弧度制與任意角知識(shí)梳理

1、第四章 三角函數(shù)（基本初等函數(shù)（n）1了解任意角的概念 2了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化3 理解任意角三角函數(shù) (正弦、余弦、正切 )的定義 本節(jié)內(nèi)容是整個(gè)三角函數(shù)部分的基礎(chǔ)， 主要考查三角函數(shù)的概念， 三角函數(shù)值在各象限 的符號(hào)， 利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小等， 一般不單獨(dú)設(shè)題， 主要是與三角函數(shù)相 關(guān)的知識(shí)相結(jié)合來(lái)考查1 任意角(1) 角的概念角可以看成平面內(nèi)一條 繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形我們規(guī)定： 按 方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角， 按 方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角如果一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個(gè) (2) 象限角重合，角的始邊與 x 軸的重合角

2、的終邊在第使角的頂點(diǎn)與幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角. a是第一象限角可表示為a|2kn<a<2kn+2, k Z ； a是第二象限角可表示為 a是第三象限角可表示為 a是第四象限角可表示為(3) 非象限角上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限. a|a= 2k n k Z;如果角的終邊在 終邊在x軸非負(fù)半軸上的角的集合可記作 終邊在x軸非正半軸上的角的集合可記作 終邊在y軸非負(fù)半軸上的角的集合可記作 終邊在y軸非正半軸上的角的集合可記作 終邊在x軸上的角的集合可記作 終邊在y軸上的角的集合可記作 終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合可記作終邊相同的角所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一

3、個(gè)集合S =2.弧度制(1)把長(zhǎng)度等于弧度.|«| =, l是半徑為r的圓的圓心角a所對(duì)弧的長(zhǎng).弧度與角度的換算：360 ° = rad ,180rad 0.01745rad 反過(guò)來(lái) 1rad =的弧所對(duì)的圓心角叫做 1弧度的角，用符號(hào)rad表示，讀作rad ,1(3)若圓心角 a用弧度制表示，則弧長(zhǎng)公式 57.30= 57° 18 'I =;扇形面積公式 S扇=3. 任意角的三角函數(shù)(1) 任意角的三角函數(shù)的定義設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn), COSa=, tana=P(x, y)與原點(diǎn)的距離為r(r>0)，貝U sin a(XM 0)、

4、丄 xrr孤 cot a= y(y M0)seca= x(x 豐 0,)CSC a= y(y 豐0)yXy(2) 正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域三角函數(shù)定義域sin acos atan a(3) 三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)sin acos atan a4. 三角函數(shù)線,MP = y =如圖，角a的終邊與單位圓交于點(diǎn) P.過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為 M，過(guò)點(diǎn)A(1 , 0) 作單位圓的切線，設(shè)它與 a的終邊(當(dāng)a為第一、四象限角時(shí))或其反向延長(zhǎng)線(當(dāng)a為第二、 三象限角時(shí))相交于點(diǎn)T.根據(jù)三角函數(shù)的定義，有 0M =AT=.像0M , MP , AT這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段，這三條與單

5、位圓有關(guān)的有向線段 MP , 0M , AT ,分別叫做角 a 的、，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線. a a= k n+ 2,k Z a a=號(hào),k Z應(yīng),si n75。二從6屮2, tan 15 ° = 2 護(hù),tan75 = 2 + /3,由余角公角a0。30。45。60。90。120°135°150°180°270°360°角a的弧度數(shù)si naCOSatana5.特殊角的三角函數(shù)值探 sin15 ° =式易求15° 75°的余弦值和余切值.【自查自糾】1.射線逆時(shí)針順時(shí)針零角 原點(diǎn)非負(fù)半軸a|2k

6、n+ n< o<2k n+ n kC ZI3a|2k n+ nv<<2k n+ 2 n, kC Z a|2k n+ 3 n<a<2 kn+ 2 n, k C Z 或 a|2kn n< a<2k n kC Z坐標(biāo)軸 a| a= 2kn+n kC Z a a= 2kn+ 2， kC Z(4) 313= a+ 2k n £r2. (1)半徑長(zhǎng)k Z或 3 3= a+ k 360 ° k Z180 °3. (1)yR知24. cos asin(Xtana正弦線 余弦線5.正切線角a0°30°45°

