPCOS 0rPrcos30R10: d01: d11 : dn0 R200R2IIr由邊值關(guān)系Q40 R2最后得球殼內(nèi)外的電勢1、 2QP cosI 4 0R24 0r2Pr cos4 0R1314-(Q0 R27、半徑為Ro的均勻介質(zhì)球(電容率為 d)容率為2),試用分離變量法求空間電勢.rr3-r+;IIQ4 0r的中心置一點(diǎn)電荷Qf，球外充滿另一種介質(zhì)(電解：以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系，自由電荷分布有限，設(shè)無窮遠(yuǎn)處電勢為0。本題所求的電勢是由點(diǎn)電荷 Qf產(chǎn)生的電勢與介質(zhì)電荷產(chǎn)生的電勢的疊加。2球的極化整個(gè)區(qū)域分為球內(nèi)、球外 2部

20、分：無論在球內(nèi)還是在球外,'都滿足拉普拉斯方程。該問題具有球?qū)ΨQ性，球內(nèi)外的電勢分別為:Qf4 1RQjQf4 1RQf(R R)(R R)邊界條件為：2R0(II)121R R02R R0 ,1 RRR02 下有限值(I)1R 0R由邊界條件(I)(II)得:b0, c0R0 (III)從而有:Qf4 1RQf4 1R(R(RR。)R。)2再由邊界條件(III)得:Q fQfQfQ f廠故球內(nèi)外的電勢為:Qf4 1RQf4_R1QfQf4 1RQfQf4 2 Ro 4 1R0QfQf4 2R-4 1R= 4 2R(12)Qf4 1 20(R Rd)R Ro)8均勻介質(zhì)球的電容率為1,

21、其中心置一電偶極子Pf，球外為真空,求空間各點(diǎn)的電勢。解:解法一：以球心為原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系。自由電荷分無窮遠(yuǎn)處電勢為0。空間各點(diǎn)的電勢是電偶極子的電勢與球面上的極II布有限，設(shè)化電荷所產(chǎn)生的電勢的疊加,r rf r31rPfcos1r'滿足拉普拉斯方程0 (r R);II(rRO所以有Pf4 cos 1r(rRo)；IIIIPf4 cos ir(rRd)電場有軸對稱性,介質(zhì)球內(nèi)外的電勢通解形式為z n(ajIIrb")Pn(cos)邊界條件邊值關(guān)系(Cnrnn 01)2)II Irdnn?)Pn(cos )有限0RdrR)Pfcos4 1rPfcos4 1r(r(rRo)；R

22、o)；I|r03)i(Rd)ii(Rd),II4)0確定解中的待定系數(shù)an、bn、Cn、dn4)R0rR0由邊界關(guān)系1）可得:bn0, (n由邊界關(guān)系2）可得:Cn0,(n0：由邊界關(guān)系3 ）和4）可得:dnan0,a1(1 -)1Pf則介質(zhì)球內(nèi)的電勢:介質(zhì)球外的電勢:(1 2 2)R3'Pfcos4 1r* 23Pf cosd1(12）"4 ( 12 0)r22P f rcos1( 1 27) 2 R03r r3Pf r4 ( 1 2 0)rrPf4rr31rr rPf r4 1r3匚r2(12) Pf r(122)41R03r r12)Pfr22)21r3解法二：以球心為

23、原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系。自由電荷分布有限，設(shè)無窮遠(yuǎn)處電勢為0。球外電勢II滿足拉普拉斯方程；球內(nèi)心有自由電偶極子，因此球內(nèi)電勢I滿足泊松方程而非拉普拉斯方程。P r由疊加法，已知電偶極子Pf在介質(zhì)球中產(chǎn)生的電勢為P 34 1 cos ，此即泊松4 1r方程的特解電場有軸對稱性，介質(zhì)球內(nèi)外的電勢通解形式為II(Cnrnn 0,Pf 2 cos(anrn -bb)Pn(cos )4 訂n 0rd擊 Pn(COS )r選擇無窮遠(yuǎn)處電勢為0，且I在介質(zhì)球心為有限值，則邊界條件為1)2)3)確定解中的待定系數(shù)an、bn、cn、dn由邊界關(guān)系1）可得:bn0, (n 0 :)由邊界關(guān)系2）可得:Cn0,( n

