昆明理工大學(xué)線(xiàn)性代數(shù)考試試題集及答案

1、線(xiàn)性代數(shù)B 2010 2011 學(xué)年第 一 學(xué)期課程試卷A一、填空 1. = 12 .2 設(shè)A、B為4階方陣，且，則 1/2 .3. 給定矩陣，且可逆,滿(mǎn)足,則 .4設(shè)，則 .5已知線(xiàn)性相關(guān),不能由線(xiàn)性表示，則線(xiàn)性 相關(guān) 6設(shè)，且,線(xiàn)性相關(guān)， 則 8 7.設(shè)是矩陣,且，則_2_8設(shè)三階方陣的每行元素之和均為零，又，則齊次線(xiàn)性方程組的通解為 .9. 向量組的一個(gè)最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組為 .10. 設(shè)為n階方陣,有非零解,則必有一個(gè)特征值為 0 .二、單項(xiàng)選擇 1.若( A ) ； 2 ； 1 ； .2設(shè)均為二階方陣，則當(dāng)(C )時(shí)，可以推出3. 下列結(jié)論正確的是( A ) 線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件是其中任意一

2、個(gè)向量都不是其余向量的線(xiàn)性組合; 若向量線(xiàn)性相關(guān)，則線(xiàn)性相關(guān)； 若階方陣與對(duì)角陣相似，則有個(gè)不同的特征值; 若方程組有非零解，則有無(wú)窮多解.4. 已知是四元方程組的三個(gè)解，其中，則以下不是方程組的通解為( D ) . .5. 設(shè)向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則下列向量組中線(xiàn)性無(wú)關(guān)的是（ B ） ; ; ; .6若階矩陣有共同的特征值，且各有個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，則（A ） 與相似; ，但; ; 與不一定相似，但. 7. 設(shè)且則以下結(jié)論正確的是（ B ）.不一定是的一個(gè)特征向量; 一定不是的一個(gè)特征向量; 一定是的一個(gè)特征向量; 為零向量.三、k為何值時(shí),線(xiàn)性方程組 有解，并在有解時(shí)求通解.解: 當(dāng)時(shí)，方程組

3、有解， ， ， （12分） 通解為 四、已知矩陣的特征值之和為1，特征值之積為(1) 求的值； (2) 求可逆矩陣和對(duì)角陣，使得.解 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 有五、計(jì)算 . 六、設(shè)為3階矩陣，為的分別屬于特征值特征向量，向量滿(mǎn)足，證明（1）線(xiàn)性無(wú)關(guān)；（2）令，求. 證明 (1)， 即(2) (2)-(1) 因?yàn)榫€(xiàn)性無(wú)關(guān)， 代入（1），得線(xiàn)性無(wú)關(guān)（2） 線(xiàn)性代數(shù)B2010 2011 學(xué)年第 一 學(xué)期課程試卷B一、填空 1.設(shè) ,又是的代數(shù)余子式,則=02 設(shè)A、B為3階方陣，且，則 1/6 .3. 設(shè)A為方陣,滿(mǎn)足,則 .4設(shè)，則 .5向量組線(xiàn)性 相 關(guān)6設(shè)是矩陣,則齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充分必要條件是

4、 7.設(shè)是矩陣,且，則_2_8設(shè)三階方陣的每行元素之和均為3，則有特征值 3 .9. 向量組的一個(gè)最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組為.10屬于方陣的不同特征值的特征向量一定 線(xiàn)性無(wú)關(guān) .二、單項(xiàng)選擇 1.若( A ). ； 2 ； 1 ； .2設(shè)A為矩陣，且，則一定有( D )3. 下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( D ) 線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件是其中任意一個(gè)向量都不是其余向量的線(xiàn)性組合; 若向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則線(xiàn)性無(wú)關(guān)； 階方陣與對(duì)角陣相似是有個(gè)不同的特征值的必要條件; 若方程組有非零解，則有無(wú)窮多解.4. 設(shè)矩陣的秩，下述結(jié)論中正確的是 D .的任意個(gè)列向量必線(xiàn)性無(wú)關(guān)； 的任意一個(gè)階子式不等于零；齊次線(xiàn)性方程組只有零解； 非齊次

5、線(xiàn)性方程組必有無(wú)窮多解.5. 階矩陣滿(mǎn)足則下列各式中成立的是 D .6設(shè)矩陣的秩為2，則 C （A）；（B）；（C）； （D）.7. 均為階方陣，則下列結(jié)論中 B 成立（A）則或； （B） 則或； （C）則或； （D）則或三、k為何值時(shí)，線(xiàn)性方程組有解并在有解時(shí)求通解解 當(dāng)所以有依賴(lài)于3個(gè)獨(dú)立參數(shù)的無(wú)窮多解 得 四、已知矩陣, 求可逆矩陣與對(duì)角陣,使得. 解 ， 進(jìn)一步可求得相應(yīng)的特征向量為。取 ， 有 =五、計(jì)算行列式. 六、已知階矩陣,證明中所有元素的代數(shù)余子式的和為1.證 ， 又， 比較第一列元素之和有 ×××大學(xué)線(xiàn)性代數(shù)期末考試題一、填空題（將正確答案填在

