G0027--03--華師一2011屆高三第一輪復(fù)習(xí)教案(第三章)第11講--數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

1、課 題：數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容：數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用教學(xué)目的： 會(huì)解數(shù)列應(yīng)用題，能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列模型求解教學(xué)重點(diǎn)：能建立數(shù)列模型解決數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題教學(xué)過(guò)程：一、知識(shí)概要教學(xué)要求：數(shù)列在實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用，如增長(zhǎng)率，減薄率，銀行信貸，濃度匹配，養(yǎng)老保險(xiǎn)，圓鋼堆壘 等問題；會(huì)解數(shù)列應(yīng)用題，能將上面的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列模型求解.二、典例解析例1 某地區(qū)森林原有木材存量為 a，且每年增長(zhǎng)率為25 %，因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年年底要砍伐的木 材量為b，設(shè)an為n年后該地區(qū)森林木材的存量，(1 )求an的表達(dá)式；(2 )為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年的森林木材存量

2、不少于該地區(qū)今后會(huì)發(fā)生水土流失嗎？假設(shè)會(huì)，需要經(jīng)過(guò)幾年？(參考數(shù)據(jù): 解：(1)設(shè)第一年的森林的木材存量為1a-i a(1) b4 an (5)n45a b ,45、n 1 a (=)45a?4(4)n2 L-a，如果b 19a，那么 972lg2 0.3)an,那么5 35 2 5b (：)3a ( )21b,444a1，第n年后的森林的木材存量為5 25b(=)2a (1)b ,441衲5、n5a3 a?4n1b(n N ).19(2 )當(dāng)ba時(shí)，有；72.n lg5 1 lg2nIg 5 2lg 21 3lg 2例2 某縣位于沙漠地帶，人與自然長(zhǎng)期進(jìn)行著頑強(qiáng)的斗爭(zhēng)，到20012002年開

3、始，每年將出現(xiàn)這樣的局面，即原有沙漠面積的16%將被綠化,有綠化面積的4%又被沙化an詁得4吟)n1 72a令即7 (4)n 5,47.2 即經(jīng)過(guò)8年后該地區(qū)就開始水土流失.年底全縣的綠化率已達(dá) 30%從 與此同時(shí)，由于各種原因，原(1) 設(shè)全縣面積為1, 2001年底綠化面積為a1,經(jīng)過(guò)n年綠化總面積為an 1.10求證an 14255an.lg 2 0.3010 )的努力，才能使全縣的綠化率到達(dá)60% ?得lg2(n 1)(2lg2 lg5) (n 1)(3lg2 1)，故 nlg 21 3lg 214，故使得上式成立的最小證：(1)由可得an確定后，an 1表示如下：an 1 :-an(

4、14%)(1an) 16%即a44n 1 =80%an +16%=an +-525(2)由 an 1= an + -44可得：an41 _ :-4 ( a -(an4)-(4)2 ( am4、)= =(-)n(a1上)5:255555555故有an 1=1(4)n假設(shè)an 13.那么有丄(4)n43即-(4)n1，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可2 5552 55525n N為5，故最少需要經(jīng)過(guò) 5年的努力，才能使全縣的綠化率到達(dá)60%例 在提高3某地區(qū)現(xiàn)有耕地面積10%,如果人口年增長(zhǎng)率為 解：以糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在提高10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在提高 1%,那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃？

5、22%為目標(biāo)建立數(shù)學(xué)模型，設(shè)現(xiàn)有的人口為22%,人均糧食占有量比現(xiàn)(精確到1公頃) 人，人均糧食占有量為b10噸，平均每年減少耕地x公頃，由題意可知： A(1 0.01) b(1 0.1) 借(110410x1040.22)，4410解得：X 10 (1。22)10 (1 OS (1 I再用二項(xiàng)式定理進(jìn)行計(jì)算可得:10 1.22解法二：以10年后人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%為目標(biāo)建立數(shù)學(xué)模型， 糧食單產(chǎn)為a噸/公頃，可得.a(10.22)(10410x) a 104貳 A(10.01)10A10%) x 4 (公頃)例4 某城市2001年末汽車保有量為 每年新增汽車數(shù)量相同 為了保護(hù)城市環(huán)境

