第4章非線性電阻電路分析

1、“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎n 4.1 4.1 非線性電阻元件的特性非線性電阻元件的特性 n 4.2 4.2 非線性電阻電路的方程非線性電阻電路的方程 n 4.3 4.3 圖解分析法圖解分析法n 4.4 4.4 小信號分析法小信號分析法n 4.5 4.5 分段線性分析法分段線性分析法n 4.6 4.6 數值分析法數值分析法n 4.7 4.7 應用實例：應用實例：溫度測量與控制電路溫度測量與控制電路 “十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎4.1 本章介紹非線性電阻電路方程的建立方法，分析非本章介紹非線性電阻電路方程的建立方法，分析非線性電阻電路的一些常用方法，如圖解

2、分析法、小信號線性電阻電路的一些常用方法，如圖解分析法、小信號分析法、分段線性化方法、數值分析法等。分析法、分段線性化方法、數值分析法等。 定義：在定義：在u i平面或平面或i u平面上的伏安特性曲線不是通平面上的伏安特性曲線不是通過原點的直線。過原點的直線。 非線性電阻的電路符號非線性電阻的電路符號 +-ui非線性電阻不非線性電阻不滿足歐姆定律滿足歐姆定律 u=f(i)或或 i=g(u)1.1.伏安關系伏安關系“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎/1qu ktsiie如：如：pnpn結二極管的伏安特性結二極管的伏安特性 從伏安特性可看出其從伏安特性可看出其u和和i呈現單調關系，所

3、以其呈現單調關系，所以其伏安特性也可表示為：伏安特性也可表示為：1ln1sktuiqi二、非線性電阻按二、非線性電阻按伏安特性關系的分類伏安特性關系的分類1.1.單調型單調型其電壓既可表示為電流的單值函數，電流也可表示為電其電壓既可表示為電流的單值函數，電流也可表示為電壓的單值函數壓的單值函數 pnpn結二極管及其伏安特性曲線結二極管及其伏安特性曲線uiiusio“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎uiiuo充氣二極管及其伏充氣二極管及其伏安特性曲線安特性曲線iu1u2u3u0io隧道二極管及其伏隧道二極管及其伏安特性曲線安特性曲線 從充氣二極管的伏安特性可見，從充氣二極管的伏安特

4、性可見，u是是i的的單值函數，只單值函數，只能取電流能取電流i作為控制變量，為作為控制變量，為流控型流控型非線性電阻非線性電阻 。 從隧道二極管的伏安特性可見，從隧道二極管的伏安特性可見，i是是u的的單值函數，只單值函數，只能取電壓能取電壓u作為控制變量，為作為控制變量，為壓控型壓控型非線性電阻非線性電阻 。 2.2.流控型、壓控型流控型、壓控型 其電壓可表示為電流的單值函數或電流可表示為電其電壓可表示為電流的單值函數或電流可表示為電壓的單值函數壓的單值函數uiu=f(i)i=g(u)“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎3.3.既非壓控又非流控電阻既非壓控又非流控電阻 可看出方程既

5、無法把可看出方程既無法把u表達成表達成i的單值函數，也無法的單值函數，也無法把把i表達成表達成u的單值函數。的單值函數。 注意：注意：與線性電阻不同，非線性電阻一般不是雙向電阻。與線性電阻不同，非線性電阻一般不是雙向電阻。例如例如pnpn結二極管，就必須明確地用標記將其兩個端鈕區(qū)別結二極管，就必須明確地用標記將其兩個端鈕區(qū)別開來，在使用時必須按標記正確接到電路中。開來，在使用時必須按標記正確接到電路中。其電壓其電壓 電流關系不能表達為一個變量的單值函數電流關系不能表達為一個變量的單值函數 00( , )00iuf u iui對所有對所有 如：理想二極管如：理想二極管iuoui“十一五十一五”規(guī)

