經(jīng)典傅里葉變換講解ppt課件

1、1.1.傅里葉級(jí)數(shù)定義及適用條件傅里葉級(jí)數(shù)定義及適用條件2.2.常見(jiàn)周期信號(hào)的頻譜常見(jiàn)周期信號(hào)的頻譜, ,非周期性信號(hào)的頻譜非周期性信號(hào)的頻譜3.3.傅里葉變換的定義及適用條件及性質(zhì)傅里葉變換的定義及適用條件及性質(zhì)4.4.周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換5.5.抽樣定理抽樣定理6.6.功率頻譜與能量頻譜功率頻譜與能量頻譜7.7.系統(tǒng)頻域分析法系統(tǒng)頻域分析法8.8.希爾伯特變換希爾伯特變換第第3 3章章 傅里葉變換傅里葉變換l 重點(diǎn)：重點(diǎn)：1. 傅里葉傅里葉17681768年生于法國(guó)年生于法國(guó),1807,1807年提年提出出“任何周期信號(hào)都可用正弦函數(shù)任何周期信號(hào)都可用正弦函數(shù)級(jí)數(shù)表示級(jí)

2、數(shù)表示”, 1822, 1822年在年在“熱的分析熱的分析理論理論”一書(shū)中再次提出。一書(shū)中再次提出。18291829年狄年狄里赫利給出傅里葉變換收斂條件。里赫利給出傅里葉變換收斂條件。傅里葉變換得到大規(guī)模的應(yīng)用，則傅里葉變換得到大規(guī)模的應(yīng)用，則是到了上世紀(jì)是到了上世紀(jì)6060年代之后。年代之后。3.1 傅里葉變換的產(chǎn)生傅里葉變換的產(chǎn)生傅里葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)：傅里葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)：（1）“周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和加權(quán)和”;（2）“非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示示”.21,cos ,sin

3、,cos2 ,sin2 ,cos,sin,ttttktkt21*( )( )d1tiitf t ftt 21*( )( )d0tijtf t fttij，三角函數(shù)三角函數(shù)就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的兩兩正交的函數(shù)空間。它滿足下列完就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的兩兩正交的函數(shù)空間。它滿足下列完備正交函數(shù)的三個(gè)條件：備正交函數(shù)的三個(gè)條件：3.2 周期信號(hào)的傅里葉分析周期信號(hào)的傅里葉分析1. 歸一化：歸一化：2. 歸一正交化：歸一正交化：3. 歸一化完備性：可以用其線性組合表示任意信號(hào)歸一化完備性：可以用其線性組合表示任意信號(hào)3周期的終點(diǎn)周期的終點(diǎn) 1111111,cos,sin,cos2,sin2,cos,sin,ttttkt

4、kt12122Ttt 設(shè)三角函數(shù)的完備函數(shù)集為設(shè)三角函數(shù)的完備函數(shù)集為：其中其中三角函數(shù)集也可表示為：三角函數(shù)集也可表示為：11cos(),sin()0,1,2,ntntn3.2.1 傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式基頻基頻 周期周期 周期的起點(diǎn)周期的起點(diǎn) 42111cos()sin()d0ttntmtt21211111cos()cos()d0,sin()sin()d0ttttntmttmnntmtt2211222111cos ()dsin ()d22ttttttTnttntt21211dtttTtt0n 時(shí)，有時(shí)，有（2 2）“單位單位”常數(shù)性，即當(dāng)常數(shù)性，即當(dāng) 滿足滿足： （1）正

5、交性：函數(shù)集中的任意函數(shù)兩兩相正交，有正交性：函數(shù)集中的任意函數(shù)兩兩相正交，有 5可以將可以將“任意任意”周期函數(shù)周期函數(shù) 在這個(gè)正交函數(shù)集中展開(kāi)為在這個(gè)正交函數(shù)集中展開(kāi)為( )f t0111( )(cossin)nnnf taantbnt22112211112121212( )cos()d , 0( )cos()d1cos ()d( )d ,0ttttnttttf tnttnf tnttttanttf ttntt221211112211( )sin()d2( )sin()dsin ()dtttntttf tnttbf tnttttntt系系數(shù)數(shù)稱為傅里葉級(jí)數(shù)稱為傅里葉級(jí)數(shù) 6011( )co

6、s()2nnnaf tcnt0111 ( )(cossin)2nnnaf tantbnt或211212( )cos()dtntaf tntttt 同上式同上式 傅里葉級(jí)數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的三角展開(kāi)式三角展開(kāi)式 另一種形式另一種形式 t 直流分量直流分量 n=1n1基波分量基波分量 n次諧波分量次諧波分量 7可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)的條件：可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)的條件：( )f t（2 2） 在區(qū)間內(nèi)有有限個(gè)間斷點(diǎn)；在區(qū)間內(nèi)有有限個(gè)間斷點(diǎn)；( )f t（1 1） 絕對(duì)可積，即：絕對(duì)可積，即：( )f t21( ) dttf tt （3 3） 在區(qū)間內(nèi)有有限個(gè)極值點(diǎn)。在區(qū)間內(nèi)有有限個(gè)極值點(diǎn)。( )f tDire

7、chlet條件條件傅里葉級(jí)數(shù)存傅里葉級(jí)數(shù)存在的充要條件在的充要條件22OppositeHypotenusennncabarctannnnba式中，式中， 為為n次諧波振幅。次諧波振幅。 為為n次諧波初始相位。次諧波初始相位。！并非任意周期信號(hào)都能進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)并非任意周期信號(hào)都能進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)！ 81. 從三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)推導(dǎo)從三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)推導(dǎo)3.2.2 傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式11j()j()1eecos()2nnntntnnt 利用歐拉公式利用歐拉公式:11j()j()11( )ee22nntntnnnnf tcA式中式中j22e(cosjs

8、in)nnnnnnnAcab 22nnncabarctan()nnnba幅度幅度 相位相位 復(fù)指數(shù)復(fù)指數(shù) 幅度幅度 922112211111j1122j( )cos()dj( )sin()d22 ( )cos()jsin()d( )edttnnnttttntttAabf tnttf tnttTTf tntnttf ttTT nA的具體求法如下：的具體求法如下：1j()( )entnnf tF2. 直接從復(fù)變正交函數(shù)集推導(dǎo)直接從復(fù)變正交函數(shù)集推導(dǎo)1j()e1,2,ntn中展開(kāi)，有中展開(kāi)，有( )f t在復(fù)變正交函數(shù)空間在復(fù)變正交函數(shù)空間將原函數(shù)將原函數(shù)102121121111j*jjj*( )(

