恒成立與存在性問(wèn)題的解題策略

1、恒成立問(wèn)題”與存在性問(wèn)題”的基本解題策略“恒成立問(wèn)題”與“存在性問(wèn)題”的基本類型恒成立、能成立、恰成立問(wèn)題的基本類型a f x max ； a f x 恒成立a f x min1、恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：afx恒成立2、能成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：afx能成立afxmin；afx能成立afx3、恰成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：afx在M上恰成立afx的解集為afx在M上恒成立Mafx在CrM上恒成立另一轉(zhuǎn)化方法：若xD,f(x)A在D上恰成立，等價(jià)于f(x)在D上的最小值fmUx)A,若xD,f(x)B在D上恰成立，則等價(jià)于f(x)在D上的最大值fmax(x)B.g x2，則4、設(shè)函數(shù)fx、gx,對(duì)任意的xia,b,存在x

2、2c,d,使得fxif min xg min x5、設(shè)函數(shù)f x、g x ,對(duì)任意的x1 a , b ,存在x2g Xz ，則fmax Xg max x6、設(shè)函數(shù)f xf max x g min x7、設(shè)函數(shù)f Xgx,存在x1a,b,存在x2 c,d,使得fx1g X2 ，則g x ,存在X1a , b ,存在 X2c , d ,使得 f Xig X2 ，則fminXgmaxx8、設(shè)函數(shù)fx、gx,對(duì)任意的x1a,b,存在x2c,d,使彳導(dǎo)fx1gx2,設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上的值域?yàn)锳,g(x)在區(qū)間c,d上的值域?yàn)锽,則AB.D上函數(shù)y f x和圖象在函D上函數(shù)y f x和圖象在函9、若

3、不等式fxgx在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間數(shù)ygx圖象上方;10、若不等式fxgx在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間數(shù)ygx圖象下方；恒成立問(wèn)題的基本類型在數(shù)學(xué)問(wèn)題研究中經(jīng)常碰到在給定條件下某些結(jié)論恒成立的命題.函數(shù)在給定區(qū)間上某結(jié)論成立問(wèn)題，其表現(xiàn)形式通常有：在給定區(qū)間上某關(guān)系恒成立；某函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R;某不等式的解為一切實(shí)數(shù)；某表達(dá)式的值恒大于a等等恒成立問(wèn)題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。因此也成為歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)。恒成立問(wèn)題在解題過(guò)程中大

4、致可分為以下幾種類型：一次函數(shù)型；二次函數(shù)型；變量分離型；根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)；直接根據(jù)函數(shù)的圖象。二、恒成立問(wèn)題解決的基本策略大家知道，恒成立問(wèn)題分等式中的恒成立問(wèn)題和不等式中的恒成立問(wèn)題。等式中的恒成立問(wèn)題，特別是多項(xiàng)式恒成立問(wèn)題，常簡(jiǎn)化為對(duì)應(yīng)次數(shù)的系數(shù)相等從而建立一個(gè)方程組來(lái)解決問(wèn)題的。(一)兩個(gè)基本思想解決“恒成立問(wèn)題”思路1、mf(x)在xD上恒成立mf(x)max思路2、mf(x)在xD上恒成立mf(x)min如何在區(qū)間D上求函數(shù)f(x)的最大值或者最小值問(wèn)題，我們可以通過(guò)習(xí)題的實(shí)際，采取合理有效的方法進(jìn)行求解，通常可以考慮利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的配方法、

5、三角函數(shù)的有界性、均值定理、函數(shù)求導(dǎo)等等方法求函數(shù)f(x)的最值。這類問(wèn)題在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)涉及的知識(shí)比較廣泛，在處理上也有許多特殊性，也是近年來(lái)高考中頻頻出現(xiàn)的試題類型，希望同學(xué)們?cè)谌粘W(xué)習(xí)中注意積累。(二)、賦值型一一利用特殊值求解等式恒成立問(wèn)題等式中的恒成立問(wèn)題，常常用賦值法求解，特別是對(duì)解決填空題、選擇題能很快求得例 1.如果函數(shù) y=f(x)=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線 x= 對(duì)稱，那么a=(C.2D.-.2.略解：取x=0及x=,貝Uf(0)=f(),即a=-1,故選B.此法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中從一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想.例(備用).由等式x4+aix3+a2x2+a3x+a4=(x+1

