拋物線專題復習講義及練習

1、拋物線專題復習講義及練習知識梳理1.拋物線的標準方程、類型及其幾何性質(zhì)（p .0）:標準方程y2 =2 px2y =-2px2X =2py2X =_2py圖形lVyxyp xy1 xrAV,匸O*71K焦占八、八、F（#，0）F（-號，0）F（0申f（o，£準線x22y2范圍x：0, y WrxM0, yRx R,y MOxUR, y Mb對稱軸x軸y軸頂點(0, 0)離心率e = 12.拋物線的焦半徑、焦點弦 y2=2px（pH0）的焦半徑 pf = x+衛(wèi)；x2 =2py（p 式0）的焦半徑 pf| = y+E ； 2 2 過焦點的所有弦中最短的弦，也被稱做通徑.其長度為2p.2

2、 AB 為拋物線 y2=2px 的焦點弦，貝y XAXB 二，yAyB = - p2， | AB | = XA XB p4 重難點突破重點：掌握拋物線的定義和標準方程，會運用定義和會求拋物線的標準方程，能通過方程研 究拋物線的幾何性質(zhì)難點：與焦點有關的計算與論證重難點：圍繞焦半徑、焦點弦，運用數(shù)形結(jié)合和代數(shù)方法研究拋物線的性質(zhì)1. 要有用定義的意識問題11:拋物線y=4 x2上的一點M到焦點的距離為1,則點M的縱坐標是（）17157A.B.C.D. 016168點撥：拋物線的標準方程為x21y，準線方程為y1,由定義知，點M到準線的距離416為1,所以點M的縱坐標是162. 求標準方程要注意焦

3、點位置和開口方向問題2:頂點在原點、焦點在坐標軸上且經(jīng)過點（3，2）的拋物線的條數(shù)有 點撥：拋物線的類型一共有4種，經(jīng)過第一象限的拋物線有 2種，故滿足條件的拋物線有 2條3. 研究幾何性質(zhì)，要具備數(shù)形結(jié)合思想，“兩條腿走路”問題3:證明：以拋物線焦點弦為直徑的圓與拋物線的準線相切點撥：設AB為拋物線的焦點弦，F(xiàn)為拋物線的焦點，點A'、B '分別是點A、B在準線上的射影，弦AB的中點為 M則AB =AF BF =AA'BB'，點M到準線的距離為1 1（AA' BB'） AB，.以拋物線焦點弦為直徑的圓總與拋物線的準線相切2 2熱點考點題型探析考點

4、1拋物線的定義題型 利用定義，實現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離之間的轉(zhuǎn)換例1 已知點P在拋物線y2 = 4x上，那么點P到點Q（2，- 1）的距離與點P到拋物線焦 點距離之和的最小值為 【解題思路】將點 P到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點 P到準線的距離解析過點P作準線的垂線l交準線于點R,由拋物線的定義知， PQ - PF = PQ - PR, 當P點為拋物線與垂線l的交點時，PQ PR取得最小值，最小值為點 Q到準線的距離， 因準線方程為x=-1,故最小值為3【名師指引】 靈活利用拋物線的定義， 就是實現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離之間的轉(zhuǎn)換，一般來說，用定義問題都與焦半徑問題相關

5、【新題導練】1. 已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點為F，點P（xn yj,巳&2,曲,區(qū)，丫3）在拋物線上，且|RF|、|P2F|、|RF |成等差數(shù)列，則有（）A %X2= X3b . y % 二 y3C %X3=2x2d. 力y3= 2y?解析C 由拋物線定義，2（ x2衛(wèi)）=（禺衛(wèi)廠（x3衛(wèi)），即：x-i x = 2x2 .2 2 22. 已知點A（3,4）, F是拋物線y2=8x的焦點,M是拋物線上的動點，當MA+|MF最小時，M點坐標是（）A. （0, 0） B. （3, 2、. 6） C. （2, 4） D. （3, -2、6）解析設M到準線的距離為 MK ,則

6、|MA|+MF |=|MA|+|MK ,當MA+|MK最小時,M點坐標是(2, 4)，選C考點2拋物線的標準方程題型：求拋物線的標準方程例2 求滿足下列條件的拋物線的標準方程，并求對應拋物線的準線方程：(1)過點(-3,2)(2)焦點在直線x2y4=0上【解題思路】以方程的觀點看待問題，并注意開口方向的討論解析(1)設所求的拋物線的方程為y2 - -2px或x2=2py(p 0),過點(-3,2) 4 - -2p(-3)或9=2p 22十9p 或p =3 4拋物線方程為y - - 4x或x =9y,3219前者的準線方程是x ,后者的準線方程為y = -38(2) 令 x = 0 得 y =

