第4章不定積分

1、第4章不定積分一元函數(shù)積分學(xué)是一元函數(shù)微積分學(xué)的另一重要組成部分，包括不定積分，定積分和 定積分的應(yīng)用.不定積分的概念是由研究導(dǎo)數(shù)問題的逆問題而引入的，定積分的概念則是 由研究微小量的無限累加問題而引入.這是一元函數(shù)積分學(xué)的兩個(gè)基本問題，它們似乎互 不相干，卻可以通過微積分基本公式密切地聯(lián)系起來.本章介紹不定積分的基本概念、性 質(zhì)及求不定積分的基本方法. 1不定積分的概念一、原函數(shù)的概念已知一個(gè)函數(shù)，求它的導(dǎo)數(shù)或微分，是微分學(xué)所研究的最基本的問題在許多實(shí)際應(yīng)用中，還會(huì)碰到它的逆問題例如，從微分學(xué)知道，若已知曲線方程為y = f(X)，則可求出該曲線在任一點(diǎn)(X, f(X)處切線的斜率f (X)

2、.現(xiàn)假設(shè)知道某一曲線上在任一點(diǎn)處切線 斜率為2x，且曲線經(jīng)過原點(diǎn)，則如何求出此曲線方程？又如，若作變速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn) 的位置函數(shù)為S=s(t)，則質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為s(t) 現(xiàn)若知道從靜止?fàn)顟B(tài)開始作變速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度為at，則如何求出它的位置函數(shù)S = s(t) ?以上兩個(gè)例子，研究對(duì)象雖屬于不同范疇，但本質(zhì)上都是已知某一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要求該函數(shù) 表達(dá)式的問題.為了解決這類問題，我們引入原函數(shù)的概念.定義1設(shè)f(X)是定義在區(qū)間I (有限或無窮)上的已知函數(shù)，如果存在函數(shù)F(x),使得對(duì)區(qū)間I上任一點(diǎn)X，恒有F (X)= f (x)或 dF(X)= f (x)dx ,則

3、稱F(x)是f (X)在區(qū)間I上的一個(gè) 原函數(shù).1 1例如，當(dāng)x(-1,1)時(shí)，因?yàn)?arcsinx)=，所以arcsinx是.2在區(qū)間Jl-x2J1-X2(1,1)上的一個(gè)原函數(shù).當(dāng)時(shí)，因?yàn)?x2)=2x,所以x2是2x在(亠嚴(yán))上的一個(gè)原函數(shù).當(dāng) x：(-=c,+=c)時(shí)，因?yàn)?x2+1)=2x，所以 x2+1 是 2x 在(-,垃)上的一個(gè)原函數(shù).從上述后面兩個(gè)例子可見,2x的原函數(shù)是不唯一的.127F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，由于常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是零，所以對(duì)任f (x)存在原一般地，若意常數(shù)C , F(x) +C也是f (x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù).因此，如果函數(shù) 函數(shù)，則它的

4、原函數(shù)必有無窮多個(gè)為此需要討論兩個(gè)問題：(1 )一個(gè)函數(shù)滿足什么條件才有原函數(shù)？(2)如果函數(shù)f(x)有原函數(shù)，它的無窮多個(gè)原函數(shù)相互之間有什么關(guān)系?對(duì)于上述兩個(gè)問題，我們有以下兩個(gè)結(jié)論：定理1 (原函數(shù)存在定理) 如果函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù)，那么它在該區(qū)間上必定存在原 函數(shù).簡(jiǎn)單的敘述是：連續(xù)函數(shù)必定有原函數(shù). 定理的證明將在下一章給出.需要指出的是，因?yàn)橐磺谐醯群瘮?shù)在其定義區(qū)間上都是連續(xù)的，所以每個(gè)初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都有原函數(shù).定理2 (原函數(shù)族定理)若F(x)是f (x)在某區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則F(x)+C是f (x)在該區(qū)間上的全部原函數(shù)，其中C是任意常數(shù).證一方面，由于F(x)是f

5、(x)的一個(gè)原函數(shù)，即F(x) = f(x).因此對(duì)任意常數(shù) C ,f(x) +C J = f(x)，即 F(x) +C 都是 f(x)的原函數(shù).另一方面，若G(x)是f (x)的任意一個(gè)原函數(shù)，即 G(x)= f(x)，則由第3章 1定 理2的推論2可得，G(x)與F(x)最多相差一個(gè)常數(shù)，即 G(x)=F(x ) + C .由以上兩個(gè)方面可得，F(xiàn)(x) +C是f(x)在該區(qū)間上的全部原函數(shù)，其中C是任意常數(shù).證畢.二、不定積分的概念定義2設(shè)F(x)是f (x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，貝U F(x)+C ( C是任意常數(shù))稱為f (x)在區(qū)間I上的不定積分，記為J f (x)dx，即H(x)