6、)4+bi(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4定義映射f：(ai,a2,a3,a4)/bi+b2+b3+b4,貝Uf：(4,3,2,1)一()略解：取x=0,貝Ua4=1+bi+b2+b3+b4,又a4=1，所以bi+b2+b3+b4=0,故選D(三)分清基本類型，運(yùn)用相關(guān)基本知識(shí)，把握基本的解題策略i、一次函數(shù)型：若原題可化為一次函數(shù)型，則由數(shù)形結(jié)合思想利用一次函數(shù)知識(shí)求解，十分簡(jiǎn)捷給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(aw0),若y=f(x)在m,n內(nèi)恒有f(x)>0,則根據(jù)函數(shù)的圖象(直線)可得上述結(jié)論等價(jià)于一 f(m) 0- f (n) 0同理，若在m,n內(nèi)恒有f(

7、x)<0 , 則有f (m) 0f(n) 0例2.對(duì)于滿足|a|2的所有實(shí)數(shù)a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范圍.分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x及a,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù).顯然可將a視作自變量，則上述問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為在-2,2內(nèi)關(guān)于a的一次函數(shù)大于0恒成立的問(wèn)題.解：原不等式轉(zhuǎn)化為(x-1)a+x2-2x+1>0在|a|2時(shí)恒成立，設(shè)f(a尸(x-1)a+x2-2x+1,則f(a)在-2,2上恒大于0,故有：f(2)0Bnx24x30x蜒x1f(2)0x210x1或x11 .x<-1或x>3.即xC(8,1)u

8、(3,+0°)此類題本質(zhì)上是利用了一次函數(shù)在區(qū)間m,n上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點(diǎn)均在x軸上方(或下方)即可.2、二次函數(shù)型涉及到二次函數(shù)的問(wèn)題是復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，同學(xué)們要加強(qiáng)學(xué)習(xí)、歸納、總結(jié)，提煉出一些具體的方法，在今后的解題中自覺(jué)運(yùn)用。(1)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aw0)大于0恒成立，則有a0且0(2)若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題，可以利用韋達(dá)定理以及根的分布知識(shí)求解。類型1：設(shè)f (x)ax2 bxc(a0)在R上恒成立,(1) f (x) 0在x R上恒成立a 0且0;(2) f (x) 0在xR上恒成立a 0且0類型2：設(shè)f (x) ax2 bx c

9、(a 0)在區(qū)間上恒成立(1)當(dāng) a 0 時(shí)，f (x) 0在x 上恒成立bbb2a或 2a或 2af( ) 00f( ) 0f (x) 0Ex ,上恒成立f( ) 0f( ) 0當(dāng)a 0時(shí)，f(x) 0在x ,上恒成立f( ) 0f( ) 0f(x) 0在x ,上恒成立bbb2a或 2a或 2af( ) 00f( ) 02類型 3：設(shè) f(x) ax bx c(a 0)在區(qū)間(-oo ,f(x)>0a>0 且<0 或-b/2a>且 f()>0f(x)<0a<0 且<0 或-b/2a>且 f()<0上恒成立類型4：設(shè)f(x) ax2

10、bx c(a 0)在區(qū)間,+8)上恒成立f(x)>0a>0,<0 或-b/2a<且 f()>0f(x)<0a<0,<0 或-b/2a<且 f()<0例3.若函數(shù)f (x)(a21)x2 (a 1)x的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析：該題就轉(zhuǎn)化為被開(kāi)方數(shù)22(a 1)x (a1)x2 八. 一 0在R上恒成立問(wèn)題，并且注a 1意對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論解：依題意，當(dāng)xR時(shí),222(a1)x(a1)x0恒成立，a1ca210所以，當(dāng)a210,即當(dāng)a a 9,綜上所述，f(x)的定義域?yàn)镽時(shí)，a 1,90,時(shí)，a1,此時(shí)(a2 1)x2 (

