第05章05節(jié)定積分的幾何應(yīng)用舉例

1、第5節(jié) 定積分的幾何應(yīng)用舉例(考點(diǎn))定積分的應(yīng)用就是要用定積分計(jì)算某個(gè)量A :bA = f f(x)dx"a可見(jiàn)，量A分布在區(qū)間a,b上。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，要求我們把a(bǔ),b和f(x)找出來(lái)。Vx引a,b，考慮xA(x) = f f (t)dtaA(x)是A在a,x上的分布。讓x有增量Ax使X +Ax可a,b。AA = dA + Odx) = f (x)dx + Q(dx)也A是A在x,x +ix(或ix + ix,x)上的分布。因此，用積分計(jì)算量A的步驟如下:(1)找到A的分布區(qū)間a,b；3(2)Vx,x +dxqa,b，把 A在 Ix,x + dx(或x + dx,x)上的分布量AA計(jì)

2、算成如下式子bA= f (x)dx +0(dx)即 dA = f (x)dx(3)算出定積分bA = fa f (x)dx以上步驟稱為定積分應(yīng)用的微元法。離散數(shù)學(xué)5 解、5.1平面圖形的面積5.1.1 .直角坐標(biāo)系中連續(xù)曲線y = f(X), y =g(x),x =a, X = b所圍圖形的面積A。A分布在a,b區(qū)間上；/x,x + dx忘a,b，在區(qū)間x,x + dx部分的面積 從=1 f(X)-g(x)| dx + 0(dx);所以bA = f(X)g(x) dxa當(dāng) f(x) >0,g(x)三0 時(shí)bA = f f(x)dxa【例5.1】求由曲線y=ex，y=e-x以及直線x= 1

3、圍成的圖形面積.解、面積A分布在0 ,區(qū)間上；Vx, X + d灼0 ,在區(qū)間X, X + dx部分的面積 M-e)dx+i!(dx)；所以1 1A = L® -e)dx = px + e=e + e一2如果用X作自變量，面積A分布在0,4區(qū)間上；第1章集 合Px,x +dx可0,1,當(dāng)0 V X c1時(shí)，在區(qū)間X, x+ d部分的面積 M=2/Xdx40( dx；當(dāng)1<x<4時(shí)，在區(qū)間x,x + dx部分的面積 AA=(£-x+2)dx +0(dx)。表達(dá)式不一致，要用x = 1把圖形割成兩塊計(jì)算。1961 L4 3144 L2 ? 1 2 tA, = 2 J

4、xdx = |§ X2 I =亍 A = T (VX 一X + 2 )dx = |§X2 一2 X +2x4199A = A1 + A2 = + =362解2、如果用y作自變量，面積A分布在-1, 2區(qū)間上。Py, y + dy耳，2， 在區(qū)間y ,yd咅y分的面積231,81191 ：= 2 + 4 + 2 ：= 3 232AA 右 y2 + 2 )y 3d( X。所帥 x2 21 2 1A=L(y + 2 y 刖=護(hù)訕-gy(從此例要學(xué)會(huì)：(1)當(dāng)邊界表達(dá)式不一致時(shí)，要作適當(dāng)分割;(2)自變量選得好可使計(jì)算簡(jiǎn)單。)2 2【例5.3】 求橢圓篤+ j 1所圍成的圖形的面積

5、.a b解、由對(duì)稱性，A =4A，其中A為第一象限內(nèi)的部分的面積。A1分 布在0, a區(qū)間上；/x,x+dx忘0, a，在區(qū)間x,x + dx部分的面積 華=b J -務(wù)dx +0(dx)。所以aX' a 亠nt 縣2t + COS2t11|2 兀A = f bj1-= dx = 2abcos2tdt =ab2dt=ab|t+ sin2ti =ab9 V a2'0'02b 4J04A = 4Ai =兀 ab(這個(gè)結(jié)果與中學(xué)所學(xué)一致。我們這里是用定積分做出來(lái)的，而中 學(xué)是沒(méi)有證明的估計(jì)。)7離散數(shù)學(xué)5.12極坐標(biāo)系中 5.121.極坐標(biāo)在平面中取定一條有長(zhǎng)度單位的射線 0