9、e) d1( )ed(e)(e) dtntttntnttntnttf ttFf ttTtje2nnnnAFF式中式中例例00( )()TkttkT求求 的指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)和三角傅里葉級(jí)數(shù)。的指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)和三角傅里葉級(jí)數(shù)。0( )Tt已知沖激序列已知沖激序列-T0 O T0 2T0 t0( )Tt0()tT( ) t1100j01( )entTntT0010012( )cosTntntTT0( )Tt的三角傅里葉級(jí)數(shù)為：的三角傅里葉級(jí)數(shù)為：001aT002000222( )cosdTTnatnt tTT0nb 又又解解000j200211( )edTntTnFttTT12100( )()( )(

10、)Af tAtu tu tTT100000( )()() ()(1) )nnAf tf t nTAt nTu t nTu tnTT求下圖中三角波求下圖中三角波的三角傅里葉級(jí)數(shù)。的三角傅里葉級(jí)數(shù)。1( )f t( )f t則則為為的周期延拓，即的周期延拓，即 將將( )f tAC( )ft去除直流分量，則僅剩交流分量去除直流分量，則僅剩交流分量( )f t00,tT在在內(nèi)的函數(shù)記為內(nèi)的函數(shù)記為（1）將周期函數(shù)）將周期函數(shù)例例解解A( )f t-T0 O T0 2T0 t13AC00000000001100000( )( ) ()(1) () ()(1)122()(cos)cosnnnnnAftf

11、 tu tnTu tnTTAAtnTtnTtnTTAAAAtnTAntntTTTTT 0AC0110sin2( )cosdtnnntAAftnTn D/ 2fA01sin( )2nntAAf tn 故14000001d2TAAat tTT0na 000002sindnTAAbtnt tTTn（2 2）利用直接法求解）利用直接法求解故故 01sin( )2nntAAf tn15111j011( )ecos()sin()NNNntnnnnNnnf tFaantbnt常稱為常稱為f(t)的截?cái)喔道锶~級(jí)數(shù)表示式。的截?cái)喔道锶~級(jí)數(shù)表示式。用MATLAB的符號(hào)積分函數(shù)int()可表示上式。格式為：（1）i

12、ntf=int(f,v) ； 給出符號(hào)表達(dá)式給出符號(hào)表達(dá)式f對(duì)指定變量對(duì)指定變量v的的（不帶積分常數(shù)）不定積分；（不帶積分常數(shù)）不定積分；（2）intf=int(f,v,a,b) ； 給出符號(hào)表達(dá)式給出符號(hào)表達(dá)式f對(duì)指定變量對(duì)指定變量v的定積分。的定積分。3.2.3 傅里葉級(jí)數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的MATLAB仿真實(shí)現(xiàn)仿真實(shí)現(xiàn)163.3 周期信號(hào)的對(duì)稱性周期信號(hào)的對(duì)稱性 1縱軸對(duì)稱性縱軸對(duì)稱性 （1）如果原函數(shù)是偶函數(shù)，則其傅里葉級(jí)數(shù)中只有）如果原函數(shù)是偶函數(shù)，則其傅里葉級(jí)數(shù)中只有直流和余弦分量（即偶函數(shù)之和仍然是偶函數(shù)）。直流和余弦分量（即偶函數(shù)之和仍然是偶函數(shù)）。 （2）如果原函數(shù)是奇函數(shù)，則其傅

13、里葉級(jí)數(shù)中只有）如果原函數(shù)是奇函數(shù)，則其傅里葉級(jí)數(shù)中只有正弦分量（即奇函數(shù)之和仍然是奇函數(shù)）。正弦分量（即奇函數(shù)之和仍然是奇函數(shù)）。滿足滿足 的周期為的周期為T(mén) 的的函數(shù)；即平移半個(gè)周期后的信號(hào)與原函數(shù)；即平移半個(gè)周期后的信號(hào)與原信號(hào)關(guān)于橫軸對(duì)稱。信號(hào)關(guān)于橫軸對(duì)稱。(/2)( )f tTf t 定義：定義：l 奇諧函數(shù)奇諧函數(shù)l 偶諧函數(shù)偶諧函數(shù)滿足滿足 的周期為的周期為T(mén) 的的函數(shù)；即函數(shù)；即平移半個(gè)周期后信號(hào)與原信號(hào)重合。(/2)( )f tTf t172橫軸對(duì)稱性橫軸對(duì)稱性（2）偶諧函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中只有偶次諧波分量。）偶諧函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中只有偶次諧波分量。（1）奇諧函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中

14、只有奇次諧波分量）奇諧函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中只有奇次諧波分量。 如果原信號(hào)既不是奇諧函數(shù)也不是偶諧函數(shù)，如果原信號(hào)既不是奇諧函數(shù)也不是偶諧函數(shù)，那么其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中就會(huì)既包含有奇次諧那么其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中就會(huì)既包含有奇次諧波分量也包含有偶次諧波分量。波分量也包含有偶次諧波分量。！利用奇諧函數(shù)、偶諧函數(shù)性質(zhì)的時(shí)候，最好將利用奇諧函數(shù)、偶諧函數(shù)性質(zhì)的時(shí)候，最好將其直流分量去掉，以免發(fā)生誤判。其直流分量去掉，以免發(fā)生誤判。18已知奇諧函數(shù)：已知奇諧函數(shù)：例例解解t( )f to12T 12T2E 2E1cost 11cos()2Tt t( )f to12T 12T2E 2E1sint 11sin(

15、)2Tt t( )f to12T 12T2E 2E( )f t1()2Tf t t( )f to12T 12T2E 2E1sin2t t( )f to12T 12T2E 2E1cos2t 193.4 常見(jiàn)周期信號(hào)的頻譜常見(jiàn)周期信號(hào)的頻譜3.4.1 頻譜的概念頻譜的概念頻頻譜譜圖圖表示信號(hào)含有的各個(gè)頻率分量表示信號(hào)含有的各個(gè)頻率分量的幅度值。其橫坐標(biāo)為頻率的幅度值。其橫坐標(biāo)為頻率 （單位為赫茲），縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)（單位為赫茲），縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)各頻率分量的幅度值各頻率分量的幅度值 。nFl 振幅頻譜振幅頻譜（幅頻特性圖）（幅頻特性圖）表示信號(hào)含有的各個(gè)頻率分量表示信號(hào)含有的各個(gè)頻率分量的相位。其橫坐標(biāo)為頻率