11、a 1)x當(dāng)a2 1 0時(shí)，即當(dāng)a10,10,a1.a1a210,222時(shí)(a1)24(a21)-0a2 110a 9 0,a1例4.已知函數(shù)f (x) x2ax3 a,在R上f(x) 0恒成立，求a的取值范圍.分析：yf(x)的函數(shù)圖像都在X軸及其上方，如右圖所示:略解：a243aa24a1206a2變式1：若x2,2時(shí)，f(x)0恒成立，求a的取值范圍解析一.(零點(diǎn)分布策略)本題可以考慮f(x)的零點(diǎn)分布情況進(jìn)行分類討論，分無(wú)零點(diǎn)、零點(diǎn)在區(qū)間的左側(cè)、零點(diǎn)在區(qū)間的右側(cè)三種情況，即aAWO或2f(2)f(2)W22，即a的f(2)0f(2)0取值范圍為-7,2.解法二分析：(運(yùn)用二次函數(shù)極值點(diǎn)

12、的分布分類討論)2,2時(shí)，f(x)0恒成立，只需f(x)的最小值g(a)0即可.22略解：(分類討論)f (x)2,2上的最小值為g(a).xa2a3,令f(x)在24a當(dāng)一2,即a4時(shí)，g(a)f(2)72a不存在.a一當(dāng)2-2,即4a4時(shí)，g(a)23a0a-又Qa432.aa八八f()a306a2又24Q4a44a2a_當(dāng)一2,即a4時(shí)，g(a)f(2)7a0a7又Qa427a4綜上所述，7a2.變式2:若x2,2時(shí)，f(x) 2恒成立，求a的取值范圍解法一：分析：題目中要證明f(x)2在2,2上恒成立，若把2移到等號(hào)的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間2,2時(shí)恒大于等于0的問(wèn)題.例

13、2已知f(x)x2ax3a,若*2,2,f(x)0恒成立，求a的取值范圍略解:f(x)ax0,即 f(x) x2 ax 1 a 0在 2,2 上成立.2-2f(2)f( 2)4(10a)綜上所述,a 222.解法二：(運(yùn)用二次函數(shù)極值點(diǎn)的分布)當(dāng)a2存在.即a 4時(shí),g(a)f(2)3a4,當(dāng)2a 4時(shí)，g(a)af(2)2,-2.2當(dāng)a2a5即a4時(shí),g(a)f(2)7a2,綜上所述222.此題屬于含參數(shù)二次函數(shù),求最值時(shí)，對(duì)于軸變區(qū)間定的情形,對(duì)軸與區(qū)間的位置進(jìn)行分類討論；還有與其相反的，軸動(dòng)區(qū)間定，方法一樣4、例5),而對(duì)于二次函數(shù)在某對(duì)于二次函數(shù)在R上恒成立問(wèn)題往往采用判別式法(如例一

14、區(qū)間上恒成立問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在此區(qū)間上的最值問(wèn)題3、變量分離型若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過(guò)恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，則可將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問(wèn)題求解。運(yùn)用不等式的相關(guān)知識(shí)不難推出如下結(jié)論：若對(duì)于x取值范圍內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)都有f(x)>g(a)恒成立，則g(a)<f(x)min；若對(duì)于x取值范圍內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)，都有f(x)<g(a)恒成立，則g(a)>f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分別為f(x)的最大值和最小值)例5.已知三個(gè)不等式x24x30,x26x80,

