44第四節(jié)有理函數(shù)的積分

1、高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系第四節(jié)第四節(jié) 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分 利用各種代換可將無理函數(shù)或超越函數(shù)的積分化為有理式函數(shù)的積分.有理式函數(shù)的積分可以用初等函數(shù)的形式處理.1.1.有理函數(shù)有理函數(shù): :有理函數(shù)是指由兩個多項式的商所表示的函數(shù).有理函數(shù)的形式是：mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxqxp11101110.)()(高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系(其中m,n為非負整數(shù),a0,a1,an及b0,b1,bm為實數(shù),且a00,b0 0)注意: (1)我們假設(shè)分子p(x)和分母q(x)這兩個多項

2、式之間沒有公因式; (2)分子是n次多項式,分母為m次多項式, 當nm時,此有理函數(shù)為假分式.高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系2.2.真分式及其性質(zhì)真分式及其性質(zhì) 通過多項式的除法,總可以把一個假分式化為一個多項式和一個真分式之和的形式。例如1111223xxxxx 由此可見,對于有理函數(shù)的積分,只要計算真分式即可,因為多項式的積分在前面已經(jīng)得到了研究,高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系另外, 真分式也可用p(x)/q(x)表示. 真分式p(x)/q(x)可分解為部分分式之和, 條件是多項式q(x)在實數(shù)范圍內(nèi)能分解為一

3、次因式和二次因式的乘積, 即高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系).()().()()(220srxxqpxxbxaxbxq其中p2-4q0,r2-4q0 則部分分式之和的形式如下:2.r xsxrxs 其中a1,.b1,.m1,.n1,.r1,.s1,都是常數(shù)121211( ).( )()()()()baaabbp xq xxaxaxaxbxbxb 112211222212221.()()()()m xnm xnm xnr xsr xsxpxqxpxqxpxqxrxsxrxs高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系注意: (1)

4、 分母q(x)中, 如有因式(x-a)k, 則分解后有k個部分分式之和, 即axaaxaaxakkk.)()(121(其中a1,a2.ak都是常數(shù),為待定系數(shù))特別是若k=1, 則分解后的部分分式就是axa1高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系 (2)分母q(x)中,如有因式(x2+px+q)k,則分解后有下列k個部分分式之和,即qpxxnxmqpxxnxmqpxxnxmkkkk21222211.)()(其中p2-4q0,m1,n1,.都是常數(shù), 為待定系數(shù))特別是若k=1,則分解后的部分分式為qpxxnmx2高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理

5、系武漢科技學院數(shù)理系例1 把真分式 分解為部分分式之和6532xxx)2)(3(36532xxxxxx解:此題分母q(x)分解為二個一次因式, 有32)2)(3(3xbxaxxx其中a, b為待定系數(shù)高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系 2. 2.待定系數(shù)的求法待定系數(shù)的求法 第一種方法：等式右端通分,等式兩端去分母,比較等式兩端的系數(shù)與常數(shù),使之相等,解方程組,求出待定系數(shù).(3)(2)23(2)(3)aba xb xxxxx1,3235,6ababab 3(3)(2)()(32 )xa xb xab xab高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理

6、系武漢科技學院數(shù)理系第二種方法：在通分和去分母后,得到一恒等式, 在恒等式中,代入特殊的x值,求出待定系數(shù)例如例1得到 x+3=a(x-3)+b(x-2) 令x=2 a=-5 x=3 b=6 則有部分分式之和為3625)2)(3(3xxxxx高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系例2 把真分式 分解為部分分式之和2) 1(1xx解:22221(1)(1)(1)(1)1(1)abca xbxcx xx xxxxx x221111(1)(1)1x xxxx2(1)(1)1,2,1xxcx xxc 令得到0,1;1,1,xaxba b令得到把代入 得到2(1)(1)1

7、a xbxcx x高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系3.3.有理真分式的積分有理真分式的積分 積分步驟:(1)把真分式分解為部分分式之和. (2)對各部分分式積分.高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系dxxxx65322333256(2)(3)23(2)(3)xxabaxabxbxxxxxxxx解 例3 求23565ln26ln35623xdxdxdxxxcxxxx 1,3235,6ababab 高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系例4 計算43232222221xxxxdxxxx例5 計算

8、2) 1(xxdx高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系下面討論積分.)(2dxqpxxnmxn把分母中的二次質(zhì)因式配方得到22222()24ppxtxpxqtaaq222(),24ppxpxqxq()2mpmxnmtb bn22222.()()()nnnmxnmtdtbdxdtxpxqtata高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系222ln()2pxmxnmbdxxpxqarctgcxpxqaa222122()2(1)()()nnnmxnmbdxdtxpxqntata 1,n 當時1,n 當時221,()ndtta用遞推公式解之

9、有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系122211(23)2(1) ()nnntinianta2112212(1)()nnnntinia ita22212212(1) ()()nnandttata221()ntta2221222(1)()()nnttndttata122122111,()()nnndtidudt vuttata222(1)()nntdtdvta 高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系以此作遞推公式,并由caxarctgai11例6有些可化為有理函數(shù)的積分,如2sec(1 sec )xdx

10、x還有些可把代數(shù)恒等變形或換元等方法：27(1)(1)dxxx例求5881xxdxx例求高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系從上面的不定積分看出,求一個函數(shù)的不定積分比求函數(shù)的導數(shù)靈活得多,一個積分可以用多種方法計算,并且積分結(jié)果在形式上也可能不一樣,在具體計算時,應(yīng)盡可能選擇簡單的積分法.例9 求224xxdx高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系二、三角函數(shù)有理式的積分二、三角函數(shù)有理式的積分 1. 三角函數(shù)有理式的表達式為三角函數(shù)有理式的表達式為r(sinx,cosx)三角函數(shù)有理式是指三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算所構(gòu)

11、成的函數(shù),而各類三角函數(shù)都可用sinx及cosx的有理式表示.故三角函數(shù)有理式也就是sinx, cosx的有理式.高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系2.2.簡單三角函數(shù)有理式積分的求法簡單三角函數(shù)有理式積分的求法 萬能代換2222222,21112xtgxdtttgtdxtgxxtttgdttttttrdxxxr222212)12,11()sin,(cos2222121.sin,cos211tttctgxxxttt高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系3簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分 1. 1. 簡單的無理函數(shù)的形式簡單

12、的無理函數(shù)的形式 我們只討論r(x, t)形式的簡單無理函數(shù). 其中：nndcxbaxtbaxt,2.2.簡單無理函數(shù)積分舉例簡單無理函數(shù)積分舉例一般直接令根號為t ,目的是換元后去掉根號.高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系dxxx12:1,1,2txxtdxtdt解 令例10 求12(11)xtgxc 1212 (1)2()1dtttg tct2222121 1211xttdxdtdtxtt 高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系例11 求xxdx)1 (365,6tx dxt dt=解解22325316)1 (6)1 (tdttttdttxxdxcttgt