函數(shù)的單調(diào)性與極值82325

1、函數(shù)的單調(diào)性與極值函數(shù)的單調(diào)性與極值一、函數(shù)的單調(diào)性一、函數(shù)的單調(diào)性二、函數(shù)的極值二、函數(shù)的極值三、函數(shù)的最值三、函數(shù)的最值一、函數(shù)的單調(diào)性一、函數(shù)的單調(diào)性從幾何圖形上來分析從幾何圖形上來分析abxyo)(xfy ),(ba都是銳角，即斜率都是銳角，即斜率 0)(tanxf是上升的是上升的 。),(ba如果曲線如果曲線 在在 內(nèi)所有切線的傾斜角內(nèi)所有切線的傾斜角 時，那么曲線在時，那么曲線在可見，函數(shù)的單調(diào)性可以用導數(shù)的符號來判定。可見，函數(shù)的單調(diào)性可以用導數(shù)的符號來判定。aboyx同樣，當同樣，當 時，曲線在時，曲線在 內(nèi)是下降。內(nèi)是下降。 ),(ba0 )(tanxf我們有如下定理：我們有

2、如下定理：定理定理1 設函數(shù)設函數(shù) 在在 上連續(xù)，在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間),(ba)(xfy ba,內(nèi)可導，內(nèi)可導，（1）如果在）如果在 內(nèi)內(nèi) ，則，則 在在),(ba0)( xf)(xfba,上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；),(ba0)( xf)(xfba,上單調(diào)減少。上單調(diào)減少。（2）如果在）如果在 內(nèi)內(nèi) ，則，則 在在注意：注意： （1）將定理中的閉區(qū)間）將定理中的閉區(qū)間 換成其他各種區(qū)換成其他各種區(qū)間定理的結論仍成立。間定理的結論仍成立。ba,單調(diào)增加的充分條件，而不是必要條件。單調(diào)增加的充分條件，而不是必要條件。（2）在）在 內(nèi)，內(nèi)， 只是只是 在在 上上),(ba0)( xf)(xfba,

3、考察函數(shù)考察函數(shù) 3)(xxf，但等號只在個別處成立，但等號只在個別處成立，（3）如果在區(qū)間）如果在區(qū)間 內(nèi)內(nèi)ba,0)( xf（或（或0)( xf）仍是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的。仍是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的。則函數(shù)則函數(shù) 在在 上上)(xfba,考察函數(shù)考察函數(shù) 3)(xxf例例1 判定函數(shù)判定函數(shù) 的單調(diào)性。的單調(diào)性。xxxf arctan)(解解 的定義域是的定義域是 。 )(xf),(01111)(222xxxxf在區(qū)間在區(qū)間 和和 都有都有 ，只有當，只有當)0 ,(), 0(0)( xf0 x時，時， ，所以，所以 在在 內(nèi)單調(diào)減少。內(nèi)單調(diào)減少。0)0( f)(xf),(例例2 求

4、函數(shù)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。的單調(diào)區(qū)間。xxxf3)(3解解 的定義域是的定義域是 )(xf),() 1)(1(333)(2xxxxf令令 ，得，得 ，0)( xf1, 1xx它們將定義域它們將定義域),(當當 時，時，)1 , 1(x0)( xf當當 時，時， 。) 1,(), 1 (x0)( xf所以所以 的單調(diào)增加區(qū)間是的單調(diào)增加區(qū)間是 和和 ；單；單調(diào)遞減區(qū)間是調(diào)遞減區(qū)間是)(xf) 1,(), 1 ( )1 ,1(例例3 確定函數(shù)確定函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。的單調(diào)區(qū)間。23352353)(xxxf解解 的定義域是的定義域是)(xf),()1,(),(11 ), 1 ( 分成三個區(qū)間分成三個區(qū)間

