考研 數(shù)農(nóng) 海文鉆石卡學(xué)員第三次全真模擬考試(三模數(shù)農(nóng)) 答案

1、09屆鉆石卡學(xué)員用2009年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)農(nóng)答案（萬(wàn)學(xué)·海文鉆石卡第三次模擬考試）一、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（1）設(shè)xa時(shí)f(x)與g(x)分別是x-a的n階與m階無(wú)窮小，設(shè)有以下命題：f(x)g(x)是x-a的m+n階無(wú)窮小.若n>m，則f(x)是x-a的n-m階無(wú)窮小. g(x)若nm，則f(x)+g(x)是x-a的n階無(wú)窮小.則以上命題中正確的是 （ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)0【答案】(B)【考點(diǎn)】無(wú)窮小階的運(yùn)算 【分析】limf(x)g(

2、x)=A0lim=B0 ，xa(x-a)nxa(x-a)mf(x)g(x)f(x)g(x)=limlim=AB0 xa(x-a)n+mxa(x-a)nxa(x-a)mlimf(x)g(x)是x-a的m+n階無(wú)窮小.又若n>m，limxaf(x)f(x)(x-a)n-m=limxa(x-a)ng(x)limAg(x)=0 xa(x-a)mBf(x)g(x)是x-a的n-m階無(wú)窮小.因此正確，但不正確.例如，x0時(shí)，sinx與-x均是x的一階無(wú)窮小，但limsinx-xcosx-11=lim=-，即sinx+(-x)是x的3階無(wú)窮小.因此選(B). 32x0x0x3x63nn（2）設(shè)函數(shù)f(

3、x)=lim+x，則f(x)在(-,+)內(nèi) （ ）1頁(yè) （共13頁(yè)） 數(shù)學(xué)（農(nóng)）試題 第09屆鉆石卡學(xué)員用(A)處處可導(dǎo) (B)恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)(C) 恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn) (D) 至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)【答案】(C)【考點(diǎn)】極限形式表示的函數(shù)；函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)【分析】 先求出f(x)的表達(dá)式，再討論其可導(dǎo)情形。當(dāng)x<1時(shí)，f(x)=lim+xn3n=1；當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=lim+1=1； n當(dāng)x>1時(shí)，f(x)=limx(n31x3n+1)=x. 1n3-x3,x<-1,即f(x)=1,-1x1, 可見(jiàn)f(x)僅在x=±1處不可導(dǎo)，故應(yīng)選(C). x3,x>1.（

4、3）設(shè)函數(shù)f(x)=x20則f'(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù) （ ） ln(2+t)dt，(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【答案】(B)【考點(diǎn)】變上限積分的導(dǎo)數(shù)；函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題【分析】f'(x)=ln(2+x)2x=2xln(2+x) 224x2f''(x)=2ln(2+x)+>0，恒大于0，所以f'(x)在(-,+)上是單調(diào)遞增的. 2+x22又因?yàn)閒'(0)=0，根據(jù)其單調(diào)性可知f'(x)只有一個(gè)零點(diǎn).（4）設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，并且(x,y)(0,0)limf(x,y)+4x2-y2=-1則 4224x+x

5、y+y（ ）(A)點(diǎn)(0,0)是函數(shù)f(x,y)的極大值點(diǎn)(B)點(diǎn)(0,0)是函數(shù)f(x,y)的極小值點(diǎn)(C)點(diǎn)(0,0)不是函數(shù)f(x,y)的極值點(diǎn)(D)題設(shè)條件不足以判定點(diǎn)(0,0)是否為函數(shù)f(x,y)的極值點(diǎn)2頁(yè) （共13頁(yè)） 數(shù)學(xué)（農(nóng)）試題 第09屆鉆石卡學(xué)員用【答案】(C)【考點(diǎn)】二元函數(shù)的極值【分析】設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)的某空心鄰域中滿足f(x,y)+4x2-y2224224即 fx,y=-4x+y-x-xy-y-1()4224x+xy+y''(0,0)=-8,B=fxy''(0,0)=0,C=fyy''(0,0)=2.

