電子科大matlab期末開卷必備

1、 設(shè)數(shù)a是精確值，x是a的一個近似值， 絕對誤差（absolute error ）：真實值與近似值差的絕對值。 相對誤差（relative error）：絕對誤差與精確值之比（如果精確值未知，計算時用近似值代替）。 絕對誤差限（精度，accuracy）：絕對誤差的范圍； 相對誤差限：相對誤差的范圍; 真實值=00123.000456 要求保留5位有效數(shù)字：00123.00（最前面0不計，最后0不?。?絕對誤差=|真實值-近似值| = 0.000456， 相對誤差= 0.000456 / 00123.000456 =3.7073e-006 保留7位有效數(shù)字：00123.0005（四舍五入） 絕對

2、誤差=0.000044<0.00005（絕對誤差不大于其最末數(shù)字的半個單位） 相對誤差= 0.000044 / 00123.000456 = 3.5772e-007 浮點數(shù)是什么數(shù)？ 實數(shù)？ 有理數(shù)？ 有限小數(shù)？ 有多少個不同的浮點數(shù)？ 264（64位，每位有兩個狀態(tài)，“0”和“1”） 浮點數(shù)是由264個有限小數(shù)（包含整數(shù)）構(gòu)成的集合？ 錯。IEEE 定義了一些異常值，inf （無窮）和 NaN（“非數(shù)字”） 浮點數(shù)精度是多少？(絕對誤差限） esp=2-52 = 2.2204E-16 最大的浮點數(shù)是多少？ realmax =（2-esp）×21023 = 1.7977E+30

3、8 最小的浮點數(shù)是多少？ realmax = -1.7977E+308 最小的正浮點數(shù)是多少？ realmin = 2-1022 ×2-52 =4.9407e-324 避免相近二數(shù)相減易減小有效數(shù)字 避免小分母 : 分母小會造成浮點溢出 求和時從小到大相加，可使和的誤差減小 簡化計算步驟，減少運算次數(shù)，避免誤差積累。 選用穩(wěn)定的算法 eps是 f 的絕對誤差限 eps是 f 的精度 浮點數(shù)的絕對誤差不同；浮點數(shù)絕對值越大，絕對誤差越大。 浮點數(shù)的相對誤差不大于eps。 Matlab中“null”函數(shù)可計算欠定方程 Ax=0 的基礎(chǔ)解系。 Matlab中的“”可計算方程的特解。 性質(zhì)1

4、：若A的所有順序主子式均不為0，則高斯消元無需換行即可進行到底，得到唯一解。 性質(zhì)2：只要 A 非奇異，即 A-1 存在，則可通過逐次消元及行交換，將方程組化為三角形方程組，求出唯一解。 1. 上（下）三角方陣的行列式的值等于對角線元素的乘積； 2. 上（下）三角方陣的轉(zhuǎn)置為下（上）三角矩陣； 3. 上（下）三角方陣的逆矩陣為（上）三角矩陣，且對角元是原三角矩陣對角元的倒數(shù)； 4. 兩個上（下）三角方陣的乘積也是上（下）三角矩陣，且對角元是原三角矩陣對角元的乘積。 算子范數(shù)與其對應(yīng)的向量范數(shù)相容，即矩陣A的譜半徑記為r (A) = ，其中l(wèi)i 為A 的特征根。且有 若A對稱矩陣，則有 若原始數(shù)

5、據(jù)有很小的變化x，對應(yīng)的輸出變化y也很小，則稱該數(shù)學(xué)問題是良態(tài)問題； 若y很大，則稱為病態(tài)問題 病態(tài)問題中，結(jié)果對于數(shù)據(jù)的變化率都很大（很敏感），因此數(shù)據(jù)微小變化必將導(dǎo)致參數(shù)模型精確解的很大變化 數(shù)學(xué)問題的病態(tài)問題完全取決于該數(shù)學(xué)問題本身的屬性，在采用數(shù)值方法求解之前就存在，與數(shù)值方法無關(guān)。 問題一：b存在擾動： 給定方程組Ax=b，其解為x*，另給定包含誤差方程組Ax=b+e，其解為x，分析其誤差問題二，A 存在擾動： 給定方程組Ax=b，其解為x*， 給定包含誤差方程組（A+E）x=b，其解為x，分析誤差（A+E 可逆）問題三，A，b都存在擾動： 給定方程組Ax=b，其解為x*，另給定包含