6、題中橫線(xiàn)上。每小題2分，共10分）1. 若，則_。2若齊次線(xiàn)性方程組只有零解，則應(yīng)滿(mǎn)足 。 3已知矩陣，滿(mǎn)足，則與分別是 階矩陣。4矩陣的行向量組線(xiàn)性 。5階方陣滿(mǎn)足，則 。二、判斷正誤（正確的在括號(hào)內(nèi)填“”，錯(cuò)誤的在括號(hào)內(nèi)填“×”。每小題2分，共10分）1. 若行列式中每個(gè)元素都大于零，則。（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一組向量的線(xiàn)性組合。（ ） 3. 向量組中，如果與對(duì)應(yīng)的分量成比例，則向量組線(xiàn)性相關(guān)。（ ）4. ，則。（ ）5. 若為可逆矩陣的特征值，則的特征值為。 ( )三、單項(xiàng)選擇題 (每小題僅有一個(gè)正確答案，將正確答案題號(hào)填入括號(hào)內(nèi)。每小題2分，共10分) 1. 設(shè)

7、為階矩陣，且，則（ ）。 42. 維向量組 （3 £ s £ n）線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件是（ ）。 中任意兩個(gè)向量都線(xiàn)性無(wú)關(guān) 中存在一個(gè)向量不能用其余向量線(xiàn)性表示 中任一個(gè)向量都不能用其余向量線(xiàn)性表示 中不含零向量3. 下列命題中正確的是( )。 任意個(gè)維向量線(xiàn)性相關(guān) 任意個(gè)維向量線(xiàn)性無(wú)關(guān) 任意個(gè) 維向量線(xiàn)性相關(guān) 任意個(gè) 維向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)4. 設(shè)，均為n 階方陣，下面結(jié)論正確的是( )。 若，均可逆，則可逆 若，均可逆，則 可逆 若可逆，則 可逆 若可逆，則 ，均可逆5. 若是線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系，則是的（ ） 解向量 基礎(chǔ)解系 通解 A的行向量四、計(jì)算題 ( 每小題9分，共63

8、分)1. 計(jì)算行列式。解·2. 設(shè)，且 求。解. ，3. 設(shè) 且矩陣滿(mǎn)足關(guān)系式 求。4. 問(wèn)取何值時(shí)，下列向量組線(xiàn)性相關(guān)？。5. 為何值時(shí)，線(xiàn)性方程組有唯一解，無(wú)解和有無(wú)窮多解？當(dāng)方程組有無(wú)窮多解時(shí)求其通解。 當(dāng)且時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)時(shí)方程組無(wú)解當(dāng)時(shí)，有無(wú)窮多組解，通解為6. 設(shè) 求此向量組的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表示。7. 設(shè)，求的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量。五、證明題 (7分)若是階方陣，且 證明 。其中為單位矩陣。×××大學(xué)線(xiàn)性代數(shù)期末考試題答案一、填空題1. 5 2. 3. 4. 相關(guān) 5. 二、判斷正誤1. ×

9、; 2. 3. 4. 5. ×三、單項(xiàng)選擇題1. 2. 3. 4. 5. 四、計(jì)算題1. 2. ，3. 4. 當(dāng)或時(shí)，向量組線(xiàn)性相關(guān)。5. 當(dāng)且時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)時(shí)方程組無(wú)解當(dāng)時(shí)，有無(wú)窮多組解，通解為6. 則 ，其中構(gòu)成極大無(wú)關(guān)組，7. 特征值，對(duì)于11，特征向量為五、證明題， 一、選擇題（本題共4小題，每小題4分，滿(mǎn)分16分。每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1、設(shè)，為n階方陣，滿(mǎn)足等式，則必有（ ）(A)或; (B)； （C）或; (D)。2、和均為階矩陣，且，則必有（ ）(A) ； (B)； （C） . (D) 。3、設(shè)為矩陣，齊次方程組僅有零解的充要條件是（

