2020-2021九年級數(shù)學(xué)二次函數(shù)的專項(xiàng)培優(yōu)練習(xí)題及答案解析

1、2020-2021九年級數(shù)學(xué)二次函數(shù)的專項(xiàng)培優(yōu)練習(xí)題及答案解析一、二次函數(shù)1 . (6分)(2015?牡丹江)如圖，拋物線 y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A (- 1, 0) , B (3,(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)E (2, m)在拋物線上，拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)H,點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，連接FH,求線段FH的長.注：拋物線y=ax2+bx+c (awp的對稱軸是x=-2a【答案】(1) y=f2-2x-3; (2)試題分析：(1)把A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，求待定系數(shù)b,c,進(jìn)而確定拋物線的解析式；(2)連接BE,點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，H是AB中點(diǎn)，則FH為三角形ABE的中位線，求出 BE的長， FH就

2、知道了，先由拋物線解析式求出點(diǎn)E坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理可求 BE,再根據(jù)三角形中位線定理求線段 HF的長.試題解析：(1)二.拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A (- 1, 0) , B (3, 0) , 把A,B兩點(diǎn)坐標(biāo) 1 -f» + c = 0b-2代入得：9+3" +。=。，解得：拋物線的解析式是：y產(chǎn)-2x-3; (2) 點(diǎn) ,，八，一一，一八、,、M，rE (2, m)在拋物線上，把E點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線斛析式 y= -2x-3得：m=4 - 4 - 3= - 3, .E (2, - 3) , .BE="3-2)T3 %碩.點(diǎn)f是ae中點(diǎn)，點(diǎn)H是拋物線的對稱軸與

3、II 1.'T01x軸交點(diǎn)，即H為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)H是三角形ABE的中位線，/. FH=BE=% 10 = ?， 門線段FH的長：'.考點(diǎn)：1.待定系數(shù)法求拋物線的解析式；2.勾股定理；3.三角形中位線定理.22.如圖，已知拋物線 y ax bx c經(jīng)過 A ( 3, 0) , B (1,0), C (0, 3)二點(diǎn), 其頂點(diǎn)為D,對稱軸是直線l, l與x軸交于點(diǎn)H.(1)求該拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P是該拋物線對稱軸l上的一個(gè)動點(diǎn)，求 4PBC周長的最小值；(3)如圖(2),若E是線段AD上的一個(gè)動點(diǎn)(E與A、D不重合)，過E點(diǎn)作平行于y 軸的直線交拋物線于點(diǎn) F,交x軸于點(diǎn)

4、G,設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m, 4ADF的面積為S.求S與m的函數(shù)關(guān)系式；S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1) y x2 2x 3.372 屈.(3) Sm2 4m 3. 當(dāng)m=-2時(shí)，S最大，最大值為1,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-2, 2).【解析】【分析】(1)根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過的三點(diǎn)，用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可(2)根據(jù)BC是定值，得到當(dāng) PB+PC最小時(shí)，4PBC的周長最小，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求得相應(yīng) 線段的長即可.(3)設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m,表示出E (m, 2m+6) , F (m, m2 2m 3),最后表示出EF的長，從而表示出 S于m

5、的函數(shù)關(guān)系，然后求二次函數(shù)的最值即可.【詳解】解：(1)二.拋物線 y ax2 bx c經(jīng)過 A ( 3, 0) , B (1, 0),可設(shè)拋物線交點(diǎn)式為 y a x 3 x 1 .又.拋物線 y ax2 bx c經(jīng)過 C (0, 3) , /. a1.，拋物線的解析式為： y x 3 x 1 ,即yx2 2x 3.(2) PBC的周長為：PB+PC+BC且BC是定值. 當(dāng)PB+PC最小時(shí)，4PBC的周長最小. 點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于對稱軸I對稱， 連接AC交l于點(diǎn)P,即點(diǎn)P為所求的點(diǎn).Da AP=BP, PBC 的周長最小是: PB+PC+BC=AC+BC. A (3, 0) , B (1, 0)

6、, C (0, 3) , .AC=372, BC=A0 . PBC的周長最小是：342 而.(3)拋物線y X2 2x 3頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1, 4) , A ( - 3, 0), 直線AD的解析式為y=2x+6丁點(diǎn) E 的橫坐標(biāo)為 m, E (m, 2m+6) , F (m, m2 2m 3) 22. . EF m 2m 3 2m 6 m 4m 3.S DEF-1-S aef EF GH21-1EF AG EF AH2222.m 4m 3 2 m 4m，S與m的函數(shù)關(guān)系式為S m2 4m 3. 22 S m 4m 3 m 21,當(dāng)m=-2時(shí)，S最大，最大值為1,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-2, 2)