16、；縱的相位。其橫坐標(biāo)為頻率；縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)各頻率分量的相位坐標(biāo)對(duì)應(yīng)各頻率分量的相位 （單位常用度或弧度）。（單位常用度或弧度）。nl 相位頻譜相位頻譜（相頻特性圖）（相頻特性圖）20.1,( )220,kTtkTf t其它例例，求頻譜，求頻譜解解（1 1）單邊頻譜：）單邊頻譜： 1114sin(),022Sa()22,0nnnnnTATnT ( )f tT2t2oT121（2）雙邊頻譜：）雙邊頻譜： 11111/2j2/2j2/211/2212sin11 e24edj2sin (), 0,1,2,2nntntnnnbbacFtTTnTnanSanTT 包絡(luò)線包絡(luò)線 頻譜圖隨參數(shù)的變化規(guī)律：頻譜圖隨

17、參數(shù)的變化規(guī)律： 1）周期）周期T不變，脈沖寬度不變，脈沖寬度 變化變化222Sa()0 2 2 2T nF 2O 141,()()444nTnnFSaSaTT情況情況1 1：第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)為第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)為n =4 。在在 有值（譜線）有值（譜線）nF12/4( )f tT2t2oT1231,()()888nTnnFSaSaTT情況情況2 2：( )f tT2t2oT1nF2 o182T 241,()()161616nTnnFSaSaTT情況情況3 3：( )f tT2t2oT1示意圖示意圖 2T nF1162o25 由大變小，由大變小，F(xiàn)n 第一過(guò)零點(diǎn)頻率增大，即第一過(guò)零點(diǎn)頻率增大，即 所以所

18、以 稱為信號(hào)的帶寬，稱為信號(hào)的帶寬， 確定了帶寬。確定了帶寬。 由大變小，頻譜的幅度變小。由大變小，頻譜的幅度變小。 由于由于 T 不變，譜線間隔不變，即不變，譜線間隔不變，即 不變。不變。結(jié)結(jié) 論論2/T 1/f2/26第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)情況情況 1：4T2/(2 )T2/時(shí)，譜線間隔時(shí)，譜線間隔2）脈沖寬度）脈沖寬度 不變不變, 周期周期T變化變化 ( )f tT2t2oT1示意圖示意圖 22T nF142041)0(0SaTF27第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)情況情況 2：8T24T2時(shí)，譜線間隔時(shí)，譜線間隔( )f t2t2oT1示意圖示意圖 TnF4120TnF182o28第一個(gè)過(guò)零

19、點(diǎn)第一個(gè)過(guò)零點(diǎn) 情況情況 3：16T28T2時(shí)，譜線間隔時(shí)，譜線間隔T( )f t2t2o1T2T2T示意圖示意圖 nF8120nF1162 029 不不變，變，F(xiàn) Fn n 的第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)頻率不變，的第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)頻率不變，即即 帶寬不變。帶寬不變。T T 由小變大，諧波頻率成分豐富，且頻譜幅度變小。由小變大，諧波頻率成分豐富，且頻譜幅度變小。 T T 時(shí)時(shí)，譜線間隔，譜線間隔 0 0 ，這時(shí)：，這時(shí)： 周期信號(hào)周期信號(hào) 非周期信號(hào)；離散頻譜非周期信號(hào)；離散頻譜 連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜1f2結(jié)結(jié) 論論30典型周期信號(hào)的頻譜分析，可利用傅里葉級(jí)數(shù)或典型周期信號(hào)的頻譜分析，可利用傅里葉級(jí)數(shù)或傅里葉變換。

20、典型周期信號(hào)如下：傅里葉變換。典型周期信號(hào)如下： 1. 1. 周期矩形脈沖信號(hào)周期矩形脈沖信號(hào) 2 2. 周期對(duì)稱方波信號(hào)周期對(duì)稱方波信號(hào) 3 3. 周期鋸齒脈沖信號(hào)周期鋸齒脈沖信號(hào) 4 4. 周期三角脈沖信號(hào)周期三角脈沖信號(hào) 5 5. 周期半波余弦信號(hào)周期半波余弦信號(hào) 6 6. 周期全波余弦信號(hào)周期全波余弦信號(hào)3.4.2 常見(jiàn)周期信號(hào)的頻譜常見(jiàn)周期信號(hào)的頻譜311. 周期矩形脈沖信號(hào)周期矩形脈沖信號(hào) (1) (1) 周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解設(shè)周期矩形脈沖：脈寬為設(shè)周期矩形脈沖：脈寬為 ，脈沖幅度為，脈沖幅度為E，周期為，周期為T(mén)111( ) ()(),

21、2222TTf tE u tu tt o/2/2E1Tt( )f t1T32110111,()20,0,01()22nnnnnnnnEnEcacSaTccnEFFaSaT 1j1111111( )()cos()()22entnnEnnEEf tSantSaTT三角指數(shù)1101 ( ) ,0,()2nnf tEnEabaSaT是偶函數(shù)331,20 21(,)fnBBB周期矩形脈沖信號(hào)的幅度頻譜中收斂規(guī)律為主要能量集中在第一個(gè)零點(diǎn)以內(nèi)，即稱為其頻帶寬度（2 2）周期矩形脈沖信號(hào)的幅度、相位譜）周期矩形脈沖信號(hào)的幅度、相位譜相位譜相位譜On2411ETnC1nO1224幅度譜幅度譜34復(fù)數(shù)頻復(fù)數(shù)頻1

22、1ETnFO2122 4實(shí)數(shù)頻譜實(shí)數(shù)頻譜幅度譜與相位譜合并幅度譜與相位譜合并10cnCO122435 周期對(duì)稱方波信號(hào)是周期矩形信號(hào)的一種特殊情況，周期對(duì)稱方波信號(hào)是周期矩形信號(hào)的一種特殊情況，對(duì)稱方波信號(hào)有兩個(gè)特點(diǎn)：對(duì)稱方波信號(hào)有兩個(gè)特點(diǎn)：(1)(1)是正負(fù)交替的信號(hào)，其直流分量是正負(fù)交替的信號(hào)，其直流分量a0等于零；等于零；(2)(2)它的脈寬恰等于周期的一半，即它的脈寬恰等于周期的一半，即t = =T1/2/2。2. 2. 周期對(duì)稱方波信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)周期對(duì)稱方波信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)O2E1/ 4T1/ 4T1Tt( )f t2E1T3600 (), 1,3,5.20,01, (),0222