6、dx = F(x) +C ,其中J稱為積分號(hào),f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量，C稱為積分常數(shù).例 1 求 J3x2dx .解因?yàn)?X3) =3x2，所以J3x2dx = X3 +C .例 2 求 jsin xdx.解 因?yàn)?cosx) = sinx ,所以 Jsinxdx = cosx + C -1例 3 求 f2 dx .1+x21解因?yàn)?arctanx) =12，所以 f x = arctanx+C .1+x21+x2三、不定積分的幾何意義設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，那么方程y = F(x)的圖形是平面直角坐標(biāo)系上的一條曲線，稱為f (X)的一條積分

7、曲線.將這條積分曲線沿著 y 軸方向任意平行移動(dòng)，就可以得到f (X)的無窮多條積分曲線，它們構(gòu)成一個(gè)曲線族，稱為f (X)的積分曲線族不定積yA分Jf(x)dx的幾何意義就是一個(gè)積分曲線族它的特點(diǎn)是:在橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處，各積分曲線的切線斜率相等，都是 即各切線相互平行(如圖 4-1).在求f(x)的所有原函數(shù)中，有時(shí)需要確定一個(gè)滿足條件f(x),/J_OAx圖4-1y(X0)= y。的原函數(shù)，也就是求通過點(diǎn)(X0,y0)的積分曲線.這個(gè)條件一般稱為 初始條件，它可以唯一確定積分常數(shù) C 的值.2 1例4求f(X)=X通過點(diǎn)(3,1)的積分曲線.y7x2dxEx3+C，代入初始條件，y1 0)

8、.aJcscxdx.dx解 Jcscxdx = Jsin Xi 2 dx7 少，sinx sin X cos xT1cosx-1c1-In+ C = In2cosx+12Jcscxdx =(cosx-1)(cosx-1) +c(cosx+1)(cosx-1)利用例6得f d(cos x) cos2 X -1Jin2cosx -1cosx +1Jin2(cosx-1)2cos X -1cosx-jc sin x=lncosx -1sin x+C =ln cscxcotx +C .類似可得fsecxdx = In secx + tan x + C .例 9 求 Jtan4 xdx .解 tan4

9、xdx = Jtan2 x(sec x -1)dx = ftan2 xsec xdx- ftan2 xdx2213=ftan xd(tanx) - J(sec x-1)cx =- tan x -tanx + x + C .3二、第二換元積分法(代換法或置換法)我們通過一個(gè)具體的例子來說明第二換元積分法計(jì)算不定積分的基本思想.1例10求J=dx . 1 +a/x解 作變量代換 jx =t，即X =t2(t 0)，其目的是把被積函數(shù)中的根號(hào)去掉，在上 述代換下，有1 1丙T 荷,dx=2tdt，于是12tdt1+t -11JEx7T7r2Jdts1-Hdt1= 2gt-2rd(t+1)=2t-2l

10、n 1+t +C 十t=2仮-2ln 1 +Vx +C .一般地，若積分Jf(x)dx不易計(jì)算，而如能作適當(dāng)變換(t)，把原積分化為Jf(t)dt的形式后容易積分，并且在求出原函數(shù)后容易將 t =屮(X)代回還原,則可以使用這種方法.這就是第二換元積分法計(jì)算不定積分的基本思想.定理2設(shè)f (x)連續(xù)，X=(t)是單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù)，且屮(t)H 0 . f砂(t) W (t)的一個(gè)原函數(shù)，即Jf 歲(t)dt =W(t)+C ,若(t)是(1)J f (x)dx =證由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則以及反函數(shù)的求導(dǎo)公式，有d魚=叭t)】屮(t)丄 dxdxdt即曠(x)j忙W金=f抄匸f(x)-這說明申V 4