6、劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎4.24.2非線性電阻電路的方程非線性電阻電路的方程 從列寫電路方程的兩個基本依據來看：從列寫電路方程的兩個基本依據來看：2.2.不同的是元件本身的特性。由于非線性電阻元件的不同的是元件本身的特性。由于非線性電阻元件的電壓電壓 電流關系不是線性的，所以得到的方程將是非電流關系不是線性的，所以得到的方程將是非線性的。線性的。 1.1.基爾霍夫電流定律（基爾霍夫電流定律（kclkcl）、）、基爾霍夫電壓定律基爾霍夫電壓定律（kvlkvl）只與電路的結構有關，而與元件的性質無關。只與電路的結構有關，而與元件的性質無關。因此就列寫因此就列寫kclkcl和和kvlkvl本身

7、方程，非線性電阻電路與本身方程，非線性電阻電路與線性電阻電路無區(qū)別。線性電阻電路無區(qū)別?！笆晃迨晃濉币?guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎153350ui例例4.2.1 4.2.1 圖示為一非線性電阻電路，其中圖示為一非線性電阻電路，其中r1、r2為線性為線性電阻，電阻，r3為非線性電阻，其電壓為非線性電阻，其電壓 電流關系為電流關系為 試列出其電路方程求出相應的變量試列出其電路方程求出相應的變量 1212 32 12 33()srr ir iur ir iu 解：方法解：方法1：網孔法：網孔法153350ui消去消去i1、u3，可得可得 11253311250surriirr r2r1rsu3

8、r3u3i1i3i1i“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎153350ui例例4.2.1 4.2.1 圖示為一非線性電阻電路，其中圖示為一非線性電阻電路，其中r1、r2為線性為線性電阻，電阻，r3為非線性電阻，其電壓為非線性電阻，其電壓 電流關系為電流關系為 試列出其電路方程求出相應的變量試列出其電路方程求出相應的變量 解：方法解：方法2：節(jié)點電壓法：節(jié)點電壓法3312111()suuirrr533550ui 5321235121250surr ruurrrr消去消去i3，可得可得 2r1rsu3r3u3i1i3i1i“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎 由上面的分析可

9、知，建立非線性電阻電路方程時，由上面的分析可知，建立非線性電阻電路方程時，非非線性電阻的處理與受控電源的處理類似線性電阻的處理與受控電源的處理類似，只是非線性電，只是非線性電阻的控制量是電阻本身所在支路上的變量（電壓或電流）阻的控制量是電阻本身所在支路上的變量（電壓或電流）而已。而已。2.2.對對電壓控制型電壓控制型非線性電阻，采用非線性電阻，采用節(jié)點法或割集法節(jié)點法或割集法進行進行分析比較簡單，因為用電壓變量（節(jié)點電壓或割集電壓）分析比較簡單，因為用電壓變量（節(jié)點電壓或割集電壓）容易表示電壓控制型非線性電阻上的電流。容易表示電壓控制型非線性電阻上的電流。1.1.對對電流控制型電流控制型非線性

10、電阻，采用非線性電阻，采用網孔法或回路法網孔法或回路法進行進行分析比較簡單，因為用電流變量（網孔電流或回路電流）分析比較簡單，因為用電流變量（網孔電流或回路電流）容易表示電流控制型非線性電阻上的電壓。容易表示電流控制型非線性電阻上的電壓?！笆晃迨晃濉币?guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎4.3圖解分析法圖解分析法 圖解分析法的原理圖解分析法的原理 一、圖解法的基本原理：將非線性電路拆分為兩個一端口電一、圖解法的基本原理：將非線性電路拆分為兩個一端口電路路n n1 1和和n n2 2，如圖所示。拆分的方式可以是任意的，為了列寫如圖所示。拆分的方式可以是任意的，為了列寫電路方程的方便，一般拆分成線性

