《現(xiàn)代控制理論》第3版課后知識題目解析

1、現(xiàn)代控制理論參考答案第一章答案1-1試求圖1-27系統(tǒng)的模擬結構圖，并建立其狀態(tài)空間表達式。Ki KpS Ki4 iKpS Kis1b Js_sJ2S（S）圖1-27系統(tǒng)方塊結構圖解：系統(tǒng)的模擬結構圖如下:U（s）KpKbIJ1系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下:圖1-3雙輸入雙輸出系統(tǒng)模擬結構圖X1?X2X2?X3KbKpJJ7X3KnjX41KpJ7X5 77X6X4X3X5X6K1X3K1X1KpK1X6K1KT6K1uKp(s) y，則 y Xi所以,系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式及輸出方程表達式為XiX2X3X40KbJ2KpJ11X5X60 K1 K?Xi1-2有電路如圖1-28K1XiX20 X3X4X5

2、X6KnJ0所示。以電壓上的電壓作為輸出量的輸出方程。KpJ10X2X3X4K1 K1 K?X5X60K1Kpu(t)為輸入量，求以電感中的電流和電容上的電壓作為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程,和以電阻R2R1Li廣YT"i4>-圖1-28電路圖解：由圖，令iiXi,i2X2,UcX3，輸出量yR2X2Xi有電路原理可知:RiXi?L2 X2Li XiR2 X2Xi寫成矢量矩陣形式為:X3X3既得X2X2C X3X3Ri一XiLiR2一X2L21CXiR2X2L2cm、；c UcR2Xi0X20X3Li1-4R2兩輸入u1,RL2丄C丄LiiL2XiX2X3XiX2X3U2，兩輸出yi，丄

3、l40 uy2的系統(tǒng)，其模擬結構圖如圖i-30i一X3Lii一X3L2iCX2i一ULi所示，試求其狀態(tài)空間表達式和傳遞函數(shù)陣。U2圖1-30雙輸入-雙輸出系統(tǒng)模擬結構圖u1X10100X100X2a2310a6X2b10X31001X300X4035X1X2a4a3X40b2r10 10X3X4s100A、a2s a10asiA),10s1035a4a3解：系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式如下所示:uy1100sWux(s)(siA)1Ba21sa10a61b10a5a4a3b2Wuy (s)C(sIA) 1Ba21a10a61b10a5a4a3b21-5系統(tǒng)的動態(tài)特性由下列微分方程描述(2) y 5

4、y 7 y 3y u 3u 2u解：令Xiy, X2y,X30Xi0010X10X2001X200X3375X31X1y 23 1X2列寫其相應的狀態(tài)空間表達式，并畫出相應的模擬結構圖。y，則有X3u相應的模擬結構圖如下:1-6(2)已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)解:W(s)6(s 1) s(syu亍孑,試求出系統(tǒng)的約旦標準型的實現(xiàn)，并畫出相應的模擬結構圖W(s) -6(s 1) s(sX13100 X10X20300X21X30020X31X40000X41X1101X2y43 -33X3X42)(su給定下列狀態(tài)空間表達式1-73)2(s2)(S10s 30XiX310x130x213 X3X101x2

5、X3(1)畫出其模擬結構圖(2)求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解:(2) W(s) (Si A)sI A s(s 3)2 2(s 3)(s 3)(s 2)(s 1)(si A) (s 3)(s2)(s 1)s 322(s 3)s 5s 3s(s 3)s 1(s001)(s 2)Wux(s)(si A) 1B(s 3)(s 2)(s 1)2(s 3)s 5s(s 3)s 1(s01)(s2)(s 3)s(s 3) (s 3)(s 2)(s 1)(2s 1)(s 3)Wuy(s)C(sI A) 1B 0(s 3)(s 3)(s 2)(s 1)1 s(s 3)(2s 1)(s 3)(2s 1)(s 2)(s 1)

