求數(shù)列前N項(xiàng)和的七種方法(含例題和答案)

1、精選文本求數(shù)列前N項(xiàng)和的七種方法點(diǎn)撥:核心提示：求數(shù)列的前n項(xiàng)和要借助于通項(xiàng)公式， 即先有通項(xiàng)公式， 再在分析數(shù)列通項(xiàng)公式 的基礎(chǔ)上，或分解為基本數(shù)列求和， 或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和。 當(dāng)遇到具體問(wèn)題時(shí)， 要注意觀 察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律，找到適合的方法解題。1 .公式法等差數(shù)列前n項(xiàng)和：迨3 na1 n(J)d2 2特別的，當(dāng)前n項(xiàng)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，82kl (2k 1)|ak 1,即前n項(xiàng)和為中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)。這個(gè)公式在很多時(shí)候可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。等比數(shù)列前n項(xiàng)和：q=1 時(shí)，Sn na1ai i qn "wh、+ -人q 1, 8口 ，特別要注意對(duì)公比的討論。n1 q其他公式：c n 1c n

2、211、Snk-n(n1)2、Snk2-n(n1)(2n 1)k 12k 16C n 3123、Snk3n(n 1)2k 121例1已知log 3 x ，求x x x x 的刖n項(xiàng)和.log 2 3解：由log 3 x1 log 2 3log 3 xiog3 2 x -由等比數(shù)列求和公式得23nSnx x x x(利用常用公式)x(1xn)1 x1(1 )2(2n12n1 一2例 2設(shè) Si= 1+2+3+ +n , n C N，求 f (n)Sn(n 32)Sn1的最大值.解：由等差數(shù)列求和公式得用常用公式)(利-1 , 一 1 ,Sn-n(n 1),Sn 1-(n 1)(n 2)22f(n

3、)Sn(n 32)Sn 1n111= 648 250n 34( . n )2 5050n. n當(dāng) <n8,即 n = 8 時(shí)，f (n)max一 n1502.錯(cuò)位相減法這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an bn的前n項(xiàng)和，其中 an、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例 3求和：Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1解：由題可知，(2n 1)xn 1的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n 1的通項(xiàng)與等比數(shù)列xn1的通項(xiàng)之積234n設(shè) xSn 1x 3x 5x 7x (2n 1)x得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x4 2xn 1 (2n 1

4、)xn(錯(cuò)位相減) 1xn 1n再利用等比數(shù)列的求和公式得：(1 x)Sn 1 2x (2n 1)x1 xSn(2n 1)xn 1 (2n 1)xn(1 x)(1 x)2例4求數(shù)列2,4,與 ,2n,前n項(xiàng)的和.2 22 2 32 n1，的通項(xiàng)之積2n2n解：由題可知,的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列2n設(shè)Sn2Sn（設(shè)制錯(cuò)位）222了62362n2n2n歹(112)Sn2 2n_ n_ n 122（錯(cuò)位相減）Sn12 n 1n 22n 12n2n 1練習(xí)：求：S=1+5x+9x 2+(4n-3)xn-1解：Si=1+5x+9x2+兩邊同乘以x,得x &=x+5 x2+9x3+ 一

5、+(4n-3)xn-1+(4n-3)xn-得，(1-x) Sn=1+4 (x+ x2+x3+nx ) - (4n-3)當(dāng)x=1時(shí),Sn=1+5+9+ (4n-3) =2n2-n當(dāng)xw 1時(shí),xn 這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），Sn= 4x(1-xn) +1- (4n-3)1-x1-x3.反序相加法求和sin2 882 _sin 89的值.、一 _22解：設(shè) S sin 1 sin 2sin2 32sin2 882sin2 89再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)（a1 an）.222例 5求 sin 1 sin 2 sin 3將式右邊反序得一2 一

6、S sin 89sin2 882 一2 一sin 3 sin 2. 2 .sin 1（反序）又因?yàn)?sin xcos(90x),sin2cos x 1（反序相加）2S (sin 21cos21 ) (sin2 2cos2 2 )(sin 2 892cos 89 ) = 89S= 44.5精選文本n(n 1)2(n2)4.分組法求和有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列， 也不是等比數(shù)列，若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi),可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可1例6求數(shù)列的刖n項(xiàng)和：1 1, a解:-1設(shè) Sn (1 1) J 4) a1 4,- aJa7,二 3n2,將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得

7、Sn (1 1 a12 a（分組）當(dāng)a= 1時(shí),Sn組求和）當(dāng)a 1時(shí),Sn例7求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前解：設(shè) akk(k 1)(2k（分組）7)(1(二n 1a3n 2)3n 2)(3n 1)n2T a1 1 an項(xiàng)和.1)nSn k(k 1)(2k k 1將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得Sn=2(13 23（分組求和）(3n1)n2(3n 1)n(3n 1)n2k31)=3k2n(2k3k 13(12223k2k)n2)nk3(1 2k2n)2/n (n21)2n(n 1)(2n 1)n(n21)精選文本練習(xí)：求數(shù)列J c1 1-,2-,J1、，38,.一,（n 2J,.？的前n項(xiàng)和。

