D10_3三重積分 柱坐標(biāo)及球坐標(biāo)20160405

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分的步驟利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分的步驟考慮是否用柱坐標(biāo)計(jì)算考慮是否用柱坐標(biāo)計(jì)算化為柱坐標(biāo)系下化為柱坐標(biāo)系下三重積分三重積分積分次序：積分次序：定限方法：定限方法：化為累次積分化為累次積分計(jì)算累次積分計(jì)算累次積分注意注意 對(duì)一個(gè)變量積分時(shí)，將其余變量對(duì)一個(gè)變量積分時(shí)，將其余變量視為常數(shù)視為常數(shù)的投影的投影為圓或圓的一部分為圓或圓的一部分f(x,y,z)=22g() ( )xyh z或或arctanyx( , )d d df x y zx y z 三變、一勿忘三變、一勿忘( , , )f x y z積分區(qū)域積分區(qū)域 柱坐標(biāo)表示柱坐標(biāo)表示被積函數(shù)被積函

2、數(shù)( cos ,sin , )fz 體積元素體積元素d d dx y zd d dz 一個(gè)勿忘一個(gè)勿忘一般先一般先z后后再再投影、發(fā)射投影、發(fā)射(cos,sin, ) d d dfzz 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分的步驟利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分的步驟考慮是否用球坐標(biāo)計(jì)算考慮是否用球坐標(biāo)計(jì)算化為球坐標(biāo)系下化為球坐標(biāo)系下三重積分三重積分積分次序：積分次序：定限方法：定限方法：化為累次積分化為累次積分計(jì)算累次積分計(jì)算累次積分注意注意 對(duì)一個(gè)變量積分時(shí)，將其余變量對(duì)一個(gè)變量積分時(shí)，將其余變量視為常數(shù)視為常數(shù)的球的球或球的一部分或球的一部分f(x,y,z)中含有中含有222xyz(

3、 , )d d df x y zx y z 三變、一勿忘三變、一勿忘( , , )f x y z積分區(qū)域積分區(qū)域 球坐標(biāo)表示球坐標(biāo)表示被積函數(shù)被積函數(shù)( , , )F r 體積元素體積元素d d dx y z2sind d drr 一個(gè)勿忘一個(gè)勿忘2sinr一般先一般先r后后再再觀察、想象觀察、想象2( sinsin , sincos , cos )sin d d df rrrrr 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三重積分的定義和計(jì)算三重積分的定義和計(jì)算在直角坐標(biāo)系下的體積元素dvdxdydz（計(jì)算時(shí)將三重積分化為三次積分）小結(jié)方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”

4、),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(ZDbayxzyxfzdd),(dvzyxfd),(目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 確定上下曲面函數(shù)，得 z的積分限;1. 把往xoy平面上投影,得積分區(qū)域D;3. 先求關(guān)于z的定積分,得x,y的二元函數(shù);4. 再求關(guān)于x,y的二重積分.先一后二”積分法的基本步驟:對(duì)za,b用過(guò)點(diǎn)(0,0,z)且平行xOy平面的平面去截 ，得截面Dz;1. 把向z軸投影,得z的積分限a,b; 3. 先求關(guān)于x,y的二重積分,得“先二后一”積分法的基本步驟:4. 最后計(jì)算單積分( )baF z dz( )( , , )zDF zf x

5、 y z dxdyabxyzzzDzyxyxDO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第三節(jié)一、三重積分的概念三重積分的概念 二、三重積分的計(jì)算二、三重積分的計(jì)算三重積分 第十章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 回憶用投影法（先一后二）計(jì)算三重積分( , , )Df x y z dVdxdy21( , )( , )( , , )zx yzx yf x y z dz如果積分區(qū)域 在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域 D 是圓域則二重積分應(yīng)當(dāng)考慮用極坐標(biāo)計(jì)算.這就等于用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分.2. 利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分 zyxyxDO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyz2. 利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用