24、0：)應(yīng)電荷對空間電場的作用。由對稱性，C應(yīng)在0Q由邊界關(guān)系3）可得:aidnan0, nd1Pf1 032 R01( 12 0)3Pf4( 12 0)則介質(zhì)球內(nèi)的電勢:Pf4-cos 1介質(zhì)球外的電勢:3Pf cos114(12 0)r2Pfrcos102 R031(120)r r3Pf r2 0)r39、據(jù)接地?zé)o限大導(dǎo)體平面附近Z a處放荷Q，用鏡像法求空間任意一點(diǎn)P的電勢。9解：（見教材第53頁例題1）邊界條件：導(dǎo)體面上C （ C為常數(shù)）根據(jù)邊界條件考慮像電荷電量及位置:電量：Q Q , Q位置：（0, 0, -a）1(X, y, Z)+(Q O')九(Jx2 y2 (z a)2

25、10.真空中有一半徑為Pf r31Pf r 2( 10)4 1R03 (120)/22 ()2)(z 0)Qxy (z a)置一點(diǎn)電P（x,y,z）R。的接地導(dǎo)體球，距球心為a（a>R0）處有一點(diǎn)電荷Q,如圖示，試用鏡象法求空間任意一點(diǎn)的電勢。（設(shè)鏡象電荷CT距球心為10解： 用球內(nèi)一假想的點(diǎn)電荷 C代替球面上b)感連線上?？紤]球面上任意一點(diǎn) P (如圖a所示),邊界條件要求因此對球面上任意一點(diǎn),應(yīng)有”(0常數(shù)QQ由圖b可見，只要選Q的位置使？0QP?OPQ,設(shè)Q據(jù)球心為b,兩三角形相似的條件為 RoRoa由上式可得Q據(jù)球心的距離為Roa常數(shù) 可得Q 的大小為因Q和鏡像電荷Q激發(fā)的總電場

26、能滿足在導(dǎo)體面上 =0的邊界條件，因此是空間中電場的正RoQ確解答。球外任意一點(diǎn)的電勢為_ Q RoQ1 Qo r ar 4 o Vr2a2Racos式中r為由Q到點(diǎn)場點(diǎn)P的距離，r為由Q到點(diǎn)P的距離，R為由球心0到點(diǎn)P的距離,為0P與0Q的夾角。11、真空中，有一半徑為Ro的導(dǎo)體球，不接地，在與球心相距為a (a > Ro)處有一點(diǎn)電荷Q, 試用鏡像法求導(dǎo)體球外的電勢。解：導(dǎo)體球不接地，則導(dǎo)體球面為等勢面，電勢不為零，球面上必感應(yīng)出等量正、負(fù)電荷,b處放置Q，保證球面為等勢面且電勢為0,但不能保證球面總但感應(yīng)電荷總量為零。(1)已知接地時(shí)，在離球心電荷為0；Q Q, baRo2a表面共

27、同產(chǎn)生的電勢為U0,即(2 )為使球面總電荷為零，且為等勢面，根據(jù)對稱性可知，還必須在球心處再放一個(gè) Q =-Q，這個(gè)電荷既不破壞球面等勢性，又使球面總電荷為零。(3)導(dǎo)體球外電勢為點(diǎn)電荷 Q、像電荷Q'、-Q'共同產(chǎn)生的電勢1 Q Q Q 1QR)QRoQ4 o r r R 4 o 7r2 a2 2RacosaR2 b2 2Rbcos aR12、半徑為Ro的導(dǎo)體球，不接地且電勢為 Uo，在與球心相距為a (a > Ro)的一點(diǎn)放置點(diǎn)電荷 Q，求導(dǎo)體球外電勢。12解：(1)已知接地時(shí)，在離球心b處放置Q，可以保證球面為等勢面且電勢為零，但不能保證球面總電荷為零;當(dāng)球不接地

28、時(shí)，球面上必感應(yīng)出等量正、負(fù)電荷，即感應(yīng)電荷總量為零。為使球面總電荷為 零，且為等勢面，根據(jù)對稱性可知，應(yīng)在球心處放一個(gè)像電荷Q Q R0Q a因此導(dǎo)體球表面的電勢即為最后放置的電荷 Q產(chǎn)生的電勢 為保證導(dǎo)體球的電勢為 Uo,相當(dāng)于在球心處再放置一個(gè)點(diǎn)電荷 Q，因此Q和Q在球Q Q40 RUoQ QU040R0（3）導(dǎo)體球外電勢為點(diǎn)電荷Q、像電荷Q、Q、共同產(chǎn)生的電勢1Q4 0 TR2a2""2RacosRoQ4 oRUoajR2 b2 2Rbcos13、在接地的導(dǎo)體平面上有一半徑為 a的半球凸部，半球的球心在導(dǎo)體平面上。點(diǎn)電荷Q位于系統(tǒng)的對稱軸上并與平面相距為b，b &g