7、 3.如圖，已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A(- 1, 0) , B(3, 0)兩點(diǎn)， 與y軸相交于點(diǎn)C (0, - 3).(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，PHI±x軸于點(diǎn)H,與BC交于點(diǎn)M,連接PC.求線段PM的最大值； 當(dāng)4PCM是以PM為一腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo).9【答案】(1)二次函數(shù)的表達(dá)式 y=x2-2x- 3； (2)PM最大二；P (2, - 3)或(3- . 2 , 2-4,2)【解析】【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；(2)根據(jù)平行于y軸直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的

8、縱坐標(biāo)，可得二次 函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；根據(jù)等腰三角形的定義，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案.【詳解】(1)將A, B, C代入函數(shù)解析式，a b c 0a 1得 9a 3b c 0,解得 b 2,c 3c 3這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式 y=x2 - 2x - 3 ;(2)設(shè)BC的解析式為y=kx+b, 將B, C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得3kk 1b 3'BC的解析式為y=x- 3,設(shè) M (n, n-3) , P(n, n2-2n-3),PM= ( n - 3) - ( n2 - 2n - 3) = - n2+3n= - ( n - - ) 2+ ,24當(dāng)n=一時(shí)，PM最大=

9、;24 當(dāng) PM=PC 時(shí)，(-n2+3n) 2=n2+ (n2-2n-3+3) 2,解得n1二0 (不符合題意，舍)，n2=2,n2-2n-3=-3,P (2, -3);當(dāng) PM=MC 時(shí)，(-n2+3n) 2=n2+ (n - 3+3) 2,解得m=0 (不符合題意，舍)，n2=3+J2 (不符合題意，舍)，n3=3-& ,n2-2n-3=2-4 亞，P (3-、.2 , 2-4、2 );綜上所述：P (2, - 3)或(3-衣，2- 472).【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及到待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、等腰三角形等知識，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是認(rèn)真分析，弄清解題的思路有

10、方法4.如圖，過A 1,0、B 3,0作x軸的垂線，分別交直線 y 4 x于C、D兩點(diǎn).拋物線2y ax bx c 經(jīng)過 O、C、D 二點(diǎn).1求拋物線的表達(dá)式；2點(diǎn)M為直線OD上的一個(gè)動點(diǎn)，過 M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn) N,問是否存在這樣M的橫的點(diǎn)M,使得以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求此時(shí)點(diǎn) 坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；3若VAOC沿CD方向平移(點(diǎn)C在線段CD上，且不與點(diǎn)D重合)，在平移的過程中VAOC與VOBD重疊部分的面積記為 S,試求S的最大值.DBO A133 x '3或3_2或(3)；【解析】【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;(2)由

11、題意，可知 MN / AC,因?yàn)橐訟、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則有MN=AC=3.設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x,則求出44 c.MN =| -x2- 4x| ；解萬程 | - x2- 4x|=3 ,求出的值，即點(diǎn)M橫坐標(biāo)的值;(3)設(shè)水平方向的平移距離為t(oq<2),利用平移性質(zhì)求出S的表達(dá)式:1,一 (t 61) 2工；當(dāng)t=1時(shí)，s有最大值為33【詳解】(1)由題意，可得 C (1,3), D (3, 1).;拋物線過原點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx,，9a 3b 14313，拋物線的表達(dá)式為:4 2 133x萬”(2)存在.設(shè)直線OD解析式為y=kx,將D (3,

12、1)代入，求得k1, 直線OD解析式為y 1x.33設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x,則M (x, lx) , N (x,3x2 x) , MN =| yM - yN|=| x- 3334x2 3Xx) |=| x2 - 4x| .33由題意，可知 MN /AC,因?yàn)橐訟、C M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則有MN=AC=3 .1.| 4x2-4x|=3 .，3若 4x2-4x=3,整理得：4x2- 12x- 9=0,解得：x 3 3行或 x 3 3底3223一,，存在滿足條件的點(diǎn)M,點(diǎn)M的24 4 -右x2-4x=-3,整理得：4x2- 12x+9=0,解得：x 3橫坐標(biāo)為:3或3_jJ或"

13、1.222(3) C (1, 3) , D(3, 1),，易得直線OC的解析式為y=3x,直線OD的解析式為 y 1x.3如解答圖所示，設(shè)平移中的三角形為A'QC,點(diǎn)C在線段CD上.設(shè)O'C與x軸交于點(diǎn)E,與直線OD交于點(diǎn)P；設(shè)A'C與x軸交于點(diǎn)F,與直線 OD交于點(diǎn)Q.11設(shè)水平萬向的平移距離為t (04V2),則圖中 AF=t, F (1+t, 0) , Q (1+t, t),3 3C (1+t, 3-t).b=- 4t, .直線O'C的解析式-OF?FQ - OE?PG22設(shè)直線O'C的解析式為y=3x+b,將C (1+t, 3-t)代入得:為 y

