【編輯整合知識題】第二章一階微分方程的初等解法

1、第二章一階微分方程的初等解法x2-1已知f(x) f (t)dt 1, x 0,試求函數(shù)f (x)的一般表達(dá)式。0x解 對方程f(x) f (t)dt 1，兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得0xf (x) f(t)dt f代入原方程可得 C 0,從而f(x)的一般表達(dá)式為f (x)評注：本題中常數(shù)的確定不能直接通過所給積分方程得到, 確定。(x)0，01 2f(x)帀 f (x) 0，分離變量，可求得f(x)J2(x C)，而是需將通解代回原方程來2-2求具有性質(zhì)x(tS)嚴(yán)謊的函數(shù)x(t)，已知x (0)存在。解由導(dǎo)數(shù)的定義可得x(t)10sx(s)x2 (t)x(s)1x(t)x(s)s1x2(t) x(s

2、)x(t S) x(t)slims 01 x(t)x(s) s顯然可得x(0)0，故x(t) 1 x1 2(t) lim x(s)x(0)x(0) 1 x2s 0(t)分離變量，再積分可得x(t) tanx (0)t C,再由 x(0)0,知 C 0,從而 x(t) ta nx(0)t。評注：本題是函數(shù)方程的求解問題，利用導(dǎo)數(shù)定義建立微分關(guān)系,轉(zhuǎn)化為求解常微分方程的初值問題。2-3 若 M(x,y)x N(x,y)y 0，證明齊次方程 M(x,y)dxN (x, y)dy 0有積分因子。xM (x, y) yN(x,y)證 方法1用湊微分法求積分因子。我們有恒等式M (x, y)dx N(x,

3、 y)dy抽(5 N(x,y)y礙爭(MXx N(x,y)y)(dx 護(hù)dxd In(xy)，dxdyy0。所以原方程變?yōu)?(M(x,y)x N(x,y)y)dln(xy)(M (x, y)x N(x, y)y)d In - y用(x,y)乘上式兩邊，得M(x,y)x N(x, y)yx的某一函數(shù)，記為y由于M(x,y)x N(x,y)y為零次齊次函數(shù)，故它可表成M (x,y)x N(x, y)y1M(x, y)x N(x,y)yM (x,y)xN(x,y)y qxIn-f(e y)1d l n xy2原方程進(jìn)一步可改寫成1 xx-F(ln-)d In -2 yy它為一個恰當(dāng)方程，表明(x,

4、y) M(x,y)x N(x,y)y為齊次方程的積分因子。方法2 化為分離變量方程求積分因子。ux， dy xdu udx，N(x,xu) xmN(1,u),設(shè)M(X, y), N (x, y)是m次齊次函數(shù)，則令 yM (x, y) M (x, xu)xmM (1,u), N (x, y)將其代入原方程 M(X, y)dx N (x, y)dy0中，得xm M (1,u) N(1,u)udx xN(1,u)du可以看出上方程為可分離變量的方程，只要給上式乘以積分因子(x, y) xm 1M (1, u) uN(1,u) xM (x, y) yN(x, y)方程就可變量分離，即化為恰當(dāng)方程，因

5、此，齊次方程的積分因子是(x, y)。xM (x,y) yN(x,y)方法3用定義求積分因子。由積分因子的定義，只需證明二元函數(shù)(x, y) xM(x,y) yN(x,y)滿足即可。為此，我們計算x顯然由于dy因而(M)y(宀)y(xM yN)2t(xM(xM yN)2yy(N)xyN)(xM yN)MNM ,N(xM yN)x2 -(xM (xM yN)2 x1(xM(M)yyN)(xM yN)NyxM(N)xxN 衛(wèi) NM ，xx(NMxMNx)(xMy(NMy MNy) yN?N(x, y)gxd)xgy(')x為齊次方程,令 V g(-)N x(M)y2x1 -g xyg1NT

6、(MxNNxM)，丄(MyN MNy)，N yN)N2-gx(xM gN)2N2以 乂)g (xM gN)20，是齊次方程的積分因子。評注:注意求積分因子方法的正確運用，對于齊次方程M(X, y)dx N (x, y)dy 0 ,除了可以化為變量可分離方程以外，我們還可以采用本例中所得到的結(jié)果，很快尋找出一個積分因子(X, y)，將其轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)方程來求解。xM(x,y) yN(x, y)2-4解方程d1xy x y解由題得dx33dy xy x y，這是以x為未知函數(shù)和以y為自變量的迫努利方程，則有3 dxx dyx2dzdy2yz2y3而空dy2yz的解為zCe采用常數(shù)變易法，令zC(y)e