6、1-8求下列矩陣的特征矢量0 1 0(3)A 302127636 211601 0解：A的特征方程1 A321276解之得:11 22,33010P11P11當11時,302P21P211276P31P31解得：P21P31P11令 P111得P111（或令P111，得PP211 )P311010P12P12當12時,302P222 P221276P32P32解得：P222 P12 ,P321 -P12 2令 P122P121（或令P121，得 P2P222)1P322010P13P13當13時,302P233 P231276P33P33解得：P233 P13 ,P333P13令P131得得1

7、-9將下列狀態(tài)空間表達式化成約旦標準型（并聯(lián)分解）PiiP21p31P2P3P12p22P32P13p23P3302(2)XiXiX3X3y1X1y2X2X3解：A的特征方程1,23，33時,解之得P21A11P11P11P213 P21P31P314I1223令P11p111)(P31P11P213)2p31412P11P111當23時，102P213 P211113P31P311P121解之得P12P221,P22P32令 P121得P2P220P320412P13P13當31時，102P23P23113P33P33P130解之得P130, P232 P33令P331得BP2321P330

8、12318175234T * 1B 11CT0約旦標準型1-10已知兩系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為W1(s)和 W2(s)1W1(s)s 11s 2s 1r21W2(s)s13(2 )并聯(lián)聯(lián)結試求兩子系統(tǒng)串聯(lián)聯(lián)結和并聯(lián)連接時,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣，并討論所得結果W(s) W2(s)W1(s)1s 2s 1s 2解：(1 )串聯(lián)聯(lián)結1s 31s 1s(s 1)2 5s(s 2)(s 3)(s 4)1(s 1)(s 2)1 11W(s) W1(s) W(s)1-11 （第3版教材）已知如圖1-22所示的系統(tǒng),W(s)W4(s)1求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)解:Wi (s)W2i (s)1s1s 2IW1(s)W(s)

9、I W1(s)W2(s) 11W(s) I W1(s)W2(s) W1(s)s 3口 (s 2)(s 1) s 31-11 （第2版教材）已知如圖1-22所示的系統(tǒng),1 1 w(s) s 11s2s 2W2(s)1s40其中子系統(tǒng)1、2的傳遞函數(shù)陣分別為011s1s 2s 21s 1ss 30s 21s 12s(s 3)s 20s 3111ss 1ss21ss1s 2s1s(s3)1s3其中子系統(tǒng)1、2的傳遞函數(shù)陣分別為01求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)解:1 1匚1W(s)W(s)s 11s 021s1I W(s)W(s)2 -s1n2I W(s)W(s) 1s(s 1)s2 5s 2W(s) I W

10、(s)W(s) 1W1(s)s 3s(s 1) s2 5s 2_2_s 22(s 1) (3s 8)(s 2)2(s2 5s 2)s3 6s2 6s2(ss(s 2)(s2 5s 2)110s1s121s 2s2110s1s012s3s2s31s2sc s22 s1s 31s(s 1)s 2ss2 5s22s 2s 12s31ss(s2)s(s 2)2)211s s1s 1s2 5s2s 2s2 5s2s1r2s1r2解法2 :1-12已知差分方程為y(k 2) 3y(k 1)2y(k) 2u(k 1)3u(k)試將其用離散狀態(tài)空間表達式表示，并使驅動函數(shù)U的系數(shù)b（即控制列陣）為(1) b解

11、法1:2z 3z2 3z 2x(k 1)1 00 2X(k)11U(k)y(k) 11 x(k)X1(kX2(ky(k)1) X2(k)1)2x1(k) 3x2(k)3x1 (k) 2x2(k)求解得到13，2 1x(k1)0 123X(k)01U(k)y(k)2x(k)求T,使得T1B所以T 1ATCT所以,狀態(tài)空間表達式為z(k1)4 05 1Z(k)11 u(k)y(k)1z(k)第二章習題答案2-4用三種方法計算以下矩陣指數(shù)函數(shù)eAtP111P1213時，特征矢量P1P21APi11P1,得 4P11p213p113 P21P114Pi1P213 P11P213 P21可令Pl1時，特