6、, 量不應(yīng)超過(guò)多少輛？解：設(shè)2001年末的汽車保有量為30萬(wàn)輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車保有量的6%，并且要求該城市汽車保有量不超過(guò)60萬(wàn)輛，那么每年新增汽車數(shù)輛。由題意得an 10.94an x 即 an 1ai，以后每年末的汽車保有量依次為a2,a3，每年新增汽車x萬(wàn)x0.94(an0.06昔)。.。6，上式右端是關(guān)于冊(cè)60,解得 x (30an(30)0.94n 1 x ,令a0.06 0.06減函數(shù),且當(dāng)n時(shí)，上式趨于3.6，故要對(duì)一切自然數(shù)-滿足an 60,應(yīng)有-3.6，即每年新增例5 某企業(yè)2003年的純利潤(rùn)為500萬(wàn)元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降 行技術(shù)改造，

7、預(yù)測(cè)從今年起每年比上一年純利潤(rùn)減少行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第假設(shè)不進(jìn)20萬(wàn)元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬(wàn)元進(jìn)1n年(今年為第一年)的利潤(rùn)為500(1+-)萬(wàn)元(n為正2n汽車不應(yīng)超過(guò)3.6萬(wàn)輛整數(shù))(I )設(shè)從今年起的前n年，假設(shè)該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)為An萬(wàn)元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)Bn萬(wàn)元(須扣除技術(shù)改造資金)，求An、Bn的表達(dá)式(n )依上述預(yù)測(cè)，從今年起該企業(yè)經(jīng)過(guò)至少多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不不進(jìn)行技術(shù) 改造的累計(jì)純利潤(rùn)？An=(500-20)+(500- 40)+ +(500 -20n)=490n-10n解：(I )依題意，

8、Bn=5001121221 丄-60=500n-2n500-100。2n(n ) Bn- An=(500n-500盯-100)-(490n-10n 2)=10n 2+10n-500500-100=105010，因?yàn)楹?n,500數(shù) y=x(x+1)- -102xt 丄5050當(dāng) n?4 時(shí)，n(n+1)-10?20-10 > 0,二僅當(dāng) n?4 時(shí)，Bn > An。2n 16在(0 , +8上為增函數(shù)；當(dāng) K nw3寸，n(n +1)-50區(qū)-10W 12-10 v 0,2n 8例6 一列火車從重慶駛往北京，沿途有 n個(gè)車站(包括起點(diǎn)站重慶和終點(diǎn)站北京)。車上有一郵政車廂，每?？恳?/p>

9、站便要卸下火車已經(jīng)過(guò)的各站發(fā)往該站的郵袋各1個(gè)，同時(shí)又要裝上該站發(fā)往以后各站的郵袋各1個(gè)。設(shè)從第k站出發(fā)時(shí)，郵政車廂內(nèi)共有郵袋ak個(gè)k 1,2,n。(I)求數(shù)列ak的通項(xiàng)公式;(n)當(dāng)k為何值時(shí)，ak的值最大，求出ak的最大值。解：(I)ai考察相鄰兩站之間的關(guān)系：由題意可知,ak ak 1 kakak 12k k2 , k依次取2,3,4,k得k 1個(gè)等式，將k1個(gè)等式相加:ak nk k2,22 *1，二 aknk k n,k N ,1 k(n) ak2 27。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，取k 2 ak取得最大值7 ；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),k 字,ak三、課堂練習(xí)取得最大值n21。41. 一個(gè)球應(yīng)從100米高處

10、自由下落，每次著地后又跳回到原高度的一半落下，當(dāng)它第10次著地時(shí),共經(jīng)過(guò)了多少 米？100因此球第十次著地時(shí)共經(jīng)過(guò)的路程為 100 100100100100100(1100 -22228112解：球第一次著地時(shí)經(jīng)過(guò)了 100米，從這時(shí)到球第二次著地時(shí)，一上一下共經(jīng)過(guò)了2 本年度投入資金800萬(wàn)元，以后每年投入資金比上年減少11本年度當(dāng)?shù)芈糜萎a(chǎn)業(yè)收入估計(jì)為5100米300米。400萬(wàn)元,4bn萬(wàn)元寫出an、bn的表達(dá)式;，第n年投入800(1- 1 )n-1萬(wàn)元5由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加(I )設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為(