11、(x)是f(x)的原函數(shù)，即(2)式成立.證畢.將(1)式和(2)式合起來寫成便于應(yīng)用的形式：X 當(dāng)V)t 平(X)Jf(x)dx = Jf 卯(t)護(hù)dt =(t)+C= wy4(x)1 + c 1例11求J時(shí)xdx -解令t 導(dǎo) +x，貝U X =t3-1 , dx=3t2dt .于是11t2=|(3rx)2-33/rrx+3i 門1+舒7 卜 c.燈ax+b （a H0, n為正整數(shù)）時(shí)，則可令一次根式代換.一般來說，若不定積分中的被積函數(shù)含有 t =如+b清除根式.這種代換，稱為1例 12 求 f dx .、J1 +ex解令t+ex，則 ex =t2 -1,eXdx =2tdt ,dx

12、=p2bdt .于是JJdtt(t -1)t -1dt =lnt1t+1=lnJl + ex -1Jl + eX +1例 13 求 J Ja2 -X2 dx(a0 )一一x解 令X =asint(- t )，貝U t = arcsin-,22adx = acostdt .于是jVaxdx = j7a2(1sinT)acostdt =a2 fcos2 tdt2 2a1adt =(t +sin2t)+C =(t+si ntcost) + C2222a . X . a =arcsin 十2a 2/ 2 2 2 X va Xa . x.x fl+ C =arcsin + va -x +C2a 2一般來

13、說，若不定積分中的被積函數(shù)含有二次根式 為了消除根號(hào)，通常利用三角函數(shù)關(guān)系式來換元.比如Ja2 -x2 , J a2 + X2 或 J x2 - a2號(hào),(1)被積函數(shù)含有因式,則令X =asint(才ct吒專)；(2)被積函數(shù)含有因式Ja2 +x2兀兀,則令 X = atant(-一 )；22(3)被積函數(shù)含有因式,則令 X = a sect(O a時(shí)，令 X =ased (Oct a .根據(jù)上面的計(jì)算，有1J(_x)2a2d(-x) =ln (-X)+J(-x)2-a2 +C22151f 1j jR22VX -a=lndx = In2-a+C2 = -InJx2 - a2 + X + C2

14、 + In a2,a +x2I na C? = InJx2 -a2 +x +C ,其中 C = 2ln a -C2.f 1J 122vx -a綜上所述，:dx = In X + Jx2-a2 + C .F面我們?cè)俳榻B一種很有用的代換-倒代換例16求礙dx 曰MzX占4t1(-F)dt1J(t2 +l)2tdt1 2IQQ=2皿 +1)2d(t +1)1= -3(t3(x2+1)2+c3x3類似可求t vO有3耳x_+C .x3x為了以后計(jì)算不定積分的方便，我們將幾個(gè)重要的積分公式放入基本積分表中，以便在今后的積分中引用.(13)Jtanxdx = -ln cosx +C ;(14)Jcotxd

15、x =ln sinx +C ；(15)Jsecxdx =lnsecx + tanx +C ；(16)fcscxdx =ln cscx-cotx +C ；(17)-2-2d21-lnx -a2aX -aX +a(18)1 1 dx=-lnX +aX -a(19)2 1 2 dx =1 arctan-+C ； x +a a a(20)xdx =arcsin + C(a :0);a(21)jJa2 /dx2 =arcsin-+ 蟲Ja2 -x2 +C (aO)；2a 2(22)1 JdxJx2 a2=ln x+Jx2a2 +C (a 0).習(xí)題 4-21.求下列不定積分:165(1)Jcos(12x

16、)dx ；(3)(5)fcosx ； 、(X sin x)X(6)；1 X(7),sin X +cosx ,Gsinx-cosxdx ；I 。 , xcos x+sin X ,(8)J (xsinx)2 dX ；(9)f223dx ；(10)(11)dx(13)2 ， X2 -2x +5 f-cosdx; x x(12)(14)(15)Jsin5 xcos3xdx ；(16)(17)dxJx(4-x)(18)f x2edx;處凹dx ；sin xcosxJ-x2dx ;f x2dxX(19)(20H j 2 dx ;V2x -4x彳 p.2arccosx(21) J10 dx ；山x21(22

17、)J；/；(23)xdxJx2 +4x +51(24) f dx ；1 +J2x(25)広9 dx(xAO); Xdx(26)仏dx(28) r(xi)7x(27)也爭(zhēng)x ；xyx2 .若已知 Jf(x)dx = F(x) +C，求(1) Jf(ax + b)dx ；(2)Jcos(3x)f (sin3x)dx . 3分部積分法前一節(jié)我們?cè)趶?fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的基礎(chǔ)上研究了換元積分法.現(xiàn)在我們利用兩個(gè)函數(shù) 乘積的微分法則，來推得另一個(gè)求積分的基本方法-分部積分法.定理1設(shè)u,v都是x的函數(shù)且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有Judv = uv- Jvdu .證 由于u,v都有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，故 u,v的微分存在，于是有d