6、P,稱為極坐標(biāo)軸。給了平面上一點(diǎn)M，我們有數(shù)組（日，P），其中P = 0M >0,日是 0M與0P的夾角。但，P）是由M點(diǎn)確定的。反過(guò)來(lái)，如果給了數(shù) 組（日，P），按上面規(guī)則，（日，P）確定了一點(diǎn)M。因此，（日，卩）可以用 作M點(diǎn)的坐標(biāo)，稱為M點(diǎn)的極坐標(biāo)。把直角坐標(biāo)平面的0x作極坐標(biāo)軸，則極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系如下lx= P cos9y = P si n05.1.2.極坐標(biāo)系中的面積計(jì)算求曲線P（£）,T =%日cP）所圍圖形的面積A。用日作自變量，面積A分布在a,P區(qū)間上；V日,e+d朕a,P，在 區(qū)間8p+d可部分的面積 M=1P）2+O（）。所以21（少所圍圖形的面 =）

7、有時(shí)候用極坐標(biāo)計(jì)算面積比較簡(jiǎn)單。9第1章集 合【例5.4】計(jì)算阿基米德螺線:r = aq ( a > 0 ) 從 0? 2p 的解軍、P(0) =a9(0 <0 <)。1 2 兀21 2 3A= f (a日)2d0 = a2 日320 62兀0Vx,x +dxa,b,在區(qū)間段弧與極軸所圍成的圖形的面積.43 2=兀a35.1.3.由曲線的直角坐標(biāo)方程F(x, y)=0寫(xiě)極坐標(biāo)系方程P=Pe)X = P c o0s(1 )把代入等式F (X, y) = 0得等式y(tǒng) = Ps i 日nF ( P c 0日 s P,商;n(2)由等式 F(PCOS0,Psin 0)=0解出 P =

8、 P(0)。x ,x d的部分的體積也Vx =兀f(x)2dx+0(dx)(半徑為f (x)高為dx的圓柱體)；所以b2Vx =兀f (x)2dx"a(轉(zhuǎn)軸與積分變量一致。)(2) Vy分布在a, b區(qū)間；Vx,x+dx a,b,在區(qū)間x,x + dx的部分的體積 Zy =2兀xf (x)dx +0(dx)(空心圓柱殼：底是周長(zhǎng)2兀X寬dx高f(X);所以離散數(shù)學(xué)bVy =2兀 Ja xf （x）dx（轉(zhuǎn)軸與積分變量不一致。）9（這里所講與P245有什么不一樣？）yi第1章集 合【例5.5】 計(jì)算由擺線x= a(t- sint)，y = a(1- cost)的一拱及x軸所圍成的圖形(

9、圖2a5.4)分別繞x軸，y軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積.圖5.4解、2 TP2Vx " 0y(x) dxXza(t_sint)2 兀2= 兀(a(1 cost)a(1 cost)dt32兀3"a3 (1-cost)3dt32 江23"a3 (1-3cost+3cos2tcos3t)dt2pax"a32兀 +3Q1 + cos2t dt- r(1-sin2t)dsintI 020丿3 sc L -23=兀&(2兀+ 3江)=5兀a2用xT(tint)2 兀Vy =2兀 t xy(x)dx =2兀a(t-sint)a(1-cost)a(1 cost)dt3

10、 2兀22=2兀a3 L (t -2tcost +tcos21 - sin t + sin 2t - sint cos21 )dtJ0 3 costdt = J0 汽td sin t = Etsint 字一兀sin tdt = cost 字=0f tcos2tdt = tdt = It2+f - td sin2t0b 24 i U=兀2 +丄 Etsin 2tf 兀 si n2tdt "2Icos2t F =兀2404 080廠-|2兀2 兀2/兀 213 1f sintcostdt = -f cos td cost = |一cos t 1=0'0'0nJ02；l02