11、n)至少經(jīng)過(guò)幾年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入？1 解：(I )第1年投入800萬(wàn)元，第2年投入800(1-)萬(wàn)元，5114所以總投入為 an=800+800(1- -)+ +800(1 -)n-1=40001-()n。55511第1年的收入400萬(wàn)元，第2的收入400(1+)萬(wàn)元，第n年的收入為400(1+)n-1萬(wàn)元4411_4所以總收入 bn=400+400(1+)+ 400(1+)n-1=1600()n-1。4454 4(n )要使旅游業(yè)的總收入超過(guò)總投入，即bn-an> 0,由(I )得1600()n-1-4001-()n> 05 54 44242化簡(jiǎn)得，5X(-)n+2X

12、(-)n-7 >0,設(shè) x=()n,那么 5x2-7x+2 > 0 , a xv 或 x > 1(舍)，即(一)nv，故 n?5,5 55555故至少經(jīng)過(guò)5年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入。四、備選習(xí)題1. 輕紡城的一家私營(yíng)企業(yè)主，一月初向銀行貸款一萬(wàn)元作開店資金，每月月底獲得的利潤(rùn)是該月月初投入資金的20%，每月月底需要交納房租和所得稅為該月所得金額(包括利潤(rùn))的10%，每月的生活費(fèi)開支300元，余款作為資金全部投入再經(jīng)營(yíng)，如此繼續(xù)，問該年年底，該私營(yíng)企業(yè)主有現(xiàn)款多少元？如果銀 行貸款的年利率為5%，問私營(yíng)企業(yè)主還清銀行貸款后純收入還有多少元？解：第一個(gè)月月底余 a, (1

13、20%) 10000 (1 20%) 10000 10% 300 10500 元，設(shè)第 n 個(gè) 月月底余an，第n 1個(gè)月月底余an 1，那么 an 1 an(1 20%) an(1 20%) 10% 300 1.08an 300(n 1)，n 1從而有 an 1 3750 1.08(an 3750)，設(shè) bn an 3750, b1 6750, a bn是等比數(shù)列 g d 1.08 , an 6750 1.08n 1 3750 , a12 6750 1.0811 3750 19488.6，還貸后純收入為 a12 10000(15%)8988.60 元.2. 從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入

14、資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此開展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度1投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少 -，本年度當(dāng)?shù)芈糜问杖牍烙?jì)為 400萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游51業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加1。4(1 )設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬(wàn)元，旅游業(yè)收入為bn萬(wàn)元，寫出an、bn的表達(dá)式。(2) 至少經(jīng)過(guò)多少年旅游業(yè)總收入才能超過(guò)總投入？解：(1)an 800 800(1 1)800(1 1)n 14001(-)n555115bn400 400(1-)L400(1 -)n11600()n1。444(2) bn an0n5,至少經(jīng)過(guò)5年。3. 從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出

15、發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此開展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少1 ,本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建51設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加丄4(1) 設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為bn萬(wàn)元，寫出an,bn的表達(dá)式；(2) 至少經(jīng)過(guò)幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入？1解 (1)第1年投入為800萬(wàn)元，第2年投入為800X(1 -)萬(wàn)元，51 一 11 第 n 年投入為 800X(1 )n一1 萬(wàn)元，A n 年內(nèi)的總投入為an =800+800X (1 - )+800X (1- -

16、 )n一155514800X(1 )k 1=4000X : 1 ()n:551第1年旅游業(yè)收入為 400萬(wàn)兀，第2年旅游業(yè)收入為400X(1+ ),，第n年旅游業(yè)收入 41 一 11 400X(1+ )n 1萬(wàn)元 所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為bn =400+400X (1+ )+400X (1+)k 1444n 5 -5=400X( )k 1=1600X ( )n 1:44k 1(2)設(shè)至少經(jīng)過(guò)n年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入，由此bn an>0,544即 1600X (?)n 1 4000X : 1 (d)n> 0，令 x=( )n,代入上式得5x2 7x+2 > 0 解此