6、則點(diǎn)得到fx'(0,0)=fy'(0,0)=0,A=fxx(0,0)是函數(shù)f(x,y)的一個(gè)駐點(diǎn)，且滿足AC-B2f(x,y)的極值點(diǎn).100-2（5）設(shè)矩陣A=-1000=-16<0，所以(0,0)不是函數(shù)00,矩陣B滿足AB+B+A+2E=0，則B+E= （ ） 011111(A)-12 (B)12 (C)-6 (D)6 2010【答案】(A)【考點(diǎn)】矩陣方程；矩陣行列式的計(jì)算【分析】化簡(jiǎn)矩陣方程向B+E靠攏，用分組因式分解有(AB+A)+(B+E)=-E即(A+E)(B+E)=-E兩邊取行列式，用行列式乘法公式得A+E200-1又因?yàn)锳+E=-10002020B+E

7、=1. 0011=-. =-12,所以,B+E=A+E1202（6）設(shè)有向量組1=(6,+1,7)，2=(,2,2)，3=(,1,0)線性相關(guān)，則 （ ）(A) =1或=4 (B) =2或=4(C) =3或=4 (D) =-2或=4【答案】(D)【考點(diǎn)】向量的線性相關(guān)性3頁(yè) （共13頁(yè)） 數(shù)學(xué)（農(nóng)）試題 第09屆鉆石卡學(xué)員用6【分析】因1,2,3線性相關(guān)，故1223=+121=22-5-12=0，7解得1=-2，2=4.-101(i=1,2)且P(X+X=0)=1，則P(X=X)= （7）設(shè)隨機(jī)變量Xi1111212424（ (A) 0 (B) 114 (C) 2 (D) 1【答案】(C)【考

8、點(diǎn)】二維離散型隨機(jī)變量的概率分布；二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布 【分析】由題設(shè)知P(X1+X20)=0,而P(X1+X20)=P(X1=-1,X2=-1)+P(X1=-1,X2=0)+P(X1=0,X2=-1)+P(X1=0,X2=1)+P(X1=1,X2=0)+P(X1=1,X2=1)所以等式中的各加項(xiàng)概率都等于零，據(jù)此可求得(X1,X2)的聯(lián)合分布表可算出P(X11=X2)=2. （8）X N(0,2)，X1,X2, ,X9是來(lái)自總體X的樣本，則服從F分布的統(tǒng)計(jì)量（ (A) F=X2X2221+2+X23X22 (B) F=X221+X2+X3+X42224+X5+ +X29X4+X25+

9、X6+X7數(shù)學(xué)（農(nóng)）試題 第4頁(yè) （共13頁(yè)） ）09屆鉆石卡學(xué)員用222(X12+X2+X32)X12+X2+X32(D) F=2 (C) F=22222X4+X5+ +X92X4+X5+ +X9【答案】(D)【考點(diǎn)】F分布的典型模式 【分析】因?yàn)?Xi所以) N(0,1) (i=1,2, ,9),112(X212+X2+X32) 2(3),26(X224+X52+ +X92) 2(6).22(X12+X2+X32)2X4+X52+ +X92由F分布的定義有X(X24212+X2+X32)322529+X+ +X=F(3,6).二、填空題（本小題共6小題，每小題4分，滿分24分，把答案填在題

10、中橫線上）（9）曲線x=1-y2和直線y=x+1所圍成平面圖形的面積是【答案】.9 2【考點(diǎn)】平面圖形的面積【分析】先求出曲線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)(0,1)(-3,-2),根據(jù)平面圖形的特點(diǎn)選擇積分變量為192y，圍成平面圖形的面積A=1-y-y-1dy=. ()-221f(y)（10）設(shè)f(x)可導(dǎo)，且f(0)=0,f'(0)=.已知方程xe=ey確定隱函數(shù)y=y(x)，2()則曲線y=y(x)在點(diǎn)(1,0)處的法線方程為【答案】x+2y=1【考點(diǎn)】隱函數(shù)方程求導(dǎo)；曲線的法線方程 【分析】因?yàn)閤ef(y).=ey兩邊取對(duì)數(shù)得到lnx+f(y)=y.將方程兩端對(duì)x求導(dǎo)，得到11+f'

