17無窮小的比較

1、第七節(jié)無窮小的比較一、無窮小的比較二、等價無窮小代換三、小結(jié)思考題【復(fù)習(xí)】. smx limX>0=推廣形式lim(l + -)x =eX>00JQ機動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、無窮小的比較3/191.【問題】兩個無窮小的和、差、積仍是無窮小【例如】觀察各極限商=?1當(dāng)兀0xx2?smx?x2sin 都是無窮小 V2lim =0，20 3兀X*比3工要快得多;limx->0巴1蘭=1,sin工與r大致相同；X2 . 1x sin=lim sin -不存在.不可比X2°兀丁亠【結(jié)論】極限不同，反映了趨向于零的“快慢”程度不2【定義】設(shè)a,0是同一過程中的兩個卿小且工0(

2、1) 如果lim = 0,就說a(x)是比0(兀)高階的無窮小， 記作a(x)=o(j3(x)；也秘(x)為a (x)的低階無窮/(2) 如果lim = A工0,就說0與a是同階的無窮??；a特殊地,如果lim0 = 1,則稱0與a是等價的無窮小:a記作a 0;【例如】(1) -lim1 cosx:.當(dāng)工tO時丄-cos工是r高階的無窮才BPl-cosx =o(x) (x > 0).1-COSX 1' 7xto x2 2/.當(dāng)X ->0時,1-cos xx2同階的無窮小. sinx limx->° x:.當(dāng)x -> 0時,sinx與兀是等價無窮小.即 s

3、in 兀 x (x -> 0).2、代換方法【定理2】（等價無窮小代換定理）設(shè)a </，0 0但lim 存在，則lim弓=lim爐 pa a常用等價無窮小：當(dāng)TTO時，sinx 兀，arcsinx 兀，tanx 工， arctanx 兀，1 2ln(l + x) - ex -1 - 1-cosx - -x a/ 1 + X 1 Xa 1 + X 1 X2n(1 + x)a 1 ax注1.上述10個等價無窮?。òǚ础?、幕、 指、三）必須熟練掌握2 將兀換成VA （工）T 0都成立【教材例1】limtan7x*to sin5xlimtan7xx->° 5x解 因為v

4、 0時,tan7兀7xsin5x5兀，所以sin5x【教材例3】求Iim*n(l + 2)X->00兀33【解】當(dāng)兀> oo時,ln(l )，故X X73? 3=limx2ln(ld)=limx2 y = 3X>00兀X>co?！径x2】某一極限過程抵是0"的同階無窮小*>0),則稱濾0的反階無窮小童【例4】證明:當(dāng)兀-> 0時,tan兀-sin兀為x的三階無窮小【證】/ limtan x-sinxlim(COS X Xsinx 1-cosx)X2= lim30 COS Xsinx limx->0 xlimx01 - COS XX2:.tan

5、 x -sin xJx的三階無窮小【例1】求limX->O X【解】令 ex 1 = u,即 x = ln(l +w),貝當(dāng)兀T 0時，有眈tO,lim 1 = lim=limxto xln(l + u) “toIlimln(l +w)wu>01lnwln(l + n)w即：當(dāng)兀TO時 Xln(l + x) i【練習(xí)】求極限lim兀虻-1)XTQOx ex -1【例2】求lim塑性3° 1 一 cos X【解】 當(dāng)兀 T 0時，l-cosx 1*, tan2x - 2x.2原式= lim竺=8.【說明】若未定式的分子或分母為若干個因壬的乘積，則 可對其中的任意一個或幾個無

6、窮小因子作等價無 窮小代換，而不會改變原式的極限.【例3】求lim(x + l)sinxarcsin x【解】當(dāng)兀 T 0時,sin兀兀， arcsin x - x.原式= limE±xtO X=lim(x + 1) = 1.【注意】不能濫用等價無窮小代換.無窮小代換原則積商可部分代換,和差只能總體代換.切記，只可對函數(shù)的因子作等價無窮小代換， 對于代數(shù)和中各無窮小一般不能分別代換. 如上【練習(xí)】極限limx(-l)用等價無窮小代換更簡單1XT8Lil 衣】M K)【X】機動目錄上頁下頁返回結(jié)束ex 1 (x > oo)X【例 4】 求 limtanXS11go sin 2x【

7、錯解】 當(dāng)兀T 0時，tan兀工，sin兀x.原功如器"【正確解法】當(dāng)兀t 0時，sin2兀 2兀，13X3 原式二出（1好= 16tan 兀一 sin 兀=tan 兀（1一 cos 兀）x1 2機動目錄上頁下頁返回結(jié)束【例6】求恤（1 + *尸一1兀t0cosx-1【解】當(dāng)兀TO時（1+兀2）3一1 兀231 1 2cos X -1 X2叭（"-1兀一0 COS x-1-X2= lim xtO 1機動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、小結(jié)1、無窮小的比較【注】不是所有的無窮小都可進行比較.0是a的高階無窮小，0是a的低階無窮小C(h0)9 0是。的同階無窮小設(shè)a,0對同一自變量的變化過程為無窮小，且"工00是。的等價無窮小0是a的&階無窮小(0, 1， lim 彳二 C 工 0, a2、等價無窮小的代換：求極限的又一種方法，注意適用條件.OEEJHQE機動目錄上頁下頁返回結(jié)束【思考題】任何兩個無窮小都可以比較嗎?機動目錄上頁下頁返回結(jié)束【思考題解答】不一定例當(dāng)X > +00時