15、2x29xm0.要使同時(shí)滿足的所有x的值滿足，求m的取值范圍.略解：由得2Vx<3,要使同時(shí)滿足的所有x的值滿足,即不等式2x29xm0在x(2,3)上恒成立，即m2x29x在x(2,3)上恒成立，又2x29x在x(2,3)上大于9,所以m9例6.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在1,1上單調(diào)遞增，又f(1)1，若f(x)t22at1對(duì)所有的a1,1都成立，求t的取值范圍.解：據(jù)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(1)1,又“對(duì)在1,1上單調(diào)遞增f(x)maXf(1)1f(x)t22at1對(duì)所有的a1,1都成立.因此，只需t22at1大于或等于“*)在1,1上的最大值1,22t22at11t22at0又對(duì)所

16、有a1,1都成立，即關(guān)于a的一次函數(shù)在-1，1上大于或等于0恒成立，2t22t0t22t0t2或tt2即：t(,202,)利用變量分離解決恒成立問(wèn)題，主要是要把它轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題補(bǔ)例已知f(x)x|xa|b,xR若b(，且對(duì)任何x(,1不等式f(x)(恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：當(dāng)x(時(shí)，a取任意實(shí)數(shù)，不等式f(x)(恒成立，故只需考慮x0,1,此時(shí)原不等式變?yōu)閨xa|即x b a x故(x b)max x又函數(shù)g(x)對(duì)于函數(shù)h(x)bx x 一b、a ( x -) min , x0,1xb x -在0,1上單調(diào)遞增，所以x - ,x 0,1 x(xb)max xg(1) 1 b；當(dāng)b

17、 1時(shí)，在0,1上h(x)單調(diào)遞減,(x b)minh(1) 1 b,又 1 bx1 b,所以，此時(shí)a的取值范圍是(1b,1b).當(dāng)1b0,在0,1上，h(x)xb2yTb,x當(dāng)x.而時(shí)，(x-)min2此時(shí)要使a存在，x必須有1b2s即1b2723,此時(shí)a的取值范圍是(1b,24W)1b0綜上，當(dāng)b1時(shí)，a的取值范圍是(1b,1b);當(dāng)1b2&3時(shí)，a的取值范圍是(1b,2n)；當(dāng)2J23b0時(shí)，a的取值范圍是.4、根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)若函數(shù)f(x)是奇(偶)函數(shù)，則對(duì)一切定義域中的x,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x)恒成立；恒成立。若函數(shù)y=f(x)的周期為T

18、,則對(duì)一切定義域中的x,f(x)=f(x+T)5、直接根據(jù)圖象判斷若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫出等號(hào)或不等號(hào)兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過(guò)畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對(duì)于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。例7.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式x1x2a包成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍分析：設(shè)y=|x+1Hx-2|,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式x1x2a恒成立即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=|x+1|-|x-2|的最小值，畫出此函數(shù)的圖象即可求得a的取值范圍3x1斛：令yx1x22x11x23x2在直角坐標(biāo)系中畫出圖象如圖所示，由圖象可看出，要使對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式x1x2a恒成立，只需a3.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，

19、3).注：本題中若將對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式x1x2a恒成立，求實(shí)數(shù)a改為對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式x1x2a恒成立，求實(shí)數(shù)a,同樣由圖象可得a>3;對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式x1x2a恒成立，求實(shí)數(shù)a,構(gòu)造函數(shù)，畫出圖象，得a<3.利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問(wèn)題，應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍例8.設(shè)常數(shù)aCR,函數(shù)f(x)=3|x|+|2x-a|,g(x)=2-x.若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖像有公共點(diǎn)，則a的取值范圍為。解：1)a<=0x<=a/2<=0時(shí)，f(x)=-3x+(-2x+

20、a)=-5x+aa/2<=x<=0時(shí)，f(x)=-3x+(2x-a尸-x-ax>=0時(shí)，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a,最小值為-a<=2則與g(x)有交點(diǎn)，即：-2<=a<=0。2)a>0x<=0時(shí)，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a0<=x<=a/2時(shí)，f(x)=3x+(-2x+a尸x+ax>=a/2時(shí)，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a最小值a<=2時(shí)與g(x)有交點(diǎn)，即：0<a<=2綜上所述，-2<=a<=2時(shí)f(x)=3|x|+|2x-a|與g(x)=2-x有交點(diǎn)。三

