特殊平行四邊形：證明題

1、基礎(chǔ)篇特殊平行四邊形之證明題題型一：菱形的證明1、如圖，在三角形ABC中，AB > 折，使點(diǎn)A落在邊BC上，記為A .A.C.AC， D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)， ADE沿線段DE翻 若四邊形ADAE是菱形，則下列說(shuō)法正確的是()AA是BC邊上的中線AA是 ABC的角平分線DE是 ABC的中位線B.AA是BC邊上的高D.已知：如圖，在 YABCD中，AE是BC邊上的高，將 ABE沿BC方向平移，使點(diǎn)e與點(diǎn)C重2.合，得 GFC . (1)求證：BE DG ;(2)若 B 60°當(dāng)AB與BC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形 ABFG是菱形？證明你的結(jié)論.3、將平行四邊形紙片 ABCD

2、按如圖方式折疊，使點(diǎn)C與A重合，點(diǎn)D落到D'處, 折痕為EF .(1) 求證： ABE AD F(2) 連接CF,判斷四邊形 AECF是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論.4.如圖，CD .( 1)ABC中，AC的垂直平分線 MN交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)0，CE / AB交MN于E，連結(jié)AE、 求證：AD = CE;( 2)填空：四邊形 ADCE的形狀是5如圖，在 ABC中, ABAC D是BC的中點(diǎn)，連結(jié) AD在AD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn) E,連結(jié)BE CEABEC是菱形？并說(shuō)明理由.(1)求證： ABE ACE6如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC剪開(kāi)，再把 ACD沿CA方向平移得到 AC D .

3、(1) 證明 AAD CCB ;(2) 若 ACB 30°，試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)C在線段AC上的什么位置時(shí)，四邊形 ABC D 說(shuō)明理由.7在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O， AB 5, AC 6 .點(diǎn)BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求 BDE的周長(zhǎng)；是菱形，并請(qǐng)A A(2)點(diǎn)P為線段BC上的點(diǎn)，連接 PO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)Q 求證：BPQ ./ /DAC 交8如圖，在 ABC中，/ A(1 )點(diǎn)D是 ABC勺(2)求證：四邊形 dec為菱形.B 第19/ B的平分線交于點(diǎn) D DE AC交BC于點(diǎn)E, DF" BC交AC于點(diǎn)F. _心；9、如圖，已知：在四邊形ABFC中,ACB

4、=90 , BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,且CF=AE(1)試探究，四邊形BECF是什么特殊的四邊形； 當(dāng) A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形BECF是正方形？請(qǐng)回答并證明你的結(jié)論. (特別提醒：表示角最好用數(shù)字)10、如圖，矩形 ABCD中，0是AC與BD的交點(diǎn)，過(guò)0點(diǎn)的直線EF與AB, CD的延長(zhǎng)線分別 交于 E，F(xiàn) . (1)求證： BOEDOF ；(2)當(dāng)EF與AC滿足什么關(guān)系時(shí)，以 A, E，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？證明你的結(jié)論.C型二：正方形的證明題1、四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接 AE、CG.(1)求證：AE=CG;( 2)觀察圖形，猜想 AE與CG

5、之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想2、把正方形ABCD繞著點(diǎn)A，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到正方形 AEFG，邊FG與BC 交于點(diǎn)H (如圖)試問(wèn)線段HG與線段HB相等嗎？請(qǐng)先觀察猜想，然后再證明你的猜 想.(2)4、如圖12，B、C E是同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，四邊形ABCD與四邊形CEFG是都是正方形.連接BG DE. (1)觀察猜想BG與 DE之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(2)在圖中是否存在通過(guò)旋轉(zhuǎn)能夠互相重合的兩個(gè)三角形？若存在，請(qǐng)指出，并說(shuō)出旋轉(zhuǎn)過(guò)程；若不存在,E請(qǐng)說(shuō)明理由.5.如圖，四邊形 ABCD是正方形，點(diǎn)G是BC上任意一點(diǎn)，DE丄AG于點(diǎn)E，BF丄AG于點(diǎn)F.(1) 求證：DE BF =