14、=3x- 4t,聯(lián)立 y=3x4t 與 y 1x,解彳導(dǎo):x -t,P ( 3t, - t)3222過點(diǎn) P作 PG,x軸于點(diǎn) G,則 PG 1t, .-.S=Sqfq-Sxoep21(1+t) (3? t? tt-1 2當(dāng)t=1時(shí)，S有最大值為1,，S的最大值為1.335.如圖，拋物線y4 J2 ；（出）滿足條件的點(diǎn)m> n的值為：m及n。，或24【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、平行四邊形、平移變換、圖形面積計(jì)算等知識點(diǎn)，有一定的難度.第（2）問中，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形定義，得到MN=AC=3,由此列出方程求解；第

15、（3）問中，解題的關(guān)鍵是求出 S的表達(dá)式，注意圖形面積的計(jì)算方法.-x2 x 2與X軸相交于A, B兩點(diǎn)，（點(diǎn)A在B點(diǎn)左側(cè)）與22（I ）求A, B兩點(diǎn)坐標(biāo).P的橫坐標(biāo)為t,四邊形 ABPC的面積（n ）連結(jié)AC ,若點(diǎn)P在第一象限的拋物線上,為S.試用含t的式子表示S,并求t為何值時(shí)，S最大.（出）在（n ）的基礎(chǔ)上，若點(diǎn) G,H分別為拋物線及其對稱軸上的點(diǎn)，點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為 m,點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為n,且使得以A,G,H,P四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，求滿足條 件的m,n的值.【答案】（I ） A（72,0), B(2 應(yīng),0) ; (n) s f(t 6)2 472(05.215 -3.21m

16、 , n ，或m , n 一2424【解析】【分析】(I )令y=0,建立方程求解即可得出結(jié)論；(n )設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用 S=S AOC+S梯形OCPC+Sa PQB,即可得出結(jié)論；(出)分三種情況，利用平行四邊形的性質(zhì)對角線互相平分和中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程組即 可得出結(jié)論.【詳解】解：(I )拋物線y1x2 X 2 ,22令 y 0,則 1x2 x 2 0 ， 22解得：x72或x 2立，A , 2,0 , B 2 2,0(n )由拋物線 yx2 x 2 ,令 x 0, y 2 , C 0,2 ,22如圖1,點(diǎn)P作PQ x軸于Q,.P的橫坐標(biāo)為t, 設(shè)P t, p ,2t2-2t 2,PQ

17、 2p, BQ 2 2 t,OQ tS SvaocS梯形 ocpqSvpqb1-1-.2 2 - 2 p22t12 t 1 pt 、. 2 p - pt22、.2p t .22 1t2 學(xué) 2 t、22行 4歷0 t 2揚(yáng)，當(dāng)t 72時(shí),S最大4匹;（出）由（n）知，t J2 , p 72,2 ,-2x22的對稱軸為，設(shè) G m,22 ,H 萬,n以A,G,H ,P四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，A J2,0當(dāng)AP和HG為對角線時(shí),Ji、. 2 1m 迎，1 222223-m,n ，24當(dāng)AG和PH是對角線時(shí)，1 -1-2112.2.1. m 、2 - 2 ， mm 2 02 222225.21

18、5一m ,n 一 ，24AH和PG為對角線時(shí)，1 一V 21- 1122-2一m ' 2 , mm2 22222223,21m , n 一 ，24越或m量2n 1424即：滿足條件的點(diǎn) m、n的值為：、23 T 5/2m , n 一，或 m , n242此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，三角形的面積公式，梯形的面積 公式，平行四邊形的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.6.如圖，拋物線y=- (x-1) 2+c與x軸交于A, B (A, B分別在y軸的左右兩側(cè))兩 點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn) C,頂點(diǎn)為D,已知A ( - 1, 0).(1)求點(diǎn)B, C

19、的坐標(biāo)；(2)判斷4CDB的形狀并說明理由；(3)將ACOB沿x軸向右平移t個(gè)單位長度(0vtv3)得到QP 4QPE與4CDB重疊 部分(如圖中陰影部分)面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 t的取值范圍.【答案】(I )B(3, 0); C(0, 3); (n) CDB為直角三角形；3 23-t2 3t(0 t -)(ni)S【解析】【分析】22.-t2 3t -(- t 3) 22 2(1)首先用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然后進(jìn)一步確定點(diǎn)B, C的坐標(biāo).(2)分別求出CDB三邊的長度，利用勾股定理的逆定理判定4CDB為直角三角形.(3) ACOB沿x軸向右平移過程中，分兩個(gè)階

20、段：3 一 當(dāng)0vta時(shí)，如答圖2所不，此時(shí)重疊部分為一個(gè)四邊形；23 當(dāng)一vt<3時(shí)，如答圖3所不，此時(shí)重疊部分為一個(gè)三角形.2【詳解】2解：(1)二,點(diǎn)A 1,0在拋物線y x 1 C上，一, , 211 01 1 c,得 c 42，拋物線解析式為：y x 14,令 x 0,得 y 3, C 0,3 ；令 y 0,得 x 1或 x 3, B 3,0 .(n) CDB為直角三角形.理由如下：由拋物線解析式，得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為1,4x軸于點(diǎn)M,OB OM 2.1, DN DM MN DM OC 1.如答圖1所示，過點(diǎn)D作DM 則 OM 1 , DM 4 , BM 過點(diǎn)C作CN DM于點(diǎn)N