6、誤差方程組（A+E）x=b+e，其解為x，分析誤差當(dāng)條件數(shù)很大時,方程組 Ax = b是病態(tài)問題。條件數(shù)是矩陣的特征，與算法無關(guān)。條件數(shù)與所選擇的范數(shù)有關(guān)，不同范數(shù)計算的條件數(shù)不同。迭代法基本原理：如果迭代序列x（k+1）= f（ x（k） ）收斂，則其極限點為方程 f（x）= x 的解 迭代公式的構(gòu)建：將方程Ax=b改寫為：x=Mx+c，M稱為迭代矩陣迭代公式一（Jacobi 迭代利用Jacobi迭代求解方程組、迭代公式三（Gauss-Seidel迭代）一般認(rèn)為新近似解要比老近似解更接近真實解，將已計算出的x（k+1）分量替換Jacobi 迭代公式中x（k）相應(yīng)分量即可得到Gauss-Sei

7、del迭代。 利用Gauss-Seidel迭代求解方程組 步驟1、構(gòu)造Jacobi迭代公式 步驟2、選擇初值步驟3、利用Jacobi迭代公式計算一次迭代的第一分量 步驟4、將步驟3得到的一次迭代的第一分量替換初值的第一分量，計算一次迭代的第二分量： 步驟5、如果第三分量存在，利用一次迭代的第一、二分量計算第三分量，直到計算出所有迭代向量分量 。步驟6、重復(fù)步驟3-5，進行迭代迭代法求解線性方程組Gauss-Seidel迭代矩陣超松弛迭代 / SOR迭代矩陣 第k步迭代誤差公式線性方程組迭代法收斂性：如果絕對值最大特征值（譜半徑）小于1，則收斂，反之發(fā)散Gauss-Seidel迭代收斂性第k步迭

8、代誤差與初始迭代步長關(guān)系第k步迭代誤差與前步迭代步長關(guān)系 插值（interpolate） 已知函數(shù)在xi處的值為 yi ，求 f (x)，使之滿足： yi = f (xi) 其中， f (x)為插值函數(shù)， xi處為插值節(jié)點，插值節(jié)點的區(qū)間稱為插值區(qū)間， yi = f (xi)為插值條件。 擬合（fit） 已知函數(shù)在xi處的值為 yi ，求 f (x)，使之滿足： e =yi - f (xi) 在給定的準(zhǔn)則下最小。 問題描述： 給定插值點< xi, yi >，構(gòu)造多項式函數(shù) Pn(x) = a0 + a1x + a2x2+ anxn，使之滿足： Pn(xi) = yi (i = 0,

9、1,2,n)。 如何計算： 多項式Pn(x) 由其多項式系數(shù)a0 , a1, a2, , an決定，只需要求解多項式系數(shù)，即可獲得該插值多項式。 將Pn(xi) = yi寫為矩陣形式可得：求解該線性方程組即可得到多項式的系數(shù) 該線性方程組有解嗎，解唯一嗎？唯一性定理：通過n+1個節(jié)點的n階插值多項式存在且唯一 多項式插值的拉格朗日多項式表示： 給定插值點< xi, yi >，其插值多項式可表示為： 例：已知lg10=1,lg15=1.1761,lg20=1.3010,利用一次、二次多項式插值計算 lg12的近似值。分別利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值計算 si

10、n 50° 并估計誤差clear all 埃爾米特插值的矩陣表示： close all clc format long % 插值 x = 1/6, 1/4, 1/3 * pi; y = 1 / 2,1 / sqrt(2), sqrt(3) / 2; xx = 1/6 : 1/60 : 1/3; xx = xx * pi; xx50 = 50 / 180 * pi; % 一階插值 - ex yy1ex = y(1) * (xx - x(2) / (x(1) - x(2) + y(2) * (xx - x(1) / (x(2) - x(1); yy150ex = y(1) * (xx50

11、 - x(2) / (x(1) - x(2) + y(2) * (xx50 - x(1) / (x(2) - x(1) % 一階插值 - in yy1in = y(2) * (xx - x(3) / (x(2) - x(3) + y(3) * (xx - x(2) / (x(3) - x(2); yy150in = y(2) * (xx50 - x(3) / (x(2) - x(3) + y(3) * (xx50 - x(2) / (x(3) - x(2) % % 一階插值 % l1 = (xx - x(2) .* (xx - x(3) / (x(1) - x(2) / (x(1) - x(3