6、 EF .(2) 當(dāng)點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn)時(shí)，試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.DE、BF、EF 之間(3) 若點(diǎn)G為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其余條件不變請(qǐng)你在圖中畫(huà)出圖形，寫(xiě)出此時(shí) 的數(shù)量關(guān)系(不需要證明).圖在正方形 ABCD中, G是CD上一點(diǎn)，延長(zhǎng) BC到7、已知：如圖，(1)求證： BCG DCE(2 )將 DCE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 °得到 DAE，判斷四邊形E,使CE= CG連接BG并延長(zhǎng)交DE于F.E' BGD是什么特殊四邊形？并說(shuō)明理由.9.如圖：已知在 垂足分別為E，(1)求證： ABC中，AB AC，D為BC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE丄AB, DF丄AC，

7、 F . BED 尢 CFD ;(2)若 A 90°求證：四邊形DFAE是正方形.題型五：矩形的證明題1.如圖，在 ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且 AF=BD，連結(jié) BF。求證：BD = CD;如果AB=AC，試判斷四邊形 AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論。(1)(2)2.如圖，在梯形 ABCD 中，AD / BC，AB / DE，AF / 四邊形AEFD是平行四邊形.(1) AD與BC有何等量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2) 當(dāng) ABDC，E、F兩點(diǎn)在邊BC上，且DC時(shí)，求證：Yabcd是矩形.3.如圖，四邊形 求證：(1)ZABC

8、D是矩形，卩阮和 QCD都是等邊三角形，且點(diǎn)PBA= / PCQ=30° ;( 2) PA=PQ.P在矩形上方，點(diǎn) Q在矩形內(nèi).試判斷AB與4.如圖， ABC 中，AB=AC，AD、AE 分別是/ BAC 和/ BAC 和 外角的平分線，be丄AE.( 1)求證：DA丄AE;( 2) DE是否相等？并證明你的結(jié)論.O乍直線MM BC設(shè)M交/ BC的角平分線于點(diǎn)E,交AEC是矩形？并證明你的結(jié)論.5、如圖，在 ABC中，點(diǎn)C是A(邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) / BCA勺外角平分線于點(diǎn)F.(1)求證：E(=FC ( 2)當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形6、如圖，在 ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是

9、AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BE的 延長(zhǎng)線于F，且AF DC，連接CF .(1)求證：D是BC的中點(diǎn)；(2)如果AB AC，試猜測(cè)四邊形 ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論.題型六：綜合證明題2.如圖所示，在 Rt ABC中，/ ABC 90 .將Rt ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 60得到 DEC，點(diǎn)E在AC上，再將Rt ABC沿著AB所在直線翻轉(zhuǎn)180得到 ABF.連接AD.(1) 求證：四邊形AFCD是菱形；(2) 連接BE并延長(zhǎng)交AD于G,連接CG,請(qǐng)問(wèn)：四邊形ABCG是什么特殊平行四邊形？為什么？3.如圖， ABC中，點(diǎn)0是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)0作直線MN / BC ,設(shè)MN交 BC

10、A的 平分線于點(diǎn)E，交 BCA的外角平分線于點(diǎn) F .(1) 探究：線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；(2) 當(dāng)點(diǎn)0在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形 BCFE會(huì)是菱形嗎？若是，請(qǐng)證明，若不是，則說(shuō)明理由；(3) 當(dāng)點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)到何處，且 ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形 AECF是正方形？5、如圖15,平行四邊形ABCD中，ABAC，AB 1，BC J5 .對(duì)角線 AC，BD 相交于點(diǎn)0，將直線AC繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BC, AD 于點(diǎn) E，F(xiàn) .(1)證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形;(2)(3)時(shí)AC繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù).試說(shuō)明在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段 AF與EC總保持相等

11、；在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形 BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果能，說(shuō)明理由并求出此D提咼篇選講四邊形證明經(jīng)典題1.在口 ABCD 中，AC、E、G、F、H 四點(diǎn)，試判斷四邊形當(dāng) EF丄GH時(shí)，四邊形EGFH的形狀是 在（2）的條件下，若 AC=BD，四邊形EGFH 在（3）的條件下，若 AC丄BD,邊于(1)(2)(3)(4)如圖, 如圖, 如圖, 如圖,BD交于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)0作直線EF、GH，分別交平行四邊形的四條 連結(jié) EG、GF、FH、HE.EGFH的形狀，并說(shuō)明理由；試判斷四邊形BHF C圖HBF C圖的形狀是;EGFH的形狀，并說(shuō)明理由.（第1題圖）2. 已知：如圖，在正方形