23、nnnnnnnnnccaESancEnFFcSac，111j21( )sin()cos()21sin(),1,3.2enntnEnf tntnEnnn 三角指數(shù)0 002(), 1,3,5.2nnabnEaESann 偶函數(shù)且，奇諧函數(shù)371n周期對(duì)稱方波信號(hào)的幅度頻譜中 收斂規(guī)律na1O12131415幅度譜幅度譜1na15O121314相位譜相位譜On1131517383. 3. 周期鋸齒脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解周期鋸齒脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解周期鋸齒脈沖信號(hào)，是奇函數(shù)故周期鋸齒脈沖信號(hào)，是奇函數(shù)故 ，可求出傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)可求出傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)bn。如何求如何求bn留作思考！留作思考！0na

24、 t( )f t2EO12T12T2E3911111111( )sin()sin(2)sin(3)231( 1)sin()nnEf ttttEntn其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：此信號(hào)的頻譜只包含正弦分量，諧波的幅此信號(hào)的頻譜只包含正弦分量，諧波的幅度以度以1/n的規(guī)律收斂。的規(guī)律收斂。404. 4. 周期三角脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解周期三角脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解t( )f tEO12T12T0nb 周期三角脈沖信號(hào)，是偶函數(shù)，故周期三角脈沖信號(hào)，是偶函數(shù)，故 ，可求出傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)可求出傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)a0 、an。如何求如何求bn留作思考！留作思考！41此信號(hào)的頻譜只包含直流

25、、基波及奇次諧此信號(hào)的頻譜只包含直流、基波及奇次諧波分量，諧波的幅度以波分量，諧波的幅度以1/n2 2的規(guī)律收斂。的規(guī)律收斂。111221221411( )cos()cos(3 )cos(5 )292541 sin ()cos( )22nEEf ttttEEnn tn其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：425. 5. 周期半波余弦信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解周期半波余弦信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解0nb 周期半波余弦信號(hào)，是偶函數(shù)，故周期半波余弦信號(hào)，是偶函數(shù)，故 ，可求出傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)可求出傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)a0 、an。如何求如何求bn留作思考！留作思考！t( )f tEo12T12T1T1T43此信

26、號(hào)的頻譜只包含直流、基波及偶次諧此信號(hào)的頻譜只包含直流、基波及偶次諧波分量，諧波的幅度以波分量，諧波的幅度以1/n2 2的規(guī)律收斂。的規(guī)律收斂。1111121144( )cos()cos(2)cos(4)2315212cos()cos() (1)2nEEf ttttEEnn tnT，其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：446. 6. 周期全波余弦信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解周期全波余弦信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解周期全波余弦信號(hào)，是偶函數(shù)。周期全波余弦信號(hào)，是偶函數(shù)。令余弦信號(hào)為令余弦信號(hào)為10002( )cos(),f tEtTt( )f tEo12T12T1T1T則，全波余弦信號(hào)為：則，全波余弦信號(hào)

27、為：10( )( )cos()f tf tEt45此信號(hào)的頻譜只包含直流、基波及偶次諧此信號(hào)的頻譜只包含直流、基波及偶次諧波分量，諧波的幅度以波分量，諧波的幅度以1/n2的規(guī)律收斂。的規(guī)律收斂。111102124111( )cos(2)cos(4)cos(6)31535241( 1)cos(2)41nnEEf ttttEEntn其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為：46如果用有限如果用有限傅里葉級(jí)數(shù)代替無(wú)窮傅里葉級(jí)數(shù)表示信傅里葉級(jí)數(shù)代替無(wú)窮傅里葉級(jí)數(shù)表示信號(hào)，必然引進(jìn)一個(gè)誤差。如果完全逼近，則號(hào)，必然引進(jìn)一個(gè)誤差。如果完全逼近，則 n= .實(shí)際中，實(shí)際中，n=N, N是有限整數(shù)。是有限整

28、數(shù)。如果如果 N愈接近愈接近 n ，則，則 其均方誤差愈小其均方誤差愈小若用若用2N1項(xiàng)逼近，則項(xiàng)逼近，則0111( )(cossin)NNnnnStaatbt3.4.3 吉布斯效應(yīng)吉布斯效應(yīng)47誤差函數(shù)和均方誤差誤差函數(shù)和均方誤差 誤差函數(shù)誤差函數(shù) 均方誤差均方誤差( )( )( )NNtf tS t2222201( )( )()2NNnnEtftaab48對(duì)稱方波對(duì)稱方波, , 是偶函數(shù)且奇諧函數(shù)。是偶函數(shù)且奇諧函數(shù)。所以其只有奇次諧波的余弦項(xiàng)。所以其只有奇次諧波的余弦項(xiàng)。2sin2nEnan21111135( )(coscos3cos5)Ef tttt例例-E/2T1/4-T1/4tE/

29、2o49對(duì)稱方波有限項(xiàng)的傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)稱方波有限項(xiàng)的傅里葉級(jí)數(shù) （N=1N=1、2 2、3 3時(shí)的逼近波形）時(shí)的逼近波形）（3）N=3:210.05EE21121(coscos 3),3EStt220.02EE212(cos),ESt311121(coscos331 cos5),5ESttt230.01EE（1）N=1:（2）N=2:-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8150有限項(xiàng)的有限項(xiàng)的N越大，誤差越小例如越大，誤差越小例如: N=9911112111(coscos3cos5cos11)3511

30、EStttt-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8151 N越大，越接近方波越大，越接近方波 快變信號(hào)，高頻分量，主要影響跳變沿；快變信號(hào)，高頻分量，主要影響跳變沿； 慢變信號(hào)，低頻分量，主要影響頂部；慢變信號(hào)，低頻分量，主要影響頂部； 任一分量的幅度或相位發(fā)生相對(duì)變化時(shí)，任一分量的幅度或相位發(fā)生相對(duì)變化時(shí)，波形將會(huì)失真；波形將會(huì)失真； 有吉伯斯現(xiàn)象發(fā)生。有吉伯斯現(xiàn)象發(fā)生。lim( )NNSf t 結(jié)論結(jié)論52以周期矩形脈沖以周期矩形脈沖為例：為例：只需修改上面程序只需修改上面程序(3.2.3節(jié)節(jié))

31、中函數(shù)中函數(shù)CTFShchsym.m的內(nèi)容，需注意：因周期信號(hào)頻譜是離散的，故在的內(nèi)容，需注意：因周期信號(hào)頻譜是離散的，故在繪制頻譜時(shí)采用繪制頻譜時(shí)采用stem而非而非plot命令。命令。諧波階數(shù)取諧波階數(shù)取還需用到還需用到MATLAB的反褶函數(shù)的反褶函數(shù)fliplr來(lái)實(shí)現(xiàn)頻譜的來(lái)實(shí)現(xiàn)頻譜的反褶。反褶。 上機(jī)練習(xí)！上機(jī)練習(xí)！( )(),nf tG tnT(1, 5)T60Nf 3.4.4 周期信號(hào)的周期信號(hào)的MATLAB仿真實(shí)現(xiàn)仿真實(shí)現(xiàn)53112Sa()nnEncaTT 對(duì)周期矩形脈沖信號(hào)，有對(duì)周期矩形脈沖信號(hào)，有t( )f t2212T12T1T1TE1T t( )f t22E3.5 非周期