21、、在恒成立問(wèn)題中，主要是求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，是一種熱點(diǎn)題型，介紹一些基本的解題策略，在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)把問(wèn)題分類、歸類，熟練基本方法。(一)換元引參，顯露問(wèn)題實(shí)質(zhì)1、對(duì)于所有實(shí)數(shù)x,不等式恒成立，求a的取值范圍。解：因?yàn)榈闹惦S著參數(shù)a的變化而變化，若設(shè)，則上述問(wèn)題實(shí)質(zhì)是“當(dāng)t為何值時(shí)，不等式恒成立”。這是我們較為熟悉的二次函數(shù)問(wèn)題，它等價(jià)于求解關(guān)于t的不等式組：。解得，即有易得。2、設(shè)點(diǎn)P(x,v)是圓x2(y1)24上任意一點(diǎn)，若不等式x+y+c0恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍。(二)分離參數(shù)，化歸為求值域問(wèn)題3、若對(duì)于任意角總有成立，求m的范圍。解：此式是可分離變量型，由原不等式得，又，則原不等式

22、等價(jià)變形為恒成立。2cos根據(jù)邊界原理知，必須小于f()的最小值，這樣問(wèn)題化歸為怎樣求cos2的最小值。因?yàn)閒()2coscos 2即時(shí)，有最小值為0,故(三)變更主元，簡(jiǎn)化解題過(guò)程解：此題一般思路是先求出方程含參數(shù)m的根，再由m的范圍來(lái)確定根x的范圍，但這樣會(huì)遇到很多麻煩，若以m為主元，則由原方程知解之得5、當(dāng)a1時(shí),若不等式2x (a6)x 9 3a。恒成立，求x的取值范圍。4、若對(duì)于都有實(shí)根，求實(shí)根的范圍。(四)圖象解題，形象直觀6 、設(shè)x (0,4若不等式Jx(4 x) ax恒成立,求a的取值范圍。解：若設(shè)y1v'x(4 x),則為上半圓。在同一坐標(biāo)系內(nèi),為過(guò)原點(diǎn)，a為斜率的直

23、線。作出函數(shù)圖象依題意，半圓恒在直線上方時(shí)，只有時(shí)成立，即a的取值范圍7、當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范圍。解：設(shè) yi=(x-1)要使對(duì)一切x yi的函數(shù)值。故 log a2>1,2,y 2=log ax,則yi的圖象為右圖所示的拋物線(i,2),y1<ai<y2恒成立，顯然a>i,并且必須也只需當(dāng) x=2時(shí)y2的函數(shù)值大于等于2.8、已知關(guān)于x的方程lg(x2+4x)-lg(2x-6a-4)=0分析：方程可轉(zhuǎn)化成lg(x 2+4x)=lg(2x-6a-4), 看成是二次函數(shù) y= x2+4x及一次函數(shù) y=2x-6a-4

24、唯一交點(diǎn)即可。解：令 yi=x2+4x= (x+2) 2-4,y 2=2x-6a-4,有唯一解，求實(shí)數(shù) a的取值范圍。從而得x2+4x=2x-6a-4>0,注意到若將等號(hào)兩邊則只需考慮這兩個(gè)函數(shù)的圖象在x軸上方恒有yi的圖象為一個(gè)定拋物線 有唯一交點(diǎn)，則直線必須位于 當(dāng)直線為l i時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)(-4y 2的圖象是k=2,而截距不定的直線，要使yi和y2在x軸上方l i和l 2之間。(包括l i但不包括l 2),0),此時(shí)縱截距為-8-6a-4=0,a=2；.a的范圍為2,-) 32當(dāng)直線為l2時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)(0,0),縱截距為-6a-4=0,a=一3（五）合理聯(lián)想，運(yùn)用平幾性質(zhì)9、不論k為