12、（1）求證：BE = DF;（2）連接AC交EF于點(diǎn)0延長(zhǎng)0C至點(diǎn)M使0M= 0A連接 是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論.ABC中，點(diǎn)E、F分別在BC和CD±,AE =AF.EM FM 判斷四邊形 AEMF3.如圖， ABM為直角，點(diǎn)C為線段BA的中點(diǎn)，點(diǎn)D是射線BM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合)，連結(jié)AD ,作BE AD ,垂足為E ,連結(jié)CE ,過(guò)點(diǎn)E作EF CE，交BD 于F .(2)(1)求證：BF FD ;A在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，四邊形ACFE是梯形，并說(shuō)明理由;A在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，線段1DE上存在點(diǎn)G，滿足條件DG - DA，并說(shuō)明理4由. 試探索四邊形EGFH的形狀，并說(shuō)

13、明理由. 當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形EGFH是菱形？并加以證明. 若 中的菱形EGFH是正方形，請(qǐng)?zhí)剿骶€段EF與線段BC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(第25題圖5.如圖所示，在 ABC中，分別以 AB AC BC為邊在BC的同側(cè)作等邊 ABD等邊 ACE等邊 BCF(1) 求證：四邊形 DAEFi平行四邊形；(2) 探究下列問(wèn)題：(只填滿足的條件，不需證明 ) 當(dāng)ABC滿足條件時(shí), 當(dāng)ABC滿足條件時(shí), 當(dāng)ABC滿足條件時(shí),存在.四邊形四邊形以DDAEF是矩形；DAEF是菱形；A E、F為頂點(diǎn)的四邊形不E(第29題圖)6.如圖，已知正方形 ABCD的對(duì)角線 AC、BD相交于點(diǎn) 丄EB于G, A

14、G交BD于點(diǎn)F,貝U 0E= OF,對(duì)上述命題，若點(diǎn) 丄EB，交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G , AG的延長(zhǎng)線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,其它條件不變，則結(jié) 論"0E= OF”還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，說(shuō)明理由。0, E是AC上一點(diǎn)，過(guò)A作AG E在AC的延長(zhǎng)線上，AG問(wèn)題一圖17、在四邊形AE FCABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且=BE BFGC = AH DG HD=k ( k > 0)，閱讀下列材料,然后回答下面的問(wèn)題:FC = GC BF DGAE = AHBE HD連結(jié)AC,則EF與GH是否一定平行，答：EFGH是平行四邊形;BD只需

15、滿足BD只需滿足如上圖，連結(jié)BD EH / BD , FG / BD 當(dāng)k值為時(shí), 在的情形下，對(duì)角線 在的情形下，對(duì)角線四邊形AC和AC和條件時(shí), 條件時(shí),EFGH為矩形;EFGH為菱形;G第2題圖ABCD的邊 AB、BC上的點(diǎn)，且 EF / AC，在 DA的延長(zhǎng)線上8.如圖，E、F分別是正方形取一點(diǎn)G,使AG = AD , EG與DF相交于點(diǎn) H。求證：AH = AD 。9、如圖，等腰梯形ABCD中，AB / CD ,對(duì)角線AC、P、Q分別是0D、OA、BC的中點(diǎn)。(1) 求證： PQS是等邊三角形；(2)若 AB = 8, CD = 6，求 S PQS 的值。(3)右 S PQS S AOD = 4 5，求 CD - AB 的值。第4題圖10.將一把三角尺放在邊長(zhǎng)為 1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn) P在對(duì)角線AC上滑 行，直角的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn) B，另一邊與射線 DC相交于點(diǎn)Q。探究：設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為x。(1) 當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與線段PB之間有怎樣的關(guān)系？試證明你觀察得 到的結(jié)論；(2) 當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，設(shè)四邊形PBCQ的面積為y ,求y