32、性信號(hào)的頻譜非周期性信號(hào)的頻譜3.5.1 從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換541T 112T譜線間隔譜線間隔1T 1120T譜線間隔譜線間隔0 從物理概念考慮：信號(hào)的能量存在，其頻譜從物理概念考慮：信號(hào)的能量存在，其頻譜分布的規(guī)律就存在。分布的規(guī)律就存在。由于由于1,T 111j2121( )ed0TntTnFf ttT1從周期信號(hào)到非周期信號(hào)從周期信號(hào)到非周期信號(hào) 從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換55信號(hào)的頻譜分布是不會(huì)隨著信號(hào)的周信號(hào)的頻譜分布是不會(huì)隨著信號(hào)的周期的無(wú)限增大而消失的。期的無(wú)限增大而消失的。T 時(shí)，時(shí)，信號(hào)的頻譜分布仍然存在。信號(hào)的頻譜分布仍然

33、存在。 結(jié)論結(jié)論無(wú)限多個(gè)無(wú)窮小量之和仍可等于一個(gè)有限量。無(wú)限多個(gè)無(wú)窮小量之和仍可等于一個(gè)有限量。11jj1( )ee2ntntnnnnf tFC 從數(shù)學(xué)角度來(lái)看：從數(shù)學(xué)角度來(lái)看：56所以，傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為：所以，傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為：1j1( )()entnf tF n111j21121()( )edTntTF nf ttT111111111j1211012, , 0, 2 ()lim()limlim( )edTntTTTTTF nT F nf tt 兩兩邊邊同同乘乘以以取取極極限限: :為頻譜密度函數(shù)。為頻譜密度函數(shù)。11111j12122 ()( )limlim( )edTntTTTF nFf

34、 tt 定義定義57周期信號(hào)：周期信號(hào)：頻譜是離散的，且各頻率分量頻譜是離散的，且各頻率分量的復(fù)振幅的復(fù)振幅 為有限值。為有限值。nF非周期信號(hào)：非周期信號(hào)：頻譜是連續(xù)的，且各頻率分量的頻譜是連續(xù)的，且各頻率分量的復(fù)振幅復(fù)振幅 為無(wú)限小量。為無(wú)限小量。()d2F 所以，對(duì)非周期信號(hào)來(lái)說(shuō)，僅僅去所以，對(duì)非周期信號(hào)來(lái)說(shuō)，僅僅去研究那無(wú)限小量是沒(méi)有意義的，其頻研究那無(wú)限小量是沒(méi)有意義的，其頻譜不能直接引用復(fù)振幅的概念。譜不能直接引用復(fù)振幅的概念。！58(j )F( )f t2傅里葉逆變換傅里葉逆變換怎樣用怎樣用計(jì)算計(jì)算1111jj1jj10(j)( )limelime11lim(j)e(j)ed22

35、ntntnTTnnnttnFnf tFTFnF 59jj ( )jj( )1( )(j )ed211(j ) eed(j ) ed221(j ) cos( )jsin( )d21j(j ) cos( )d(j ) sin( )d221(j ) cos( )d2tttf tFFFFttFtFtFt 603. 正、逆傅里葉變換正、逆傅里葉變換j( )( )edtFf tt 反變換反變換正變換正變換j1( )( )ed2tf tF !傅里葉變換對(duì)的形式并不唯一傅里葉變換對(duì)的形式并不唯一傅里葉變換存在的充分條件傅里葉變換存在的充分條件:( )dftt 用廣義函數(shù)的概念，允許奇異函數(shù)也能滿足上述條件，用

36、廣義函數(shù)的概念，允許奇異函數(shù)也能滿足上述條件，因而象階躍、沖激一類函數(shù)也存在傅里葉變換。因而象階躍、沖激一類函數(shù)也存在傅里葉變換。614傅傅里葉變換的另外幾種形式里葉變換的另外幾種形式j(luò)2(j2)( )edf tFff tt j2j21( )(j2 )ed(2 )2 (j2 )edf tf tf tFffFff j2()( )edftFff tt j2( )()edf tf tF ff 62j(j)( )2( )edtFF f tf tt 1j( )(j)(j)edtf tFFF j1(j)( )( )ed2tFFf tf tt 1j1( )(j)(j)ed2tf tFFF 63 本節(jié)主要介紹

37、以下幾種典型的非周期信號(hào)的頻譜。本節(jié)主要介紹以下幾種典型的非周期信號(hào)的頻譜。1.1.單邊指數(shù)信號(hào)單邊指數(shù)信號(hào) 6 6. 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)2 2. 雙邊指數(shù)信號(hào)雙邊指數(shù)信號(hào) 7 7. 沖激函數(shù)傅里葉變換對(duì)沖激函數(shù)傅里葉變換對(duì) 3 3. 奇雙邊指數(shù)信號(hào)奇雙邊指數(shù)信號(hào) 8 8. 沖激偶的傅里葉變換沖激偶的傅里葉變換 4 4. 矩形脈沖信號(hào)矩形脈沖信號(hào) 9. 階躍信號(hào)的傅里葉變換階躍信號(hào)的傅里葉變換5 5. 鐘形脈沖信號(hào)鐘形脈沖信號(hào) 1010. 復(fù)正弦信號(hào)復(fù)正弦信號(hào) 3.5.2 常見(jiàn)信號(hào)的傅里葉變換常見(jiàn)信號(hào)的傅里葉變換641. 單邊指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換單邊指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換 ( )( ) (0)ea

38、tf tu ta單邊指數(shù)：（復(fù)函數(shù)）221()1(),j()arctanFaFaa （）其傅里葉變換為：其傅里葉變換為：65利用傅里葉變換定義公式利用傅里葉變換定義公式j(luò)j0(j)(j)00()( )ed (0)eed11ede(j)jtattatatFf ttattaa 66( )( )(0)eatf tu taO1t時(shí)域波形221( )FaO1a12a3a單邊指數(shù)信號(hào)的頻譜如下：?jiǎn)芜呏笖?shù)信號(hào)的頻譜如下：O2( )arctan()a 2頻域頻譜67( ) (0)ea tf ta偶雙邊指數(shù)：2. 雙邊指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換雙邊指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換 22222( )2( )( )0aFaaFa 其

39、傅里葉變換為：其傅里葉變換為：（正實(shí)函數(shù)）（正實(shí)函數(shù)）68利用傅里葉變換定義公式利用傅里葉變換定義公式求解過(guò)程求解過(guò)程jj0jj00(j)(j)022( )( )edeed e edeed11 ee(j )(j )112 , (0)jjatttattattatatFf tttttaaaaaaa 69( ) (0)ea tf taO1t時(shí)時(shí)域域波波形形雙邊指數(shù)信號(hào)的頻譜如下：雙邊指數(shù)信號(hào)的頻譜如下：頻頻域域頻頻譜譜222( )aFaO2a1a3a相位相位( )0 70( )(0)e,0e,0atf taattt奇雙邊指數(shù)：22222()2j(), ,02(),02FaFa （純虛函數(shù)）3. 3.