7、y2代入dydz32zy 2y3中得C(y)y2ey2C，2故 z y21 Ce y從而原方程的解為x2(1 Ce評注：在微分方程中，變量x與y具有同等的地位，對同一個方程，既可以就y求解,也可以就x進(jìn)行求解，如果方程dy f (x, y)就y求解比較困難，可以嘗試將原方程變化dx為dx 一1一，然后就x進(jìn)行求解，有時會取得意想不到的效果，參見典型習(xí)題 dy f(x,y)2-15，4),和 2-16 , 4 )。2-5試導(dǎo)出方程 M(x,y)dx N (x, y)dy0分別具有形為(x y)和(xy)的積分因子的充要條件。解 根據(jù)判別準(zhǔn)則(定理 2.1)， (x y)是方程M(x,y)dx N

8、(x,y)dy 0的積分因子的充要條件是g y)M(x,y)g y)N(x,y)則有Mxy)(-MyMxy)(-MyMNyxNM因此方程具有形如(xMNyxNM即d(xy)是方程 M(x, y)dxM)xM)x(xdx y)d(x y)y) 1d(x y) (x y)y)的積分因子的充要條件是f(x y) o(M(xy)M)(xy)(衛(wèi)ydg y)d(x y)f(x y),N(x,y)dy 0的積分因子的充要條件是(Mxy)N)xN)xN-)(yNxxM)識M N書需f g(xy)，yN因此方程具有形如(xy)的積分因子的充要條件是yN xMxg(xy) o評注：利用對稱形式的微分方程的系數(shù)容

9、易判斷方程是否具有特殊形式的積分因子, 而給出求積分因子的思路。2-6設(shè)f(x,y)及 連續(xù)，試證方程 dy f (x, y)dx 0為線性方程的充要條件是它 y有僅依賴于x的積分因子。證必要性。若方程dy f(x,y)dx 0為線性方程，則方程可寫為dy(P(x)y Q(x)dx 0，令(P (x)y Q(x) ,N 1，由題有衛(wèi)連續(xù),yP(x)，由定理2-2的結(jié)論P(x)dx1方程有積分因子e，僅依賴于x。充分性。設(shè)方程dy f(x, y)dx 0有僅依賴于x的積分因子(x)，即(x)dy (x) f (x, y)dx 0為恰當(dāng)方程，有(x)f(x,y)d (x)dxd (x)dxf(x,

10、 y)y1 d (x) (x) dx上式右端僅為x的函數(shù)，令其為 P(x)，積分上式，得f(x,y) P(x)y Q(x),故該方程為線性方程。評注：一階線性方程一般用常數(shù)變易法求解，此例給出了線性方程的又一種求解方法,即積分因子法。2-7 設(shè)函數(shù)f(u),g(u)連可微且f(u) g(u)， 試證方程yf (xy)dx xg(xy)dy 0 有積分因子(xyf(xy) g(xy) 1。證 方法1用積分因子定義證明。令 M yf(xy), Nxg(xy)f (f g)(f g )f(f g)2(f g) (f g)g 0(f g)2，故該方程有積分因子(xy f (xy) g(xy) 1。方法

11、2 利用變量代換方法證明。令 u xy， du ydx xdy，代入方程消掉一個變量x，有f (u)(du udy) yu-g(u)dy 0，yf (u)du u(f(u) yg(u)dy 0，這是分離變量方程，只要給兩端乘以因子u(f (u) g(u) 1就可分離變量，從而變?yōu)榍‘?dāng)方程。所以原方程的積分因子為1xy(f (xy) g(xy)。評注：求積分因子時,注意整體變量代換。2-8假設(shè)方程M(x,y)dx N(x, y)dy 0中的函數(shù)滿足關(guān)系 yN Nf (x) Mg(y)，其中 xf(x), g(y)分別為x和y的連續(xù)函數(shù)，試證方程M(x,y)dxN (x, y)dy0有積分因子ex

12、p( f (x)dx g(y)dy)。證由于(M )y(N )xf (x)dx g(y)dyM yef (x)dx g( y)dyMg(y)ef (x)dx g(y)dyNxef (x) dx g (y)dy e(M yf (x)dx g(y)dyNf (x)eNxMg(y) Nf (x)0故 exp( f (x)dx g(y)dy)是方程 M (x, y)dxN (x, y)dy 0的積分因子。評注：給出了積分因子的一種構(gòu)造方法。2-9 設(shè) p(x, y)是方程 M(x,y)dx N (x, y)dy0的積分因子，從而可得可微函數(shù)U(x,y)，使得dU KMdx Ndy)。試證7(x, y)