5、 令令 ，得，得 ，又，又 處導數(shù)不存在，處導數(shù)不存在，0)( xf1x0 x1x， 這兩點將這兩點將 分成三個區(qū)間，分成三個區(qū)間，0 x),(列表分析列表分析 在各個區(qū)間的符號：在各個區(qū)間的符號：)(xf x)0 ,()1 ,0(),( 1)(xf )(xf331321)(xxxxxf由表可知，由表可知， 的單調(diào)增加區(qū)間為的單調(diào)增加區(qū)間為 和和)(xf)0 ,(，單調(diào)減少區(qū)間為，單調(diào)減少區(qū)間為 。), 1 ( )1 ,0(二、函數(shù)的極值二、函數(shù)的極值設函數(shù)設函數(shù) 在點在點 的某鄰域內(nèi)有定義，的某鄰域內(nèi)有定義，)(xf0 x1 1 定義定義（1）如果對該領域內(nèi)的任意點）如果對該領域內(nèi)的任意點

6、，都有，都有)(xxx)()(0 xfxf，則稱，則稱 是是 的的極大值極大值，稱，稱 是是)(0 xf)(xf0 x的的極大值點極大值點。)(xf （2）如果對該領域內(nèi)的任意點如果對該領域內(nèi)的任意點 ，都有，都有)(xxx)()(0 xfxf，則稱，則稱 是是 的的極小值極小值，稱，稱)(0 xf)(xf0 x是是 的的極小值點極小值點。)(xf函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱為極值極值，極大值點和，極大值點和極小致點統(tǒng)稱為極小致點統(tǒng)稱為極值點極值點。注意：注意：極值是局部性的。因而，函數(shù)可以有許多個極值是局部性的。因而，函數(shù)可以有許多個極大值和極小值，并且極大值不一定大于

7、極小值。極大值和極小值，并且極大值不一定大于極小值。oxyab2 2 極值存在的必要條件和充分條件極值存在的必要條件和充分條件定理定理2（極值的必要條件極值的必要條件） 如果函數(shù)如果函數(shù) 在點在點)(xf 處可導，且在點處可導，且在點 取得極值，則取得極值，則 。0 x0 x0)(0 xf定理定理2指出：指出：可導函數(shù)的極值點必定是駐點可導函數(shù)的極值點必定是駐點。0)(0 xf0 x)(xf使使 的點的點 稱為函數(shù)稱為函數(shù) 得得駐點駐點。反過來，反過來，駐點不一定是極值點駐點不一定是極值點。3)(xxf考察函數(shù)考察函數(shù)另一方面，另一方面，函數(shù)不可導的點也可能是極值點函數(shù)不可導的點也可能是極值點

8、。0 xxxf,)(考察函數(shù)考察函數(shù)定理定理3（極值的第一充分條件極值的第一充分條件） 設函數(shù)設函數(shù))(xf在點在點 連續(xù)，且在點連續(xù)，且在點 的某一空心鄰域的某一空心鄰域0 x0 x)0)(,(),(0000 xxxx內(nèi)可導。內(nèi)可導。 （1）如果在）如果在 內(nèi)內(nèi) ，在，在),(00 xx0)( xf),(00 xx內(nèi)內(nèi) ，則函數(shù)，則函數(shù) 在點在點 處取極大值處取極大值 ；0)( xf)(xf0 x)(0 xf（2）如果在如果在 內(nèi)內(nèi) ，在，在),(00 xx0)( xf),(00 xx內(nèi)內(nèi) ，則函數(shù)，則函數(shù) 在點在點 處取極小值處取極小值 ；0)( xf)(xf0 x)(0 xf（3）如果）

9、如果 在在 和和 內(nèi)不變內(nèi)不變 )(xf ),(00 xx),(00 xx號，則號，則 在在 處無極值。處無極值。 )(xf0 x定理定理3即：設即：設 在點在點 的某一空心鄰域內(nèi)可導，的某一空心鄰域內(nèi)可導，)(xf0 x當當 有小增大經(jīng)過有小增大經(jīng)過 時，如果時，如果 由正變負，由正變負，x0 x)(xf 則則 是極大值點；如果是極大值點；如果 由負變正，由負變正，0 x)(xf 極小值點；如果極小值點；如果則則 是是0 x)(xf 不變號，則不變號，則 不是極值點。不是極值點。0 x例例4 求函數(shù)求函數(shù) 的極值。的極值。1093)(23xxxxf 解解 的定義域是的定義域是)(xf),()