11、電路部分和非線性電路部電路方程的方便，一般拆分成線性電路部分和非線性電路部分，也可以拆分成兩個非線性電路部分。設分，也可以拆分成兩個非線性電路部分。設n n1 1和和n n2 2的電壓的電壓 電電流關系為：流關系為：圖解分析方法的思路圖解分析方法的思路：因為每個方程代表一條特性曲線，：因為每個方程代表一條特性曲線，圖解分析方法就是用作圖的方法找到這些曲線的交點，即圖解分析方法就是用作圖的方法找到這些曲線的交點，即靜態(tài)工作點靜態(tài)工作點( (quiescent operating point)quiescent operating point)。2u2i1n1u2n1i“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃

12、教材電路基電路基礎礎圖解分析法的原理圖解分析法的原理 111222(, )0(,)0f u ifui1212uuii 根據根據kvlkvl和和kclkcl，有有2u2i1n1u2n1i“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎或或 111211( , )0( ,)0f u if ui122222(,)0(,)0f uifui由上兩式，可得由上兩式，可得(4.3.3a)(4.3.3b) 用圖解法在同一坐標系中畫出式用圖解法在同一坐標系中畫出式(4.3.3(4.3.3a)a)或式或式(4.3.3(4.3.3b)b)中兩個方程的特性曲線，其交點為電路方程中兩個方程的特性曲線，其交點為電路方程的

13、解。的解。 “十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎例例4.3.1 4.3.1 如圖如圖4.3.2(4.3.2(a)a)所示，設非線性電阻所示，設非線性電阻r的電壓的電壓 電流關系為電流關系為， 其中其中u為非線性電阻兩端的電為非線性電阻兩端的電壓壓( (單位為單位為v)v)。試求非線性電阻試求非線性電阻r的靜態(tài)工作點。的靜態(tài)工作點。64010(1)auie(a)解：將非線性電阻解：將非線性電阻r左邊的線性電路部分用戴維南電左邊的線性電路部分用戴維南電路等效，如圖路等效，如圖( (b)b)所示，其中所示，其中 0.521v0.50.5ocu00.50.50.7510.50.5r i0.

14、750.50.52vru(b)uuii0rocu“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎則線性電路部分的電壓則線性電路部分的電壓 電流關系為：電流關系為：1iu非線性電路部分的電壓非線性電路部分的電壓 電流關系為電流關系為 64010(1)auie 在同一坐標系中作出兩部分電路的伏安特性曲線，如圖在同一坐標系中作出兩部分電路的伏安特性曲線，如圖( (c)c)所示，其交點為所示，其交點為q，即為非線性即為非線性電阻電阻r的靜態(tài)工作點，對的靜態(tài)工作點，對應的坐標為應的坐標為0.34v0.66aui，qo1iu 0.2ui0.40.80.464010 (1)uie( c )“十一五十一五”規(guī)

15、劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎4.4 4.4 小信號分析法小信號分析法 上節(jié)圖解法是在直流激勵下，確定靜態(tài)工作點，如上節(jié)圖解法是在直流激勵下，確定靜態(tài)工作點，如果在此基礎上再加入幅度很小的隨時間變化的信號（小果在此基礎上再加入幅度很小的隨時間變化的信號（小信號），如何處理呢？信號），如何處理呢？ 小信號分析法的基本思路：小信號分析法的基本思路：是在靜態(tài)工作點確定的是在靜態(tài)工作點確定的基礎上，將非線性電阻電路的方程線性化，得到相應的基礎上，將非線性電阻電路的方程線性化，得到相應的小信號等效電路或增量等效電路（線性電阻電路）。利小信號等效電路或增量等效電路（線性電阻電路）。利用分析線性電路的方法進