13、也是方程的積分因子的充要條件是jj(x, y)j! (U )，其中林t)是t的可微函數(shù)。證 必要性。若7(x,y)也是方程的積分因子，則存在可微函數(shù)U(x,y),使得dU (Mdx Ndy)，即有dU -(Mdx Ndy) - -Mdx Ndy) -dU ,則U-dU，即U是U的函數(shù)，當(dāng)然dU也是U的函數(shù)，且記為 業(yè) 枷J)，由于積-dUdU分因子的可微性，(KU)是可微函數(shù)。由 dU-dU，則 7(x,y)! (U)?？?U)(Mdx Ndy)MU ) KMdx Ndy)MU )dU0 ,d MU)dU 0。即存在二元可微函數(shù) U (X, y)yU )dU，使得 7i(x, y)(Mdx N

14、dy) dU 0，故jj(x, y)J! (U )是方程的積分因子。評注：這個結(jié)論告訴我們，方程的積分因子之間的關(guān)系。若知道一個積分因子，則可構(gòu)造該方程積分因子的通式。在尋找方程的積分因子時，常用到此結(jié)論，可參見例2-5和例2-6。2-9 設(shè) i(x, y),2 (x, y)是方程 M (x, y)dx N (x, y)dy0的兩個積分因子，且- 常數(shù)，求證C 是方程 M(x,y)dx N(x, y)dy 0 的通解。證由于i(x, y),2(x, y)是方程M(x,y)dx N(x,y)dy 0的兩個積分因子，由定理2.2有i (型衛(wèi))(i1,2)。y x同時，若2常數(shù)，則d()2只要證明這

15、個全微分沿方程的解恒為零即可，即有d)12(x, y)22 ( x1 M.)2 y N丄知1dx y N! !2(山)dx 0y x1L(nN !故丄 C是方程M(x, y)dx N (x, y)dy 0的通解。22-10假設(shè)齊次方程 M(x, y)dx N(x,y)dy 0是恰當(dāng)方程，當(dāng)xM yN 0時，試證它的通解可表示為xM (x, y)dx yN (x, y)dy C。證令U (x, y)xM (x, y) yN(x, y)。要證明U (x, y)C為方程的通解，就是要證明全微分 dU (x, y)沿方程的解恒為零即可。為此，計算xMxyNx，yNyxM y，則有 dU(x,y)Udx

16、x(上xUM)dx。 y N即要證明M xMX yNxM即可。N因為所給方程為恰當(dāng)方程，有My Nx故有M xM x yNxMN yNyxM yxMxN yNxN yNyM xMyMMNx(MxN NxM) y(MyN NyM)MN再由dxM為齊次方程，故令N代)g(U)，gx(u) 占 gux1 gy(u)-gux顯然M xM x yNxMN yNy xM yN2 y2 1x(N24gu) y(N2 gu)XXMN故有 xM(X, y)dxyN(x, y)dy C為原方程的通解。評注：以上兩道題都是證明某二元函數(shù)U(x, y)為方程的通解(或通積分)的問題。這就是要證明全微分dU(x, y)

17、沿該方程的解恒為零，即證明dU (x, y)Udx 丄 dyx y(上UN)dx 0，或2-11求解下列隱式方程221， 2)1)xy3)1dy 24)dxdx25)y2 1dy1dx解1)令yPcost，代入方程,得x Sint，y2(y 1) (2由dycostdx，積分得y costd s int C -2方程參數(shù)形式的通解為2)令2 y yt，則有y )2牛弗0即可。2xdx 2ydy 4x 0-sin2t C，4Sint-si n2t C。24dx1)dt ,方程參數(shù)形式的通解為 x1 t2oty p,則xp由于dyy dx p12dp積分上式得In故方程參數(shù)形式的通解為P dp,1

18、 -PP1 p2In24)令 y p，得 xp2yp4x 0 ,將y解出得1 -xp22x(1)給（1）式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得(p24)X2 dxdp2p 2x血 dx2Px dp2p2 dx2p 0，由亠並由22p2 dx21P 0，dp dxP xInI p I In I X I In c,代入（1 ）得1 2-CX2cx ,-，即得方程的通解為CC -X 2又由P20，得2 ，故得y2X也是方程的解。5） 令y si nt，則有y2(1sin2t) 1，y sect ,由于dXy1X sect tantdtsi ntdtcos21評注:X tan t G ,tant C1sect2 2，消

