各種模態(tài)分析方法情況總結(jié)與比較

1、各種模態(tài)分析方法總結(jié)與比較一、模態(tài)分析模態(tài)分析是計算或試驗分析固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型這些模態(tài)參 數(shù)的過程。模態(tài)分析的理論經(jīng)典定義：將線性定常系統(tǒng)振動微分方程組中的物理 坐標(biāo)變換為模態(tài)坐標(biāo)，使方程組解耦，成為一組以模態(tài)坐標(biāo)及模態(tài)參數(shù)描 述的獨立方程，以便求出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。坐標(biāo)變換的變換矩陣為模態(tài)矩 陣，其每列為模態(tài)振型。模態(tài)分析是研究結(jié)構(gòu)動力特性一種近代方法，是系統(tǒng)辨別方法在工程 振動領(lǐng)域中的應(yīng)用。模態(tài)是機械結(jié)構(gòu)的固有振動特性，每一個模態(tài)具有特 定的固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型。這些模態(tài)參數(shù)可以由計算或試驗分析 取得，這樣一個計算或試驗分析過程稱為模態(tài)分析。這個分析過程如果是 由有限元計算的

2、方法取得的，則稱為計算模記分析；如果通過試驗將采集 的系統(tǒng)輸入與輸出信號經(jīng)過參數(shù)識別獲得模態(tài)參數(shù)，稱為試驗?zāi)B(tài)分析。通常，模態(tài)分析都是指試驗?zāi)B(tài)分析。振動模態(tài)是彈性結(jié)構(gòu)的固有的、整 體的特性。如果通過模態(tài)分析方法搞清楚了結(jié)構(gòu)物在某一易受影響的頻率 范圍內(nèi)各階主要模態(tài)的特性，就可能預(yù)言結(jié)構(gòu)在此頻段內(nèi)在外部或內(nèi)部各 種振源作用下實際振動響應(yīng)。因此，模態(tài)分析是結(jié)構(gòu)動態(tài)設(shè)計及設(shè)備的故 障診斷的重要方法。模態(tài)分析最終目標(biāo)是在識別出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動特 性分析、振動故障診斷和預(yù)報以及結(jié)構(gòu)動力特性的優(yōu)化設(shè)計提供依據(jù)。二、各模態(tài)分析方法的總結(jié)（一）單自由度法般來說，一個系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)是它的若干階

3、模態(tài)振型的疊加。但是如果假定在給定的頻帶內(nèi)只有一個模態(tài)是重要的，那么該模態(tài)的參數(shù)可以單獨確定。以這個假定為根據(jù)的模態(tài)參數(shù)識別方法叫做單自由度（SDOF法n1。在給定的頻帶范圍內(nèi)，結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性的時域表達(dá)表示近似為:htre Qr2-1而頻域表示則近似為:hjQrjjrUR LR22-2單自由度系統(tǒng)是一種很快速的方法，幾乎不需要什么計算時間和計算 機內(nèi)存。這種單自由度的假定只有當(dāng)系統(tǒng)的各階模態(tài)能夠很好解耦時才是正 確的。然而實際情況通常并不是這樣的，所以就需要用包含若干模態(tài)的模 型對測得的數(shù)據(jù)進(jìn)行近似，同時識別這些參數(shù)的模態(tài)，就是所謂的多自由 度（MDOF法。單自由度算法運算速度很快，幾乎不需要

4、什么計算和計算機內(nèi)存，因 此在當(dāng)前小型二通道或四通道傅立葉分析儀中，都把這種方法做成內(nèi)置選 項。然而隨著計算機的發(fā)展，內(nèi)存不斷擴大，計算速度越來越快，在大多 數(shù)實際應(yīng)用中，單自由度方法已經(jīng)讓位給更加復(fù)雜的多自由度方法。1、峰值檢測峰值檢測是一種單自由度方法，它是頻域中的模態(tài)模型為根據(jù)對系統(tǒng) 極點進(jìn)行局部估計（固有頻率和阻尼）。峰值檢測方法基于這樣的事實：在固有頻率附近，頻響函數(shù)通過自己的極值，此時其實部為零（同相部分最小），而虛部和幅值最大（相移達(dá)90 °，幅度達(dá)峰值）圖1。出現(xiàn)極值的那用半功率點法得到。設(shè)個固有頻率就是阻尼固有頻率r的良好估計。相應(yīng)的阻尼比r，的估計可1和2分處在阻

