多元微分與含參積分(考研試題選)

1、多兀微分與含參積分1. 求 I = X -X dx(b>aA0).蘭zex'0 ln x2. 函數(shù)z=z(x,y)由方程eZ_z+xy=3所確定，求3. 設(shè) I (y)=廣yeJXdx.證明：(1) 對(duì)任意的b>a>0，I(y)在a,b上一致收斂;(2) 在任意區(qū)間0,b上I(y)不一致收斂.4. 若a >0,證明：0 fosxy? dx在a,亦)一致收斂.0 x + yg具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，計(jì)算5. 設(shè)函數(shù)z = f (xy) +xg(x, xy)，其中f二階可導(dǎo)，c z6. 已知函數(shù)u = xy2 + yz2 + zx2及點(diǎn)A(1,1,1)，試求4 444

2、(1) 函數(shù)u在點(diǎn)A沿方向I =i'+2j+3k的方向?qū)?shù);(2)函數(shù)U在點(diǎn)A處沿什么方向的方向?qū)?shù)能取得最大值?方向?qū)?shù)的最大值是多少?(3) div (grad u)以及 rot (grad u).<1)7. 計(jì)算I(® = £lnd空”竺(01-acOSX COSx8. 設(shè) z =z(x, y)由F(x +Z,y +2)=0給出，證明：y xaacz 丄czx + y= z-xy.exdy9. 設(shè)u(x, y)是R2 (0,0)上C2徑向函數(shù)，即存在一元函數(shù)f使得u(x, y) = f (r),r = Jx2 +若上+ +上斗=0,求函數(shù)u(x, y)的

3、表達(dá)式.ex科10. 在變力F =yzi +zxj +xyk作用下，質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到橢球面2222, 22a b C_上第一卦限的點(diǎn)MGTA)，問(wèn)：E r 為何值時(shí)，力F所做的功W最大?1 b a4.(10分)求珥卅dx(b >a0).解：I = 0dxfxydyb 1 y=dy1X dxb 1=dya y +1,b+1=Ina +13分2 分2 分_尸2z5.( 12分)函數(shù)z =z(x, y)由方程eZ_z + xy = 3所確定，求 一.ex解：方程ez-z + xy=3兩端同時(shí)對(duì)x求偏導(dǎo)，得z CZ&e -+ y = 0exex& y ex1 -e4 分2

4、分2 C z 二 CX1 I ( z) czy2ez=y ; Lrr '(e)丁 =.L (1 e )ox(1_e )6分12. (15 分)設(shè) l(y) = .0 ye"dx.證明：(1) 對(duì)任意的b>a>0 , l(y)在a,b上一致收斂;(2) 在任意區(qū)間0,b上I (y)不一致收斂.證明：(1)對(duì)一切y可a,b，有<bedx,X迂(0,訟)4分+ b=b收斂0 a-yx ye而 f beaxd = -beax0a-be所以I (y) = ye-yxdx在a,b上一致收斂4分1(2)設(shè)S0 = ,對(duì)于任意的X >0,存在A=2X :>X,y

5、0 h2e:10, b4分2X使得-yoxA窗畑=e卄“0e所以l(y) = ( yedx在任意區(qū)間0,b上不一致收斂3分 6. (10分)若a。,證明：J ；°岡2 dx在a,P) 一致收斂.0 X +y1證明:cosxy ""2: 2 x +y< ，/ya,*c)x +a4 分帛 dx 1, xrm f =arctan 0 X2 +a2 a a即產(chǎn)嚴(yán)2收斂0 x2+a2由Weierstrass判別法，+ aC _ 兀0 2a4 分r挈岡2 dx在a,® 一致收斂.0 x+y2分6. (10分)設(shè)函數(shù)z = f (xy)+xg(x,xy)，其中f

6、二階可導(dǎo)，g具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)-.2數(shù)，計(jì)算空.exey解： 一 =X ” f，+ x2 g2 5分-.2-2C zC zF2IP2i廠八=f +xyf +2xg2 + X g12 +x yg22 5分zxzy10. (15 分)已知函數(shù) u =xy2+yz2+zx2 及點(diǎn) A(1,1,1)，試求(1)函數(shù)u在點(diǎn)A沿方向J =7+ 2丫+3k的方向?qū)?shù)；(2) 函數(shù)U在點(diǎn)A處沿什么方向的方向?qū)?shù)能取得最大值?方向?qū)?shù)的最大值是多少?(3) div (grad u)以及 rot (grad u).川1,1,1)3 118. 1 而(1,1,1)皿解：( 1) 竺竺co的+昱cosP + 佟cos

7、Y SVexdycz2122252 2 2y +2zx, 2xy + z ,2yz + xJfy +2zx)而+(2xy + z ) *屈+(2yz + x ) 分=3,3,3,(1,1,1)函數(shù)U在點(diǎn)A處沿梯度方向3,3,3的方向?qū)?shù)能取得最大值，方向?qū)?shù)的最大值為 梯度的模，即3巧；4分3分(3) div(grad U)=2x +2y+2z ; rot ( g rua d ) 3分兀1 + a cosx7. (15分)計(jì)算 l(a)= f2 In010 cosxdx<1)cosx的./ 、2. 1 + a cosx dx解：I(a)=2ln01a cosx cosx兀.I W)=2一

8、A-2-燈 1 a cos X 令 tan X = u鈕 du1©)=2£2-哲 u +(1-a )Jl - a 2J 2 t u r =arcta n LJ1 - a2J1 -a 2 J0注意到1(0) =0,故a 兀I (g) = f tdx =兀 arcsina0 4x2=0給出，證明:2. (10 分)設(shè) z=z(x,y)由 Fd + Zy+Z) y xczczX + yT =z-xy.<xdy證明：F(x +；yy兩邊對(duì)x求偏導(dǎo):+ -) = 0中 z =z(x, y)X1 &zF1(1+丁)+F2(-y ex¥) = 0x ex解得：亙=

9、&Fi 十 F2y xrz. tzcz故 x 一 + y 一 =z xy&cy同理：斜Fi=2-F2yFlF2 yF2(dy+ xd)=0x法 2：對(duì) F(x+Z,y yL / .丄 ydz -zdy、F1(dx + _2)+勻=0兩邊微分得:x1令dy =0,可得：絲exF2 令-FiXy xcz同理：一點(diǎn)yFiF1+Fy yrz. -cz I cz故 x 一 + y = z xy& cy2 24. （13分）設(shè)u（x, y）是R （0,0）上C徑向函數(shù)，即存在一元函數(shù)f使得u(x, y) = f (r),r = Jx2 +y2 ,22若雪+雪 =0,求函數(shù)u(x,

10、y)的表達(dá)式.ex2科加x解：一 =f (r)=2，oxJx2 + y22 2L(r)+f'(r)yy, X +y/ 2 +2遼(x +y )2r22二2十(r) 士f'( r)3，矽x y/ 2 +2空(X +y )點(diǎn)2 u £2 uf"(r)1+ -=0,從而=一一，刃2f'(r)rp f '(r) = Z f (r) = cjn r + C2，r2 2 J /u(x, y c11 nx +y)+c2 (c1,c2 為常數(shù)).1分ex2同理,由于.2解方程得:因此7.（ 13分）在變力F = yzi +zxj+ xyk作用下，質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到橢球面2 222 .22'a b c上第一卦限的點(diǎn)M（©,n,匚），問(wèn)：jn,匚為何值時(shí)，力F所做的功W最大？解：令 X = ©t, y =nt,z = ©t，貝UW = yzdx+zxdy