10、）(A) 的列向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)； (B) 的列向量線(xiàn)性相關(guān)；（C） 的行向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)； (D) 的行向量線(xiàn)性相關(guān).4、 階矩陣為奇異矩陣的充要條件是（ ）(A) 的秩小于； (B) ；(C) 的特征值都等于零； (D) 的特征值都不等于零；二、填空題（本題共4小題，每題4分，滿(mǎn)分16分）5、若4階矩陣的行列式，是A的伴隨矩陣，則= 。6、為階矩陣，且，則 。7、已知方程組無(wú)解，則 。8、二次型是正定的，則的取值范圍是 。三、計(jì)算題（本題共2小題，每題8分，滿(mǎn)分16分）9、計(jì)算行列式10、計(jì)算階行列式四、證明題（本題共2小題，每小題8分，滿(mǎn)分16分。寫(xiě)出證明過(guò)程）11、若向量組線(xiàn)性相關(guān)，向量組線(xiàn)性無(wú)

11、關(guān)。證明：(1) 能有線(xiàn)性表出；(2) 不能由線(xiàn)性表出。12、設(shè)是階矩方陣，是階單位矩陣，可逆，且。證明（1） ；（2） 。 五、解答題（本題共3小題，每小題12分，滿(mǎn)分32分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明或演算步驟）13、設(shè)，求一個(gè)正交矩陣使得為對(duì)角矩陣。14、已知方程組與方程組有公共解。求的值。15、設(shè)四元非齊次線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知，是它的三個(gè)解向量，且，求該方程組的通解。解答和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題1、C； 2、D； 3、A； 4、A。二、填空題5、-125; 6、； 7、-1； 8、。三、計(jì)算題9、解：第一行減第二行，第三行減第四行得：第二列減第一列，第四列減第三列得： （4分）按第一

12、行展開(kāi)得按第三列展開(kāi)得。 （4分）10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子，再通過(guò)行列式的變換化為上三角形行列式 （4分） （4分）四、證明題11、證明：(1)、 因?yàn)榫€(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以線(xiàn)性無(wú)關(guān)。，又線(xiàn)性相關(guān)，故能由線(xiàn)性表出。 (4分)，（2）、（反正法）若不，則能由線(xiàn)性表出，不妨設(shè)。由（1）知，能由線(xiàn)性表出，不妨設(shè)。所以，這表明線(xiàn)性相關(guān)，矛盾。 12、證明 （1） （4分）（2）由（1）得：，代入上式得 （4分）五、解答題13、解：（1）由得的特征值為，。 （4分）（2）的特征向量為，的特征向量為，的特征向量為。 （3分）（3）因?yàn)樘卣髦挡幌嗟龋瑒t正交。 （2分）（4）將單位化得， （

13、2分）（5）?。?） （1分）14、解：該非齊次線(xiàn)性方程組對(duì)應(yīng)的齊次方程組為因，則齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系有1個(gè)非零解構(gòu)成，即任何一個(gè)非零解都是它的基礎(chǔ)解系。 （5分）另一方面，記向量，則直接計(jì)算得，就是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。根據(jù)非齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)知，原方程組的通解為，。 （7分）15、解：將與聯(lián)立得非齊次線(xiàn)性方程組: 若此非齊次線(xiàn)性方程組有解, 則與有公共解, 且的解即為所求全部公共解. 對(duì)的增廣矩陣作初等行變換得: . （4分）1°當(dāng)時(shí)，有，方程組有解, 即與有公共解, 其全部公共解即為的通解，此時(shí)，則方程組為齊次線(xiàn)性方程組，其基礎(chǔ)解系為: ,所以與的全部公共解為，k為任意常數(shù)

14、. （4分）2° 當(dāng)時(shí)，有，方程組有唯一解, 此時(shí)，故方程組的解為:, 即與有唯一公共解. （4分）第一部分 選擇題 (共28分)一、 單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選或未選均無(wú)分。1.設(shè)行列式=m，=n，則行列式等于（ ） A. m+nB. -(m+n) C. n-mD. m-n2.設(shè)矩陣A=，則A-1等于（ ） A. B. C. D. 3.設(shè)矩陣A=，A*是A的伴隨矩陣，則A *中位于（1，2）的元素是（ ） A. 6B. 6 C. 2D. 24.設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式AB=

15、AC，則必有（ ） A. A =0B. BC時(shí)A=0 C. A0時(shí)B=CD. |A|0時(shí)B=C5.已知3×4矩陣A的行向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則秩（AT）等于（ ） A. 1B. 2 C. 3D. 46.設(shè)兩個(gè)向量組1，2，s和1，2，s均線(xiàn)性相關(guān)，則（ ） A.有不全為0的數(shù)1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=0 B.有不全為0的數(shù)1，2，s使1（1+1）+2（2+2）+s（s+s）=0 C.有不全為0的數(shù)1，2，s使1（1-1）+2（2-2）+s（s-s）=0 D.有不全為0的數(shù)1，2，s和不全為0的數(shù)1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=07.設(shè)矩陣A的秩