11、;(y)y'=y',將f'(0)=代入得到y(tǒng)'(1)=2.于是曲線y=y(x)在點(diǎn)(1,0)處的法x21線方程為y=-(x-1)即x+2y=1.25頁(yè) （共13頁(yè)） 數(shù)學(xué)（農(nóng)）試題 第09屆鉆石卡學(xué)員用（11）已知z=xx+y(2yxy2x+e)，則zx(1,0)=.【答案】3【考點(diǎn)】多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 【分析】由偏導(dǎo)數(shù)的定義得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題.由偏導(dǎo)數(shù)的定義得zx(1,0)=dz(x,0)dxx=1，將多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元zx(1,0)=dz(x,0)dxx=1=d3x)(dxx=1=3. . （12）交換二次積分的積分次序：【答案】0-1dy1-y2f

12、(x,y)dx=21dx1-x0f(x,y)dy【考點(diǎn)】交換積分次序【分析】由累次積分的內(nèi)外層積分限可確定積分區(qū)域D：-1y0，1-yx2.原式-0-1dy21-yf(x,y)dx=-dx1201-xf(x,y)dy=dx121-x0f(x,y)dy.*（13）設(shè)A是54矩陣，B是四階矩陣，滿足2AB=A，B是B的伴隨矩陣，若A的列*向量線性無(wú)關(guān)，則秩rB=()【答案】4【考點(diǎn)】線性方程組的解；伴隨矩陣的秩【分析】A(2B-E)=0因?yàn)閞(A)=4，所以AX=0只有零解，即2B-E=0，亦即B=1E. 222（14）已知XN,1,YN2,2，X與Y相互獨(dú)立，如果P(X-Y1)=()()1,則2

13、=【答案】-1【考點(diǎn)】正態(tài)分布【分析】因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立，所以X-Y服從正態(tài)分布.222，即X-YN(-,1+2). E(X-Y)=-,D(X-Y)=12+21=P(X-Y1)=P2,=0,即=-1.三、解答題（本題共9小題，滿分94分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）6頁(yè) （共13頁(yè)） 數(shù)學(xué)（農(nóng)）試題 第09屆鉆石卡學(xué)員用（15）（本題滿分9分） 求極限I=limx0-20ve-vdv+1-e2x-x2-v2edv0. -x24【考點(diǎn)】洛必達(dá)法則；積分上限的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解：I=limx0-x0ve-vdv+1-e2x-x2-v2edv0 -x242洛limx0x-x4-e22x-x4

14、11-x-v2 -+0edv+e222x2-x-e4 -2洛limx01 -2 （5分） =limx0-x0e-vdv-x242xee-x241-e4+xe-x24x2(-x2)1=-. （9分） 2（16）（本題滿分10分）已知函數(shù)y=y(x)在任意點(diǎn)處的增量y=高階無(wú)窮小，y(0)=，求y(2)的值.【考點(diǎn)】無(wú)窮小的比較；可分離變量的微分方程解：為求y(2)的值，需先求出未知函數(shù)y=y(x)的表達(dá)式，這就需要將題中關(guān)于未知函數(shù)yx+，且當(dāng)x0時(shí)，是x的4+x2y,y,x的方程轉(zhuǎn)化為一階微分方程.為此先將所給方程化為兩邊對(duì)x求極限得到y(tǒng)'=yy=+. （2分） x4+x2xyy