29、t; a，若取豎直向上為z方向，（1）用鏡象法求空間電勢時(shí)，需放置的像電荷的電量和位下圖中標(biāo)注?。唬?）空間的電勢分布。13解：（1）z軸為垂直導(dǎo)體平面向置（不要在上的方向。共放置3個(gè)像電荷，電量和位置分別-Q (0, 0, -b); -Qa/b (0, 0, a2/b); Qa/b (0,0,- a2/b)，（2）則上半空間的電勢就是點(diǎn)電荷 Q和三個(gè)像電荷所產(chǎn)生的電勢的疊加(xy,z) 2 一一,24 0 Jx2 y2(Z b)2 Jx2 y2 (z b)214、有一點(diǎn)電荷Q位于兩個(gè)互相垂直的接平面所圍成的直角空間內(nèi)，它到兩個(gè)平面為a和b，（1）寫出用電象法求空間電勢放置的像電荷的位置和電

30、量；（2）寫出空勢分布。22,a 2I 22y (z )彳 X y2(z FL y地導(dǎo)體 Qp的距離時(shí)，需間的電xa/ba/bab直的接I fx14解：可用三個(gè)像電荷來代替兩個(gè)互相垂地導(dǎo)體平面的作用。像電荷Q1,Q2,Q3的電量分別為Q1Q, Q2 Q,Q3Q像電荷所處位置坐標(biāo)為Q1（ a,b ）,Q2（ a, b）,Q3（a, b）在x 0,y0區(qū)域的空間個(gè)點(diǎn)的電勢為Q 1 14 0 J(xa)2(yb)2(zZo)2"J(xa)2(yb)2(z z。)2L1L1J(x a)2(yb)2(zz。)2 J(x a)2(yb)2(zzo )2215、球心在0點(diǎn)，半徑為分成兩個(gè)區(qū)域,a)

31、，荷的位置和電量。15解:共需放置77個(gè)的像電荷的位圖。分其中,b r。22aQ RQQ 辰板，以及P(a,個(gè)的像電荷,置和電量如16、在z 0和z0的兩個(gè)區(qū)域分別充滿電容率為2的均勻介質(zhì)，在Za處放置一個(gè)點(diǎn)電荷Q用鏡像法求空間電勢分布。16解：所求解區(qū)域內(nèi)的泊松方程:P (x,y,z)Qa)/ 1；21 Q (x, y,z2 2 02)選擇電勢參考點(diǎn):無窮遠(yuǎn)處電勢為0,1) 12 0, (r )邊界條件：2)22z 0Z3) 12, (Z 0)3)根據(jù)邊界條件考慮像電荷位置及電量:a)區(qū)域1位置Q' (0, 0a)1；(| mQCjx2 y2 (z a)2Q'Jx2 y2 (

32、z a)2) (Z 0)(1)b)區(qū)域2位置、電量:1 Q Q''2(x,y,z)4 2 RQ''(0, 0, a)Q Q''七2 / Iz a)2 (z0) (2)4)(1)(2)明顯滿足邊界條件根據(jù)邊界條件2、3確定Q'、Q''Q Q' Q Q'' Q'1 2Q Q' Q Q''Q''第三章、選擇題1、在某區(qū)域能夠引入磁標(biāo)勢 m的條件是該區(qū)域()。答：CA).沒有自由電流B) .不被自由電流所連環(huán)C) .任何回路都不被自由電流所連環(huán)D) .是沒有自

33、由電流分布的復(fù)連通域、填空題1.在某區(qū)域中，能夠引入磁標(biāo)勢的條件是答： 該區(qū)域內(nèi)的任何回路都不被電流所鏈環(huán)，即該區(qū)域是沒有自由電流分布的單連通區(qū)域。2、靜磁場中磁感應(yīng)強(qiáng)度B和矢勢A的關(guān)系為答：B3、空間局部范圍內(nèi)的電流分布激發(fā)的勢在遠(yuǎn)處的多級展開式中，第一項(xiàng)為A(0)0上式的物理意義是 答: 與電場情形不同，磁場展開式不含磁單級項(xiàng)，即不含與點(diǎn)電荷對應(yīng)的項(xiàng)4、空間局部范圍內(nèi)的電流分布激發(fā)的勢在遠(yuǎn)處的多級展開式中，第二項(xiàng)為A-亠 m 44R3上式的物理意義是。答：放置在坐標(biāo)原點(diǎn)處與電流系同等磁矩的等效磁偶極子m的矢勢。三、判斷題 對于靜磁場總能量，其計(jì)算式為W 1 A JdV，因而可以把a(bǔ) J看作