18、(uv) = udv +vdu ,兩邊積分得Jd(uv) = Judv+ Jvdu ,所以u(píng)v = Judv + Jvdu ,移項(xiàng)得到Judv =uv- Jvdu .證畢.注因上式等式右端還保留不定積分號(hào)，所以不必寫上C .上面這個(gè)公式稱為 分部積分公式它把所求的積分分成了兩個(gè)部分，一部分是uv , 是已經(jīng)求出了的；另一部分是Jvdu，是還要積分的，即求不定積分Judv的問題轉(zhuǎn)化成了 求不定積分Jvdu的問題它適用于 Judv不易計(jì)算，而Jvdu比較容易計(jì)算的情況.例 1 求 f xcosxdx.解 把某個(gè)函數(shù)與dx湊微分，化成分部積分公式左邊的形式，現(xiàn)將cosx湊入微分:Jxcosxdx =

19、 fxd(si nx)(u =x,v = s inx)=xsi n x- Js in xdx = xs in x + cosx + C .如果把x與dx湊微分，則有1 2 1 2 1 2Jxcosxdx = fcosxdx)=尹 cosx - J-x d(cosx)1 2+ 1 r 2-.=x cosx + fx sin xdx，2 2 上式右端的積分比原來的積分更不容易求出.由此可見，如果u和dv選擇不當(dāng)，就求不出結(jié)果.所以應(yīng)用分部積分法時(shí)，適當(dāng)選取u和dv是一個(gè)關(guān)鍵.一般選擇u與v有個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式：“反、對(duì)、幕、指、三”指的是按反三角函數(shù)，對(duì)數(shù) 函數(shù)，幕函數(shù)，指數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)的順序.被積函數(shù)

20、若為其中某兩個(gè)函數(shù)的乘積時(shí)，排 在前面順序的函數(shù)作為 u，排在后面順序的函數(shù)作為 v，湊入微分成為dv .例 2 求 Jx 2 . 2 2 XfX1, Xx,=In X f dx =一In x 一exdx =x2eX - 2 J xeXdx = x2eX - 2 J xd(eX)解 Jx2eXdx = fx2d(eXx2eX - feXd(x2)= x2e2(xeX - JeXdxx2eX-2xe2eC 例 3 求 fxln xdx .2 2 2XXX解 fxln xdx = In xd(一) =一 In x - f一d(ln x)222=X tan X 一 ftan xdx 一1 x221

21、2= xtanx+ln cosx -x +C .2例 5 求 Jarccosxdx .解 Jarccosxdx = x arccosx - J xd(arccosx).x1 ,12=xarccosx+ f dx = xarccosx 一 f .d(1 x )C22Q7 I =x arccosx - J1 -x2 + C例 6 求 fexcosxdx.解 JeXcosxdx = Jcosxd(eX) =eXcosx fexd(cosx)=ex cos Jexsin xdx =eX cosx + Jsin xd(ex)= excosexsinx- Jexd(sinxexcosexsinx- fex

22、cosxdx , 移項(xiàng)得2 Jexcosxd =ex cosex sin x + G，1excosxdx = ex(sinx+ cosx) +C .2類似可得X1 Xfexsinxdx =?ex(sinx-cosx) +C .以上這種解題方法稱為循環(huán)法.例 7 求 JseCxdx .32解 Jsecxdx = Jsecx secxdx = Jsecxd(tanx)= secxtanx- Jtanxd(secx) =secxtanx- Jsecxtan2 xdx= secxtanx- Jsecx(sec x-1)clx移項(xiàng)得- fsec xdx ,= secxtanx + ln secx +ta

23、nx32 fsec xdx = secxtanx+ln secx + tanx +G，Jsec xdx =1 (secxtanx + ln|secx + tanx|) +C 當(dāng)被積函數(shù)是某一簡(jiǎn)單函數(shù)的高次幕函數(shù)時(shí)，我們可以適當(dāng)選取 U和dv ,通過分部積分后，得到該函數(shù)的高次幕函數(shù)與低次幕函數(shù)的關(guān)系，即所謂遞推公式，故稱遞推法.例8求I n = f(ln x)ndx的遞推公式(其中n為正整數(shù))，并用公式計(jì)算f(ln x jdx .解當(dāng)n =1時(shí),114 = Jin xdx = xln X - fxd(ln x) = xln x - Jx dx = xln x-x + C , 、 x當(dāng)n 2時(shí),