25、何實(shí)數(shù)，直線與曲線恒有交點(diǎn)，求a的范圍。分析：因?yàn)轭}設(shè)中有兩個(gè)參數(shù)，用解析幾何中有交點(diǎn)的理論將二方程聯(lián)立，用判別式來(lái)解題是比較困難的。若考慮到直線過(guò)定點(diǎn)A（0，1），而曲線為圓,圓心C（a，0），要使直線恒與圓有交點(diǎn)，那么定點(diǎn)A（0,1）必在圓上或圓內(nèi)。解：C（a，0），當(dāng)時(shí)，聯(lián)想到直線與圓的位置關(guān)系，則有點(diǎn)A（0，1）必在圓上或圓內(nèi)，即點(diǎn)A（0，1）到圓心距離不大于半徑，則有得。（六）分類討論，避免重復(fù)遺漏10、當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求x的范圍。解：使用的條件，必須將m分離出來(lái)，此時(shí)應(yīng)對(duì)進(jìn)行討論。當(dāng)時(shí)，要使不等式恒成立，只要，解得。當(dāng)時(shí)，要使不等式恒成立，只要，解得當(dāng)時(shí)，要使恒成立，只有。綜上

26、得解法2：可設(shè)變主元的辦法，將m視為主變?cè)?，即將元不等式化為：m（x21）（2x1）0，；令2f(m)m(x21)(2x1)，則2m2時(shí)，f(m)0恒成立，所以只需2(x21)(2x1)0,所以x的范圍是x2(x21)(2x1)01,71、3、（-,）o此類題本質(zhì)上是利用了22一次函數(shù)在區(qū)間m,n上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點(diǎn)均在x軸上方（或下方）即可.11、當(dāng)1 x 3時(shí)，不等式x2x 3斛：a 2 x當(dāng)1 x 3時(shí)，x 3 2心2 x .2故實(shí)數(shù)a的取值范圍：a <6（七）構(gòu)造函數(shù)，體現(xiàn)函數(shù)思想12、（ 1990年全國(guó)高考題）設(shè)為任意給定的自然數(shù)，且圍。解：本題即為對(duì)于這里

27、有三種元素交織在一起，結(jié)構(gòu);來(lái)，得2 ax 6 。恒成立，求J6 ,當(dāng)二3即x2 x,如果 當(dāng),有:雜，難以下手，若考慮到求,對(duì)于致a的取值范圍。展時(shí)等號(hào)成立。,其中a為實(shí)數(shù)，n時(shí)有意義，求a的取值范恒成立。a的范圍，可先將a分離出 恒成立。構(gòu)造函數(shù)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的值域。由于函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則在上為單調(diào)增函數(shù)。于是有的最大值為：，從而可得。（八）利用集合與集合間的關(guān)系在給出的不等式中，若能解出已知取值范圍的變量，就可利用集合與集合之間的包含關(guān)系來(lái)求解，即：m,nfa,ga，則fam且gan,不等式的解即為實(shí)數(shù)a的取值范圍。例13、當(dāng)xlOgaX1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：

28、Q110gaX1(1)1時(shí),a,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 1,33(2)a 1時(shí),1x ,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 a13，31 aa1綜上所得：0 a 或a 33四、其它類型恒成立問(wèn)題能成立問(wèn)題有時(shí)是以不等式有解的形式出現(xiàn)的。21、已知函數(shù) f(x) x 2ax 1 , g(x) 對(duì)任意 x1 1,2, x2 2,4,都有 f(x1)a,其中 a 0, x 0. xg(x2)恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍;【分析：】思路、對(duì)在不同區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)函數(shù) 即可.f(x)和g(x)分別求最值，即只需滿足驚山)gma&)簡(jiǎn)解：令n(a)=gma(x)=a/2;令m(a)=fmin(x),f(x)=(x-a)2+1-a2,