7、;60°90°120°135°150°180°270°360°角a的0nnnn2 n3 n5n3 n2n弧6432346nT度數(shù)si na012亞21誓返2120-10COSa1遲10亞-遲-101222222不不tana0遲31存-1遲30存0在在n與 463°終 邊 相 同 的 角 的 集 合 是k Z k Z k Z k Z()A. aa= k 360。+ 463B. aa= k 360 °+ 103C. aa= k 360 °+ 257°,D. aa= k 360 2

8、57°,解：顯然當(dāng)k= 2時(shí),k 360° + 257° = 463°故選 C.給出下列命題:小于n勺角是銳角；第二象限角是鈍角；終邊相同的角相等；若 終邊，則必有a 3= 2knk Z）.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A. 0B. 1解：銳角的取值范圍是0, n，故不正確；鈍角的取值范圍是n2,n，而第二象限角冗為 2k n+ 2，2kn+ n , k Z ,故不正確；若a= 3+ 2k n, k Z , a與B的終邊相同，但當(dāng)kM0寸，邙，故不正確； 正確.故選B.若cos a=當(dāng)，且角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（X, 2），貝y P點(diǎn)的橫坐標(biāo)x是（A . 2 眾B

9、 .C. 2辺D .解:由 cos a=T寸x2+ 4-爭(zhēng)，解得x= 23.故選D.若點(diǎn)p(x, y)是30°角終邊上異于原點(diǎn)的一點(diǎn)，則y的值為解: y=tan30 =°33.故填馬3.半徑為R的圓的一段弧長(zhǎng)等于 2仲,則這段弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)是 .解：圓心角的弧度數(shù) a= 迪尺=2百.故填213.R類型一角的概念若a是第二象限角，試分別確定2a,a扌的終邊所在位置.解：a是第二象限角，90 ° k 360 ° a< 180 + k 360 ° Z).180。+ 2k 360 °< 2 a< 360。+ 2k 3

10、60 °(k Z),故2 a的終邊在第三或第四象限或 y軸的負(fù)半軸上.a/ 45。+ k 180 °<2< 90 ° k 180 (k Z),當(dāng) k = 2n(n Z)時(shí)，45° n 360 ° 扌< 90°+ n 360；當(dāng) k = 2n + 1(n C Z)時(shí)，225 + n 360 < 亍< 270 + n 360 ；的終邊在第一或第三象限.a/ 30。+ k 120 °<3< 60 ° k120 (k Z),當(dāng) k = 3n(nC Z)時(shí)，30 + n 360 &l

11、t; 扌< 60 + n 360 :當(dāng) k = 3n + 1(n C Z)時(shí)，150 + n 360 <專< 180 + n 360 ,3當(dāng) k = 3n + 2(n C Z)時(shí)，270 + n 360 < a 300 + n 360 ；3-彳的終邊在第一或第二或第四象限.a，a的范圍7分類討論求出2 a，【評(píng)析】關(guān)于一個(gè)角的倍角、半角所在象限的討論，有些書(shū)上列有現(xiàn)成的結(jié)論表格，記憶較難解此類題一般步驟為先寫(xiě)出a的范圍7求出2 a， a，3終邊所在位置.已知角2 a的終邊在x軸的上方（不與X軸重合），求a的終邊所在的象限.解：依題意有2k n< 2aV 2k冗+訛

12、 Z）,. n kn< a< kn+ (kC Z).當(dāng)k = 0時(shí)，0< a< 2，此時(shí)a是第一象限角;3當(dāng)k = 1時(shí)，nV aV 2 n此時(shí)a是第三象限角.綜上，對(duì)任意k Z , a為第一或第三象限角.故a的終邊在第一或第三象限.類型二 扇形的弧長(zhǎng)與面積問(wèn)題如圖所示，已知扇形 AOB的圓心角/ AOB = 120° 半徑 R= 6,求:(1)AB的長(zhǎng);弓形ACB的面積.解: (1) / AOB= 1202n3，R=6，.”2 nJab = "3 <5= 4 n.(2)S 弓形 ACB= S 扇形 OAB Sa oab=2|abR2R2sin