24、I n = J(ln X )dx =x(ln x) - Jxd(ln x f= x(ln x)n - Jx n(ln x)n-dx X= x(ln x)n -n J(ln x)ndx = x(ln-門打斗- 所求的遞推公式為：In =x(ln X)n - nln(n 二 2). 從而由Ixln x-x +C可求得In (n 2).33I3 = J(ln x) dx = x(ln x) -312= x(ln X)3 -3x(ln x)2 -21= x(ln X)3 -3x(ln x)2 +61 j32=x(ln X)-3x(ln X)+6(xlnx-x)+C例9求In32= x(ln X)-3x

25、(1 n X)+6x1 nx 6x+C .dx=f 一 （其中n為正整數(shù)，a。）.（X +a ）解當(dāng)n =1時(shí),l1f 2dx arctan- +C , X +a2a當(dāng)n 2時(shí)，因?yàn)镮nXI 1=Z 2 丄- J xa_2 n(x +a )(X +a )于是，得遞推公式ln =x=.2 , 2,2(x +a )2X十2( n-1)J 2 +2、ndx(X +a )2.2 2X丄c ,X +a -a ,-_72 屮廣 2 (n _ 1D22 xd(x +a )X 牛a )x,2 , 22(x +a )+ 2(n- 1)lnj-2( n- 1)a2ln,x2、n4(2n -2)a2 (x2 乜2)

26、+ (2n-3)l2 (n 2) =2(t cost Jcostdt) = -2t cost + 2sin t +C=-2 JXcos JX + 2sin JX +C .例11設(shè)F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)，F(xiàn)(x)連續(xù)，F(xiàn)(0)=1 , F(x)0，且當(dāng)x0時(shí)，有xexf(x)F(x2 亦帚求 f (x).解由F (X)= f (x)代入得2F(x)F(x) =xxe(1 + x)2，于是J2F (x)F(x)dxxr xe.fx，(1+x) x 1x xe 1Txed(丄)-+ L丄1+x1+x1+xxex1 +xxx xe=-一 + r一e dx =+1+x 1+x1+xd(xeX)F

27、2(x) =x+c =x+C1 +x由 F(0) =1 及 F2(O) =1+C 得 C = 0，因?yàn)?F(x)0，所以F(x)岳，xxe2f(X)=3 -2(1+x)2習(xí)題 4-31求下列不定積分:(1)Jxcos3xdx；(2)jTXin xdx ；(3)fxe4xdx;2(4) jx arctanxdx ;(5)Jesinnxdx ；(6) Jsin(In x)dx ；(7)1 +xJx|n=dx ；(8) Je%;(9)fxsin xcosxdx ；2(10) J(arcsin x) dx ;(11) Jln(X + J1 + X2)dx ；、fX +ln X ,(12) Wx ；(1

28、3) J(x .證明下列遞推公式: +1)1 nxdx;X(14)%dx.設(shè) In = Jtann xdx，則 I 1n 1tann4x -1 nd,n 為自然數(shù)且 n 2 . 4幾種特殊類型函數(shù)的積分前面介紹了不定積分的兩種基本方法-換元積分法和分部積分法.下面介紹幾種特殊 類型函數(shù)的積分.一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù)是指由兩個(gè)多項(xiàng)式的商所表示的函數(shù)，即如下形式的函數(shù)ax + a。P(X) _ anXn +an斗Xn斗 +川 + Q(x) bmXm +bm 斗xmd +|l+t1x + b0其中m,n皆為自然數(shù). 式.利用多項(xiàng)式的除法,當(dāng) n m時(shí)稱有理函數(shù)為 假分式；當(dāng)n 2)，則的分解式一

29、般含有 k項(xiàng):Q(x)AAA i|jXalx-arx-a)3(x-a)若Q(x)中含有二次單因式 X2 + PX + q ( P2 -4q CO)，則的分解式含有一Q(x)項(xiàng):Mx +N2X + P X + q2k 2(4)若 Q(x)中含有二次 k 重因式(X +px+q)(p -4qv0,k2),則鵲的分解式一般含有k項(xiàng):M1X + N1X2 + P X +qM2X + N2,j| MkX + Nk川，1 (x + px+q)(x2 + px+q)2X 5例1化真分式 f(X)=2為部分分式的和.(x+1)(x-2)解設(shè)蘆1爲(wèi)二角+爲(wèi)+;b(A，B，C為待定系數(shù))2A(x-2) +B(x+