29、故(1)對(duì)稱軸x=a<1,即或0<a<1時(shí)，m(a)=fmin(x)=f(1)=2-2a,由m(a)>n(a)解得a<4/5,(注意到a的范圍)從而得a的范圍：0<a<4/5;(2)對(duì)稱軸x=a>2時(shí)，m(a)=fmin(x)=f(2)=5-4a,由m(a)>n(a)解得a<10/9,(注意到a的范圍)從而得a無(wú)解：；f(3)對(duì)稱軸x=aC1,2時(shí)，m(a)=fmin(x)=f(a)=2-2a,由m(a)>n(a)解得a1一翅7或4117a1,(注意到a的范圍)從而得a的范圍1a2：;4綜合(1)(2)(3)知實(shí)數(shù)a的取值范圍是

30、：(0,4/5)U1,22、已知兩函數(shù)f(x) x2 , g(x)1 m ,對(duì)任意X10,2 ,存在X221,2 ,使得f (Xi) g X2 ,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為解析：對(duì)任意X10,2 ,存在 X21,2 ,使得 f(Xi)g X2 等價(jià)于 g(X)m在1,2上1一，一。11的取小值一m不大于f(x)x在0,2上的最小值0,既一m0,.m一444題型二、主參換位法(已知某個(gè)參數(shù)的范圍，整理成關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù))題型三、分離參數(shù)法(欲求某個(gè)參數(shù)的范圍，就把這個(gè)參數(shù)分離出來(lái))題型四、數(shù)形結(jié)合(恒成立問(wèn)題與二次函數(shù)聯(lián)系(零點(diǎn)、根的分布法)五、不等式能成立問(wèn)題(有解、存在性)的處理方法若在區(qū)間D上

31、存在實(shí)數(shù)X使不等式fXA成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上fXmaxA；max若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)X使不等式fXB成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上的fXminB.1、存在實(shí)數(shù)X,使得不等式|X3|x1a23a有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為。解：設(shè)fxx3x1,由fxa23a有解，a23afxm,又x3x1x3x14,1-a23a4,解得a4或a1。1、求使關(guān)于p的不等式X2px1p2x在pC-2,2有解的x的取值范圍。解：即關(guān)于p的不等式(x1)px22x1。有解，設(shè)fpx1px22x1,則fp在-2,2上的最小值小于0。(1)當(dāng)x>1時(shí)，f(p)關(guān)于p單調(diào)增加,故fmin(p)=f(-2)=x2-4x+3&

32、lt;0,解得1<x<3;(2)當(dāng)X<1時(shí)，f(p)關(guān)于p單調(diào)減少，故fmin(p)=f(2)=X2-1<0,解得-1<X<1；當(dāng)X=1時(shí)，f(p)=0,故fmin(p)=f(p)<0不成立。綜合(1)(2)(3)知實(shí)數(shù)x的取值范圍是：(-1,1)U(1,3)例、設(shè)命題P:x1,x2是方程x2-ax-2=0的二個(gè)根，不等式|m2-5m-3|引x1-X2I對(duì)任意實(shí)數(shù)aC-1,1命題Q:不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)有解；若命題P和命題Q都是真命題，求m的值范圍。解：(1)由P真得：lxX2|da28,注意到a在區(qū)間-1,1,|x1X

33、2丁3,5m3| 以 x2 |max 322由于|m-5m-3|引x1-X2|對(duì)任意實(shí)數(shù)aC-1,1恒成立，故有|m解得：me-1或m6或0wme5(1)由Q真,不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)有解，得(|x-2m|-|x|)ma=2m>1,解得:m>1/2由于(1)(2)都是相公命題，故m的值范圍：1/2<mW5或6.舉例(1)已知不等式對(duì)于)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍(2)若不等式對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍分析：(1)由得：對(duì)于)恒成立，因，所以，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以有.(2)注意到對(duì)于恒成立是關(guān)于的一次不等式.不妨設(shè)，則在上單調(diào)遞減，則問(wèn)題等價(jià)于,所以