7、-2，令 y = 0 得 x = 4 ,拋物線的焦點為(4,0)或(0,-2),當焦點為(4,0)時，衛(wèi)=4,2 p=8，此時拋物線方程 y2=16x；焦點為(0,-2)時衛(wèi)=22 p = 4，此時拋物線方程 x2 - -8y.所求拋物線方程為 y2 =16x或x2二-8y ,對應的準線方程分別是 x = -4, y =2.【名師指引】對開口方向要特別小心，考慮問題要全面【新題導練】、2x223. 若拋物線y =2px的焦點與雙曲線y =1的右焦點重合，則p的值3解析R=“31= p=424. 對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件：焦點在y軸上；焦點在x軸上； 拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距

8、離等于 6； 拋物線的通徑的長為 5;由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標為(2, 1)能使這拋物線方程為 y2=10x的條件是.(要求填寫合適條件的序號)解析用排除法，由拋物線方程 y2=iox可排除，從而滿足條件.5. 若拋物線的頂點在原點，開口向上，F(xiàn)為焦點，M為準線與Y軸的交點，A為拋物線上一點,且| AM.17,| AF |=3，求此拋物線的方程解析設點A'是點A在準線上的射影，則| AA'|= 3，由勾股定理知| MA'卜2 2，點A的橫坐標為（2.2,3-#），代入方程x2=2py得P =2或4,拋物線的方程x2 = 4y或x2=8y考點3拋物線的幾何

9、性質(zhì)題型：有關焦半徑和焦點弦的計算與論證2例3 設A B為拋物線y =2px上的點，且.AOB二90 （O為原點）,則直線AB必過的定 點坐標為.【解題思路】由特殊入手，先探求定點位置y = kx2 P 2 P解析設直線 OA方程為y =kx,由。解出A點坐標為（馬,空）2=2pxk k2k(x 2pk )1 -k21y = _ 一 x2k 解出B點坐標為(2pk ,-2pk)，直線AB方程為y + 2pk = y2 =2pxy =0得x = 2p，直線AB必過的定點（2 p, 0）【名師指引】（1）由于是填空題，可取兩特殊直線AB,求交點即可；（2） B點坐標可由A1點坐標用換k而得。k【新

10、題導練】6. 若直線ax - y 1 = 0經(jīng)過拋物線y2 = 4x的焦點，則實數(shù)a =解析-17. 過拋物線焦點F的直線與拋物線交于兩點 A、B,若A B在拋物線準線上的射影為A1, B1,貝V A1FB1 二（）A. 45 B.60 C. 90 D. 120解析C基礎鞏固訓練1. 過拋物線y2 =4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于2a 2a 4（ R），則這樣的直線（）A.有且僅有一條 B.有且僅有兩條C.1 條或2條 D. 不存在解析C | AB |=xA，xB - p=a2 2ah5 = (an1)2n4_4，而通徑的長為 4.2. 在平面直角坐標系 x

11、Oy中，若拋物線x2 =4y上的點P到該拋物線焦點的距離為5,則點P的縱坐標為()A. 3B. 4C. 5D. 6解析B 利用拋物線的定義，點P到準線y = -1的距離為5,故點P的縱坐標為4.92丿5，且a . b,則拋物線y2=(ba)x3. 兩個正數(shù)a、b的等差中項是9，一個等比中項是2的焦點坐標為()iD .(一4，°)1 1 1A. U B . (0，4)C . (一2，0)解析D. a =5,b =4,b - a = -14.如果R , P2，F(xiàn)8是拋物線y2=4x上的點，它們的橫坐標依次為 為,X2，,x8, F是拋物線的焦點，若 X1,X2,，Xn(N )成等差數(shù)列且

12、M *2 ，xg=45，則|P5F|=().A. 5B. 6C.7D. 9解析B根據(jù)拋物線的定義，可知RF=X + P =Xj +1( 1=1 ,2, n),2；X1,X2,，Xn( nN )成等差數(shù)列且X1X2X9=45,xs=5, I P5F1=625、拋物線y =4x的焦點為F,準線為I ,1與x軸相交于點E,過F且傾斜角等于60°的 直線與拋物線在 x軸上方的部分相交于點 A, AB! I，垂足為B則四邊形ABEF的面積等于()A. 3,3 B . 4.3c. 6.3 D . 8 3解析C.過A作x軸的垂線交x軸于點H,設A(m, n)，則AF =AB 二 m 1, FH =