8、5.項(xiàng)）-1解：sn 12(1 21 243 ?裂項(xiàng)法求和“1? (n 2n)11121n)(2?-)222232n1) 1 J這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通分解，然后重新組合,使之能消去一些項(xiàng),最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如:(1)(3)(5)(6)anann(n 1)例9求數(shù)列（裂項(xiàng)）（裂項(xiàng)求和）f(n 1)f (n)(2)sin 1cos n cos(n 1)tan(n 1) tan nn(n 1)an(2n)2(2n 1)(2n 1)1(2 2n 1 2n 1n(n12n1)(n 2)2(n 1)n(n 1)2n(n12n1)(n1n

9、 2n 1Snj,則 Sn (n 1)2n的前n項(xiàng)和.an(n1_1)2n=(2.1) (、.3.2)( . n 1, n)例10在數(shù)列an中,an，又bn2,求數(shù)列bn的刖an an 1n項(xiàng)的和.解:an（裂項(xiàng)）（裂項(xiàng)求和）例11求證:解：設(shè)S（裂項(xiàng)）（裂項(xiàng)求和）sin1(tan 1練習(xí)：求bn數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn8(13)(3一）(1n= 8(18ncos0 cos1cos1 cos2cos88 cos89cos0 cos1cos1 cos2cos88 cos89sin 1cosn cos(n 1)cos0 cos1cos1 cos2tan0 ) (tan 2 tan1 ) (tan3s

10、in 11 一(tan 89 tan 0 ) = cot 1sin 1原等式成立1 1 13，1 5，3 5，63N和°18(一 ncos127sin 1tan(n1)tan ncos88 cos89tan2 ) tan 89tan88 cos1. 2 .sin 1精選文本S2002=a1a2a3a2002-1解：a312121115(1(12(16.合并法求和1351)3131) 9163 1(1 2 3111511-31 s- (1針對(duì)一些特殊的數(shù)列,) (3 5) (3 54951)715-71(11712 7 91 17 9)將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì),因此，在求

11、數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求S.例 12 求 cos1° + cos2° + cos3° + -解:設(shè) Sn= COSl+ cos2° + cos3 °一+ cos178° + cos179° 的值. + + cos178° + cos179°并求和）例 13解:殊性質(zhì)項(xiàng)）cosncos(180 n（找特殊性質(zhì)項(xiàng)） Sn( COSl+ cos179° )+ ( cos89° + cos91 °數(shù)列an： a11但a73, a3a2a3a41,1, a21,

12、a5a83,a6k 13,a32,3,a6aga6ka6k3,a6k(cos2° + cos178° ) + + cos90°2, an 2 an(cos3+ cos177° ) + (合S2002.a2002an 2 an 1an可得2,2, a101, a113,a122,a6k 33a6k2,a6k 4a6k 51,a6k 53,a6k 6a6k 6（找特精選文本（合并求和）(a1 a2 a3a6 ) (a7 a8a12 )(a6k 1 a6k 2a6k 6 )(a1993a1994a1998 )a1999 a 2000a2001a 2002a19

13、99a2000a 2001 a 2002a6k 1a6k 2 a6k 3 a6k 4例14 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若 a5a69,求 log 3 a1log3 a2值.解：設(shè)Snlog3 a1 log3 a2 log3 a10由等比數(shù)列的性質(zhì)m n p qamanapaq殊性質(zhì)項(xiàng)）和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)log a M log a N log a M N 得log 3 a10 的（找特Sn(log 3 a1log 3a10) (log 3 a2log3 a9)(log 3a5 log3a6)（合并求和）(log 3 a1 a10 )(log 3 a2 a9 )(log 3 a5 a6 )log3

14、9 log39 log3 9107. 利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前n 項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.例 15 求 1 11 111111 1 之和 .n個(gè)1解：由于111k個(gè)1999k個(gè)11(10k 1) 9（找通項(xiàng)及特征）1 11 111111 1n個(gè)19(101121) -(102 1)13(103 1)91 C1(10n 1)9（分組求和）112(10109103n、10 )9(11)1 10(10n 1)101(10 81109n)例16已知數(shù)列an:an(n 1)(n 3)，求n(n 1)(an1an 1）的值.解：丁 (n 1)(anan 1) 8(n 1)項(xiàng)及特征）（設(shè)制分組）（裂項(xiàng)）(n 1)(ann 1裂項(xiàng)求和）(n 1)( n14 (一3)(n 2)(n 4)（找通(n 2)(n 4) (n1-7)18土）1an 1)4(n 1 n 21n 4)11(n 31n 4)（分組、二4(311-)84413萬(wàn)練習(xí)：求5, 55, 555,，的前n項(xiàng)和。解：a1=_5（i0M）55