12、); % l2 = (xx - x(1) .* (xx - x(3) / (x(2) - x(1) / (x(2) - x(3); % l3 = (xx - x(1) .* (xx - x(2) / (x(3) - x(1) / (x(3) - x(2); % % yy2 = y(1) * l1 + y(2) * l2 + y(3) * l3; % % l1 = (xx50 - x(2) .* (xx50 - x(3) / (x(1) - x(2) / (x(1) - x(3); % l2 = (xx50 - x(1) .* (xx50 - x(3) / (x(2) - x(1) / (x(2

13、) - x(3); % l3 = (xx50 - x(1) .* (xx50 - x(2) / (x(3) - x(1) / (x(3) - x(2); % yy250 = y(1) * l1 + y(2) * l2 + y(3) * l3 figure hold on plot(xx * 180 / pi, sin(xx), 'r'); plot(xx * 180 / pi, yy1ex, 'g'); plot(xx * 180 / pi, yy1in, 'black'); % plot(xx * 180 / pi, yy2, 'bla

14、ck'); plot(x * 180 / pi, y, 'b')clear all close all 埃爾米特插值的矩陣表示clc % runge x = -5:1.0:5;y = 1./(1+x.2);t = -5:0.05:5;y0 = 1./(1+t.2);p = polyfit(x,y,10);y1 = polyval(p,t);plot(t,y0,x,y,'o',t,y1,'.') 在不少實際問題中，對插值不但要求在節(jié)點上函數(shù)值相等而且還要求它的導(dǎo)數(shù)值也相等。Hermite插值也存在Runge現(xiàn)象clear allclose

15、allclc t = 1.3, 1.6, 1.9;y1 = 0.6200, 0.4554, 0.2818;dy = -0.5220, -0.5699, -0.5812; A = zeros(6); for iii = 1 : 3 for jjj = 1 : 6 A(iii, jjj) = t(iii) (6 - jjj); endend for iii = 4 : 6 for jjj = 1 : 5 A(iii, jjj) = (6 - jjj) * t(iii - 3) (5 - jjj); endend y = y1, dy p = A y.'x = 1.3 :0.001 : 1.

16、9;yy = polyval(p,x); plot(x, yy)hold onplot(t, y1, 'o') dyy = diff(yy) * 1000;figureplot(x(1 : 600), dyy)hold onplot(t, dy, 'o') figureyy2 = polyval(polyfit(t, y1, 2), x)plot(x, yy2, 'r')hold onplot(t, y1, 'o') dyy2 = diff(yy2) * 1000;figureplot(x(1 : 600), dyy2)hold

17、onplot(t, dy, 'o')拉格朗日插值程序%lagrangen.m function y=lagrangen(x0,y0,x) 線性分段插值收斂性n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i);s=0; for k=1:n L=1; for j=1:n if j=k L=L*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=s+L*y0(k); end y(i)=s;endy;%Chazhibijiao.m x=-5:0.1:5;z=0*x;y=1./(1+x.2);plot(x,z,'k',x,y,

18、'r')axis(-5 5 -1.5 2);pause,hold onfor n=2:2:10 x0=linspace(-5,5,n+1); y0=1./(1+x0.2); x=-5:0.1:5; y1=lagrangen(x0,y0,x); plot(x,y1), pauseendy2=1./(1+x0.2);y=interp1(x0,y2,x);plot (x,y,'k'),hold offgtext('n=2'),gtext('n=4'),gtext('n=6')gtext('n=8'),gt

19、ext('n=10')gtext('f(x)=1/(1+x2)')或者直接分段求解線性方程組計算系數(shù)。該矩陣嚴(yán)格對角占有，故非奇異，所以樣條插值存在且唯一。定理給出了f (x)與S (x)及其1、2、3階導(dǎo)數(shù)的差，0、1、2階誤差：步長h越小，誤差越?。?階導(dǎo)數(shù)誤差：步長相等誤差最小。 clear all close all clc % 插值比較 x=-5:1.25:5; y=1./(1+x.*x); xi=-5:0.2:5; Yi(:,1)=1./(1+xi.*xi); Yi(:,2)=interp1(x,y,xi, 'linear'); Yi

20、(:,3)=interp1(x,y,xi, 'spline'); Yi(:,4)=interp1(x,y,xi, 'cubic'); for iii = 1 : 3 figure hold on plot(x,y) plot(xi,Yi(:, 1) plot(xi,Yi(:, iii + 1) end xxxx = -5 : 0.01 : 5;yyy = interp1(x,y,xxxx, 'spline');最小二乘擬合：擬合放松了逼近函數(shù)必須經(jīng)過觀測點的要求，而求一函數(shù)，使其在“一定意義下”逼近實驗觀測數(shù)據(jù)。選擇2范數(shù)作為誤差準(zhǔn)則的擬合方法稱