16、行分析計算。用分析線性電路的方法進行分析計算?！笆晃迨晃濉币?guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎4.4 4.4 小信號分析法小信號分析法0riu( )if u0u( )sutr任意時刻任意時刻t 都有都有 )(0tuus 圖示電路中，直流電壓源為圖示電路中，直流電壓源為u0，電阻電阻r0為線性電阻，非線性電阻為線性電阻，非線性電阻r是是電壓控制型的，其伏安特性電壓控制型的，其伏安特性i=f(u)，其伏安特性曲線如圖其伏安特性曲線如圖4.4.1 (4.4.1 (b)b)所示所示 圖圖4.4.14.4.1（a) a) oui( )if u圖圖4.4.14.4.1（b) b) 小信號時變電壓為小信號時

17、變電壓為us(t) 1.1.首先按照首先按照kvlkvl列出電路方程列出電路方程 分析方法：分析方法： 0( )ssuutr iu(4.4.1)“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎qo0uuia( )if ubquqi00ur2.2.當當us(t) 0時時 0sqqur iu()qqif uq(uq，iq)，即靜態(tài)工作點即靜態(tài)工作點 3.3.當當us(t)加入加入時時 u1、i1是由于小信號是由于小信號us(t)的作用而引起的偏差在的作用而引起的偏差在 (4.4.2)(4.4.3)11qquuuiii(4.4.4)“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎在任何時刻在任何時刻

18、t，u1、i1相對相對(uq，iq)都是很小的量。都是很小的量。)(0tuus的條件下，的條件下，由由i f(u)可得：可得： 11qqiif uu(4.4.5）11()qqqudfiif uudu 又由于又由于u1很小，可以將上式右邊在很小，可以將上式右邊在uq點附近用泰勒級點附近用泰勒級數展開，取級數前面兩項而略去一次項以上的高次項，上數展開，取級數前面兩項而略去一次項以上的高次項，上式可寫為式可寫為(4.4.6)11qudfiudu由式由式(4.4.3)，可得可得 (4.4.7)“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎111qdudidfgudur因此有因此有 (4.4.8) g

19、d為非線性電阻在工作點為非線性電阻在工作點(uq，iq)處的動態(tài)電導處的動態(tài)電導( (dynamic conductance)dynamic conductance)，rd為相應的動態(tài)電阻為相應的動態(tài)電阻( (dynamic resistance)dynamic resistance)。 由于由于gd 1/rd在工作點在工作點(uq，iq)處是一個常量，所以從處是一個常量，所以從上式可以看出，小信號電壓上式可以看出，小信號電壓us(t)產生的電壓產生的電壓u1和電流和電流i1之間之間的關系是線性的。的關系是線性的。011( )ssqquutriiuu(4.4.10)所以所以0 11( )sdu

20、tr ir i(4.4.11)“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎 由此可以作出給定非線性電阻在工作點由此可以作出給定非線性電阻在工作點(uq，iq)處的處的小信號等效電路，如圖小信號等效電路，如圖4.4.24.4.2所示。所示。( )sut0r1( )i t1( )u tdr圖圖4.4.2 4.4.2 小信號模型小信號模型 0 11( )sdutr ir i由小信號電路可得由小信號電路可得 1010( )( )sddsdutirrr uturr(4.4.12)“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎例例4.4.1 4.4.1 在如圖在如圖4.4.3(4.4.3(a)a)所

21、示非線性電阻電路中，非所示非線性電阻電路中，非線性電阻的伏安特性為，線性電阻的伏安特性為， 現已知當現已知當us(t) 0時，回時，回路中的電流路中的電流i為為1a。如果如果us(t) cos tv時，試用小信號分時，試用小信號分析法求回路中的電流析法求回路中的電流i。32uii2iusu5v解解 由題意可知，此電路中的靜態(tài)由題意可知，此電路中的靜態(tài)工作點在工作點在i i0 0=1a=1a處，工作點處的動態(tài)處，工作點處的動態(tài)電阻為電阻為021235diiiduridi作出小信號等效電路作出小信號等效電路21i1usudr“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎11cosa257suit