34、或，則取值范圍為小結(jié)：恒成立與有解的區(qū)別:恒成立和有解是有明顯區(qū)別的，以下充要條件應(yīng)細(xì)心思考，甄別差異，恰當(dāng)使用，等價(jià)轉(zhuǎn)化，切不可混為一體。不等式f x M對(duì)x I時(shí)恒成立fmax(x) M?, x I。即f x的上界小于或等于M ;不等式f x M對(duì)x I時(shí)有解fmin(x) M?, x I o或f x的下界小于或等于M ；不等式f x M對(duì)x I時(shí)恒成立fmin(x) M?, x I。即f x的下界大于或等于M ；不等式f x M對(duì)x I時(shí)有解fmax (x) M , x I . o或f x的上界大于或等于M ;高中數(shù)學(xué)難點(diǎn)強(qiáng)化班第四講(140709)課后練習(xí)答案:一.填空選擇題(每小題6

35、分，共60分)1、對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,若不等式|x1|x2a恒成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍。答案：|x+1|-|x-2|-|(x+1)-(x-2)|=-3,故實(shí)數(shù)a的取值范圍：a<-32、不等式sin2x4sinx1a0有解，則a的取值范圍是解：原不等式有解asin2x4sinx1sinx2231sinx1有解而sinx2232,'min所以a2。3.若對(duì)任意xR,不等式|x|ax恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(m5.(A)a1(B)|a|解析：對(duì)xR,不等式則由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知答案：選B4.當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式|x|2x2x解析：當(dāng)x(1,2)時(shí)，由x2mx40得m4x244.

36、令f(x)x一,則易知xxxf(x)在(1,2)上是減函數(shù)，一一.一一一.x24所以x1,2時(shí)f(x)maxf(1)5,則()min5，5.已知不等式ax23x(a1)x2xa1對(duì)任意a(0,)都成立，那么實(shí)數(shù)X的取值范圍為分析：已知參數(shù)a的范圍，要求自變量x的范圍,轉(zhuǎn)換主參元x和a的位置，構(gòu)造以a為自變量x作為參數(shù)的一次函數(shù)g(a),轉(zhuǎn)換成a(0,)，g(a)0恒成立再求解。解析：由題設(shè)知“ax23x(a1)(0,)都成立，即a(x22)x22x0對(duì)a(0,)都成立。設(shè)g(a)(x22)ax22x(aR),則g(a)是一一個(gè)以a為自變量的一次函數(shù)。Qx220恒成立，則對(duì)xR,g(a)為R上的

37、單調(diào)遞增函數(shù)。所以對(duì)a(0,),g(a)0恒成立的充分必要條件是g(0)0，0,于是x的取值范圍是x|2x0。6.已知函數(shù)f2mx224mx1,gx若對(duì)于任一實(shí)數(shù)f(x)與g(x)的值至少有一個(gè)為正數(shù),A.(0,2)B則實(shí)數(shù).(0m的取值范圍是(8)C.(2,8)(°°,0)分析：f(x)與g(x)的函數(shù)類型，直接受參數(shù)m的影響，所以首先要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，然后轉(zhuǎn)換成不等式的恒成立的問(wèn)題利用函數(shù)性質(zhì)及圖像解題。解析：當(dāng)m0時(shí)，f(x)8x11,一0在(，一)上恒成立，而g(x)08在R上恒成立，顯然不滿足題意;(如圖1)m0時(shí)，g(x)在R上遞減且g(x)mx0只在(，0)上恒成立,f(x)是一個(gè)開(kāi)口向下且恒過(guò)定點(diǎn)0,1)的二次函數(shù)，顯然不滿足題意。g(x)00當(dāng)m0時(shí)，g(x)在R上遞增且g(x)f(x)是一個(gè)開(kāi)口向上且恒過(guò)定點(diǎn)(0,1)fx與gx的值至少有一個(gè)為正數(shù)則只需f(x)0在(，0上恒成立。(如圖3)f(x)的二次函數(shù)，要使對(duì)任一實(shí)g(x)x圖3mx0在(0,)上恒成立,g(x)mx圖2f(x)8x1圖14 m則有H 04(4 2m) 8m9、對(duì)一切實(shí)數(shù)x,不等式x 3x 2 a恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍。若不等式x 3 x 2a有解，求實(shí)數(shù)a的范圍。,、4m或0解得4m8或0m4,2m綜上