5、尼固有頻率的兩側(cè)（1< r< 2）,則:2-3H j r Iir2-42、模態(tài)檢測模態(tài)檢測是根據(jù)頻域中的模態(tài)模型對復(fù)模態(tài)（或?qū)嵞B(tài)）向量進(jìn)行局部估計的一種單自由度方法。在h jQrjt-URL中略去剩余項則單個頻響函數(shù)在 r處的值近似為:Htj j rQr 1r jrj rr j rQr 1r jrAl jr2-5由此式可見，頻響函數(shù)在r處的值乘以模態(tài)阻尼因r，就是留數(shù)（的估計值如圖1。利用這種模態(tài)檢測方法之前，先要估計出圖1對頻響應(yīng)函數(shù)的幅值進(jìn)行峰值和模態(tài)檢測3、圓擬合圓擬合是一種單自由度方法，用頻域中的模態(tài)模型對系統(tǒng)極點和復(fù)模態(tài)（或?qū)嵞B(tài)）向量進(jìn)行局部估計。此方法依據(jù)事實是：單

6、自由度系統(tǒng)的速 度頻響函數(shù)（速度對力）在奈奎斯特圖（即實部對虛部）上呈現(xiàn)為一個圓。如r附近，頻響函果把其他模態(tài)的影響近似為一個復(fù)常數(shù)，那么在共振頻率數(shù)的基本公式為:HtjU jV-R j1r2-6因此，首先要選擇共振頻率附近的一組頻率響應(yīng)點，通過這些點擬合 成一個圓。阻尼固有頻率r可以看成是復(fù)平面上數(shù)據(jù)點之間角度變化率最 大（角間隔最大）的那個點的頻率，也可以看成是相位角與圓心的相位角最 為接近的那個數(shù)據(jù)點的頻率。 對于分得幵的模態(tài)而言，二者的差別是很小。阻尼比r估計如下:rr tantan 22-7式中1，2：分居在r兩側(cè)的兩個頻率點:1， 2 :分別為頻率點在 1和2得半徑與r得半徑之間的

7、夾角。圓的直徑和阻尼固有頻率點的角位置含有復(fù)留數(shù)U+jV的信息:2-8式中：圓的直徑:園心與固有頻率點的連線跟虛軸之間的夾角.圓擬合法速度也很快，但為避免結(jié)果出錯，特別是在模態(tài)節(jié)點附近,需要操作者參與。（二）單自由度與多自由度系統(tǒng)阻尼粘性阻尼單自由度SDO系統(tǒng)如圖2的力平衡方程式表示慣性力、力、彈性力與外力之間的平衡Mxt Cxt Kx t ft2-9其中M:質(zhì)量C:阻尼K： xxx :加速度，速度，位移f :外力t時間變量，把結(jié)構(gòu)中所呈現(xiàn)出來的全部阻尼都近似為一般的粘性阻尼。把上面的時間域方程變換到拉氏域復(fù)變量P,并假設(shè)初始位移和初始速度為零，則得到拉氏域方程：Mp2 CpFp，或 ZpXp

8、 FpZ動剛度經(jīng)過變換可得傳遞函數(shù)的定義，Hz1p 即 Xp HpFpH pp2 C/M p K/M2-10,Vk/m2-4上式右端的分母叫做系統(tǒng)特征方程，它的根即是系統(tǒng)的極點是:1,2C/2M JC/2M 2 K/M2-11如果沒有阻尼C=0,則所論系統(tǒng)是保守系統(tǒng)。我們定義系統(tǒng)的無阻尼 固有頻率為:臨界阻尼Cc的定義為使（2.3）式中根式項等于零的阻尼值:Cc 2MJK/M2-5而臨界阻尼分?jǐn)?shù)或阻尼比Z 1為：Z 1二CCc，阻尼有時也有用品質(zhì)因數(shù)2-6即Q因數(shù)表示:Q 1/ 2 1系統(tǒng)按阻尼值的大小可以分成過阻尼系統(tǒng)（Z 1>1）、臨界阻尼系統(tǒng)（Z1=1）和欠阻尼系統(tǒng)（Z 1<