22、1(1cos)a7it故總電流為故總電流為可得：可得：21i1usudr“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎4.54.5分段線性分析法分段線性分析法 分段線性分析法分段線性分析法( (piecepiece wise linearization wise linearization analysis)analysis)是一種實用的近似方法，即用一條折線來分段逼是一種實用的近似方法，即用一條折線來分段逼近特性曲線，所以有時也稱之為折線法近特性曲線，所以有時也稱之為折線法( (polygon method)polygon method)。 思路：思路：就是用若干段斜率不同的折線近似代替非

23、就是用若干段斜率不同的折線近似代替非線性電阻的實際特性曲線，從而將非線性電阻電路轉化線性電阻的實際特性曲線，從而將非線性電阻電路轉化為幾個線性電路求解，每個線性電路對應一個相應的區(qū)為幾個線性電路求解，每個線性電路對應一個相應的區(qū)間。間。 “十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎4.54.5分段線性分析法分段線性分析法 圖圖4.5.14.5.1所示為流控型非線性電阻的特性曲線，可所示為流控型非線性電阻的特性曲線，可以將非線性電阻的特性分作三段，分別用以將非線性電阻的特性分作三段，分別用oaoa、abab、和和bcbc三段直線來逼近它。直線方程如果用電流為自變量，其三段直線來逼近它。直線方

24、程如果用電流為自變量，其一般表達式為一般表達式為 kdkuuri圖圖4.5.14.5.1 分段線性逼近分段線性逼近 “十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎 其中其中uk是第是第k段直線與段直線與u軸交點的坐標。顯然，圖軸交點的坐標。顯然，圖4.5.14.5.1中的中的u1=0，u2 0，u3 0。rdk為動態(tài)電阻，等于為動態(tài)電阻，等于第第k段直線的斜率，即段直線的斜率，即dkkdurdikdkuuri圖中三條線段上，有三個動態(tài)電阻圖中三條線段上，有三個動態(tài)電阻oaoa段是通過原點的直線段是通過原點的直線rd1=rd10abab段是下降的直線段段是下降的直線段rd2 0rd20rd30

25、rd3 rd3“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎 由上式可知，第由上式可知，第k段非線性電阻段非線性電阻rk的特性可以用的特性可以用電壓源串聯線性電阻來等效，如圖電壓源串聯線性電阻來等效，如圖( (b)b)所示，稱為分所示，稱為分段戴維南電路?；螂娏髟床⒙撾妼淼刃鐖D段戴維南電路?；螂娏髟床⒙撾妼淼刃鐖D( (c)c)所所示，稱為分段諾頓電路。示，稱為分段諾頓電路。kdkuurikdkiigu或或kidkgdkrkuiudkriuiu圖圖4.5.2 4.5.2 非線性電阻及其線性化等效電路非線性電阻及其線性化等效電路 ( (a) (b) (c)a) (b) (c)“十一五十一

26、五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎例例4.5.1 4.5.1 試用分段線性分析法求解圖試用分段線性分析法求解圖4.5.3(4.5.3(a)a)所示電所示電路，其中非線性電阻的伏安特性曲線如圖路，其中非線性電阻的伏安特性曲線如圖( (b)b)所示。所示。 i512vuo3(a)iqb12a(v)u41 25 6 7 89108v1v0.8a0.2a (a) (b)圖圖4.5.301.5vu1.5vu 解解現在按電壓分為兩段，分別用現在按電壓分為兩段，分別用oaoa（ ）、）、abab（ ）兩條直線分段逼近。取兩條直線分段逼近。取u為自變量，直線方程為自變量，直線方程是是kdkiigu“十一五十

27、一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎o3(a)iqb12a(v)u41 25 6 7 89108v1v0.8a0.2a對對oaoa段，可測得段，可測得ik=0a，gdk =0.8s，對對abab段，可測得段，可測得ik=1.0a，gdk =0.025s顯然，這是一個虛假解，應該舍棄。顯然，這是一個虛假解，應該舍棄。2.42.402.4v1.5v0.20.20.8kdkiug2.42.416.22v0.20.20.025kdkiug“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎o3(a)iqb12a(v)u41 25 6 7 89108v1v0.8a0.2a此時正好在此時正好在abab段的范