15、9;1=,即. （4分） 4+x2y4+x2兩邊積分有dydx1d(x2)=（6分） y4+x221+(x2)2, 1arctan(x2)12得到lny=arctan(2)+lnC即y=Ce. （8分） 2將y(0)=代入得到C=，于是y=e（17）（本題滿分11分） 1arctan(x)2，故y(2)=e8. （10分）2z2z設(shè)z=f(u,x,y),u=xe其中f具有二階偏導(dǎo)數(shù)，求2,. xxyy7頁(yè) （共13頁(yè)） 數(shù)學(xué)（農(nóng)）試題 第09屆鉆石卡學(xué)員用【考點(diǎn)】多元函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù) uu =ey,=xey （1分）xyzu=fu'(u,x,y)+fx'(u,x,y)=fu

16、9;(u,x,y)ey+fx'(u,x,y) （3分） xx2zuuy''''''''(u,x,y) （5分） =fu,x,y+fu,x,ye+fu,x,y+fxx()()()uuuxxu2xxxyyy''''''''(u,x,y) =fu,x,ye+fu,x,ye+fu,x,ye+fxx()()()uuuxxu''(u,x,y)e2y+2fux''(u,x,y)ey+fxx''(u,x,y) （7分） =fuu

17、2zuu''(u,x,y)+fuy''(u,x,y)ey+fu'(u,x,y)ey+fxu''(u,x,y)+fxy''(u,x,y) =fuuxyyy（9分）yyyy'''''''''(u,x,y) =fu,x,yxe+fu,x,ye+fu,x,ye+fu,x,yxe+fxy()()()()uuuyuxu''(u,x,y)xe2y+fuy''(u,x,y)ey+fxu''(u,x,y)xey+fxy&#

18、39;'(u,x,y)+fu'(u,x,y)ey（11分） =fuu（18）（本題滿分11分）設(shè)f(x)在-,上連續(xù)，且f(x)=x+f(x)sinxdx，求f(x). 2-1+cosx【考點(diǎn)】含積分值為常數(shù)的函數(shù)方程；對(duì)稱區(qū)間上的積分性質(zhì)解：由于f(x)為抽象函數(shù)，直接求f(x)sinxdx是不可能的，但若注意到 -f(x)sinxdx為常數(shù)，在原等式兩邊同時(shí)乘以sinx后再?gòu)?到積分，就可以將常數(shù)-因子分離出來(lái)進(jìn)而求出f(x).在原等式兩邊同時(shí)乘以sinx,得xsinxf(x)sinx=+sinxf(x)sinxdx. （2分） -1+cos2x上式從-到積分,得xsinx

19、fxsinxdx=+sinxf(x)sinxdxdx （4分） -()-1+cos2x-其中-f(x)sinxdxsinxdx=f(x)sinxdx0=0 -（奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分為0） （6分）xsinxxsinx=2 -1+cos2x01+cos2x（偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上積分的性質(zhì)） （7分）8頁(yè) （共13頁(yè)） 數(shù)學(xué)（農(nóng)）試題 第09屆鉆石卡學(xué)員用xsinxx=-t21+cosx(-t)sin(-t) 01+cos2-tsinttsint- （9分） 2201+cost1+cost=則(-t)sintdt=1+cos2t2xsinxsintd(cost)（10分） =dt=-=-arct

20、an(cost)=22200041+cosx21+cost21+cost2f(x)sinxdx=-22，則f(x)=x1+cos2+x22. （11分）（19）（本題滿分9分）計(jì)算二重積分xydxdy其中D=D(x,y)y0,x2+y21,x2+y2-2x0.【考點(diǎn)】二重積分的計(jì)算解：采用極坐標(biāo)計(jì)算.設(shè)x=rcos,y=rsin，則二重積分的極坐標(biāo)積分區(qū)域是1D=(,r)0,1r2cos. （2分）3xydxdy=dD1302cos1rcosrsinrdr=sincosd1302cos1r3dr （4分）114=3sincos(2cos)-1d （5分）041143=-cos(2cos)-1d