12、征矢量P2P22由Ap212 P2，得4P12P12P22P22即P124Pi2P22P12，可令P22P22P2eAt12121414e3t121214141 3t-e2e3t第二種方法,即拉氏反變換法:sl A1sl A1-e21 3t-e41 3t -e21 t-e41 t -e2eAt L1 sI A 11 3t-e2-e2e3t1 3t-e41 3t -e21 t -e 41 -e2第三種方法，即凱萊一哈密頓定理由第一種方法可知3t e3t et e1 : -e 41 3t -e43t3 t-e41 t -e4eAt1 -e 43t3 -e42-51 3t-e43 -e41 3t-e

13、21-e23t e1 3t-e41 3t -e21-e41-e2下列矩陣是否滿足狀態(tài)轉移矩陣的條件，如果滿足，試求與之對應的陣。(3) t2ette 2t2t2e2t2t2e2ete t1-e2(4) t 2e3t解：(3)因為2ete t2t2e2e2t(4)因為1 -e23e3t23e3t2-6求下列狀態(tài)空間表達式的解:e3t1412，所以該矩陣滿足狀態(tài)轉移矩陣的條件-2t4e-2t4e2e te t，所以該矩陣滿足狀態(tài)轉移矩陣的條件1 , -e41-e2防43 3t -e2e3te3t0101,0初始狀態(tài)，輸入時單位階躍函數(shù)。解:sisi1-2sAt eL1si因為12s1sBu丄t22

14、t2-9丄t22t有系統(tǒng)如圖2.2所示,試求離散化的狀態(tài)空間表達式。設采樣周期分別為T=0.1s和1s，而u1和u2為分段常數(shù)。U1TK/(s+1)U2圖2.2 系統(tǒng)結構圖0210解：將此圖化成模擬結構圖U1X1列出狀態(tài)方程*1kuiU2*2U2*22*1U1U2*1*2則離散時間狀態(tài)空間表達式為c* k Du kAt eAtdtB 得:CTAt eL1siL10T AtH 0e dtdtTeTe當T=1時當T=0.1時1 eke 10.1e1e 0.10.1k e 0.10.90u0.1第三章習題3-1判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀測性。系統(tǒng)中a,b,c,d的取值對能控性和能觀性是否有關，若

15、有關，其取值條件如何?(1 )系統(tǒng)如圖3.16所示:解：由圖可得:狀態(tài)空間表達式為：x1X1 ?aX1uX2bX2?X3cX3X2?X4X3dX4yX3x1x1x2cx3x2x3a0100b10000dx1x2x3x410u00x4XX10x由于y只與X3有關，因而系統(tǒng)為不完全由于X2、X3、X4與U無關，因而狀態(tài)不能完全能控，為不能控系統(tǒng)。能觀的，為不能觀系統(tǒng)。3）系統(tǒng)如下式：x1x2x3x1x2x310u0解：如狀態(tài)方程與輸出方程所示，A 為約旦標準形。要使系統(tǒng)能控，控制矩陣 b 中相對于約旦塊的最后一行元素不能為 0，故有 a 0,b 0 。0，故有 c 0,d 0 。要使系統(tǒng)能觀，則

16、C 中對應于約旦塊的第一列元素不全為3- 2 時不變系統(tǒng)試用兩種方法判別其能控性和能觀性。解：方法一：31,B1 11，C 1AB-2-2-2-2rankM12,系統(tǒng)不能控。CCAran kN2,系統(tǒng)能觀。方法二:將系統(tǒng)化為約旦標準形。則狀態(tài)矢量：A1P11RA 2P22P22,P21-11-1-1121212121T-1AT 212T-1B121212-311-31-1-2 00 -41212CT1-11-1T-1B中有全為零的行，系統(tǒng)不可控。 CT中沒有全為0的列,系統(tǒng)可觀。3-3確定使下列系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控和狀態(tài)完全能觀的待定常數(shù)111(1)A 0 2，b 1，C 1 1解：構造能控陣:

17、(2)當 a=1, a=3或a=6時，系統(tǒng)可化為能控標準I型b Ab要使系統(tǒng)完全能控，則1 12，即1構造能觀陣:CCA要使系統(tǒng)完全能觀，則121，即13- 4設系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是y(s) u(s)s as310s227s 18(1 )當a取何值時，系統(tǒng)將是不完全能控或不完全能觀的?(2)當a取上述值時，求使系統(tǒng)的完全能控的狀態(tài)空間表達式。(3)當a取上述值時，求使系統(tǒng)的完全能觀的狀態(tài)空間表達式。解：(1) 方法 1 : W(s) us (s 1)(s 3)(s 6)系統(tǒng)能控且能觀的條件為W(s)沒有零極點對消。因此當 a=1,或a=3或a=6時，系統(tǒng)為不能控或不能觀。方法2 :y(s)u(s)

18、 (s 1)(s 3)(s 6)a-1101a - 615s 61,3,11000636a156x系統(tǒng)能控且能觀的條件為矩陣C不存在全為0的列。因此當a=1,或a=3或a=6時，系統(tǒng)為不能控或不能觀。0x 01810270110(3)根據(jù)對偶原理，當a=1, a=2或a=4時，系統(tǒng)的能觀標準II型為18 27103-6已知系統(tǒng)的微分方程為：y 6 y 11 y 6y 6u試寫出其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式及其傳遞函數(shù)。解：a。 6， a1 11， a? 6, 83 3， b。系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為傳遞函數(shù)為-1W(s) C(sI - A) B1011s11632s 6s 11s 6其對偶系統(tǒng)的狀

19、態(tài)空間表達式為:6116傳遞函數(shù)為W(s) s3 6s26 11s 63- 9已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為W(s)2 cs 6s2s 4s 3試求其能控標準型和能觀標準型。13 s 4s 32/z-ns 6s 8解：W(s) -2s 4s系統(tǒng)的能控標準I型為0 1x-3 -4y 5 2x u能觀標準II型為0 -3xx1-43-10給定下列狀態(tài)空間方程,試判別其是否變換為能控和能觀標準型。解：AAbA2b3711rankM 23,系統(tǒng)為不能控系統(tǒng),不能變換為能控標準型CN CACA2rankN3,系統(tǒng)為能觀系統(tǒng)，可以變換為能觀標準型。3-11試將下列系統(tǒng)按能控性進行分解,b解:1M b Ab A2br

20、an kM=2<3，系統(tǒng)不是完全能控的。構造奇異變換陣Rc:RiR2Ab,R301，其中R3是任意的，只要滿足Rc滿秩。0x得Rc* * 10即Rc01A Rc1ARcRc1bcRc 1213-12試將下列系統(tǒng)按能觀性進行結構分解0,b0 ,C1解:由已知得,b,Crank N=2<3該系統(tǒng)不能觀構造非奇異變換矩陣R01，有R011001(1)A 23 ,b2 ,C解：由已知得A AbAb21226rank M=3，則系統(tǒng)能控N cAcA2rank N=311，則系統(tǒng)能觀所以此系統(tǒng)為能控并且能觀系統(tǒng)取Tc212126，則 Tc21141214Tc2bcTc27 13 233-14解

21、:Bc求下列傳遞函數(shù)陣的最小實現(xiàn)。B。Ac01，Cc系統(tǒng)能控不能觀Dc則R0所以AR01AR0R)1Bc1 10 00 0所以最小實現(xiàn)為Am 1，1，Cm驗證：Cm Si Am 'Bm3-15設1和2是兩個能控且能觀的系統(tǒng)1： A1bi0，C12 11解:2： A22,b21,C2試分析由1和2所組成的串聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀性,試分析由1和2所組成的并聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀性,1和2串聯(lián)當1的輸出y是2的輸入U2時，*32x3 2x1X2并寫出其傳遞函數(shù);并寫出其傳遞函數(shù)。AbA2b4134則rank M=2<3 ，所以系統(tǒng)不完全能控。W(s)C(slA)1B(s2)(s 3)(s