10、3)(1(3963)(2xxxxxf令令 ，得駐點，得駐點 。0)( xf3, 121xx當當 時，時，11x0)( xf當當 時，時，31x0)( xf當當 時，時， 。3x0)( xf)(xf3x在在 處取得極小值處取得極小值17)3(f例例5 求函數(shù)求函數(shù) 的極值。的極值。123)(32xxxf 解解 的定義域是的定義域是)(xf),(333111)(xxxxf令令 ，得駐點，得駐點 ，而，而 時時 不存在。不存在。0)( xf1x0 x)(xf 由定理由定理3知，知， 在在 處取得極大值處取得極大值 。 )(xf11x15) 1(f因此函數(shù)只可能在這兩點取得極值，列表討論如下：因此函數(shù)

11、只可能在這兩點取得極值，列表討論如下：x)(xf )(xf)0 ,()1 ,0(01), 1 ( 不存在不存在021由表可知，由表可知， 在在 處取得極大值處取得極大值 ， )(xf0 x1)0(f)(xf在在 處取得極小值處取得極小值 。1x21)(xf函數(shù)函數(shù) 的圖形如圖的圖形如圖123)(32xxxf 函數(shù)在駐點處二階導數(shù)存在時，還可以用函數(shù)的函數(shù)在駐點處二階導數(shù)存在時，還可以用函數(shù)的二階導數(shù)判定函數(shù)是否有極值。二階導數(shù)判定函數(shù)是否有極值。01x121y 定理定理4（極值的第二充分條件極值的第二充分條件） 設函數(shù)設函數(shù) 在點在點)(xf0 x處有二階導數(shù)，且處有二階導數(shù)，且 ， ，則，則

12、0)(0 xf0)(0 xf（1）如果）如果 ，則，則 在在 取得極大值；取得極大值；0)(0 xf)(xf0 x（2）如果）如果 ，則，則 在在 取得極小值。取得極小值。0)(0 xf)(xf0 x例例6 求函數(shù)求函數(shù) 的極值。的極值。22ln)(xxxf解解 的定義域是的定義域是)(xf),(),( 00 令令 ，得到兩個駐點，得到兩個駐點 。0)( xf1, 121xx222)(xxf 04) 1 (; 04) 1( ff由定理由定理4 可知，可知， 都是都是 的極小值點，的極小值點，1, 121xx)(xf1) 1 () 1(ff為函數(shù)為函數(shù) 的極小值。的極小值。)(xfxxxf22

13、)(又又 函數(shù)的極值是局部性概念，而最值是一個全局性函數(shù)的極值是局部性概念，而最值是一個全局性概念。概念。 可以由駐點及導數(shù)不存在的點與區(qū)間端點的函可以由駐點及導數(shù)不存在的點與區(qū)間端點的函數(shù)值相比較，其中最大的就是函數(shù)數(shù)值相比較，其中最大的就是函數(shù) 在在 上的上的最大值，最大值，)(xfba,)(xfba,最小的就是函數(shù)最小的就是函數(shù) 在在 上的最小值。上的最小值。注意注意下述三種情況：下述三種情況：（1）如果）如果 在在 上是單調(diào)函數(shù)；上是單調(diào)函數(shù)；)(xfba,三、函數(shù)的最值三、函數(shù)的最值1 1 閉區(qū)間閉區(qū)間 a，b 上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù))(xf（2）如果連續(xù)函數(shù)）如果連續(xù)函數(shù) 在某區(qū)