21、為最小二乘法利用n次多項式P(x)=a0+a1x+a2x2 +··· + an x n 逼近f (x)已知實驗數(shù)據(jù)x 1 2 3 4 5f (x) 4 4.5 6 8 9 試構(gòu)造二次多項式P(x)=a0+a1x+a2x2 逼近f (x) 求解,得 a0=3, a1=0.7071, a2=0.1071 P(x)=3+0.7071x + 0.1071x2 y = 2.7690 2.3870 3.0784 5.4997 A = 1 -0.5 0.25; 1 -0.2 0.04; 1 0.1 0.01; 1 0.4 0.16 clear all close all clc

22、 x = -0.5 : 0.3 : 0.5; y = exp(1) * exp(2 * x .* x + 1 * x); yy = y + 0.2 * (rand(size(y) - 0.5); zz = log(yy) figure xi = -0.5 : 0.05 : 0.4; yi = exp(1) * exp(2 * xi .* xi + 1 * xi); plot(xi, yi) hold on yyi = polyval(polyfit(x, yy, 3), xi) plot(xi, yyi, 'r') hold on P = (polyfit(x, zz, 3)

23、zz1 = polyval(P, xi); zzi = exp(zz1); plot(xi, zzi, 'g')與擬合問題的差異：擬合問題：給定一組離散函數(shù)值，確定距離函數(shù)值最近的函數(shù)。函數(shù)逼近：給定一連續(xù)函數(shù)，確定距離函數(shù)最近的函數(shù)。最佳平方逼近問題：用均方誤差最小作為度量標(biāo)準(zhǔn)，研究函數(shù)的逼近問題。一般法方程組的系數(shù)矩陣顯然非奇異，其條件數(shù)隨n增加而迅速增加，在n稍大時呈病態(tài)方程組。 改進方案：選擇正交函數(shù)集。數(shù)值積分求法包括：1、插值型數(shù)值積分2、高斯積分3、Monte-Carlo方法插值型積分思路：在被積函數(shù)上選擇等間隔n+1個點，做n階多項式插值，用逼近多項式的積分值近

24、似被積函數(shù)的積分值1階多項式插值Simpson求積公式利用二階插值公式近似計算積分。Simpson求積公式的計算：用更高階插值來構(gòu)造數(shù)值積分方法，稱為Newton-Cotes方法梯形公式的誤差：Simpson 求積公式的誤差： 代數(shù)精度：若某個求積公式所對應(yīng)的誤差R f 滿足：R Pk =0 對任意 k £ n 階的多項式成立，且 R Pn+1 ¹ 0 對某個 n+1 階多項式成立，則稱此求積公式的代數(shù)精度為 n 即：如果某求積公式對于次數(shù)小于等于n的多項式均能準(zhǔn)確成立，但對于n+1次多項式不一定準(zhǔn)確，則稱此求積公式的代數(shù)精度為 n 。 由于龍格現(xiàn)象，階數(shù)越高，不穩(wěn)定性越大

25、，積分誤差可能增加。應(yīng)用高階型插值求積公式計算積分會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定，而低階公式（如梯形、辛普生公式）又因積分區(qū)間步長過大使得離散誤差大。辦法：縮小步長，即把積分區(qū)間分成若干子區(qū)間，在每個子區(qū)間上使用低階積分公式，再將結(jié)果加起來，這種公式稱為復(fù)合求積公式。復(fù)合梯形求積公式復(fù)合梯形求積公式誤差復(fù)合Simpson求積公式高斯積分的數(shù)學(xué)描述：準(zhǔn)則：使得積分的代數(shù)精度最高。二點高斯積分二點高斯公式具有三階代數(shù)精度 若構(gòu)造的n+1個節(jié)點的插值求積公式，則可將 f (x) = 1, x, x2, , x2n+1 代入求積公式可求解， 不是線性方程組，不易求解。 得到的公式具有2n+1 次代數(shù)精度。這樣的節(jié)點稱為Gauss 點，公式稱為Gauss 型求積公式。注意: 高斯積分是不等距劃分插值型求積公式加權(quán)積分高斯節(jié)點計算與前例中計算方法相同，只需將勒讓德多項式改為加權(quán)后的正交多項式 利用符號計算得Freedom 積分方程進一步將x離散化取值，將方程轉(zhuǎn)