16、為r，則A中（ ） A.所有r-1階子式都不為0B.所有r-1階子式全為0 C.至少有一個(gè)r階子式不等于0D.所有r階子式都不為08.設(shè)Ax=b是一非齊次線(xiàn)性方程組，1，2是其任意2個(gè)解，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ） A.1+2是Ax=0的一個(gè)解B.1+2是Ax=b的一個(gè)解 C.1-2是Ax=0的一個(gè)解D.21-2是Ax=b的一個(gè)解9.設(shè)n階方陣A不可逆，則必有（ ） A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1 C.A=0D.方程組Ax=0只有零解10.設(shè)A是一個(gè)n(3)階方陣，下列陳述中正確的是（ ） A.如存在數(shù)和向量使A=，則是A的屬于特征值的特征向量 B.如存在數(shù)和非零向量，使(E-A)=

17、0，則是A的特征值 C.A的2個(gè)不同的特征值可以有同一個(gè)特征向量 D.如1，2，3是A的3個(gè)互不相同的特征值，1，2，3依次是A的屬于1，2，3的特征向量，則1，2，3有可能線(xiàn)性相關(guān)11.設(shè)0是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于0的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為k，則必有（ ） A. k3B. k<3 C. k=3D. k>312.設(shè)A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ） A.|A|2必為1B.|A|必為1 C.A-1=ATD.A的行（列）向量組是正交單位向量組13.設(shè)A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，C是實(shí)可逆矩陣，B=CTAC.則（ ） A.A與B相似 B. A與B不等價(jià) C. A與B有相同的特征值

18、 D. A與B合同14.下列矩陣中是正定矩陣的為（ ） A.B. C.D.第二部分 非選擇題（共72分）二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）不寫(xiě)解答過(guò)程，將正確的答案寫(xiě)在每小題的空格內(nèi)。錯(cuò)填或不填均無(wú)分。15. .16.設(shè)A=，B=.則A+2B= .17.設(shè)A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代數(shù)余子式（i,j=1,2,3）,則(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .18.設(shè)向量（2，-3，5）與向量（-4，6，a）線(xiàn)性相關(guān)，則a=

19、.19.設(shè)A是3×4矩陣，其秩為3，若1，2為非齊次線(xiàn)性方程組Ax=b的2個(gè)不同的解，則它的通解為 .20.設(shè)A是m×n矩陣，A的秩為r(<n)，則齊次線(xiàn)性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系中含有解的個(gè)數(shù)為 .21.設(shè)向量、的長(zhǎng)度依次為2和3，則向量+與-的內(nèi)積（+，-）= .22.設(shè)3階矩陣A的行列式|A|=8，已知A有2個(gè)特征值-1和4，則另一特征值為 .23.設(shè)矩陣A=，已知=是它的一個(gè)特征向量，則所對(duì)應(yīng)的特征值為 .24.設(shè)實(shí)二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩為4，正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)范形為 .三、計(jì)算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）25.設(shè)A

20、=，B=.求（1）ABT；（2）|4A|.26.試計(jì)算行列式.27.設(shè)矩陣A=，求矩陣B使其滿(mǎn)足矩陣方程AB=A+2B.28.給定向量組1=，2=，3=，4=.試判斷4是否為1，2，3的線(xiàn)性組合；若是，則求出組合系數(shù)。29.設(shè)矩陣A=.求：（1）秩（A）；（2）A的列向量組的一個(gè)最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組。30.設(shè)矩陣A=的全部特征值為1，1和-8.求正交矩陣T和對(duì)角矩陣D，使T-1AT=D.31.試用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 f(x1,x2,x3)=，并寫(xiě)出所用的滿(mǎn)秩線(xiàn)性變換。四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）32.設(shè)方陣A滿(mǎn)足A3=0，試證明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2

21、.33.設(shè)0是非齊次線(xiàn)性方程組Ax=b的一個(gè)特解，1，2是其導(dǎo)出組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.試證明（1）1=0+1，2=0+2均是Ax=b的解； （2）0，1，2線(xiàn)性無(wú)關(guān)。答案：一、單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分）15. 616. 17. 418. 1019. 1+c(2-1)（或2+c(2-1)），c為任意常數(shù)20. n-r21. 522. 223. 124. 三、計(jì)算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）25.解（1）ABT=.（2）|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=.所以|4A|=64·（-2）=-12826.解 =27.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而（A-2E）-1=所以 B=(A-2E)-1A=28.解一 所以4=21+2+3，組合系數(shù)為（2，1，1）.解二 考慮4=x11+x22+x33，即 方程組有唯一解（2，1，1）T，