17、不等式,4552 42得xv 2，或x> 1舍去4nv 2，由此得n?5.至少經(jīng)過(guò)5年，旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入5554. 某林場(chǎng)原有森林木材量為a,木材以每年的25%增長(zhǎng)率生長(zhǎng)，而每年冬天要砍伐的木材量為x,為了實(shí)現(xiàn)經(jīng)過(guò)20年到達(dá)木材存有量至少翻兩番的目標(biāo)，那么x的最大值是多少？lg2=0.3解：依題意得各年木材存有量如下：第55第 2 年：5a X 5 X1 年：a(125%) x5 a x4x(15、4)(|)2第20年后:a 4204(4)194445 205 20/ 5、205 204a，另 y=5 20 .=a (_)4x44x ；，于4是 a ；44x4x()4(),而

18、 lg2=0.3,4那么 lgy=20(1-3lg2),y 100 ,100 a4x400x4a,即x更,xmax8a。即每年的砍伐量3333的最大值是a.335. 某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬(wàn)元，第一年便可獲利 1萬(wàn)元，以后每年比前一年增加30%的利潤(rùn)；乙方案：每年貸款1萬(wàn)元，第一年可獲利 1萬(wàn)元，以后每年比前一年增加5千元；兩種方案的使用期都是10年，到期一次性歸還本息假設(shè)銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復(fù)利計(jì)算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多?(取 1.05101.629,1.31013.786,1.51057.665)解：甲方案是等比數(shù)列，乙方案是等差數(shù)列,

19、甲方案獲利：銀行貸款本息：10121 (1 30%)(1 30%)9(1 30%)10 丿1.310.342.63 (萬(wàn)元)5%10 16.29 萬(wàn)元，故甲方案純利：42.63 16.29 26.34 萬(wàn)元。10 9乙方案獲利：1 1 0.5 1 2 0.51 9 0.5 10 10.5 32.50 萬(wàn)2元;10銀行本息和：1.05 1 1 5% 1 5%21 5%9 1.05 便 1 13.21 萬(wàn)元0.05故乙方案純利：32.50 13.21 19.29 萬(wàn)元;綜上，甲方案更好.6. 某企業(yè)年初有資金 1000萬(wàn)元，如果該企業(yè)經(jīng)過(guò)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)，每年資金增長(zhǎng)率為50%，但每年年底都要扣除消費(fèi)基金

20、x萬(wàn)元，余下資金投入再生產(chǎn)，為實(shí)現(xiàn)經(jīng)過(guò)五年，資金到達(dá)2000萬(wàn)元扣除消費(fèi)基金后，那么每年扣除的消費(fèi)資金應(yīng)是多少萬(wàn)元精確到萬(wàn)元1解：設(shè)an表示第n年年底扣除消費(fèi)基金后的資金，a1=10001+ -x ；2a2=1000(1+ 】)-x(1+ 丄)幟=1000(1+ 丄)2%1+ l)-x ;111)3-x(1+)2-x(1+)-x;222222 2a3=1000(1+ 】)2-x(1+ 丄)-刈(1+ )-x=1000(1 +2 2 21111123 51 (2)5一22000,解得 x 424 萬(wàn)兀。1壬2類推所得：a5=1000(1+ )5-x(1+)4-x(1+ )3-x(1+)2-x(1

21、+)-x,2 2 2 23 333那么 1000 () 5-x( )4+()3+1=2000，即 1000()5-x22227. 陳老師購(gòu)置安居工程集資房7m2,單價(jià)為1000/ m2, 一次性國(guó)家財(cái)政補(bǔ)貼28800元，學(xué)校補(bǔ)貼14400元，余款由個(gè)人負(fù)擔(dān)，房地產(chǎn)開發(fā)公司對(duì)教師實(shí)行分期付款，即各期所付的款以及各期所付的款到最后一 次付款時(shí)所生的利息合計(jì)，應(yīng)等于個(gè)人負(fù)擔(dān)的購(gòu)房余款的現(xiàn)價(jià)以及這個(gè)余款現(xiàn)價(jià)到最后一次付款時(shí)所生利息之和，每期為一年，等額付款，簽訂購(gòu)房合同后一年付款一次，再過(guò)一年又付款一次等等，假設(shè)付10次,10年后付清如果按年利率的7 5%每年復(fù)利一次計(jì)算(即本年利息計(jì)入次年的本金生息