6、柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分 ,),(3RzyxM設(shè),代替用極坐標(biāo)將yx),z（則就稱(chēng)為點(diǎn)M 的柱坐標(biāo).z200sinyzz cosx直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:常數(shù)坐標(biāo)面分別為圓柱面常數(shù)半平面常數(shù)z平面z),(zyxM)0 ,(yxO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 d ;柱面 與 xyzodzvdd ;半平面 與dzzz平面 與ddzz在柱面坐標(biāo)系中體積元素為zvdddd因此zyxzyxfddd),( cos ,sin , )fz zdddddd ,D當(dāng)積分域 的投影域 為與圓域有關(guān)的區(qū)域時(shí),( , ).zz r一般選用柱面坐標(biāo) 此時(shí)曲面應(yīng)表示為元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 如圖所

7、示, 在柱面坐標(biāo)系中體積元素為zvdddd因此( , , )d d df x y zx y z),(zF其中),sin,cos(),(zfzF適用范圍適用范圍:1) 積分域一般應(yīng)為柱體積分域一般應(yīng)為柱體,錐體錐體,柱面柱面,錐面與其他曲面錐面與其他曲面 所圍空間體等所圍空間體等.2) 被積函數(shù)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離變量互相分離.zdddzzddddxyzddO22( , , )g() ( )f x y zxyh z目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 常見(jiàn)曲面的柱面坐標(biāo)方程常見(jiàn)曲面的柱面坐標(biāo)方程曲面直角坐標(biāo)方程柱面坐標(biāo)方程222zaxy22zar22zxyzr22zxy2zr222xya

8、ra222xyax2 cosra半球面半球面圓錐面旋轉(zhuǎn)拋物面圓柱面圓柱面圓柱面222xyay2 sinra目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 常見(jiàn)曲面的柱面坐標(biāo)方程常見(jiàn)曲面的柱面坐標(biāo)方程目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 利用公式用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分的一般步驟：1.將區(qū)域往xoy面上投影，確定平面區(qū)域Dcos ,sin ,.xryrzz3. 過(guò)D內(nèi)任一點(diǎn)(x，y)做平行于z 軸的直線(xiàn)，穿區(qū)域確定z的上下限；4. 在 D上分別確定r、上下限（類(lèi)同于平面極坐標(biāo)）次序?yàn)椋簔r將的邊界曲面、被積函數(shù) f(x，y，z),體積元素,三重積分化為柱面坐標(biāo)系下形式；柱面坐標(biāo)常用于：柱面坐標(biāo)常用于： 圓柱體和圓錐體

9、上的三重積分。圓柱體和圓錐體上的三重積分。( , )( cos,sin, ).f x y z dvf rrz rdrddz212111( )( , )( )( , )cos , sin ,rzrrzrddrf rrz rdz目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 計(jì)算三重積分d d d ,z x y z22zxy4z 所圍成 .與平面其中 由拋物面OOxyz在柱面坐標(biāo)系下4:24zdz24012(16)d226 210684z022020d 20d2zvdddd原式 =26 2106864.3解解:在xOy面上的投影區(qū)域D: 224,xy上邊界曲面為z 4 下邊界曲面為z .2目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

10、 返回 結(jié)束 例例2. 計(jì)算計(jì)算 22(),xy dv22zxy解：解：222zxyz由22()xydv222200dddz22302ddz2302(2)d165故在xOy平面224,xy得交線(xiàn) 上投影區(qū)域?yàn)?2z02202z 所圍成 .與平面其中 由圓錐面22( , )|4xyDx yxy上邊界曲面為z 4 下邊界曲面為z .dd d dvz 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解:2222zz1,1,zxyzo2124001(2)2dd 例例3. 計(jì)算三重積分d ,z v22xyz所圍成 .與拋物面其中 由球面2222xyz:22z01202知交線(xiàn)為由222dzz10d 20d原式 =1246

11、01146 7.1222,z上邊界:下邊界:2,z目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2axyzO其中 為例例4. 計(jì)算三重積分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所解解: 在柱面坐標(biāo)系下:cos2020az 0及平面zvddddzzddd2原式由柱面cos2圍成半圓柱體.cos202ddcos342032a20d0daz z298a目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分 ,),(3RzyxM設(shè)),(z其柱坐標(biāo)為就稱(chēng)為點(diǎn)M 的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系,zOMzr( ,)r 則則0200rcossinrx sinsinry co