21、,則CN 在Rt OBC中，由勾股定理得：BC 在Rt CND中，由勾股定理得：CD 在Rt BMD中，由勾股定理得：BD BC2 CD2 BD2, CDB為直角三角形.Jcn2 dn2 J12 12 5/2 ； .BM2DM 2,22422.5.(出)設(shè)直線BC的解析式為y kx b , . B 3,0 ,C 0,3 ,3k b 0 b 3 解得k 1,b 3, .y x 3 , 直線QE是直線BC向右平移t個(gè)單位得到, 直線QE的解析式為：y x t 3 x 3 t; 設(shè)直線BD的解析式為y mx n ,. B 3,0 , D 1,4 ,3m n 0，解得：m 2,n 6,m n 4. y

22、 2x 6.3連續(xù)CQ并延長，射線CQ交BD交于G ,則G ,32在COB向右平移的過程中: ，3 ,當(dāng)0 t 時(shí)，如答圖2所本:2PK 3 t.設(shè)QE與BD的交點(diǎn)為y 2x 6則：y x 3 t設(shè)PQ與BC交于點(diǎn)K ,可得QK CQ t, PBx 3 t解得，y 2tF 3 t,2t .S S QPES PBKFBE1PE 2-1PQ PB PK212BE yF1 -3322t3時(shí),如答圖3所示:E答鄴設(shè)PQ分別與BC、BD交于點(diǎn)K、點(diǎn)J .KQ t, PKPB 3 t.3 2-t 3t.2r 3 x(2)當(dāng)一t2 CQ t,直線BD解析式為y 2x 6 ,令x . J t,6 2t11S

23、PBJS PBK -PB PJ PB PK221123 t 6 2t 3 t22-t223t綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為： S3 23-t2 3t 0 t -222t23t7.如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn) A (-1, 0) , B (4, 0) , C (0, 2)三點(diǎn)，點(diǎn) D與點(diǎn)C關(guān)于 x軸對稱，點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) P的坐標(biāo)為(m, 0),過點(diǎn)P作x軸的垂 線l交拋物線于點(diǎn) Q,交直線BD于點(diǎn)M .(1)求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，是否存在點(diǎn) Q,使得4BQM是直角三角形？若存在，求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)連接AC,將AOC繞

24、平面內(nèi)某點(diǎn)H順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到A1O1C1,點(diǎn)A、O、C的 對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn) A、。1、。、若A1O1C1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，那么我們就稱這 樣的點(diǎn)為 和諧點(diǎn)”，請直接寫出 和諧點(diǎn)”的個(gè)數(shù)和點(diǎn)A1的橫坐標(biāo).1 2 3.一【答案】(1) y=-x+x+2;(2)存在，Q(3,2)或 Q (-1,0); (3)兩個(gè)和諧2 2點(diǎn)，A1的橫坐標(biāo)是1,.2【解析】【分析】(1)把點(diǎn)A (1, 0)、B (4, 0)、C (0, 3)三點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù) 法求解；(2)分兩種情況分別討論，當(dāng)ZQBM=90或/MQB=90 ,即可求得 Q點(diǎn)的坐標(biāo).(3)(3)兩個(gè)和諧點(diǎn)；AO=1

25、, OC=2,設(shè)A1(x,y),則Ci(x+2, y-1) , O1 (x, y-1),當(dāng)Ai、Ci在拋物線上時(shí)，Ai的橫坐標(biāo)是1;當(dāng)Oi、Ci在拋物線上時(shí)，Ai的橫坐標(biāo)是2;【詳解】解：(i)設(shè)拋物線解析式為 y=ax2+bx+c,將點(diǎn) A (-i, 0) , B (4, 0) , C (0, 2)代入解析式,0 a b c0 16a 4b c,2 c2,i 2 3 . y= x + x+2 ；22（2）二,點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱,.D （0, -2）.設(shè)直線BD的解析式為y=kx-2.;將（4, 0）代入得：4k-2=0,i . k= 2，直線BD的解析式為y= x-2.2當(dāng)BQ，BD時(shí)，

26、BQM是直角三角形, 則直線BQ的直線解析式為y=-2x+8,-1, 0）；,1 2 3. -2x+8=-x + x+2,可求 x=3 或 x=4 （舍） 22.x=3；.Q (3, 2)或 Q (-1, 0);(3)兩個(gè)和諧點(diǎn)；AO=1, OC=2,設(shè) Ai (x, y),則 Ci (x+2, y-1) , Oi (x, y-1), 當(dāng)Ai、Ci在拋物線上時(shí)，1 23.y-x-x 2221 23y i -(x 2)- x 222 2x iy 3二.Ai的橫坐標(biāo)是i;當(dāng)Oi、Ci在拋物線上時(shí)，1 2 3yi-x-x22 2 , i93yi-(x2)2-x 223 2i8本題是二次函數(shù)的綜合題，