34、為磁場能量密度。2、A-B效應(yīng)的存在說明磁場的物理效應(yīng)可以用磁感應(yīng)強(qiáng)度B完全描述。()X3、超導(dǎo)體處于超導(dǎo)態(tài)時(shí)，體內(nèi)仍可以存有磁場。四、簡答題1. A-B效應(yīng)的存在說明了什么?答：A-B效應(yīng)的存在說明矢勢A具有可觀測的物理效應(yīng)。它可以影響電子波束的相位，從 而使干涉條紋發(fā)生移動。2、靜電場中標(biāo)勢 滿足的泊松方程答:3、靜磁場中磁感應(yīng)強(qiáng)度B和矢勢A的關(guān)系答：B4、矢勢A的物理意義。答：矢勢A沿任意閉合回路的環(huán)量，代表通過以該回路為界的任一曲面的磁通量。°LA?dlsB?dS5、簡述邁斯納效應(yīng)。答：1933年，邁斯納與奧謝菲爾德通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，（1）當(dāng)材料處于超導(dǎo)狀態(tài)時(shí)，隨著進(jìn)入超 導(dǎo)體內(nèi)

35、部深度的增加磁場迅速衰減，磁場主要存在于超導(dǎo)體表面一定厚度的薄層內(nèi)即處 于超導(dǎo)狀態(tài)的材料具有抗磁性；（2）超導(dǎo)體的抗磁性與其所經(jīng)歷的過程無關(guān)。6、簡述超導(dǎo)體的定義，并寫出 3個(gè)超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)。答：物質(zhì)在低溫條件下呈現(xiàn)電阻等于 0和排斥磁力線的性質(zhì)，稱為超導(dǎo)體。性質(zhì)1超導(dǎo)電性或電阻等于零；性質(zhì) 2:存在臨界溫度Tc；性質(zhì)3:存在臨界磁場He；性質(zhì)4:存在臨界電流Ic；性質(zhì)5:排斥磁力線或邁斯納效應(yīng)或理想抗磁性;性質(zhì)6:磁通量子化；性質(zhì)7:存在第一類和第二類超導(dǎo)體?；卮鹨陨掀渲腥齻€(gè)即可。7、簡述穩(wěn)恒磁場中矢勢 A的物理意義.答：設(shè)Si和S2是兩個(gè)有共同邊界L的曲面，貝ffl過它們的磁通量只與共同

36、邊界 L的形狀有關(guān)，而與曲面形狀無關(guān)。即矢勢 A的物理意義是，它沿任一閉合回路的環(huán)量，代表通過以該回路為界的任一曲面的磁通量。只有 A的環(huán)量才有物理意義，而每點(diǎn)上的值沒有直接的物理意義。（以上答出基本點(diǎn)即可）介質(zhì)2五、證明題01證明的磁性物質(zhì)表面為等磁勢面。1 .證明:以角標(biāo)1代表磁性物質(zhì),2代表真空，由磁場邊界條件以及可得兩式相除得? (B2 B1 )0,B2 0H 2 >0H 2n H1n ,(H2 H1)0B1H1H 2t H1tH2tH1tH2nH 1n因此，在該磁性物質(zhì)外面，H2與表面垂直，因而表面為等磁勢面。2、無自由電流時(shí)，用邊值關(guān)系證明的磁性介質(zhì)外的磁場強(qiáng)度與交界面處處垂

37、直（提示：如右圖，考慮B、2證明：磁介質(zhì)邊界條件H的邊值關(guān)系)。v v vn (B2 B1)0v vn (H2vH1)0B2nH2tB1nH1t介質(zhì)1由線性磁介質(zhì)性質(zhì)rB2rB1rH1可得法向和切向分量為:介質(zhì)20H2n H1n (1), H2tH1t (2)(2)/(1)H2t H1t 0 H 2nH 1nH2tH1tH2nH1nH2與表面垂直3、對于靜磁場，試證明均勻磁介質(zhì)內(nèi)部的磁化電流密度（一 1）Jf，其中Jf為傳導(dǎo)電0流的密度。3 .證明：方法一：由JmM及均勻介質(zhì)中其中 M 1，得:0(01)H(1)0對靜磁場有H Jf，所以(1)Jf0方法二：由JmH，得:對靜磁場有rB(0(1