13、 OH -OF 二 m -1 , . m 1 = 2(m-1) m = 3, n = 2 3四邊形 ABEF的面積=1 2(3 1)2、3 二 6 326、設O是坐標原點，F(xiàn)是拋物線y2 =4x的焦點，A是拋物線上的一點，F(xiàn)A與X軸正向 的夾角為60，則OA為.解析.21 .過A作AD _ x軸于D,令FD = m，則FA = 2m即2 m = 2m，解得m = 2 .A(3,2.3) OA32 (2、3)2 二.21綜合提高訓練7. 在拋物線y =4x2上求一點，使該點到直線y=4x_5的距離為最短，求該點的坐標解析解法1:設拋物線上的點 P(x,4x2)，點P到直線的距離d二2|4x -

14、4x 51、171 2 ax-?)4|I?肩 _ 1711當且僅當x時取等號，故所求的點為(一,1)22解法2:當平行于直線 y =4x 一5且與拋物線相切的直線與拋物線的公共點為所求，設該直線方程為y =4x b，代入拋物線方程得 4x2 - 4x - b = 0，11由厶=1616b=0得b=1,x，故所求的點為(一，2229.設拋物線y =2px ( p 0)的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于 A B兩點點C在拋物線的準線上，且 BC/ X軸證明直線 AC經(jīng)過原點O證明：因為拋物線y2 =2px ( p 0)的焦點為F衛(wèi),0 ，所以經(jīng)過點F的直線AB的方程 12丿可設為x =my衛(wèi)，代

15、人拋物線方程得 y2 - 2pmy - p2 = 0 .2若記A x,% , B x2, y2 ，貝U y1, y2是該方程的兩個根，所以 丫2 - - p2 因為BC/ X軸，且點C在準線x = -衛(wèi)上，所以點C的坐標為 衛(wèi)，y2 ,2I 2丿故直線co的斜率為k = y 2p=地_p * n2即k也是直線0A的斜率，所以直線 AC經(jīng)過原點O2 2=2px (p>0)的準線I上，拋物Q距離，求|MN|+|NQ|的最小值.10. 橢圓 篤 篤=1上有一點M( -4 , 9 )在拋物線y2 a2 b25線的焦點也是橢圓焦點(1)求橢圓方程;(2)若點N在拋物線上，過 N作準線I的垂線，垂足

16、為y22 2解：(1 ) - y 1上的點M在拋物線a2b2(p>0)的準線l上，拋物線的焦點也是橢圓焦點 c=-4 , p=89/ M (-4 ,9 )在橢圓上516 81 2a 25ba2 二 b2 c2由解得：a=5、b=32 2橢圓為y 1259由p=8得拋物線為y2 =16x設橢圓焦點為F(4, 0), 由橢圓定義得|NQ|=|NF| |MN|+|NQ| > |MN|+|NF|=|MF|29241( -4)2 ( -0)2，即為所求的最小值55參考例題:1、已知拋物線 C的一個焦點為F(2，0)，對應于這個焦點的準線方程為x=-2(1)寫出拋物線C的方程;(2)過F點的直

17、線與曲線C交于A B兩點，0點為坐標原點，求 AOE重心G的軌跡方程;(4分)解: (1 )拋物線方程為：y2=2x.當直線不垂直于x軸時，設方程為y=k(x-；)，代入y2=2x，.2得：k2x2-( k2+2)x+-0.4k2 +22設 A(X1,y1),B(X2,y2),貝UX1+X2=,y1+y2=k( X1+X2-1)= -k2k_0 X1 X2 _k2 2x廠33k2設厶AOB勺重心為G( X, y)貝90 y, y22,y =33k(6分)消去k得y2= 3x _2為所求,(8 分)當直線垂直于x軸時，A （丄，1），B （丄，-1 ），2 2 AOB勺重心G（ 1，0 ）也滿足

18、上述方程.3綜合得，所求的軌跡方程為y2兮捂,(9分)1.2.拋物線專題練習、選擇題（本大題共 10小題，每小題5分，共50 分）如果拋物線y 2=ax的準線是直線x=-1，那么它的焦點坐標為A. (1,0 )B. (2, 0 )C. (3, 0 )D. (- 1,0 )圓心在拋物線 y 2=2x上，且與x軸和該拋物線的準線都相切的一個圓的方程是A. x2+ y 2-x-2 y - 1=042 2B. x + y +x-2 y +1=02 2C. x + y -x-2 y +1=02 2 1D. x + y - x-2 y +=043.拋物線y = x2上一點到直線2x - y - 4 = 0