27、考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，軸對稱 題，等腰三角形的性質(zhì)等；分類討論思想的運(yùn)用是本題的關(guān)鍵.-最短路線問8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A(-i, 0)、B(3, 0)兩 點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C(1)求拋物線的表達(dá)式；x軸，并沿x軸左右平移，直尺的左右(2)如圖，用寬為4個(gè)單位長度的直尺垂直于兩邊所在的直線與拋物線相交于P、Q兩點(diǎn)(點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè))，連接 PQ,在線段PQ上方拋物線上有一動點(diǎn) D,連接DP、DQ.1, ，一一 若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 一，求4DPQ面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn) D的坐標(biāo)；2 直尺在平移過程中， 4DPQ面積是否有最大值？若有，

28、求出面積的最大值；若沒有，請 說明理由.3 15【答案】(1)拋物線y=-x2+2x+3; (2)點(diǎn)D ( ，一)；4PQD面積的最大值為82 4分析：(1)根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式；(2) (I)由點(diǎn)P的橫坐標(biāo)可得出點(diǎn) P、Q的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線 PQ的表達(dá) 式，過點(diǎn)D作DE/ y軸交直線PQ于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x, -x2+2x+3),則點(diǎn)E的坐 .5標(biāo)為(x, -x+),進(jìn)而即可得出 DE的長度，利用三角形的面積公式可得出Sxdpc=-2x2+6x+7,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；2(II)假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為t,則點(diǎn)Q的

29、橫坐標(biāo)為4+t,進(jìn)而可得出點(diǎn) P、Q的坐 標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線PQ的表達(dá)式，設(shè)點(diǎn) D的坐標(biāo)為(x, -x2+2x+3),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x, -2 (t+1) x+t2+4t+3),進(jìn)而即可得出 DE的長度，利用三角形的面積公式可 得出S DPQ=-2x2+4 (t+2) x-2t2-8t,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題.詳解：(1)將 A (-1, 0)、B (3, 0)代入 y=ax2+bx+3,得：a b 3= 09a 3b 3= 0a= 1b= 2，拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3.(2) (I)當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-3時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為7,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-，I),點(diǎn)

30、Q的坐標(biāo)為(,-)2424設(shè)直線PQ的表達(dá)式為y=mx+n,將 P (,工)、Q (工，-9)代入 y=mx+n,得:24241 7.-m n= -12 4,解得：5 ，79-m n= -4245直線PQ的表達(dá)式為y=-x+- -4如圖，過點(diǎn)D作DE/ y軸交直線PQ于點(diǎn)E,5設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x, -x2+2x+3),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x, -x+ 一41. DE=-x2+2x+3- (-x+ ) =-x2+3x+ ,44Sadpq=DE? (xq-xp) =-2x2+6x+ =-2 (x-) 2+8. 222- -2< 0,.當(dāng)x=3時(shí)，4DPQ的面積取最大值，最大值為 8,此時(shí)點(diǎn)D的坐

31、標(biāo)為(W, 15) 224(II)假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為t,則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為4+t,.點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(t, -t2+2t+3),點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為(4+t, - (4+t) 2+2 (4+t) +3),利用待定系數(shù)法易知，直線 PQ的表達(dá)式為y=-2 (t+1) x+t2+4t+3.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x, -x2+2x+3),則點(diǎn) E的坐標(biāo)為(x, -2 (t+1) x+t2+4t+3), . DE=-W+2x+3-2 (t+1) x+t2+4t+3=-x2+2 (t+2) x-t2-4t,.Sa dprDE? (xq-xp) =-2x2+4 (t+2) x-2t2-8t=-2x- (t+

32、2) 2+8.- -2< 0,Tx=t+2時(shí)，4DPQ的面積取最大值，最大值為 8.假設(shè)成立，即直尺在平移過程中，4DPQ面積有最大值，面積的最大值為8.點(diǎn)睛：本題考查了待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積以及二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)表達(dá)式；（2） （ I）利用三角形的面積公式找出Sadpq=-2x2+6x+7; (II)利用三角形的面積公式找出Sadpq=-2x2+4 (t+2) x-2t2-8t.29.對于某一函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)m,當(dāng)其自變量的值為 m時(shí)，其函數(shù)值等于-m,則