40、 奇雙邊指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換奇雙邊指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換71頻域頻譜頻域頻譜O202( )02 2O1aa222( )FaaO1t時(shí)域波形時(shí)域波形( )(0)e0e0atf tatatt，頻譜如下：頻譜如下：72( ) ()()22f tE u tu t矩形脈沖：( )2( ), 20,( )0( ),( )0FE SaFE SaFF 4. 矩形脈沖信號(hào)的傅里葉變換矩形脈沖信號(hào)的傅里葉變換實(shí)函數(shù)實(shí)函數(shù)7321, 21fBf 時(shí)域有限的矩形脈沖信時(shí)域有限的矩形脈沖信號(hào)，在頻域上是無(wú)限分號(hào)，在頻域上是無(wú)限分布。常認(rèn)為信號(hào)占有頻布。常認(rèn)為信號(hào)占有頻率范圍（率范圍（頻帶頻帶B）為）為( ) ()()22

41、f tEu tu tOt( )2FE Sa（）O226E-742( )etf tE（ ）鐘形脈沖：5. 5. 鐘形脈沖信號(hào)的傅里葉變換鐘形脈沖信號(hào)的傅里葉變換 （高斯脈沖）（高斯脈沖）22( )eFE（）其傅里葉變換為：其傅里葉變換為：（正實(shí)函數(shù)）（正實(shí)函數(shù)）22( )( )0eFE （）7522( )eFE（）OE2eE因?yàn)殓娦蚊}沖信號(hào)是因?yàn)殓娦蚊}沖信號(hào)是一正實(shí)函數(shù)，所以其一正實(shí)函數(shù)，所以其相位頻譜為零相位頻譜為零。2( )etf tE（ ）OtEeE時(shí)域波形時(shí)域波形頻域頻譜頻域頻譜76010e,0sgn( )00lime,010atatattf ttttt，( )=，6. 符號(hào)函數(shù)的傅里葉

42、變換符號(hào)函數(shù)的傅里葉變換2()jF；其傅里葉變換為：其傅里葉變換為：2( ),02( ),02F （純虛數(shù)函數(shù)）（純虛數(shù)函數(shù)）77sgn( ) tOt11O( ) 22 符號(hào)函數(shù)不滿足絕對(duì)可積符號(hào)函數(shù)不滿足絕對(duì)可積條件，但它卻存在傅里葉變換。條件，但它卻存在傅里葉變換。 采用符號(hào)函數(shù)與雙邊指數(shù)采用符號(hào)函數(shù)與雙邊指數(shù)衰減函數(shù)相乘，求出奇雙邊指衰減函數(shù)相乘，求出奇雙邊指數(shù)的頻譜，再取極限，從而求數(shù)的頻譜，再取極限，從而求得符號(hào)函數(shù)的頻譜。得符號(hào)函數(shù)的頻譜。O( )F787. 沖激函數(shù)傅里葉變換對(duì)沖激函數(shù)傅里葉變換對(duì)直流信號(hào)的傅里葉變換是沖激函數(shù)直流信號(hào)的傅里葉變換是沖激函數(shù))(21F)(2EEF1

43、de)()()(jtttFFt21de)(21)(j1Ft！( )( )f tt79均勻譜或白色譜均勻譜或白色譜1O)(Ft)(to1)(tf1Ot)(2O808. 沖激偶的傅里葉變換沖激偶的傅里葉變換 ( )( )f ttj1( )ed2ttjd( )1(j )edd2tttd( )( )jdFFTtt記為d ( )jdFTtt d( )(j )dnnnFTttd( )2(j)( )dnnnnFT t 同理，有同理，有819. 階躍信號(hào)的傅里葉變換階躍信號(hào)的傅里葉變換 11( )( )sgn( )22f tu tt11( ) sgn( )221 ( )jFFTFTt 2221( )( )F幅

44、頻特性幅頻特性 0,0( )/2,0/2,0 相頻特性相頻特性 u(t)Ot1)(FO8210復(fù)正弦信號(hào)復(fù)正弦信號(hào) j( )ectf tj1(1)ed( )2 tIF Tt jjjedededtxttxjed2 ( )ttjj()(e)ed2 ()ccttcFTt tctje2 ()ctc jectc2的傅里葉變換為一位于的傅里葉變換為一位于且強(qiáng)度為且強(qiáng)度為的沖激函數(shù)。的沖激函數(shù)。 結(jié)論結(jié)論( )F 2Oc83升余弦脈沖信號(hào)的傅里葉變換升余弦脈沖信號(hào)的傅里葉變換 補(bǔ)充補(bǔ)充升余弦脈沖信號(hào)：升余弦脈沖信號(hào)：( )1 cos(), (0)2Etf tt其傅里葉變換為：其傅里葉變換為：22sin()S

45、a()( )1 () 1 ()EEF（實(shí)數(shù)）（實(shí)數(shù)）其頻譜由三項(xiàng)構(gòu)成，均為矩其頻譜由三項(xiàng)構(gòu)成，均為矩形脈沖頻譜，只是有兩項(xiàng)沿形脈沖頻譜，只是有兩項(xiàng)沿頻率軸左、右平移了頻率軸左、右平移了/( )f tOtE/2E222( )FO2EE3484利用傅里葉變換定義公式利用傅里葉變換定義公式j(luò)jjj0jjj00( )( )ed1cos()ed2edeedeed244Sa()Sa() Sa() 22tttttttEtFf tttEEEtttEEE化簡(jiǎn)得：化簡(jiǎn)得：求解過(guò)程求解過(guò)程22sin()Sa()( )1 () 1 ()EEF853.5.3 MATLAB仿真實(shí)現(xiàn)仿真實(shí)現(xiàn)MATLAB數(shù)學(xué)工具箱數(shù)學(xué)工具箱

