歸類解析排列組合分組分配問題

1、歸類解析分組、分配問題四川省儀隴中學(xué)新政校區(qū) 魏登昆高中數(shù)學(xué)排列組合中元素的分組、分配問題在高考中常出現(xiàn)，有一定的難度。學(xué)生在學(xué)習(xí)中對這類問題的處理主要錯(cuò)誤表現(xiàn)在審題不清、歸類不明，現(xiàn)筆者就這類問題歸類解析： 、 不同元素分組問題1、非平均分組無歸屬問題，即將相異的P（P=）個(gè)物件分成任意件無記號的m堆且這m堆的個(gè)數(shù)互不等，其分法數(shù)為N=2、平均分組無歸屬問題, 即將相異的P(P= 個(gè)物件分成無記號的m堆，其分法數(shù)為N= 3、部分平均分組無歸屬問題，即將相異的P（P=）個(gè)物件分成任意件無記號的m堆，且這m個(gè)數(shù)中分別有a,b,c個(gè)相等，其分法數(shù)為N=例1:現(xiàn)有12件不同禮品平均分成三堆;分成件數(shù)

2、為2,4,6三堆;分成件數(shù)為2,2,2,3,3五堆，其方法數(shù)分別為多少?(答: ; ; 、 不同元素分配問題1、無限定分配有歸屬問題即將相異的P（P=）個(gè)物件分配給m個(gè)人,物件分完,分別得件求其分法數(shù).它的處理方法是:第一步將這p件物件按類中相應(yīng)類別分成m堆,第二步將這m堆對應(yīng)m個(gè)人進(jìn)行全排列.例2: :現(xiàn)有12件不同禮品平均分給三個(gè)人;分給三個(gè)人其中一人得2件, 一人得4件, 一人得6件;分給五個(gè)人其中三人各得2件,其中二人各得3件,其方法數(shù)分別為多少?(答: : ; 其中為例1的結(jié)果 例3:(09重慶 將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)當(dāng)村官,每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一人,有不同的分配方法有多少種?分析:先把

3、4人按1,1,2分三組再對應(yīng)三個(gè)崗位進(jìn)行全排列即有: =36種方法.例4: 集合且B中每一個(gè)元素都有原像,這樣的映射有多少個(gè)?分析:先把A中元素分成個(gè)數(shù)為1,1,3和1,2,2的三堆有=25種,再用這三堆和B中三個(gè)進(jìn)行全排列,所以最后為25*=150個(gè)這樣的映射.2 、限定分配有歸屬問題即將相異的P（P=）個(gè)物件分配給甲,乙，丙.等m個(gè)人,物件分完,其中甲得件,乙得件, 丙得 件求其分法數(shù)是多少?. 它的處理方法是：無論中的m個(gè)數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有N=例5: :現(xiàn)有12件不同禮品分給甲,乙,丙三個(gè)人每人4件;分給三個(gè)人其中甲得2件, 乙得4件, 丙得6件;分給五個(gè)人其中甲,乙

4、,丙三人各得2件,其余二人各得3件,其方法數(shù)分別為多少?(答: 、相同元素分組問題這類問題的模型即把n個(gè)相同的小球裝入m個(gè)相同的盒子，不允許空盒（允許空盒），有多少裝法,只須將n分解成m個(gè)正整數(shù)（自然數(shù)）的和且不考察順序的分解個(gè)數(shù)一一枚舉出來即可.如：6個(gè)相同的小球裝入3個(gè)相同的盒子,每盒子不空,有多少裝法?因?yàn)?只有1+1+4,1+2+3,2+2+2這三種求和分解式,所以只有三種裝法. 、相同元素分配問題(隔板法即把n個(gè)相同的元素(如名額、指標(biāo)分配給m個(gè)不同的單位.這種類型可建立如下模型，即把n個(gè)相同的小球裝入m個(gè)不相同的盒子有多少裝法?不允許出現(xiàn)空盒,現(xiàn)假設(shè)這n個(gè)小球排成一條線用隔板把它們

5、隔成m段,每一種隔法就對應(yīng)一種裝法,只須在中間n-1個(gè)空隙插入m-1個(gè)隔板即種隔法;允許出現(xiàn)空盒, 它的處理方法是(借馬分馬,即借m個(gè)這樣的小球先每個(gè)盒子裝一個(gè),這樣就轉(zhuǎn)化成了m+n個(gè)相同的小球裝入m個(gè)不相同的盒子(每盒不空有多少裝法?所以應(yīng)有種裝法.例6:將12個(gè)學(xué)生干部的培訓(xùn)指標(biāo)分配給9個(gè)不同的班級,每個(gè)班級至少分得1個(gè)名額,共有多少分配方法?(答:共有=165種分配方法例7:不定方程的正整數(shù)解有個(gè)不定方程的自然數(shù)解有個(gè)不定方程滿足條件的正整數(shù)解有總之,這類問題一定要認(rèn)真審題分清是相同元素還是不同元素, 是分組還是分配,然后就可以歸入以上類別,迎刃而解了.鞏固提高訓(xùn)練1、7個(gè)相同的小球任意

6、放入4個(gè)相同的盒子里，每個(gè)盒子至少有1個(gè)球的不同放法有多少種？7個(gè)相同的小球任意放入4個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子至少有1個(gè)球的不同放法有多少種？ 7個(gè)不同的小球任意放入4個(gè)相同的盒子里，每個(gè)盒子至少有1個(gè)球的不同放法有多少種？ 7個(gè)不同的小球任意放入4個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子至少有1個(gè)球的不同放法有多少種？7個(gè)相同的小球任意放入4個(gè)不同的盒子里，允許出現(xiàn)空盒子的不同放法有多少種？7個(gè)不同的小球任意放入4個(gè)不同的盒子里，允許出現(xiàn)空盒子的不同放法有多少種？2、（09湖北）將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班，則不同的分法數(shù)為：（ ）A、18 B、24 C、30 D、363、10個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子，要求一個(gè)盒子有1個(gè)球，一個(gè)盒子有2個(gè)球，一個(gè)盒子有3個(gè)球，一個(gè)盒子有4個(gè)球，不同的放法數(shù)有（ ）A24 B10 C30 D126004、（06天津）將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的盒子里