11、兀#第1章集 合2ayza(1-cost)Vy1 =兀 J0 X1(y)2dy =兀0a (-s in t)2asi ntdt=兀a3 r(t2sint -2tsin2t +sin3t)dt2a-y.三(1_cost)兀 22Vy2= J X2(y)2dy= 兀 J a2(t sint)2asintdt"0"2 J!3 兀 223=a f (t sin t -2ts in t+sin t pt2；!32 兀 223Vy=Vy2-Vyi= -兀 af0(tsi nt-2tsi nt+sin t)dt2兀t2si ntdt=-t2 cost 1 兀 + 2 L 兀t costd

12、t = 4兀2 + Et sin t + cost 0兀=Y兀2f'tsi n2tdt0"si n3tdt-01 2兀11I2 兀=一t(1 -cost)dt = it2 -tsin t - cost二兀22牯2 b丄2兀213嚴(yán)=f (1-cos t)d cost = |cos tcost =0p3J0的圓，圓心與一定直線l的距離為3 x ,3Vy = Jia)dt = -兀 a3 (一6兀2) = 6江3a3【例5.6】設(shè)有一半徑為a2 兀 223【0 (t sintztsin sin tb ( b> a )求此圓繞直線I旋轉(zhuǎn)而成的圓環(huán)體的體積.解、以I為x軸正半y

13、軸過(guò)圓心建立直角坐標(biāo)系。大半圓方程2aj rdVxf_a (b + Ja2 -x2 ) dx = 2兀 fo (b2 +a2 x2 + 2bja2 x2 )dxaa 222Vxm =兀/(b-Va -x ) dx =2花 J。(b +a -x -2bva - x )dxa X 三 si nt匹Vx =Vx大一Vx/J、= 8叫 Ja2 -x2dx = 8；ia2bcos2tdt兀2 專21 "P=4兀a b f2(1 +cos2t )dt =4兀 a b |t + sin 2t =2兀 a bo 'NI 21【例5.7】 求由曲線8y= 12x- x3，y軸和曲線在它極大值點(diǎn)

14、x = 2處切線y = 2所圍成的平面圖形，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.y»解1、用y作自變量。Vy分布在區(qū)間0,2上。22廠2 2 12 3x28Vy".0x(y)dy =兀 Jox 8dx =-兀y*解2、用x作自變量。Vy分布在區(qū)間0,2上。282 12 -3x28Vy =2UXy(X)dx = 2 叫 X-dX 蔦兀5.1.2平行截面面積可計(jì)算的幾何體的體積設(shè)幾何體 0在x軸上的投影區(qū)間a,b。Vx,x + dx5a,b，用 垂直于x軸且過(guò)x點(diǎn)的平面截O所得截面Dx的面積A(x)可計(jì)算。則C在x,x+dx上分布的體積A = A(xO(dx)。所以b7q= L

15、 A(x)dx【例5.8】一平面經(jīng)過(guò)半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角a (如圖5.7)，計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積.解1、用x作自變量。V分布在區(qū)間-R,R上。VX引-R, R，用垂 直于x軸且過(guò)x點(diǎn)的平面截V所得截面的面積A( xjj 2R-txa，所以21 R 2231323V = ta na f (R-x )dx = R tan aR tana = R tana2 g丿33解2、用y作自變量。V分布在區(qū)間0, R上。Py0, R，用垂直 于y軸且過(guò)y點(diǎn)的平面截V所得截面的面積A(y) =2Jr2 y2ytanot，所以V = 2tan a ( Jr2 - y2 y )dy