46、Symbolic Math Toolbox提供提供了能直接求解傅氏變換及逆變換的函數(shù)了能直接求解傅氏變換及逆變換的函數(shù)fourier()和和ifourier()。（1）傅里葉變換調(diào)用格式）傅里葉變換調(diào)用格式1）F=fourier(f) 2）F=fourier(f,v) 3）F=fourier(f,u,v) j(j )( )edvtFvf ttj(j )( )edvtFvf ut)(ff 86（2）傅里葉逆變換調(diào)用格式）傅里葉逆變換調(diào)用格式1）f=ifourier(F) 2）f=ifourier(F,u) 3）f=ifourier(F,v,u) 在調(diào)用在調(diào)用fourier()和和ifourier

47、()之前，要用之前，要用syms命令對(duì)所用到命令對(duì)所用到的變量進(jìn)行說(shuō)明，即將這些變量說(shuō)明成符號(hào)變量。對(duì)的變量進(jìn)行說(shuō)明，即將這些變量說(shuō)明成符號(hào)變量。對(duì)fourier()中的函數(shù)中的函數(shù)f及及ifourier()中的函數(shù)中的函數(shù)F也要用符號(hào)定義也要用符號(hào)定義符符syms將將f或或F說(shuō)明為符號(hào)表達(dá)式；若說(shuō)明為符號(hào)表達(dá)式；若f或或F是是MATLAB中中的通用函數(shù)表達(dá)式，則不必用的通用函數(shù)表達(dá)式，則不必用syms加以說(shuō)明。加以說(shuō)明。 ！書(shū)中例題可上機(jī)練習(xí)書(shū)中例題可上機(jī)練習(xí)87j1j( )( )( ) ( )( )ed1( ) ( )( )ed2Fttf tFFF f tf ttf tFF tF時(shí)間函數(shù)時(shí)

48、間函數(shù) 頻譜頻譜某種運(yùn)算某種運(yùn)算 變化變化 變變 化化 運(yùn)算運(yùn)算關(guān)系建立對(duì)應(yīng)借助基本性質(zhì) 3.6 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)1. 1. 傅里葉變換的唯一性傅里葉變換的唯一性傅里葉變換的唯傅里葉變換的唯一性表明了信號(hào)一性表明了信號(hào)的時(shí)域和頻域是的時(shí)域和頻域是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。 ！882.2.對(duì)稱性（頻域、時(shí)域呈現(xiàn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系）對(duì)稱性（頻域、時(shí)域呈現(xiàn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系）若若 ，則，則( )( )Ff tF( )2 ()FF tfj() ( )( )( ) ( )( )ed12( )ed2 ()21()( ) ( )2 ()2FtjtFF tffF F tF ttF ttfffF tf 即即

49、證明證明證畢證畢89如沖激和直流函數(shù)的頻譜的對(duì)稱性就是一例子：如沖激和直流函數(shù)的頻譜的對(duì)稱性就是一例子：！( )f t( )2 ( )F tf1( )()2F tf若若 為偶函數(shù)，為偶函數(shù)，則則 或或 即即f(t)為偶函數(shù)為偶函數(shù)，則時(shí)域和頻域完全對(duì)稱。，則時(shí)域和頻域完全對(duì)稱。F()OOOOF(t)tt2 ( ) ( ) t（1）沖激函數(shù)）沖激函數(shù)90（2）直流函數(shù)）直流函數(shù)( )f t/2t1O/2( )F2 2 O()2Sa( )F2c2c1O( )f t2 ct2cO()22cctSa2 c91attf e)(FTj1)(aF?j1)(1taFTF對(duì)稱性對(duì)稱性a fFe2)(2)(1t

50、換成換成f 換成換成F1換成換成t9221:1Ft求222ea taa2211e21112ee12tt例例解解93 3. 3. 線性（疊加性、均勻性）線性（疊加性、均勻性） 相加信號(hào)頻譜各個(gè)單獨(dú)信號(hào)的頻譜之和相加信號(hào)頻譜各個(gè)單獨(dú)信號(hào)的頻譜之和1 122j1 122jj1122( ) ( )( )( )( )( )ed( )ed( )edtttFF f tF a f ta f ta f ta f ttaf ttaf tt111 12211221 122112211111221122( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )a f ta f ta FFa FFF a

51、f ta f ta F f ta F f tFa Fa Fa FFa FF證明證明推論推論94( ) ()() ()()22f tu tu tu tu t ()(/ 2)2()FSaSa 求求 f(t) 的傅里葉變換的傅里葉變換例例( )f t/212t/2解解954. 4. 奇偶虛實(shí)性奇偶虛實(shí)性無(wú)論無(wú)論 f (t) 是實(shí)函數(shù)還是復(fù)函數(shù)，下面四式均成立是實(shí)函數(shù)還是復(fù)函數(shù)，下面四式均成立:*( )()FT ftF*()( )FT ftF ( )( )FT f tF ()()FT ftF時(shí)域反摺時(shí)域反摺頻域也反摺頻域也反摺時(shí)域共軛頻域時(shí)域共軛頻域共軛并且反摺共軛并且反摺更廣泛地講，函數(shù)更廣泛地講，

52、函數(shù)f(t)是是t的復(fù)數(shù)；令的復(fù)數(shù)；令12( )( )j( )ftftft虛部虛部實(shí)部實(shí)部96()()j()FjRXj12j(j)( )( )edecosjsinttFf tftttt整理上式得出：整理上式得出：12()( ) cos( ) sindRfttfttt21()( )sin( ) cosdXfttfttt 97 jecosjsin. 3ttt j1( )( j)ed. 12tftF( j)( j)j(). 2FRX把式（把式（2）、（）、（3）代入式（）代入式（1）整理得：）整理得：11( )() co s() sin ()d2 ftRtXt 21( )() sin() cosd2

53、 ftRtXt 98()( )cosd ,Rf tt t( )( )sindXf tt t 性質(zhì)性質(zhì)1 實(shí)數(shù)函數(shù)實(shí)數(shù)函數(shù) 設(shè)設(shè)f(t)是是t的實(shí)函數(shù)的實(shí)函數(shù),則則 的實(shí)部與虛部將的實(shí)部與虛部將分別等于分別等于 f2(t)=0，f(t)=f1(t)，則有，則有 ( )F特殊情況討論：特殊情況討論：從上式可以得出結(jié)論從上式可以得出結(jié)論: : *()( ) , ()( )( )( )j ( ), ()( )j ( )()( )RRXXFRXFRXFF99)()()()(*FtfFTFtfFT實(shí)信號(hào)的頻譜具有很重要的特點(diǎn)，正實(shí)信號(hào)的頻譜具有很重要的特點(diǎn)，正負(fù)頻率部分的頻譜是相互共軛的負(fù)頻率部分的頻譜是