33、稱-m為這個(gè)函數(shù)的反向值.在函數(shù)存在反向值時(shí)，該函數(shù)的最大反向值與最小 反向值之差n稱為這個(gè)函數(shù)的反向距離.特別地，當(dāng)函數(shù)只有一個(gè)反向值時(shí)，其反向距離 n為零.例如，圖中的函數(shù)有 4, - 1兩個(gè)反向值，其反向距離 n等于5.一一一1(1)分別判斷函數(shù)y=-x+1, y=y=x2有沒有反向值？如果有，直接寫出其反向距x離；(2)對于函數(shù)y=x2- b2x, 若其反向距離為零，求 b的值；若-1巾求其反向距離n的取值范圍；x2 3x( x m)(3)若函數(shù)y=2 ()請直接寫出這個(gè)函數(shù)的反向距離的所有可能值，并寫出x 3x(x m)相應(yīng)m的取值范圍.1 ，一 一，_【答案】(1) y=-有反向值

34、，反向距離為x2； y=x2有反向值，反向距離是 1； (2) b= ± 上 0Wnw§ (3)當(dāng) m>2 或 mW 2 時(shí)，n= 2,當(dāng)一2V m W2時(shí)，n= 4.【解析】【分析】(1)根據(jù)題目中的新定義可以分別計(jì)算出各個(gè)函數(shù)是否有方向值，有反向值的可以求出相應(yīng)的反向距離；(2)根據(jù)題意可以求得相應(yīng)的b的值；根據(jù)題意和b的取值范圍可以求得相應(yīng)的n的取值范圍；(3)根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和題意可以解答本題.【詳解】(1)由題意可得，當(dāng)m = - m+1時(shí)，該方程無解，故函數(shù) y= - x+1沒有反向值，當(dāng)-m= 1時(shí)，m= ±1n= 1 - ( - 1)=

35、 2,故y= 。有反向值，反向距離為 2, mx當(dāng)m = m2,得m= 0或m= - 1, /. n= 0-(-1)= 1,故y=x2有反向值，反向距離是 1 ；(2)4i - m=m2-b2m,解得，m=0或m=b2-1,反向距離為零，.| b2- 1 - 0| = 0 ,解得，b= ±令m = m2- b2m ,解得，m =0或m = b2- 1,.n=| b2- 1 - 0| =|b2- 1| ,- 1 0 訴 wg 2 x 3x( x m) y=2，x 3x(x m)當(dāng)x利時(shí)，m = m2 3m,得 m = 0 或 m = 2,n = 2 - 0= 2,. m >2 或

36、 mW- 2；當(dāng)x v m時(shí)，-m = - m2- 3m,解得，m=0或m=-4,，n=0 ( 4)=4,-2V mwz由上可得，當(dāng) m>2或mW 2時(shí)，n=2,當(dāng)一2v mW2時(shí)，n = 4.【點(diǎn)睛】本題是一道二次函數(shù)綜合題，解答本題的關(guān)鍵是明確題目中的新定義，找出所求問題需要 的條件，利用新定義解答相關(guān)問題.210.已知拋物線y x (5 m)x 6 m.(1)求證：該拋物線與 x軸總有交點(diǎn)；(2)若該拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于 3且小于5,求m的取值范圍；(3)設(shè)拋物線yx2 (5 m)x 6 m與y軸交于點(diǎn)M,若拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線yx的對稱點(diǎn)恰好是點(diǎn) M,求m

37、的值.【答案】(1)證明見解析；(2)1<?m?3; (3)m 5或m 6【解析】【分析】(1)本題需先根據(jù)判別式解出無論m為任何實(shí)數(shù)都不小于零，再判斷出物線與x軸總有交點(diǎn).(2)根據(jù)公式法解方程，利用已有的條件，就能確定出m的取值范圍，即可得到結(jié)果.(3)根據(jù)拋物線y=-x2+ (5-m) x+6-m,求出與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)，再確定拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線 y=-x的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，列方程可得結(jié)論.【詳解】222(1)證明： b 4ac 5 m 4 6m m 70，拋物線與x軸總有交點(diǎn).2(2)解：由(1) m 7 ,根據(jù)求根公式可知，方程的兩根為：x m 5(m 721即 x1

38、1, x2 m 6由題意，有 3<-m 6<51<?n 3(3)解：令 x = 0, y = m 6 M (0, m 6)由(2)可知拋物線與x軸的交點(diǎn)為(-1, 0)和(m 6,0),它們關(guān)于直線 yx的對稱點(diǎn)分別為(0 , 1)和(0, m 6),由題意，可得：m 6 1 或 m 6 m 6m 5或 m 6【點(diǎn)睛】本題考查對拋物線與 x軸的交點(diǎn)，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判別式，對 稱等，解題關(guān)鍵是熟練理解和掌握以上性質(zhì)，并能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx- 3 (aw。與x軸交于點(diǎn)A(-2,0)、B (4,