19、去參數(shù)t得原方程的通積分為y （X c） 1 o根據(jù)方程的特點，通過引入適當(dāng)?shù)淖儞Q，可以求得原方程的參數(shù)形式的通解，尋找適當(dāng)變換是求解的關(guān)鍵。 這類不顯含X （或y ）的方程，如果從方程中能解出 y或y （或X）的關(guān)系，方程將轉(zhuǎn)化為顯式方程或?qū)?y （或X）解出的方程，從而按照相應(yīng)的方法求解。否則，我們就要引入變換，其目的在于通過這個便量代換,將方程中的y ， y (或X )從方程中解出，用新的參變量表示，然后再求方程的解。2-12解下列方程1) xdy y 2x2y(y2 x2) dx4x3 2xy3 2xc 22 c 5 c 23x y 6y 3y解1）解法1 （降次法）方程可化為從而得此

20、方程的通解為y dyx dxdy2dx22存 2y2(y2x2每 2y2(y2 xx2)，x2)，2,xq方程可化為下列迫努利方程dudq1d-udqdzdq2u2u(q2q),z(2qz (eq2-(2qu；)，q)2，故原方程的通積分為1 Cex4x2，另外還有y 0也是方程的解。y解法2唱yxdy222dx2 x y(yx )給方程兩端同乘以 得x2 型 2y(y2 x2)dx，x2y(y2x2)dx,y xu，方程可化為分離變量方程分離變量，再積分得du_ . 22x u(u1)dx2u2u-Ce"令y31 （降次法）原方程可化為y 25) y x(x y )dx xdydy

21、 4x2 2y30Q2，或3xdxdy33x 6y2x2y3 1dx22 x2y3 1,2 xq方程化為下列可轉(zhuǎn)化為齊次方程的方程du2qu 1'o解法dqq 2u 1解此方程得其通解為 u u2 q qu C，因此，原方程的通解為y3 y6 x2 x4解法2將原方程轉(zhuǎn)化對稱形式為225233(3x y 6y 3y )dy (4x 2xy 2x)dx 0易判斷此方程為恰當(dāng)方程，因而方程的解為236342 cx y y y x x C。評注：當(dāng)方程中自變量和未知函數(shù)的次數(shù)較高時，我們仿照此例的方法可先設(shè)法 “降次”，有可能化為可積方程， 然后積分求解，這也是求解常微分方程常用的技巧。但有

22、時將方程轉(zhuǎn) 化為對稱形式后，有意想不到的結(jié)果。若判斷方程是恰當(dāng)方程，則可直接得到方程的通解, 如果不是，再嘗試用其它方法求解。2-13解下列方程21) ydx xdy x ydy2) xy 1 ydxxdy 02 23) x y dx 2xydy 01解1）容易觀察方程有積分因子，乘以方程兩端得xydy,ydx xdy故原方程的通積分為1 y2 0，y dx2 322）原方程各項重新組合得xy2dxydx xdy 0,容易觀察方程有積分因子 Ay，乘以方程兩端得xdxydx xdy故原方程的通積分為C，還有解 y(y2dx(y2dx2xydy)xdy2)x2dx 0，x2dx 0，容易觀察方程

23、有積分因子 2，乘以方程兩端得x2 2y dx xdyx2dxdx故原方程的通積分為xCx 。4）原方程各項重新組合得2ydx xdy y dy dy 0。1容易觀察方程有積分因子 y乘以方程兩端得故原方程的通積分為ydx xdydy7dydy d5)原方程各項重新組合得容易觀察方程有積分因子故原方程的通積分為評注：注意利用微分式y(tǒng)dx xdyx2 d (arctg )2-14解下列方程dy 2x 3y dx 4x 6y 5，即1 y C y ;還有解 y 0。ydxxdyydxdx，乘以方程兩端得xdy2 2 x yd arctan- yarcta n yxdy ydx2xydx xdyxd

24、x，Idx22d(-)，x1 , x -d(lnxy2x 2yd(l nZ)，yydx xdyx21 dxX x y y2 dy。x y 2 dy 0x yyx22y41)xxe令2x3yz，則分離變量得積分得dzdxdx故原方程的通積分為還有解3dy 27z 222z2z 52z 57z2 -z722dz，2x 3y9ln 2x3y22C149ln2xC122143yIx C2x 3y 22原方程變形為dydxy，則dzdxdzdxdy dx， 2z 1分離變量得dx，積分得3ln zC1，故原方程的通積分為y 13Ce2x y 。In z13 xzC1 。的。即得3)原方程變形為令x y