54、相互共軛的. .特點(diǎn)特點(diǎn)( )( )cosdj( )sindFf tt tf tt t( )()RR*()( )FF( )()XX偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)100性質(zhì)性質(zhì)2 虛函虛函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)f(t)是純虛函數(shù)是純虛函數(shù)21( )j ( ),( )0f tf tf t則則22()( ) sind()( ) cosdRftt tXftt t*()( )FF反之也正確反之也正確. .因而因而 是是 的奇函數(shù)的奇函數(shù), ,而而 是是 的偶函數(shù)。的偶函數(shù)。( )R( )X101j( )( )ed( )cosdj( )sindtFf ttf tt tf tt t0()( )cosd2( )cosd ()0R

55、f tt tf tt tX性質(zhì)性質(zhì)3 實(shí)偶函數(shù)實(shí)偶函數(shù)實(shí)偶函數(shù)的傅里葉實(shí)偶函數(shù)的傅里葉變換仍為實(shí)偶函數(shù)變換仍為實(shí)偶函數(shù)結(jié)論結(jié)論反之，若一實(shí)函數(shù)反之，若一實(shí)函數(shù)f(t)的傅里葉積分的傅里葉積分也是實(shí)函數(shù)，則也是實(shí)函數(shù)，則f(t)必是偶函數(shù)。必是偶函數(shù)。推論推論( )()f tft設(shè)設(shè)f(t)是是t的實(shí)偶函數(shù)，則的實(shí)偶函數(shù)，則102( )e()tf tt 例例222()F()0 解解tOf(t)F()tO103性質(zhì)性質(zhì)4 奇實(shí)函數(shù)奇實(shí)函數(shù) 設(shè)設(shè)f(-t)=-f(t) ，則：，則：(j )0R0()( )sind2( )sindXf tt tf tt t 01( )()sindf tXt 反之，若一

56、實(shí)函數(shù)反之，若一實(shí)函數(shù)f(t)付里葉積分是付里葉積分是一純虛函數(shù)，則一純虛函數(shù)，則f(t)必是奇函數(shù)。必是奇函數(shù)。實(shí)奇函數(shù)的傅里葉變換則為虛奇函數(shù)實(shí)奇函數(shù)的傅里葉變換則為虛奇函數(shù)結(jié)論結(jié)論推論推論()( ) cosd0Rf tt t()( )sindXf tt t 104(0)2( )(0)2 222()Fe(0)( )e(0)atattf tt222 j()F例例解解tOf(t)O|F()|OF()O()/2-/2105同理可以推出：同理可以推出：若若 是虛函數(shù)且還是偶函數(shù)，則是虛函數(shù)且還是偶函數(shù)，則 的傅的傅里葉變換為虛偶函數(shù)。里葉變換為虛偶函數(shù)。性質(zhì)性質(zhì)5：性質(zhì)性質(zhì)6： 若若 是虛函數(shù)且還

57、是奇函數(shù)，則是虛函數(shù)且還是奇函數(shù)，則 的傅的傅里葉變換為實(shí)奇函數(shù)。里葉變換為實(shí)奇函數(shù)。( )f t( )f t( )f t( )f t讀者可以仿照性質(zhì)讀者可以仿照性質(zhì)3、性質(zhì)、性質(zhì)4給予簡(jiǎn)單證明給予簡(jiǎn)單證明106eoeeoo00eo00 ( )( )( ) ( )(), f ( )()()2( )cosd , ()2( )sind11( )()cosd, ( )()sindf tftftftRtXRftt tXftt tftRtftXt eojeo()( )( )ed( ) cosdj( )sindtFftfttftt tftt t如果將如果將 按照奇偶來(lái)劃分按照奇偶來(lái)劃分( )f t107(

58、 )Re ( )jIm ( )FFF而eo ( )Re ( ), ( )jIm ( )f tFf tF12()( )cos( )sindRf ttfttt21()( ) sin( ) cosdXfttfttt 11( )()cos()sind2f tRtXt21( )()sin() cosd2ftRtXt108 由此可看出，此時(shí)由此可看出，此時(shí)F()是虛函數(shù)且是是虛函數(shù)且是的奇函數(shù)。對(duì)的奇函數(shù)。對(duì)于于f(t)為虛函數(shù)的情況，分析方法同上，結(jié)論相反。為虛函數(shù)的情況，分析方法同上，結(jié)論相反。 上述討論的結(jié)果如下上述討論的結(jié)果如下: :f(t)F( () )實(shí)實(shí)一般一般實(shí)部偶、虛部奇、幅頻偶、相頻奇

59、實(shí)部偶、虛部奇、幅頻偶、相頻奇偶偶實(shí)部偶實(shí)部偶奇奇虛部奇虛部奇虛虛偶偶虛部偶虛部偶奇奇實(shí)部奇實(shí)部奇1095. 5. 尺度變換特性尺度變換特性時(shí)間波形的擴(kuò)展和壓縮時(shí)間波形的擴(kuò)展和壓縮, ,將影響頻譜的波形將影響頻譜的波形對(duì)于一個(gè)實(shí)常數(shù)對(duì)于一個(gè)實(shí)常數(shù)a ，其關(guān)系為，其關(guān)系為1( )()()()ftFfa tFaa-j ()()edtF f atf att令令x=at，則，則dx=adt ，代入上式可得，代入上式可得則則證明證明時(shí)域壓縮則頻域展寬；展寬時(shí)域則頻域壓縮。時(shí)域壓縮則頻域展寬；展寬時(shí)域則頻域壓縮。結(jié)論結(jié)論j11()( )ed( j)xaFTf atfxxFaaa110時(shí)域中的壓縮（擴(kuò)展）等

60、于頻域中的擴(kuò)展（壓縮）時(shí)域中的壓縮（擴(kuò)展）等于頻域中的擴(kuò)展（壓縮）f(t/2)縮縮tO縮縮f(2t)/4縮縮/4tO縮縮11(/2)2F/24 4 展展展展O)2(2F2展展展展O111尺度變換變換后語(yǔ)音信號(hào)的變化尺度變換變換后語(yǔ)音信號(hào)的變化 f (t) f (1.5t) f (0.5t)0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 一段語(yǔ)音信號(hào)一段語(yǔ)音信號(hào)( (“對(duì)了對(duì)了”) ) 。抽樣頻率。抽樣頻率 =22050Hz=22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)例例1