16、 = tana Jr2 - y2dy212圖 5.7b圖 5.7a45.3平面曲線的弧長(zhǎng) 531在直角坐標(biāo)系中設(shè)曲線段的方程為y = f (x)(a <x <b)?；￠L(zhǎng)s分布在a,b上。 Vx,x +dx引a,b，由于弧長(zhǎng)微分ds= J1 +(x)2dx，所以s在區(qū)間 x,x+dx上的分布 As= J1+ f'(x)2dx +C(dx)。因此S = J1 + f Yx)2 X【例5.9】求懸鏈線y =2從 X = 0 至U X = a ( a > 0 )那一段的弧長(zhǎng).X I_xe +eX_xf(x,f(xe布 在 0, a 上 。2e2x +宀2(ex+e)4,1 +

17、 f(X)2 二。所以a_ae -e-2X 丄 -XX-X,ae +ee -es =dx =02 25.3.2曲線用參數(shù)方程表示設(shè)曲線段的參數(shù)方程為J X ；匕蘭t < P)。弧長(zhǎng)s分布在lya(t)a,P 上。 Vt, +t壬dft , 由于弧長(zhǎng)微分 ds = Jdx2 + dy2 = Jg)2 +屮'(tdt，所以 s在區(qū)間t,t +dt上的分布 也s = J申(t)2 +屮(t)2dt +弓(dt)。因此度.【例5.10】(0 #t 2p )(t)2 +屮(t)2dts =求擺線 X = a(t- si nt),y = a(1 - cost)的一拱的長(zhǎng)0,2 叼cp(t=)

18、-a(t致 一 (y =。 a第1章集 合17所以2兀 2廠2兀 s = a L J(1-cost) +sin tdt =a 匚 J2 2costdt2兀 /l -cost2兀=2aJdt=2af sin'0 U 2'05.3.3曲線用極坐標(biāo)方程表示Edt = -4acos丄2 22兀=8a0P= P(&)(a <0 < P) o)0(代tOp)s設(shè)曲線段的極坐標(biāo)方程為| = P(日方程是q (y = P(日)sin 9/P ( 2 劃 屮 #= 0)2 +0(因此)2S Jjp(0)2 + Pe)2d0a "心臟線r = a(1 + cosq)的

19、全長(zhǎng).p(所以【例5.11】則曲線的參數(shù)£= -c Pao© 2 + )0,2兀 上 。=2(+ fa2 ) 0 0 S P i0n2；!s = a L 7F2ostdt = 2a 匚2 兀(1 + cost V 22兀dt = 2a Jo cos2 dt 二 2a J。cos? dt - 2叫 cos? dt = 8a習(xí)題講解P249 A 類2.求由下列各曲線所圍成圖形的面積:(1)x = acos3t,y = a sin 31解、22 兀3 2；!：+屮'(t)2dt =3aL |sintcost|dt =-aJ0 |sin2t|dt®(t) =aco

20、s3t，屮(t) =as in31,® (t) =3a cos2 tsi nt,屮'(t) =3as in 2t cost ，護(hù)'(t)2 + 屮(t)2=9a2sin2tcos2t。A = f耳r=6asin 2tdt = -3a cos2t 辛=6a(注意到sin2t的周期性。)3.求下列各曲線所圍成圖形的公共部分的面積:(1) r = 3cos q 與 r = 1+ cosq(2) r = 72 sin q 與 r2 = cos2qI P = 3cos 日-TT解、(1)先畫(huà)草圖(看黑板)。彳解得£=。根據(jù)對(duì)稱:p=1 + cos 日3性，f 牛212

21、)A = 2 I 3 (1 +cos£ ) d8 + 后一 (3cos日)d日 C0 23 2丿兀 ，專 1 +cos29 c 嚴(yán)9r兀 兀 1=一 + f3d0 +2 f3cosd日 +兀 + kin 2甘 12 = +一'3'02044i 3 6 4兀 兀 r 3 r 5=一 +一 +寸3+_兀一寸3=兀3644(2)先畫(huà)草圖(看黑板)。! ：2二妊叮解得日鼻。根據(jù)對(duì)稱性, IP2=cos2 日6=譏1 +cos28 +2COS日)d£ +爲(wèi) 1 + cos2日 d£32+ 二 si n29；3 +2s in- + -n40349 .一一 SI