13、 / AOB=1X4 n<6 1 沁粵=12 9/5.【評(píng)析】直接用公式I = I aR可求弧長(zhǎng)，利用 S弓=S扇S可求弓形面積.關(guān)于其中弧度制不僅形式易記，而且弧長(zhǎng)、面積是實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式有角度制與弧度制這兩種形式, 好用，在使用時(shí)要注意把角度都換成弧度，使度量單位一致.常遇到的兩個(gè)量，應(yīng)切實(shí)掌握好其公式并能熟練運(yùn)用.扇形AOB的周長(zhǎng)為8 cm.若這個(gè)扇形的面積為3 cm2，求圓心角的大小.解：設(shè)扇形半徑為r，則弧長(zhǎng)為8- 2r,1 S= 2 (8-2r)r= 3,r = 1，或 r = 3.圓心角e=弧長(zhǎng)=宇=6或3.半徑 r3類型三三角函數(shù)的定義已知角a的終邊經(jīng)

14、過(guò)點(diǎn) P(a, 2a)(a >0), 求 sin a, cos a, tan a 的值.解：因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) P(a, 2a)(a>0),所以r =/5a, x= a, y= 2a.y 互Sin 心 r = V5a=tana= y=牛 2.【評(píng)析】若題目中涉及角 a終邊上一點(diǎn)P的相關(guān)性質(zhì)或條件，往往考慮利用三角函數(shù)的定義求解.已知角 a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3 m 9, m若 m = 2，求 5sina+ 3tana 的值;若cos a<0且 sin a> 0,求實(shí)數(shù) m的取值范圍.解：(1) m= 2, - P( 3, 4), - x= 3, y= 4, r = 5.y

15、 4y 443 = O.-sina= r = 5，tana= x=- 5sin a+ 3tan a= 5 用+ 3 X5/ cos aO 且 sin a> 0 ,3m 9 包), m+ 2> 0. 2v m<3.類型四 三角函數(shù)線的應(yīng)用用單位圓證明角 a的正弦絕對(duì)值與余弦絕對(duì)值之和不小于 1,即已知OWaV 2 n,求證：|sina+ |cosa| > 1.證明： 作平面直角坐標(biāo)系 xOy 和單位圓(1)當(dāng)角a的終邊落在坐標(biāo)軸上時(shí)，不妨設(shè)為Ox 軸，設(shè)它交單位圓于 A 點(diǎn)，如圖 1 ，顯圖1然 sin a= 0, COSa= 0A= 1 ,所以 |sin a+ |cos

16、a|= 1.圖2(2)當(dāng)角a的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)， 不妨設(shè)為0P,設(shè)它交單位圓于 A點(diǎn)，過(guò)A作AB丄x軸于 B，如圖 2，貝U sin a= BA, cosa= OB.在 OAB 中，|BA|+ |OB|> |OA|= 1 ,所以 |sina+ |cosa> 1.綜上所述，|si na+ |cosa羽.【評(píng)析】三角函數(shù)線是任意角的三角函數(shù)的幾何表示,利用單位圓中的三角函數(shù)線可以直觀地表示三角函數(shù)值的符號(hào)及大小，并能從任意角的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中表示三角函數(shù)值的變化規(guī)律.在求三角函數(shù)的定義域、解三角不等式、證明三角不等式等方面， 三角函數(shù)線具有獨(dú)特 的簡(jiǎn)便性.n求證：當(dāng) a 0, 2 時(shí)，si

17、no< a<tan a軸正半軸的交點(diǎn)為 A,過(guò)點(diǎn)A作圓PM丄OA于 M，連接 AP,則在0少證明：如圖所示，設(shè)角a的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P,單位圓與x的切線交OP的延長(zhǎng)線于T,過(guò)P作Rt POM 中，sin a= MP，在 Rt AOT中，tana= AT,又根據(jù)弧度制的定義，有 AP = aOP =a,易 知 Sa POA< S 扇形 POa<Sa aot ,1即 2OA MP < 1 1AP OA<2OAAT，即卩 sin a< a<tana1. 將角的概念推廣后，要注意銳角與第一象限角的區(qū)別，銳角的集合為 aO < a<90 ° , 第一象限角的集合為 ak 360°< a<k 360° + 90° k Z，顯然銳角的集合僅是第一象限角的 集合的一個(gè)真子集，即銳角是第一象限角，但第一象限角不一定是銳角.2. 角度制與弧度制可利用180 = n ra(進(jìn)行換算，在同一個(gè)式子中， 采用的度量制必須n一致，不可混用.如 a= 2kn+ 30°k Z), 3= k 360° + n(k Z)的寫(xiě)法都是不正確的.3. 一般情況下，在弧度制下計(jì)算扇形的弧長(zhǎng)和面積比在角度制下計(jì)