9、1 ）。過阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)只含有衰減成分、沒有振 蕩趨勢。欠阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)時一種衰減振動，而臨界阻尼系統(tǒng)則是過阻尼 系統(tǒng)與欠阻尼系統(tǒng)之間的一種分界。實際系統(tǒng)的阻尼比很少有大于10%的，除非這些系統(tǒng)含有很強的阻尼機制，因此我們只研究欠阻尼的情形。在欠阻尼的情況下式2-11兩個共軛復(fù)根:2-7其中1為阻尼因子1為阻尼固有頻率。有關(guān)系統(tǒng)極點的另外一些關(guān)系式 有:2-81 j J11 12-92-10 2-112-2式寫成如下形式:1/M在展幵成部分分式形式，則有:2-122-13H p 上AU，這里 A1 1/MP 1 P 1j2 1這里的A和A是留數(shù)。多自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)可以用簡單的力平衡代數(shù)方

10、程演化成形式相似的一個矩陣的方程。下面是以而自由度系統(tǒng)為例。如圖:多自由度系統(tǒng)圖3pM pC KXp Fp2-17該系統(tǒng)的運動方程如下:M1X1C1 C2 X1 tM 2X2C2C3 X2 tC2X2 tC2x1 tK1K2K2 x tK3 X21K2X2 tK2x1 tf1 tf2 t2-14寫成矩陣形式是M10 x10 M2 x2C1 C2C2C2C2C3X1X2K1K2K2K2K2 k3X22-15或者M(jìn)2-16其中M、C、K、f(t)和x(t)分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、方向量和響應(yīng)向量。把這個時間域的矩陣方程變換到拉氏域(變量為P)且假定初始位移和初始速度為零，則得:2或者是

11、 z p X p F p 式中：Z(p)動剛度矩陣2-18可以得到傳遞函數(shù)矩陣為:1 adj Z PPl2-19式中 adj Z p : Z p的伴隨矩陣,等于Ij Z IjIJZ|j : Z P去掉第行第列后的行列式Ij1 如果i j等于偶數(shù)1 如果i j等于奇數(shù)；傳遞函數(shù)矩陣含有幅值函數(shù)。2-19式中的分母，即是Zp的韓烈士，叫做系統(tǒng)的特征方程。與單自由度情況一樣，系統(tǒng)特征方程的根，即系統(tǒng)極點,決定系統(tǒng)的共振頻率。根據(jù)特征值問題，可以求出系統(tǒng)特征方恒的根。為了把系統(tǒng)方程2-17轉(zhuǎn)化為一般的特征值問題公式，加入下面的恒等式:2-20將此式與2-17式結(jié)合在一起得:F'2-21其中pX

12、X如果力函數(shù)等于零，那么式2-19就成了關(guān)于實值矩陣的一般特征值問題，其特征值馬祖下列方程的2-22它的根就是特征方程Z P0的根。對于N各自由度系統(tǒng)，此方程有2N個呈復(fù)共軛對出現(xiàn)的特征根:2-23同單自由度系統(tǒng)一樣，多自由度系統(tǒng)的極點的實部r是阻尼因子，虛部r是阻尼固有頻率。（三）實模態(tài)和復(fù)模態(tài)按照模態(tài)參數(shù)（主要指模態(tài)頻率及模態(tài)向量）是實數(shù)還是復(fù)數(shù)，模態(tài) 可以分為實模態(tài)和復(fù)模態(tài)。對于無阻尼或比例阻尼振動系統(tǒng)，其各點的振 動相位差為零或180度，其模態(tài)系數(shù)是實數(shù)，此時為實模態(tài)；對于非比例阻尼振動系統(tǒng)，各點除了振幅不同外相位差也不一定為零或180度，這樣模態(tài)系數(shù)就是復(fù)數(shù)，即形成復(fù)模態(tài)。1 復(fù)模態(tài)

13、與實模態(tài)理論在擬合頻段，實模態(tài)理論中傳遞函數(shù)在 k點激勵Z點響應(yīng)的留數(shù)表達(dá)式Hkir 1 2j r2r RklJ r2 eVrrarcta n -Vrk,l 1,2, ,n(1)其中，rRkl為留數(shù);r和Vr構(gòu)成的復(fù)數(shù)為系統(tǒng)的復(fù)特征值r JVr擬合頻段復(fù)模態(tài)理論中傳遞函數(shù)在k點激勵f點響應(yīng)的留數(shù)表達(dá)式為nHki()r12j rr Rkl eJ r _ nVr 云;Vrr arcta nrVrk， l 1， n(2)由（1）、（ 2）式中可以看出，傳遞函數(shù)共振峰處復(fù)模態(tài)的相位與實模態(tài)相位的差別在于多出的復(fù)留數(shù)相位r，由傳遞函數(shù)的逆變換可以得到脈沖響應(yīng)函數(shù)，由此可以得到物理坐標(biāo)系中結(jié)構(gòu)的自由響應(yīng)表