19、的距離最短的點的坐標是4.1 1A. （1，1） B.（丄，丄）2 4一拋物線形拱橋，當水面離橋頂c P 9、C . （一，） D. （2，4）2 42m時，水面寬4m,若水面下降1m,則水面寬為5.6.A.6 m B. 2 ,6m C. 4.5m D. 9m平面內(nèi)過點 A （-2 , 0）,且與直線x=2相切的動圓圓心的軌跡方程是2 2 2A.y = 2x B . y = 4x C. y = 8xD.y 2=- 16x拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上點（-5, m到焦點距離是6,則拋物線的方程是7.八2ca.y =-2 x2 2B. y =-4x C . y=2xD. y 2=-4

20、x 或 y 2=-36x過拋物線y 2=4x的焦點作直線，交拋物線于A(xi,y 1) , B(X2, y 2)兩點，如果 x計 X2=6,那么|AB|=A. 8B. 10C. 6 D . 4&把與拋物線y2=4x關于原點對稱的曲線按向量a二（2, -3）平移，所得的曲線的方程是（）-4(x 2)A. (y-3)2 - -4(x-2) B. (y-3)2c. (y 3)2 二4(x 一2) D. (y 3)2 二4(x 2)9. 過點M(2, 4)作與拋物線y 2=8x只有一個公共點的直線l有()A. 0條B. 1條C. 2條D. 3條210. 過拋物線y=ax(a>0)的焦點F

21、作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分1 1別是p、q，則丄丄等于()p q14A. 2aB.C. 4a D .2aa二、填空題11. 拋物線y2=4x的弦AB垂直于x軸，若AB的長為4 .、3 ,則焦點到AB的距離為 12. 拋物線y =2 x2的一組斜率為k的平行弦的中點的軌跡方程是 .13. P是拋物線y2=4x上一動點，以P為圓心，作與拋物線準線相切的圓，則這個圓一定經(jīng)過一個定點 Q, 點 Q的坐標是 .2 214 .拋物線的焦點為橢圓 x y 1的左焦點，頂點在橢圓 中心，則拋物線方程94為.選擇題(本大題共 10小題，每小題5分，共50 分)題號12345678910

22、答案ADABCBACCC二. 填空題(本大題共 4小題，每小題6分，共24分)k11. 212. x =13. (1, 0)14. y2 = -4 5x4三、解答題15. 已知動圓 M與直線y =2相切，且與定圓 C: x2 (y 3)1外切，求動圓圓心 M的軌 跡方程.解析:設動圓圓心為 M( x, y),半徑為r，則由題意可得 M到C (0, -3 )的距離與到直 線y=3的距離相等，由拋物線的定義可知：動圓圓心的軌跡是以C (0, -3 )為焦點，以y=3為準線的一條拋物線，其方程為x2 = -12y .16. 已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點 M ( 3, m)到焦點

23、的距離等于5,求拋物線的方程和 m的值.（12分）解析:設拋物線方程為x2py（p>0），則焦點F （-和），由題意可得2 小m =6pt，解之得嚴=2丁6或p =4m = -2 6p =4故所求的拋物線方程為 X2 - _8y，m的值為_ 2 62 117動直線y = a，與拋物線y X相交于A點，動點B的坐標是（0,3a），求線段AB中2點M的軌跡的方程.（12分）解析:設M的坐標為（x, y）, A （ 2a2, a），又B（0,3a）得丿y = 2a2消去a,得軌跡方程為x二止，即y2 = 4x419.如圖，直線l 1和l 2相交于點丨1丄12 ,點N I1.以A、B為端點的曲線段 C上的任一 點到丨2的距離與到點 N的距離相等.若 AMN為銳角三角形，|AM|= 1 , |AN|=3 ,且 |BN|=6 .建立適當?shù)淖鴺讼?，求曲線段C的方程.（14分）解析:如圖建立坐標系，以 11為x軸，MN的垂直平分線為 y軸，點O為坐標原點.由題意可知：曲線C是以點N為焦點，以丨2為準線的拋物線的一段，其中A、B分別為C的端點.設曲線段C的方程為y2 =2px(p 0), (xA乞x乞xg , y 0),其中Xa,Xb分別為A、B的橫坐標，P =MN所以，M (-卩,0)