22、)，那么每年應(yīng)付款多少元?(參考數(shù)據(jù)：1 075 91 921,1 075 102 065,1 075 112 221)解：設(shè)每年付款x元，那么10年后，第一年付款的本利和為a1=1 075 9x元，第二年付款的本利和為a2=1 075 8x元，依次類推，第n年付款的本利和為an=1 07510-nx元，那么各年付款的本利和an為等比數(shù)列10年付款的本利和為S10=空一1.075)元個(gè)人負(fù)擔(dān)的余額總數(shù)為72X 1000-28800-14400=28800元11.07510年后余款的本利和為18800X1 07510,11.0751011.0751028800 1.0751028800 1.07

23、50.075解得x=石4200兀。1.075101&某地為了防止水土流失，植樹造林，綠化荒沙地，每年比上一年多植相同畝數(shù)的林木，但由于自然環(huán)境和人為因素的影響，每年都有相同畝數(shù)的土地沙化，具體情況為下表所示：1998 年1999 年2000 年新植畝數(shù)100014001800沙地畝數(shù)252002400022400而一旦植完，那么不會(huì)被沙化。問：(1) 每年沙化的畝數(shù)為多少？( 2)到那一年可綠化完全部荒沙地？解：(1 )由表知，每年比上一年多造林400畝 因?yàn)?999年新植1400畝，故當(dāng)年沙地應(yīng)降為25200 140023800畝，但當(dāng)年實(shí)際沙地面積為24000畝，所以1999年沙化

24、土地為200畝同理2000年沙化土地為200畝，所以每年沙化的土地面積為200畝(2) 由(1)知，每年林木的 有效面積應(yīng)比實(shí)造面積少200畝設(shè)2000年及其以后各年的造林畝數(shù)分別為a1、a2、a3、，貝U n年造林面積總和為： Sn1600n 如 衛(wèi) 4002由題意：Sn24000200n化簡(jiǎn)得n2 7n1200,解得： n 8，故8年，即到2007年可綠化完全部沙地9.某公司全年的利潤(rùn)為 b元，其中一局部作為獎(jiǎng)金發(fā)給n位職工，獎(jiǎng)金分配方案如下首先將職工按工作業(yè)績(jī)(工作業(yè)績(jī)均不相同)從大到小，由1到n排序，第1位職工得獎(jiǎng)金-元，然后再將余額除以 n發(fā)給n第2位職工，按此方法將獎(jiǎng)金逐一發(fā)給每位

25、職工，并將最后剩余局部作為公司開展基金精選設(shè)ak(1 <竊)為第k位職工所得獎(jiǎng)金金額，試求a2,a3，并用k、n和b表示ak(不必證明)；證明ak>ak+i(k=1,2,n - 1),并解釋此不等式關(guān)于分配原那么的實(shí)際意義；開展基金與n和b有關(guān)，記為Pn(b),對(duì)常數(shù)b，當(dāng)n變化時(shí)，求im Pn(b)解 (1)第1位職工的獎(jiǎng)金ai=-，第2位職工的獎(jiǎng)金a2=!(1 !)b，第3位職工的獎(jiǎng)金nn n1111a3=(1 )2b，第k位職工的獎(jiǎng)金ak=(1 )k 1b;nnnn(2)ak ak+1=冷(1 丄)k%>0,此獎(jiǎng)金分配方案表達(dá)了按勞分配或不吃大鍋飯的原那么n n設(shè)fk(b)表示獎(jiǎng)金發(fā)給第k位職工后所剩余數(shù)，那么f1(b)=(1 -)b,f2(b)=(1 -)2b,nn11bfk(b)=(1 -)kb，得P