14、達(dá)式。對于無阻尼結(jié)構(gòu)，t時刻第r階模態(tài)k點的振動為XkrkrYrSinrt r粘性比例阻尼：t時刻第r階模態(tài)k點的振動為XkrkrYresin drt r(4)般粘性阻尼：t時刻第r階模態(tài)k點的振動為2Tr kre cosdrtr kr式中，© kr表示振型幅值；Q表示模態(tài)頻率；0表示相位角?？梢钥闯?，無阻尼和比例阻尼系統(tǒng)的初相位與初始條件有關(guān)，與物 理坐標(biāo)無關(guān)， 具有模態(tài)（振型）保持性；而一般粘性阻尼系統(tǒng)的初相位 還與物理坐標(biāo)k有關(guān)，每個物理坐標(biāo)振動時并不同時達(dá)到平衡位置和最大位置， 不具備模態(tài)保持性，是行波形式.但各物理坐標(biāo)的相位差保持不變，各點的振動周期、衰減率仍保持相同J .

15、從物理坐標(biāo)點的自由響應(yīng)公式還可看出， 即使各測點留數(shù)為復(fù)數(shù)，但如果留數(shù)的相位差，即振型的幅角相同，那么還是可以得到振動周期內(nèi)形狀不變且節(jié)點固定的振型.這樣模態(tài)雖是復(fù)模態(tài)，但表現(xiàn)出實模態(tài)的性質(zhì).因此實模態(tài)理論 的實振型與復(fù)模態(tài)理論中復(fù)模態(tài)的差別在于各測點峰值相位差的大小.2實模態(tài)提取方法復(fù)模態(tài)理論中模態(tài)參數(shù)（特征值和特征向量）均為復(fù)數(shù)，在進(jìn)行結(jié)構(gòu) 模型修正時大量采用復(fù)數(shù)矩陣和復(fù)數(shù)迭代運算，計算工作量大，效率低;實模態(tài)理論中模態(tài)參數(shù)為實數(shù)，物理概念明確，后續(xù)結(jié)構(gòu)模型修正計算公 式簡單，計算工作量小又節(jié)約空間，故實模態(tài)得到廣泛的應(yīng)用，實際測試 得到的傳遞函數(shù)留數(shù)一般都為復(fù)數(shù)，要由復(fù)模態(tài)經(jīng)過實模態(tài)提取

16、技術(shù)才能 得到實模態(tài)。復(fù)模態(tài)提取實模態(tài)的方法主要有：根據(jù)復(fù)模態(tài)的實部、虛部 或相位確定實模態(tài)的傳統(tǒng)方法；I b r a h i m 的 擴大模型法；C h e n的傳遞函數(shù)提取法等。目前的模態(tài)分析軟件中普遍使用的為傳統(tǒng)方法。由 復(fù)模態(tài)實部或虛部獲得實模態(tài)向量的方法為：直接取復(fù)留數(shù)的實部或虛部作為實模態(tài)理論中的留數(shù)，進(jìn)行規(guī)格化得到實模態(tài)振型.由復(fù)模態(tài)相位獲得實模態(tài)向量的方法為:取復(fù)留數(shù)的幅值作為實模態(tài)理論中的留數(shù)，根據(jù)sin r的數(shù)值接近1或-1 ,將留數(shù)相位歸為90 ° 或-90。，然后盡享振型規(guī)格化，得到實模態(tài)振型，此振型中各測點相位 差即為0?；?80。用復(fù)模態(tài)理論獲得的復(fù)模態(tài)向

17、量，由復(fù)振型的周期 變化中t=0即振動達(dá)到最大幅度時的振幅之比表示。三、模態(tài)分析的應(yīng)用與發(fā)展模態(tài)分析技術(shù)的應(yīng)用可歸結(jié)為以下幾個方面:1)評價現(xiàn)有結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動態(tài)特性;2)在新產(chǎn)品設(shè)計中進(jìn)行結(jié)構(gòu)動態(tài)特性的預(yù)估和優(yōu)化設(shè)計;3)診斷及預(yù)報結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的故障;4)控制結(jié)構(gòu)的輻射噪聲;5)識別結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的載荷。對于實際的工程，用有限元軟件分析需要的頻率段， 可查找振動原因, 或校核。模態(tài)分析可以看出在那些頻率段需要防止或避免共振時很有用。首先，頻率和振型是結(jié)構(gòu)的固有特性， 任何結(jié)構(gòu)都可以進(jìn)行模態(tài)分析;其次，結(jié)構(gòu)的功能是不同的，不同結(jié)構(gòu)對應(yīng)的模態(tài)分析的用途是有差別的。對建筑結(jié)構(gòu)，模態(tài)分析可以知道結(jié)構(gòu)的避頻設(shè)計、用