21、cos （7分）401194u=cos-2u16u-1du=. （9分） 1416（20）（本題滿分11分）設(shè)A為三階矩陣，1,2,3是線性無(wú)關(guān)的三維列向量，且滿足A1=1+2+3，A2=22+3，A3=22+33.（I）求矩陣B，使得A(1,2,3)=(1,2,3)B； （II）求矩陣A的特征值；（III）求可逆陣P，使得P-1AP為對(duì)角陣.9頁(yè) （共13頁(yè)） 數(shù)學(xué)（農(nóng)）試題 第09屆鉆石卡學(xué)員用【考點(diǎn)】相似矩陣的性質(zhì)；矩陣相似對(duì)角化解：（I）由條件有100 A(1,2,3)=(1,2,3) 122, （2分）113100 可知 B= 122. （3分）113（II）因?yàn)?,2,3線性無(wú)關(guān)，

22、可知C=(1,2,3)可逆，所以C-1AC=B，即A與B相似. （5分）由此可求-1E-B=-1-100-2-2=(-1)2(-4), -1-33=4. 得A,B的特征值均為1=2=1，（7分）（III）對(duì)應(yīng)于1=2=1，解齊次線性方程組(E-B)x=0，得基礎(chǔ)解系1=(-1,1,0)，（8分） 2=(-2,0,1). TT對(duì)應(yīng)于3=4，解齊次線性方程組(4E-B)x=0，得基礎(chǔ)解系3=(0,1,1). （9分） T-1-20 令 Q=(1,2,3)= 101,011100 -1則 QBQ= 010=.004-1-1-1因 =QBQ=QCACQ=(CQ)-1A(CQ),-1-20 01=(-1

23、+2,-21+3,2+3)即為所求. 所以P=CQ=(1,2,3) 1011（11分）（21）（本題滿分11分）10頁(yè) （共13頁(yè)） 數(shù)學(xué)（農(nóng)）試題 第09屆鉆石卡學(xué)員用a1x1+a2x2+a3x3+a4x4=a5bx+bx+bx+bx=b112233445已知線性方程組的通解是2,1,0,3T+k1,-1,2,0T，c1x1+c2x2+c3x3+c4x4=c5d1x1+d2x2+d3x3+d4x4=d5如令i=ai,bi,ci,diT(i=1,2,3,4,5)試問(wèn)：（I）1能否由2,3,4線性表示；（II）4能否由1,2,3線性表示，并說(shuō)明理由.【考點(diǎn)】線性方程組解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)；向量的線性表

24、示解: （I）注意到i為所給方程組的增廣矩陣的列向量，將方程組改寫成列向量的形式：（2分） x11+x22+x33+x44=51 對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組為x11+x22+x33+x44=01的解，將其代入得到 因?yàn)?,-1,2,0為方程組11+(-1)2+23+04=1-2+23=0, （4分） 即1=2-23+04，因而1可由2,3,4線性表示； （5分）1的基礎(chǔ)解系只含有一個(gè)解向量，故秩(A)=n-1=4-1=3，因而A的列（II）因方程組秩等于3. （7分）因?yàn)?可由2,3,4線性表示，故3=秩(2,3,4)=秩(1,2,3,4)=秩(1,2,3)+1,因而4不能由1,2,3線性表示. （11分）（22）（本題滿分11分）設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件,且P(A)=111, P(B|A)=, P(A|B)=, 令 432A發(fā)生，1,1,B發(fā)生， Y= X=0，A不發(fā)生，0，B不發(fā)生.求：(I) 二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布；(II) X與Y的相關(guān)系數(shù) XY.【考點(diǎn)】乘法公式；二維離散型隨機(jī)變量的分布律；二維離散型隨機(jī)變量的協(xié)方差11頁(yè) （共13頁(yè)） 數(shù)學(xué)（農(nóng)）試題 第09屆鉆石卡學(xué)員用解：（I） 由于P(AB)=P(A)P(B|A)=1P(AB)1，P(B)= =, （2分）12P(AB)6所以，PX=1,Y=1=P(AB)=1, 121, 61 PX=0,Y=1