22、 4)12s 7s 12當2得輸出y是1的輸入U1時0因為 M b Ab A2b01rank M=3 則系統(tǒng)能控c因為N cAcA22(2) v(x) x1 4x2 x3 2x1x2 6X2X3 2x1x3rank N=2<3則系統(tǒng)不能觀W(s)C(slA)1Bs217s12解：(1 )由已知得(2)1和2并聯(lián)因為 rank M=3因為 rank N=3，所以系統(tǒng)完全能控，所以系統(tǒng)完全能觀AbccAcA2Ab213C sl現(xiàn)代控制理論第四章習題答案4- 1判斷下列二次型函數(shù)的符號性質:222X2X3 2x1X3(1) Q(x)x1 3x2 11x3 2x1x21 11 1 11 0， 2

23、3 0，31431 413113X316 01Q(x)X1 X2 X3 X13x212X3Xi12X2X111x3 x2X3X1X2X3X1X2X31171 0411因此Q(x)是負定的(2 )由已知得X1Q(x) X1X2X3X13x3X13x2X3X2X3X1X1X2X3X2因此Q(x)不是正定的4- 2已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程:a11a21a12Xa22試確定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進穩(wěn)定的條件。則要求滿足A的特征值均具有負實部。解：方法(1)：要使系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進穩(wěn)定,即:有解，且解具有負實部。即：a11 a22*11822812821方法（2 ）：系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)Xep1p

24、2p2p>2，則帶入2a11ai202a21a11 a222a12a212a22a12a220為大范圍漸近穩(wěn)定，等價于atp pa q，得到atp pa q。2ai1ai202a21a11 a222a12a212a22P1P12P224(a11 a22)(a11a22ai2a21 )0 ,貝吐匕方程組有唯一解。即2(ai1 a22) lA2a21(a12a22a21a11 )2a22(a12aA222 a11a21a11 )2ai2其中 det A Aa11a22a12a21要求P正定，則要求1P1|A22a21a222(ai1a22)A竝04(a11a22)(ai1a22)(a12因此

25、ai1a220，且 det A 04-3試用lyapunov第二法確定下列系統(tǒng)原點的穩(wěn)定性。（1）X(2) X解：（1）系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是xe 0。選取Lyapunov函數(shù)為V（x）2X16x23 22X2V(x) 2x1* 2X2*22x1( X, 2x2) 2x2(2x1 3x2)22x1 6x1x2322(X1-X2) 22a(1 x2)x202V(x)是負定的。有V(x)。即系統(tǒng)在原點處大范圍漸近穩(wěn)定。(2 )系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是V(x) 2xi* 2X1( 2x2xe 0。選取 Lyapunov 函數(shù)為 V (x) x； x；0，則2X2x2x X2) 2X2( x X2)2x|0

26、V(x)是負定的。，有 V(x)。即系統(tǒng)在原點處大范圍漸近穩(wěn)定。4- 6設非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為:X2X22a(1 X2) X2 X1,a 0試確定平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：若采用克拉索夫斯基法，則依題意有:X22X2)X2 X1J(x)半X14ax2Sax?Q(x) JT(x)01J(x)14ax2c 23ax214ax2c 23ax202a 8ax26 ax；很明顯,Q(x)的符號無法確定,故改用李雅普諾夫第二法。選取Lyapunov函數(shù)為V(x) x； x| 0，則V(x)2x1X1 2x2X222x1X2 2x2( X1 a(1 X2) X2)V(x)是負定的。IIX，有V(x)。即系統(tǒng)在原