18、于抗震設(shè)計計算以及 考慮動力荷載的放大作用等。另外，還可以挖掘振型有關(guān)的信息。機器、建筑物、航天航空飛行器、船舶、汽車等的實際振動千姿百態(tài)、 瞬息變化。模態(tài)分析提供了研究各種實際結(jié)構(gòu)振動的一條有效途徑。首先，將結(jié)構(gòu)物在靜止?fàn)顟B(tài)下進(jìn)行人為激振，通過測量激振力與胯動響應(yīng)并進(jìn)行雙通道快速傅里葉變換(FFT)分析，得到任意兩點之間的機械導(dǎo)納函數(shù)(傳遞函數(shù))。用模態(tài)分析理論通過對試驗導(dǎo)納函數(shù)的曲線擬 合，識別出結(jié)構(gòu)物的模態(tài)參數(shù)，從而建立起結(jié)構(gòu)物的模態(tài)模型。根據(jù)模態(tài) 疊加原理，在已知各種載荷時間歷程的情況下，就可以預(yù)言結(jié)構(gòu)物的實際 振動的響應(yīng)歷程或響應(yīng)譜。模態(tài)分析軟件以美國的 ME SCOpeVES的功能

19、最為全面。ME ScopeVES軟件的功能包括信號處理(signal Process ing)、運行撓曲振型(OperatingDeflection Shapes)、模態(tài)分析(Modal Analysi s)、結(jié)構(gòu)改正(SDM)和聲學(xué)分析(Acoustics Analysi S)等，解決和分析機器與結(jié)構(gòu)的 振動噪聲問題。主要可用于:1、可以顯示被測物體的實際工作形態(tài)(0DS)、模態(tài)、聲學(xué)分布形態(tài)和工程數(shù)據(jù)的形態(tài)等;2、模塊化結(jié)構(gòu)便于用戶根據(jù)自己的需要選擇合適的產(chǎn)品;3、強大的圖形顯示、結(jié)構(gòu)編輯、數(shù)據(jù)處理及動畫顯示功能;4、軟件的幵放性好，能夠與全球的多家廠商的硬件兼容;5、主要應(yīng)用的領(lǐng)域：航空

20、航天、建筑橋梁、汽車制造、鋼鐵冶金、軍工裝備等。模態(tài)分析與參數(shù)辨識作為結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的一種逆問題分析方法并在 工程實踐中應(yīng)用是從60年代中、后期幵始，至今已有近四十年的歷史了。這一技術(shù)首先在航空、宇航及汽車工業(yè)中幵始發(fā)展。由于電子技術(shù)、信號處理技術(shù)與設(shè)備的發(fā)展，到80年代末這項技術(shù)已成為工程中解決結(jié)構(gòu)動態(tài)性能分析、振動與噪聲控制、故障診斷等問題的重要工具。目前這一技 術(shù)已漸趨成熟。經(jīng)過二十余年的研究發(fā)展，到目前為止模態(tài)分析技術(shù)已在 我國各個工程領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用，成為一種解決工程問題的重要手段。在工程應(yīng)用方面模態(tài)分析已滲透到我國各個工程領(lǐng)域，并取得了不少 成就。例如，某型火箭全裝置的實物模態(tài)試驗保證了火箭的準(zhǔn)確發(fā)射與導(dǎo) 航，防止了發(fā)射的失敗；模態(tài)分析與參數(shù)識別技術(shù)曾被成功地用于解決某 型航空發(fā)動機的嚴(yán)重振動故障，取得重大經(jīng)濟及社會效益；某型魚雷全裝 置實物水下模態(tài)試驗為魚雷的振動與噪聲控制確保導(dǎo)航性能提供了技術(shù) 依據(jù)；遠(yuǎn)東第一高塔的上海東方明珠電視塔的振動模態(tài)試驗，為高塔的抗 風(fēng)抗地震安全性設(shè)計提供了技術(shù)依據(jù)；目前世界上跨度第一的斜拉索楊浦 大橋的振動試驗對大橋抗風(fēng)振動的安全性分析與故障診斷提供了技術(shù)依據(jù)；建立在模態(tài)分析技術(shù)上的