25、u，則dydxdudxe udu故原方程的通積分為評注:2-15x y xeuxe，xdx ,x2在解一階常微分方程時,經(jīng)常利用整體代換的思想化簡方程,從而達(dá)到求解的目解下列方程dy J一 e dxxyxye(1xye )dx e-dy 0 yy2 dxy-，則xx2eydy 04)dydxy_ x J xydux一dxe ududxIn|x|故原方程的通積分為ln|x|x2) 令一u，則ydxdyduydy，代入方程有duuueueu du e udyy1積分得In |euu|Iny|Ci,y(euu)故原方程的通積分為xyey3）原方程變形為dydx，則duxdx積分得dx1euIn x即

26、得原方程的通積分為In xx fx y Vy，則dxdyy，代入上方程得dy兩邊積分得du2 JuIndy21即得原方程的通積分為-Iny ；另外還有解y 0。評注：齊次方程是利用整體代換將原方程化簡為可分離變量的方程來求解的。2-16解下列方程巴 4e y sinx 1 dx2)x 煜 1 2ey2(x y )dx y(1 x)dy 04)dxy2c 2jdy 0 y1）給方程兩端同乘以ey，得ey e即得原方程的通積分為eydy4sin xey，deydxey4 sin x ,dxCCe2）給方程兩端同乘以由公式得eydeydxdx4 sin xe dx4 sin xexdxx .e si

27、n X cosx422 sinCe Xeyx cosx2 sin x cosx。dxx 1dxx 1 dxxV 21)dx即得原方程的通積分為(X1)ey2x C 。3)原方程變形為給上方程兩端同乘以dydx1 yX2y，得2 2x1 xy由公式得dy2 dx 1 X2 2xdxO2y e 1 x CX2x 2 代dxe 1 x1 X(1 X)2 C2x 3dx(1 X)(1 X)2 C11 X (1 X)22C(1 X)2 2x 1即得原方程的通積分為y2 C(1 X)2 2x 1。4)解法1原方程變形為dx 3 一 Xdy 2y給上方程兩端同乘以 2x，得dx2dy由公式得即得原方程的通積

28、分為x2dy "yCy解法2 因為y67法來求解，原方程變形為dx y3竺yye dyc 32Cy y ,N，所以方程為恰當(dāng)方程。這樣我們可用湊微分1dy 0 , y2-xd 3y積分可得原方程的通積分為x2Cy評注：轉(zhuǎn)換為線性方程的求解問題。2-17解下列方程2 2 34x2y2dx 2(x3y 1)dy 0(設(shè)y0)2xy x2yy3dxx2y2 dy1) 由于一，所以積分因子為方程兩端同乘以積分因子得34x2y2dx2x3y1 12dy 2y 2dy 0 ,即原方程的通積分為43y4d22) 2xy x y解解法1由于3至dx33dy"14dy"0，3y21

29、4dy"3y2心）13y2dxx2y2 dy 0所以積分因子為1dx方程兩端同乘以積分因子得ex 2xy即得原方程的通積分為xex 2xy02 xx ye3x2y13yeex，3y-dx3x2 y2 dy 0，解法2原方程變形為2xydxx2dyd x2yd x2y13y3y33C。dxdyy2dy3 y3x2dx 0，13ydx1y3 dx333330，.213dx 0 ,d x y - y 3T3x In1 33yCi,C2e原方程的通積分為3x2yexC。評注：利用公式尋找積分因子。2-18解下列方程(xdx2)¥dx解法給原方程兩端同乘以4，方程化為y1d(x22y

30、2)則有cossin積分得回代變量，得cosd空sinsinsin(2(y 1)22y2 2X y而y 0也是原方程的解，故原方程的全體解為2 2 2 2(y 1) (x y ) Cy (C 0)和1解法2給原方程兩端同乘以冷，方程化為yxxd()0,y觀察其形式，可令u x可化為分離變量方程分離變量，再整理得1du1dv 0，積分得其通解為ju-duJuC,C回代變量，整理得原方程的全體解為2 2 2 2(y 1) (x y ) Cy (C 0)和解法3給原方程兩端同乘以1，原方程化為xyxdx ydyxydx xdy進(jìn)而化為ydx dyxd-y貝y x uy， dxudyydu，將上方程化為udy ydu1dyudu即得到分離變量的方程1)du0 ,解之得29(y 1) (u 1)故原方程的通解為 (y八2/21)(Xy2)cy2 (C0)，另外y 0也是方程的解。2)將方程化為對稱形式dx dyxy3dx x3ydyd(x2 2y) xy(y dx xdy) 0 ,給其兩端同乘以x y，得d(x y)33X ydx2xdy2y此時，令u xd(x y)33X yd(x y)33x yy,v xy,dU£)yxydu , udv v解此方程，得其通解為C Jv21 o原方程的通解為(Xy)Cjx2y21，另外xy 1也是方程的解。故原方程的全體解為(x