28、圍內，代入直線方程得到段的范圍內，代入直線方程得到10.0256.221.16akdkiigu注意：注意：對每個線性電路計算后，要根據電壓和電流的等效對每個線性電路計算后，要根據電壓和電流的等效范圍進行校驗，僅當工作點在其有關段的等效范圍時，其范圍進行校驗，僅當工作點在其有關段的等效范圍時，其解才是正確的。否則便是虛假工作點，應予以舍棄。解才是正確的。否則便是虛假工作點，應予以舍棄。 “十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎4.6 4.6 數值分析法數值分析法 數值分析法數值分析法( (numerical analysis)numerical analysis)一般采用逼近一般采用逼近

29、的方法，使用迭代的點序列逐步逼近非線性方程的解的方法，使用迭代的點序列逐步逼近非線性方程的解。逼近的方法有牛頓法、共軛梯度法等。本節(jié)主要介。逼近的方法有牛頓法、共軛梯度法等。本節(jié)主要介紹牛頓法。紹牛頓法。 含有一個非線性電阻電路的方程，最終可歸結為一含有一個非線性電阻電路的方程，最終可歸結為一個一元非線性方程，假設電路方程的形式為個一元非線性方程，假設電路方程的形式為( )0f x (4.6.1)式中式中x為待求的電路變量，一般為電壓或電流。為待求的電路變量，一般為電壓或電流?！笆晃迨晃濉币?guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎牛頓法：牛頓法：是基于圍繞某一近似解是基于圍繞某一近似解 對函數對函數

30、 進行泰進行泰勒展開給出的，即勒展開給出的，即()kx( )f x()()2()()()221( )()()()2kkkkkxxxxdfdffxfxxxxxdxdx如果如果 很小，則可取一階近似，得到很小，則可取一階近似，得到( )kxx()()()( )0()()kkkxxdffxfxxxdx這是一個線性方程，記其解為這是一個線性方程，記其解為 ，則有，則有 (1)kx()(1)()()()kkkkxxdfxxfxdx (4.6.3) (4.6.2) “十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎牛頓法的幾何意義牛頓法的幾何意義 圖圖4.6.14.6.1 f(x)=0的解的解x x 可解釋

31、為曲線可解釋為曲線y=f(x)與與x x軸的交點的橫坐標，見軸的交點的橫坐標，見圖圖4.6.14.6.1。設。設x x( (k k) )是是x x 的某個近似的某個近似值，過值，過曲線曲線y y= =f f( (x x) )上橫坐標為上橫坐標為x x( (k k) )的點的點p pk k作切線，并將該切線與作切線，并將該切線與x x軸軸的交點的橫坐標的交點的橫坐標x x( (k k+1)+1)作為作為x x 的新的新的近似值。注意到切線方程為的近似值。注意到切線方程為 ()()()()()kkkxxdfyfxxxdx由于這種幾何含義由于這種幾何含義，牛頓法也稱為切線法牛頓法也稱為切線法 (4.

32、6.4) “十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎例例4.6.1 4.6.1 用牛頓法求解圖用牛頓法求解圖4.6.24.6.2所示電路的電壓所示電路的電壓 和電和電流流 ，其中，其中is=0.673a，二極管的電壓二極管的電壓 電流關系電流關系為為 2u2i22400.1()a1uie解解 由電路可得由電路可得kclkcl方程方程12siii1210.4iu22400.1(1)uie2u將將 和和 代入上式并整理，得到以代入上式并整理，得到以為變量的非線性電路方程為變量的非線性電路方程 222401()0.1(1)0.67300.4uf ueu圖圖4.6.2 對對f(u2)求導，得求導