27、點處大范圍漸近穩(wěn)定。4-9設非線性方程:X2X23X X2試用克拉索夫斯基法確定系統(tǒng)原點的穩(wěn)定性。解：(1)采用克拉索夫斯基法，依題意有:f(x)X23X1X2J(x)f(x)0xT3x12V(x)fT(x)f(x)X23X1X2X23X1X2X；(32X1X2)，有V(X) 。Q(x)JT(x) J(x)013x210 13X1203X2 3x2 2則 Q(x)01 3X121 3x122，根據(jù)希爾維斯特判據(jù)，有:1 0,01 3x23X12120，Q(x)的符號無法判斷。(2)李雅普諾夫方法:選取 Lya punov函數(shù)為V(x) 3X1443x20,則V(x) 3x3X，3X2*23敘

28、3x2( X3 x2)3x2 0V(x)是負定的。X ，有 V(x)。即系統(tǒng)在原點處大范圍漸近穩(wěn)定。4- 12試用變量梯度法構造下列系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)解：假設V(x)的梯度為:計算V(x)的導數(shù)為:V(x) ( V)TX選擇參數(shù)，試選311322a21 0，X1X2,顯然滿足旋度方程Vi如果1 2経0或XiX2計算得到V(x)為:V(x)是正定的，因此在*1 -X1 2x12X2*2 -X2a11X1a12X2821X1822X2aiiXi812X2ai2321 X1X2于是得:X2X1X2V(X) (11 ?2，則V(x)是負定的，因此,a2iX2a22冷X2X12x1X2)x2V1V28

29、22X2X22ai2x2X2 2a11x3X2表明上述選擇的參數(shù)是允許的。則有:2X2X1X22是X和X2的約束條件。X1(X20)V(x)dx101 z 2X2(X1 X1)x2dx20X；)1 2X1爲0即X%1范圍內(nèi),0是漸進穩(wěn)定的?，F(xiàn)代控制理論第五章習題答案5-1已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為:X解：依題意有:,brankM系統(tǒng)能控。2Ab A2b系統(tǒng)(A,b,C)的特征多項式為:(1)3 (1) 13 3 2則將系統(tǒng)寫成能控標準I型，則有x引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:(AbK)xbu，其中K為1 3矩陣，設Kk0 k1 k2，則系統(tǒng)K (A,bK,C)的特征多項式為:3f ( ) det

30、I (A bK)( 3 k2)(2ki)(1ko)根據(jù)給定的極點值，得到期望特征多項式為:*32f ( ) (1)(2)(3)611比較f()與f ()各對應項系數(shù)，可解得:kokik29,則有：K -5 -9 -9。5- 3有系統(tǒng):畫出模擬結構圖。若動態(tài)性能不滿足要求，可否任意配置極點?若指定極點為-3，-3，求狀態(tài)反饋陣。解(1)系統(tǒng)模擬結構圖如下:題5-3系統(tǒng)模擬結構圖0 (A, b,C)完全能控。對于系統(tǒng)0(A,b,C)有:M b AbrankM 2，系統(tǒng)能控,故若系統(tǒng)動態(tài)性能不滿足要求，可任意配置極點。(3)系統(tǒng)0(A,b,C)的特征多項式為:(2)(21)32(2)系統(tǒng)采用狀態(tài)反饋任意配置極點的充要條件是系統(tǒng)則將系統(tǒng)寫成能控標準I型，則有x引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:(AbK)xbu，設K k。人，貝U系統(tǒng)K (A,bK,C)的特征多項式為:f ( ) det I (A2bK)(3 kJ(2k。)根據(jù)給定的極點值,得到期望特征多項式為:f ( )(3)2比較f ()與f*()各對應項系數(shù)，可解得:k07 k,3 ,K 73。5- 4設系統(tǒng)傳遞函數(shù)為(s 1)(s 2) (s 1)(s 2)(s 3)試問能否利用狀態(tài)反饋將傳遞函數(shù)變成s 1(s 2)(s 3