12、srz 坐標(biāo)面分別為常數(shù)r球面常數(shù)半平面常數(shù)錐面, rOM 令( , , ,)M r sinrcosrz MxyzOP目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 半平面 及 + d ； 半徑為r及r + dr的球面；圓錐面及+d r drd rsin xz y0圓錐面圓錐面 rd 球面r圓錐面圓錐面 + d 球面球面r+d r元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：d rsin d 球面坐標(biāo)下的體積元素球面坐標(biāo)下的體積元素目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：球面坐標(biāo)下的體積元素球面坐標(biāo)下的體積元素半平面半平面 及及 +d ； 半徑為半徑為r及及r+dr的球面；的球面；圓錐面圓錐面 及及 + d ddd

13、sind2rrv r drd xz y0 d rd rsin d .dv目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 rddrdd如圖所示, 在球面坐標(biāo)系中體積元素為dddsind2rrv 因此有zyxzyxfddd),( , , )F r 其中( , , )( sincos , sinsin , cos)F rf rrr dddsin2rrxyzO( sin cos , sin sin , cos )f rrrdddsin2rr目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 球面坐標(biāo)球面坐標(biāo)直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)球體球體zyxzyxfddd),( , , )F r dddsin2rr0R0d20d:rR02002222xyzR:下

14、面介紹一些區(qū)域的球面坐標(biāo)的描述目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 球面坐標(biāo)球面坐標(biāo)直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)球體球體zyxzyxfddd),(dddsin2rr2 cos0a20d:2 cosra022002222xyzaz:20d( , , )F r 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zyxzyxfddd),( , , )F r dddsin2rr0R40d20d球面坐標(biāo)球面坐標(biāo)直角坐標(biāo)直角坐標(biāo):rR0420022222xyzRxy:球頂錐體球頂錐體目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 常見(jiàn)的曲面在球坐標(biāo)下的方程常見(jiàn)的曲面在球坐標(biāo)下的方程目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 次序?yàn)榇涡驗(yàn)? r 2. 將區(qū)域往xoy面上投影，確

15、定平面區(qū)域D，4.過(guò)原點(diǎn)做射線(xiàn)，穿區(qū)域確定 r 的上下限.1. 關(guān)系式關(guān)系式sin cos ,sin sin ,cos .xryrzr3. 對(duì)任一，過(guò)z軸做半平面，找出角變化最用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分的一般步驟：用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分的一般步驟：將的邊界曲面、被積函數(shù)f（x，y，z）、體積元素、三重積分化為球面坐標(biāo)系下形式；由D找出的上下限；大的與的截面，確定的上下限注：當(dāng)積分區(qū)域注：當(dāng)積分區(qū)域 由球體由球體,半球體半球體, 球面與錐面或其一球面與錐面或其一部分所圍空間體等部分所圍空間體等.222( , , )()f x y zg xyz22()h xy或目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyzO例

16、例5. 計(jì)算三重積分,ddd)(222zyxzyx22yxz為錐面2222Rzyx解解: 在球面坐標(biāo)系下:zyxzyxddd)(222所圍立體.40Rr 020其中 與球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20d4Rr 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 Oxyza2例例6. 求半徑為a 的球面與半頂角為 的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解解: 在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)?則立體體積為zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20drrvdddsind2M目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 求半徑為a

17、的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成于是所求立體的體積為 此球面的方程為x2y2(za)2a2 即x2y2z22az 例例6. 的立體的體積 由圓錐面和球面圍成 ,解解:采用球面坐標(biāo)，錐面方程為 在球面坐標(biāo)下球面方程為r2acos , :0,02 cos ,ra02.dVv2sind ddrr dddsind2rrv 2 cos20darr33016cossin d3a 0sind 20d033sincos316da)cos1 (3443aa Oxyza2M目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7. 計(jì)算三重積分22()d d d ,xyx y z2222,xyzaz解解: 在球面坐標(biāo)系下:22()d