33、，得 22240()42.5udf uedu2u1i2isi0.4“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎20.047vu 將將u2的數值代入的數值代入 式，可得式，可得22400.1(1)auie20.555ai 因此，牛頓法的迭代公式為因此，牛頓法的迭代公式為( )2( )2( )(1)( )22240400.12.50.77342.5kkkkkuueuuue其中上標表示迭代次數。取初始值其中上標表示迭代次數。取初始值u2=0時的迭代結果為時的迭代結果為“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎 對于含有多個非線性電阻電路的方程，最終可歸結對于含有多個非線性電阻電路的方程，最

34、終可歸結為一個多元非線性方程組，將一元牛頓法進行推廣，可為一個多元非線性方程組，將一元牛頓法進行推廣，可以得到求解多元非線性方程組的牛頓迭代法。假設電路以得到求解多元非線性方程組的牛頓迭代法。假設電路方程的形式為方程的形式為 12()0()0()0nfffxxx(4.6.5)(4.6.5) 與求解一元非線性方程類似，設與求解一元非線性方程類似，設 是第是第k次迭代值，將式次迭代值，將式(4.6.5)(4.6.5)在近似解處進行泰勒展開，并只取一階近似，得到在近似解處進行泰勒展開，并只取一階近似，得到t12,nxxxx式中式中 為待求的電路變量，一般為電壓或電流。為待求的電路變量，一般為電壓或電

35、流。()()()()t12,kkkknxxxx()kx“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎這是一個線性方程組，寫出矩陣形式有這是一個線性方程組，寫出矩陣形式有 ()()()()()()112212()()0()()() () (1,2, )kkkkkkiiiikinnnffffxxxxxxfxxinxxxxxxxxx(4.6.6)()11112()1222()(1)()212()12()()()()knkkkknknnnnnfffxxxfffffxxxffffxxx xxxxxxx(4.6.7(4.6.7a)a)“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎()(1)()()()

36、()()kkkk fxxxfx簡寫成簡寫成 其中系數矩陣其中系數矩陣 稱為稱為雅可比矩陣雅可比矩陣( (jacobianjacobian matrix)matrix)， 為非線性方程組在為非線性方程組在 處的函數值向量。處的函數值向量。如果雅可比矩陣如果雅可比矩陣 是非奇異的，由式是非奇異的，由式(4.6.7(4.6.7b)b)解出解出 得得 ( )()kfx()()kfx( )kx( )()kfx(1)kx(1)()()1()()()kkkkxxfxfx上式可看成牛頓法的迭代公式上式可看成牛頓法的迭代公式(4.6.2)(4.6.2)的直接推廣。的直接推廣。(4.6.8)(4.6.8)(4.6

37、.7(4.6.7b)b)“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎例例4.6.2 4.6.2 用牛頓法求解圖用牛頓法求解圖4.6.34.6.3所示電路各支路電流。電所示電路各支路電流。電路中各非線性電阻的電壓路中各非線性電阻的電壓 電流關系分別為電流關系分別為 ， 311iu222iu3/233iu1i2i2u1u1l3u4a12a3i圖圖4.6.3 解解: : 列節(jié)點列節(jié)點、的的kclkcl方程得方程得1223124iiii321223/223124uuuu代入非線性電阻的電壓代入非線性電阻的電壓 電流關系電流關系，得到，得到“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎將上式代入前

38、面兩式中，得到將上式代入前面兩式中，得到321133/22313()124()uuuuuu213uuu列出回列出回路路l1的的kvlkvl方程得方程得1i2i2u1u1l3u4a12a3i由上式得到關于由上式得到關于u1，u3的非線性電路方程組的非線性電路方程組3211311323/2213133( ,)()120( ,)()40f u uuuuf u uuuu“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎礎得到雅可比矩陣為得到雅可比矩陣為11211313131/ 222131331332()2()()32()2()2ffuuuuuuuffuuuuuuxfx由式由式(4.6.8)(4.6.8)得到迭代公式為得到迭代公式為()1()3()1()312(1)()11313111/ 2(1)()131333