14、間內(nèi)只有一個極大在某區(qū)間內(nèi)只有一個極大)(xf（?。┲?，而無極?。ù螅┲?；（小）值，而無極?。ù螅┲?；（3）在實際問題中，由問題的實際意義可知，確）在實際問題中，由問題的實際意義可知，確實存在最大值或最小值，又若函數(shù)在所討論的區(qū)間內(nèi)實存在最大值或最小值，又若函數(shù)在所討論的區(qū)間內(nèi)只有一個可能的極值點，則該點處的函數(shù)值一定是最只有一個可能的極值點，則該點處的函數(shù)值一定是最大值或最小值。大值或最小值。例例7 求函數(shù)求函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間41232)(23xxxxf4 , 3 上的最大值與最小值。上的最大值與最小值。解解) 1)(2(61266)(2xxxxxf132413331242 )(,)(,)(

15、,)(ffff比較可知，比較可知， 在在 上最大值為上最大值為 ，最小值，最小值)(xf4 , 3132)4(f為為3) 1 (f例例9 將邊長為將邊長為a的一塊正方形鐵皮，四角各截去一的一塊正方形鐵皮，四角各截去一各大小相同的小正方形，然后將四邊折起做成一個無蓋各大小相同的小正方形，然后將四邊折起做成一個無蓋的方盒。問截去的小正方形邊長為多大時，所得方盒的的方盒。問截去的小正方形邊長為多大時，所得方盒的容積最大？容積最大？解解 如圖設小正方形的邊長為如圖設小正方形的邊長為x，則盒底的邊長為，則盒底的邊長為)2(xa 0)( xf得駐點得駐點 : 令令 ，.,1221 xx),(,)(2022

16、axxaxv 令令 ，得，得 （舍去）。又（舍去）。又0 v2,621axax046 aav)(所以函數(shù)所以函數(shù) 在在 處取得唯一極大值，此極大值就是處取得唯一極大值，此極大值就是最大值。因此，當截去的正方形的邊長等于所給正方最大值。因此，當截去的正方形的邊長等于所給正方形鐵皮邊長的形鐵皮邊長的 時，所做的方盒容積最大。時，所做的方盒容積最大。v6ax 61ax方盒的容積為：方盒的容積為：),)(xaxav62 例例10 制作一個容積為制作一個容積為 的圓柱形密閉容器，的圓柱形密閉容器，v怎樣設計才能使所用材料最??？怎樣設計才能使所用材料最??？ 解解 如圖，設容器的底面半徑為如圖，設容器的底面

17、半徑為 ，高為，高為 ，rh則表面積為則表面積為rhrs222), 0(,222rrvrs232)2(224rvrrvrs2rvh所以所以令令0s ， 得駐點得駐點 32vr hrhrv2由已知由已知得得故故rrvh22所以，所做容器的高和底直徑相等時，所用材料最省。所以，所做容器的高和底直徑相等時，所用材料最省。 例例11 一工廠一工廠a與鐵路的垂直距離為與鐵路的垂直距離為 ，垂足，垂足 akm b到火車站到火車站c的鐵路長為的鐵路長為 ，要在，要在bc段上選段上選)(abbkm一點一點m向工廠修一條公路，已知鐵路與公路每公里運向工廠修一條公路，已知鐵路與公路每公里運費之比為費之比為3：5，

18、問，問m 選在離選在離c多少公里處，才能使從多少公里處，才能使從a到到c的運費最少？的運費最少？s有有唯一駐點，而實際容器存在最小表面積，因唯一駐點，而實際容器存在最小表面積，因此求得的駐點為最小值點，此時此求得的駐點為最小值點，此時解解 設設 , 則則xmc 22)(,xbaamxbbm設鐵路、公路上每公里運費分別為設鐵路、公路上每公里運費分別為 從從a到到,5 ,3kkc需要的總運費為需要的總運費為 ，則，則y)0(3)(522bxkxxbakykxbaxbky3)()(522令令 ，0 y得得 （舍去）。因為（舍去）。因為abxabx43,43211x是在區(qū)間是在區(qū)間0, b上的唯一駐點，而實際問題中存在上的唯一駐點，而實際問題中存在最小值，因而最小值，因而 是最小值點，因此，是最小值點，因此，m選在選在abx431離離c點距離為點距離為 處時總運費最省。處時總運費最省。)(43kmab 例例12工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品，當年產(chǎn)量為工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品，當年產(chǎn)量為x（單位：百（單位：百臺）時，總成本