22、I4f 爭(zhēng) 121 2)A = 2F6-(72si nQ ) d0 + J務(wù)(Jcos2Q ) de J = 2si n20d9 r#1 +cos20 d日 +丄 bin 2日耳丄 +1 sin 2雋+ 時(shí) cos28d&6211 .兀 sin -2232?1240211.求曲線rq =1自q =號(hào)至q= 4的一段弧長(zhǎng).43解、1曲線-e徑蘭日蘭纟】。141 2 2 宀r ,p2 + p 021+924 0日4de =du153 vdt-dt4 tt2dt22vdv =2 ； v2 -152?v 21 十1dv= f53dv4 V2 -1V-1v + 1 丿dv+1ln12 25I3v

23、 +15r_4-1 n4+ln 9 = + In 3-1 n2 12 2' 12離散數(shù)學(xué),xWidx610 .將曲線y = 繞X軸旋轉(zhuǎn)得一旋轉(zhuǎn)體，它在點(diǎn)x= 0與1+ x25.設(shè)f(x)= 6(1-|t|)dt (x? 1),試求曲線y = f(x)與Ox軸所圍成圖形的面積.解、當(dāng)1 <x<0時(shí),f(x) = (1 +t)dt = y tt2! =-x2 txt11 口 + 腸)口+3)1+731 口 + ) 口+ 巧)1 + /3=一+ + := + 匕E 222當(dāng)X > 0時(shí), fg-A+tMt +(1_t)dt Jt+t2 + 卜斗2、*2 所以11!x2+x+

24、 ,-1<x<022.121cX 一X + , X >0I 22解卜十2X >0014V30121 )1碩 f1A=JJ(x)dx+J0f(x)dxH?x+x+1Jdx+J。lx-?x兀11(x>0)之間的體積記作V(x)，問(wèn)a等于何值時(shí)，能使1V (a) = 1 lim V (x) ?2 x? ?£d V(©)"J0：X(1+x2)2dx；-也dt = -22 0 f1+tf 21+t0(1+t)2兀f=-1-2第1章集 合-1巴=一，解得 a = 1 01+a2 丿 4V = P QX2dy = p Q x2d桫篤 X 妄 p2Q

25、X2?12- 3x2 dx =8HmV(©)=Hm -1"氣f令V(a)即;M-(0,1】上分布的體積與1,邑)上分布的體積相等。)體體積.7題圖19習(xí)題5-51.求由下列各曲線所圍圖形的面積:1(1) y= - ,y=x,x=2*(2) y = x2 , y = xxx2 + y2 = 8(兩部分都要計(jì)算).,y = 2x3)y=*x2 與2. 求由下列各曲線所圍成圖形的面積：(1)x = acos3t,y = a sin 31(2)(3) r = 2a cosq, q= 0, q= P63. 求下列各曲線所圍成圖形的公共部分的面積:r = 2a(2 + cosq) r

26、= 72 sin q 與 r2 = cos2 q*(1) r = 3cos q 與 r = 1+ cosq4求擺線； = ：的第一拱與x軸所圍的面積.(a>0)5.由y = x3 , x = 2 ,y = 0所圍成的圖形，分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)，計(jì)算所得兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積.*6 .計(jì)算底面是半徑為R的圓，而垂直于底面上一條固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立y7.立體的底是曲線y=x2, y= 8- x2所圍的平面圖形，垂直于x軸的離散數(shù)學(xué)平面與該立體的截面是以 AB(如圖)為直徑的半圓，求此立體的體積.&計(jì)算底面是半徑為R的圓，而垂直于底面上一條固定直徑的所 有截面都是等邊三角形的立體體積.*9 .過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=lnx的切線，該切線與曲線y=lnx及x軸平 面圖形D ,求D的面積A ；求D繞直線x = e