18、 d dxyx y z所圍立體.202 cos2 cosarb20其中 面dddsind2rrv 2 cos2222 cossinsindbarrr20d20d是由兩個(gè)球2222xyzbz(),ab355201sin(2 cos )(2 cos ) d5ba2目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 22()d d dxyx y z355201sin(2 cos )(2 cos ) d5ba25564()5ba3520sincosd 5564()5ba2520(1 cos)cosd( cos )5564()5ba2520(cos1)cosdcos5564()5ba86coscos28605564()5ba

19、124558()15ba目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2222340(4z4)daaazzz58.15a20daz22()d dZDxyx y20daz2220daz z 20d224012( 2) d4aazzz解解: :02za222:2zDxyazz例例7. 計(jì)算三重積分22()d d d ,xyx y z2222,xyzaz所圍立體.其中 面是由兩個(gè)球2222xyzbz(),ab22()d d dxyx y z原式原式 258()15ba目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 z Oxya4.M.02 cosra0204r :解解: 在球面坐標(biāo)系下d ,Iz v10(2).計(jì)算其中 由不等式 2

20、222(),xyzaa222xyz所確定. 2 cosra目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .02 cosra0204dz v:解解: 在球面坐標(biāo)系下d ,Iz v10(2).計(jì)算其中 由不等式 2222(),xyzaa222xyz所確定. 2 cos30darr40cos sind 20d4401cos sin (2 cos ) d4a247.6acos drv2sin d d drr 48 a540cossind 48 a4601cos6目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 所圍成的閉區(qū)域.0cos ,r222dvxyzcos30drr420cos2sind4110cosr0,22020dsin20d

21、dddsind2rrv yzx1Or222d ,Ixyzv11(2).計(jì)算其中 是由球面222xyzz:解解: 在球面坐標(biāo)系下250 cos25 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 所圍成的閉區(qū)域.01,r222()dvxyz140drr02sind54.51r 0,200sind 20ddddsind2rrv 222()d ,Ixyzv10(1).計(jì)算其中 是由球面2221xyz:解解: 在球面坐標(biāo)系下02cos5 Ozxy目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域.01,zdxy v10dz1.801,02130d20sin cos d d ,Ixy v11(1).計(jì)算其中 為柱

22、面1,0,0,0zzxy:解解: 在柱面坐標(biāo)系下2201sin8221,xy及平面2cos sin11xyzOzvdddd1dd dz 201sin dcos4目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 設(shè) 由錐面22yxz和球面4222zyx所圍成 , 計(jì)算.d)(2vzyxI提示提示:zOxy24利用對(duì)稱(chēng)性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐標(biāo) rr d420dsin4020d221564目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)zyxdddzddddddsin2rr積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡(jiǎn)潔, 或坐標(biāo)系 體積元素 適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系*

23、 * 說(shuō)明說(shuō)明:三重積分也有類(lèi)似二重積分的換元積分公式換元積分公式:),(),(wvuzyxJ對(duì)應(yīng)雅可比行列式為*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf變量可分離.圍成 ;目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P167 9，10，11（1，2）。 第四節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7.求曲面)0()(32222azazyx所圍立體體積.解解: 由曲面方程可知, 立體位于xOy面上部,cos0:3ar 利用對(duì)稱(chēng)性, 所求立體體積為vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar ,202020dsin20d4yOz面對(duì)稱(chēng), 并與xOy面相切, 故在

24、球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于 xOz dddsind2rrv yzxaOr目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4zxy1O3. 計(jì)算,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI其中.4, 1),(2122圍成由zzyxz解解:zyxxIddd2利用對(duì)稱(chēng)性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21 21zDzyxyxyxdddsin52220目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2,zxz1. 將. )(),(Czyxf用三次積分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中 由所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20dx思考與練習(xí)思考與練習(xí)六個(gè)平面圍成 ,:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 432222(),.Ixydvzxyzh計(jì)算其中 由所圍例例8xyzoh解解1)(xy22(+)d dDI