39、0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段 AB上以每秒3個(gè)單位長度的速度向 B點(diǎn)運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn) Q從B點(diǎn)出發(fā)，在線段 BC上以每秒1個(gè)單位長度的速度向 C點(diǎn)運(yùn)動，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動，當(dāng) 4PBQ存在時(shí)，求運(yùn)動多少秒使 4PBQ的面積最大，最大面積是 多少？(3)當(dāng)4PBQ的面積最大時(shí)，在 BC下方的拋物線上存在點(diǎn) K,使 熱cbk: Sa pbc=5: 2,求 K點(diǎn)坐標(biāo).84一 一9(2)運(yùn)動1秒使4PBQ的面積取大，取大面積是 一10,27、，15、(3) Ki (1 ) , K2 ( 3,)88【解析】【詳解】試題分析：(1)把點(diǎn)A

40、、B的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，列出關(guān)于系數(shù)a、b的解析式，通過解方程組求得它們的值；9(2)設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒.利用三角形的面積公式列出S*BQ與t的函數(shù)關(guān)系式 SaPBQ= 10. 9 (t-1) 2+ .利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行解答；10(3)利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y=-x-3,由二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征4可設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為(m , - m2 - m - 3).84如圖2,過點(diǎn)K作KE/ y軸，交BC于點(diǎn)E.結(jié)合已知條件和(2)中的結(jié)果求得Sacbk=9 .則根據(jù)圖形得到：Sacbk=Scek+Sxbek=- EK?m+1 ?EK? (4 - m),把相關(guān)線段的422長度代

41、入推知：-3 m2+3m= - -易求得Ki (1, - 27) , K2 (3,-竺).4488解：(1)把點(diǎn) A ( 2, 0)、 B (4, 0)分別代入 y=ax2+bx3 (awQ ,得4a 2b 3 0383416a 4b 3 0 a 解得 b所以該拋物線的解析式為：y=3x2- -x-3；84(2)設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，則AP=3t, BQ=t. .PB=6- 3t.由題意得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0, - 3).在 RtA BOC 中，BC=J32 42 =5 .如圖1,過點(diǎn)Q作QH± AB于點(diǎn)H.圖1.QH / CO,.BHQABOC,HB BGOC BC即Hb3，HQ=3t.

42、5.Sapbq= 1 PB?HQ=- (6 3t)2當(dāng)APBQ存在時(shí),，當(dāng)t=1時(shí)，9S PBQ最大=一.100V t<2?3t=一。+9-91）5105102+ 10答：運(yùn)動1秒使4PBQ的面積最大，最大面積是9一，10(3)把B設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c （kwQ .(4,-3）代入，得4k解得，直線BC的解析式為y"43.丁點(diǎn)K在拋物線上.，設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為（m , 3 m28如圖2,過點(diǎn)K作KE/ y軸，交BC于點(diǎn)E.則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3m - 3)4-8m2+im-當(dāng)APBQ的面積最大時(shí),- S»A CBK： Sk pbq=5： 2,9S>A PBQ

43、=10 9 S/X CBk=.4-1 1 、Sacbk=SCEK+Skxbek= EK?m+?EK? (4 - m)221=X 4?EK2=2(-3 m12.已知，如圖，拋物線 y ax bx c(a 0)的頂點(diǎn)為M (1,9),經(jīng)過拋物線上的兩點(diǎn)A 3, 7)和B(3,m)的直線交拋物線的對稱軸于點(diǎn)C . (1)求拋物線的解析式和直線AB的解析式. (2)在拋物線上 A,M兩點(diǎn)之間的部分(不包含 A,M兩點(diǎn))，是否存在點(diǎn) D ,使得 DAC 2S DCM ?若存在，求出點(diǎn) D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.(3)若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，當(dāng)以點(diǎn)A,M ,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊 形

44、時(shí)，直接寫出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).+ - m) 823 m2+3m.4即： 9 m2+3m= .44解得 m1=1, m2=3.27、/ 015、 K1 ( 1, ) , K2 (3,)88點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 和三角形的面積求法.在求有關(guān)動點(diǎn)問題時(shí)要注意該點(diǎn)的運(yùn)動范圍，即自變量的取值范 圍.【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為:yy 2x 1 ； (2)存在，理由見解析；點(diǎn)2x 8,直線AB的表達(dá)式為:P (6, 16)或(4, 16)或(1 77,2)或(1 ",2).【解析】(1)二次函數(shù)表達(dá)式為：(2) S>adac=

45、2Sdcm,貝Uy=a (x-1) 2+9,即可求解;1SVDAC - DH XC XA2求解；12-x 2x 8 2x 1 1 3 21-9 1 1 x 2 ,即可 2(3)分AM是平行四邊形的一條邊、AM是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即可.2斛：(1)二次函數(shù)表達(dá)式為：y a x 19 ,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：a 1 ,故拋物線的表達(dá)式為：yx2 2x 8，則點(diǎn)B 3,5 ,將點(diǎn)A, B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：直線AB的表達(dá)式為：y 2x 1 ；(2)存在，理由：二次函數(shù)對稱軸為：x 1 ,則點(diǎn)C 1,1 ,過點(diǎn)D作y軸的平行線交AB于點(diǎn)H ,2設(shè)點(diǎn) D x, x 2