38、)H ( 1) H00Jf，所以(01)Jfr04、試用A表一個(gè)沿Z方向的均勻恒定磁場B，寫出A的兩種不同表示式，證明二者之差是無旋場。證明：方法一：據(jù)題意rB0r rB.k，且 B0在直角坐標(biāo)系中r rXAxyAyzAzAxAXAy AxX yrB0由此方程可見,A的一組解為AyAzAxBoy f(x)另一組解為AxAzAyB0X g( y)故A的兩種表達(dá)式為rAiB0y f(x)irA2B0X g(y) j解1和解2之差為Boyr f(x)iB0Xg(y) jAz yAyzAxyk( E0) ( B0)0這說明Ai與人2之差為無旋場。方法二：據(jù)題意rB0r rB0k，且B。在直角坐標(biāo)系中r

39、XAxyAyzAzAzAyAX yAxzAyXAxyrB0)其中一解為AyAzAxBoy另一解為AxAzAy B0X故A的兩種表達(dá)式為rAiB0Xjrr r(AiA2)B。B。)rk(Bo)Bo )這說明Ai與A2之差為無旋場。5、已知一個(gè)電荷系統(tǒng)的電偶極矩定義為P(t)(X,t)xdV，利用電荷守恒定律0證明：電流J產(chǎn)生的矢勢A在遠(yuǎn)場區(qū)展開式的第一項(xiàng)A(')(X,t)ikRe I4 R VJ (X ,t)dV 代表電偶極輻射。證明：方法一:rdPd_dt dt V(X )X dVr(x )rdV tV(X)vrdVrJdVV即A(X,t)ikRe 04 R VvJ0(X ,t)dVi

40、kReR 4!&，說明電流J產(chǎn)生的矢勢A在遠(yuǎn)場區(qū)展開式的第一項(xiàng)代表電偶極輻射。方法二：由電荷守恒定律rdPdtd_dt V(X ,t)XdV?XdVV ( J)XdV ( 1)(f g)fr)gr(f)gf )g(f g)r(f)grdPdtv(J)XdVr(Jr)(Jr)xdV式中r(Jr)x則葩dt(J X )dVrJdV?s (J X ) dSVV將（3 ）式中積分區(qū)域取為大于電荷分布區(qū)域，則右邊第一項(xiàng)的面積分為0。f& 獸 V j(X,t)dv，即A(x,t)eRL J0(x,t)dv eR-i&，dt v4 R vR 4說明電流J產(chǎn)生的矢勢A在遠(yuǎn)場區(qū)展開式的第

41、一項(xiàng)代表電偶極輻射。六、綜合題1.試用分離變量法求磁化矢量為M 0的均勻磁化鐵球在球外空間產(chǎn)生的磁標(biāo)勢1和在球內(nèi)空間產(chǎn)生的磁標(biāo)勢2 o （課本83頁例題2）解：鐵球內(nèi)外為兩均勻區(qū)域，在鐵球外沒有磁荷分布，鐵球內(nèi)由于均勻磁化，有rm0 M0=0因此磁荷只能分布在鐵球表面上，故球內(nèi)、外磁標(biāo)勢都滿足Laplace ' s equation :(rR0)(R0 r)由于軸對稱性,上式解的通解為:1(anrnnb)Pn (cos2(Cnrnnr(n 1)島巾n(C0S邊界條件為0有限值R,2 rR0Ro? M0邊值關(guān)系為r R0代入（1）式可得113ai= M0, bi= M0R0,33M 0 戌 cos1 3r22 3M0r cos3anbn3r31 r3M0 r0( n(r(r1)R。）R。）由邊界條件和邊值關(guān)系可得第四、五章、選擇題1、()最先預(yù)言了可見光會引起輻射壓力，稱為光壓。答：D2、3、A).赫茲B).安培C).法拉第D).麥克斯韋對在理想矩形波導(dǎo)中傳播的電磁波，以下說法正確的是(A).C).略去)。答：DB).最終會衰減為0D).頻率有不連續(xù)性，且最低頻率由波導(dǎo)尺寸決定1/R ( R為電偶極矩中心到場點(diǎn)的距離)的高次項(xiàng)后，電偶極輻射的電磁波在遠(yuǎn)場近低于截止頻率的波才能被傳播下去頻