30、1)+ C(x +1)(x-2)(x+1)(x-2)2兩端去分母后, 比較等式兩邊有 A(x-2)2 + B(x+1) + C(x+1)(x-2) =x-5 .X的同次幕的系數(shù)得A+C =0 VA+ B -C =1 , 4A+B -2C =-5解方程組得2 2A V，CH，所以X 5(x+1)(x-2)2_2-32X +1 (X-2)2 3 x-22169為部分分式的和.例 2 化真分式 f(X)=(1+2x)(1+x2)aBX +C解設(shè)(1+2x)(1+x2廠右+ k(A，B，C為待定系數(shù))，兩端去分母后有21 =A(1+x ) +(Bx+C)(1 + 2x),比較等式兩邊X的同次幕的系數(shù)得

31、A+ 2B =0解方程組得所以B +2C =0, A+C=1A=4,B5一 5，c=_154(1+2x)(1+x2 *)511 2x-121+2x 5 1+x2 四類最簡(jiǎn)分式的不定積分因此真分式的積分歸結(jié)為四類最簡(jiǎn)分式的積由于真分式都可以分解為最簡(jiǎn)分式之和, 分，下面分別討論其求解方法.A(1)dx = Aln x-a +C -X -a(2)r A=dx= (1-n)(x-a)nJC(n=2,3川.(3)Mx +Nx2 + p X +qdxMMp-(2x + p)-于+NJ-T2dxX + p X + qM rd(x2d+(N 迪” + px + qf(Xdx2+2+(q-十)l_Mp2x+衛(wèi)

32、U+c q氣其中p2-4q v0 .Mx +N()J(x2+px+q嚴(yán)M 、Mp(2x+p )- + N2dx(x +p x+q)1712d(x + px+q)十 _ Mpdx (x2 + px+q)n2 . (x2 + px + q)n_M(x2 + px+qrN Mp)j2(1 n)d(電)_2 1n”+宀其中p2 -4q cO, n = 2,3,等式右端第二項(xiàng)的不定積分可以利用4.3例9得到的遞推公式計(jì)算.通過上面的討論可知，每一個(gè)有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).從原則上說，有理函 數(shù)的不定積分的求法已經(jīng)解決.-43.x3 -1例 3 求 f2x -x -1dx .解 被積函數(shù)是假分式，先

33、將它表示成多項(xiàng)式和真分式之和,2x4-xx -1 X +1亠1=再將真分式分解成最簡(jiǎn)分式之和,亠 Bx+C-1=十(xT)(x2+x+1)xTx2+x + 1兩邊去分母得x = A(x2 +x+1) + (x-1)(Bx +C)，比較等式兩邊x的同次幕的系數(shù)得(A+B=0A-B +C =1，AC = 0解方程組得于是2x4 -x3 -XX1所以X3 111dxj2x1+-；dx73(x-1) 3(x2 +x+1)X 5=X2=x2=x2x+3in2dx.(x+1)(x-2)由例1得X 51 2x+13x-1 - dx6 x2+x+12,1d(x +x +1)亠 1X1 f +6， x2+x+1

34、21d(x + yX2 +x+121 2 43 25)2十(號(hào))21x-1 -InX2 +x+16-x+ln3+arctan l373十1 +C2(x+1)(x-2)2x+1 (X2)3 X 2x-5(x+1)(x-2)2g勺;dx + f2丄dx3 X 2dX2 2(X +1)(x -1)dx-2ln|x+13+-lnX23+匕+|lnX-2+cX2X +12“(X2%(X2 +1)(x2 -1)、2(X2 +1)(x -1)1 )dx Jx2-1 x2+11173Jln4X1x+11 -arctan x +C 2二、三角函數(shù)有理式的積分由三角函數(shù)及常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算而得到的式子叫做三角函數(shù)有理式.例如1 +sin x,等均是三角函數(shù)有理式.因?yàn)楦鞣N三角函數(shù)都可cosx(1+tan X)sinx+tanx 5+4sin x用sinx和cosx的有理式表示，所以一般用記號(hào)R(sin x,cosx)表示三角函數(shù)有理式對(duì)于一般的三角函數(shù)有理式的不定積分，可用萬能代換xtan2化為有理函數(shù)的積分，即令X2t 七巧，則 x=2arctant , d-dt，sinx_ 2t1 +t21 -t2壬曰cosx =2，于疋1 +t2fR(sin x,cos x)dx = fR(,)、1+t2 1+t2 1+t27dt ,從而上式成為右端是t的有理函數(shù)的積分.