46、x 8 ,點(diǎn) H x,2x 1 , S DAC 2 s DCM ,_1 _12_1 一一則 SVDAC DH xC xA x 2x 8 2x 1 1 3911x2，222解得：x 1或5 (舍去5),故點(diǎn)D 1,5 ；(3)設(shè)點(diǎn) Q m,0、點(diǎn) P s,t , ts2 2s 8,當(dāng)AM是平行四邊形的一條邊時(shí)，點(diǎn)M向左平移4個(gè)單位向下平移16個(gè)單位得到 A,同理，點(diǎn)Q m,0向左平移4個(gè)單位向下平移16個(gè)單位為 m 4, 16 ,即為點(diǎn)P,即：m 4 s,6 t,而 t s2 2s 8,解得：s 6或-4,故點(diǎn) P 6, 16 或 4, 16 ；當(dāng)AM是平行四邊形的對角線時(shí)，由中點(diǎn)公式得：m s

47、 2, t 2,而ts2 2s 8,解得：s 1 J7,故點(diǎn) P 1 J7, 2 或 1 77,2 ；綜上，點(diǎn)P 6, 16或 4, 16或1 77,2或16,2 .【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、平行四邊形性質(zhì)、圖形的面積計(jì)算等，其中(3),要注意分類求解，避免遺漏.13.如圖，已知拋物線¥ = J+bK + c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B (5, 0),另一個(gè)交點(diǎn) 為A,且與y軸交于點(diǎn)C (0, 5)。(1)求直線BC與拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方圖象上的動點(diǎn)，過點(diǎn) M作MN/y軸交直線BC于點(diǎn)N, 求MN的最大值；(3)在(2)的條件下，M

48、N取得最大值時(shí)，若點(diǎn) P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點(diǎn)，以BC為邊作平行四邊形 CBPQ設(shè)平行四邊形 CBPQ的面積為S, ABN的面積為 S2,且S=6&,求點(diǎn)P的坐標(biāo)?！敬鸢浮?1)產(chǎn)/一卬+ 525彳(3) P 的坐標(biāo)為(1, 12)或(6, 5)或(2, 3)或(3, 4)【解析】【分析】(1)由B (5, 0) , C (0, 5),應(yīng)用待定系數(shù)法即可求直線BC與拋物線的解析式。(2)構(gòu)造MN關(guān)于點(diǎn)M橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用二次函數(shù)最值原理求解。(3)根據(jù)Si=68求得BC與PQ的距離h,從而求得PQ由BC平移的距離，根據(jù)平移的性質(zhì)求得PQ的解析式，與拋物線¥ =

49、+ 3聯(lián)立，即可求得點(diǎn) P的坐標(biāo)?！驹斀狻拷猓?1)設(shè)直線BC的解析式為y=kx + m,! 5k + m =1將 B (5, 0) , C (0, 5)代入，得 e =",得m 二 S。直線BC的解析式為¥=-黃十目。hs + 5b + c = 0 Ik =-62I 一 51 = 5將 B (5, 0) , C (0, 5)代入+bx +c,得 C- ，得七一.。 2 拋物線的解析式虱+ 5。(2)二,點(diǎn)M是拋物線在x軸下方圖象上的動點(diǎn)，設(shè)M(m.m -6+5)。 點(diǎn)N是直線BC上與點(diǎn)M橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)，.N(m+ 當(dāng)點(diǎn)M在拋物線在x軸下方時(shí)，N的縱坐標(biāo)總大于 M的縱坐標(biāo)。

50、225 225MN =- m + 5 -(nV - 6m + 5)=_ m" + 5m =_ t(n +=25MN的最大值是4。I 5 5（3）當(dāng)MN取得最大值時(shí)，N1¥ = /一自4 5的對稱軸是 JC = 3, b（5, 0）, ，A（1, 0） 。 ，AB=4。15.S2 = SJabW = 2X4X2 = 5 o由勾股定理可得，BC = 5Xi，7o設(shè)BC與PQ的距離為h,則由S=6S2得：5寸= 即卜=人工 如圖，過點(diǎn)B作平行四邊形 CBPQ的高BH,過點(diǎn)H作x軸的垂線交點(diǎn)E,則 BH=h=3，？，eh是直線BC沿y軸方向平移的距離。易得， BEH是等腰直角三角形,EH=Y X& = 6。直線BC沿y軸方向平移6個(gè)單位得PQ的解析式：V=-x + 5 + 6=-x + 11 或 ¥=-翼 + 5_6=_乂- 1。當(dāng)卜二一 K +旬時(shí)，與+ 5聯(lián)立，得I y=-x + ll |x=- 1 lx = 6* =解得* - "或"。此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,或（6, 5）。當(dāng)v=r-l時(shí)，與¥ = x -與+ 5聯(lián)立，得