2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)易錯題精選-圓的綜合練習(xí)題含答案解析

1、2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)易錯題精選-圓的綜合練習(xí)題含答案解析一、圓的綜合1.在平面直角坐標(biāo)中，邊長為 2的正方形OABC的兩頂點(diǎn) A、C分別在y軸、x軸的正 半軸上，點(diǎn)O在原點(diǎn).現(xiàn)將正方形OABC繞。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng) A點(diǎn)一次落在直線 y X上 時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，AB邊交直線y x于點(diǎn)m , BC邊交x軸于點(diǎn)N (如圖).C(1)求邊OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；(2)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng) MN和AC平行時(shí)，求正方形 OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；(3)設(shè) MBN的周長為p ,在旋轉(zhuǎn)正方形 OABC的過程中，P值是否有變化？請證明 你的結(jié)論.【答案】(1) k2 (2) 22.5。(3)周長不會變

2、化，證明見解析【解析】試題分析：(1)根據(jù)扇形的面積公式來求得邊OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；(2)解決本題需利用全等，根據(jù)正方形一個內(nèi)角的度數(shù)求出/AOM的度數(shù)；(3)利用全等把4MBN的各邊整理到成與正方形的邊長有關(guān)的式子.試題解析：(1) ; A點(diǎn)第一次落在直線 y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，直線 y=x與y軸的夾角是 45°,，OA 旋轉(zhuǎn)了 45 °. OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為4522360(2) MN /AC,/ BMN=Z BAC=45 ,° / BNM=Z BCA=45 :Z BMN=Z BNM,，BM=BN.又,. BA=BC, .1. AM=CN.又

3、. OA=OC, /OAM=/OCN, . OAM OCN.Z AOM=ZCON=- (/AOC-/ MON) =- (90 -45°) =22.5 .22，旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng) MN和AC平行時(shí)，正方形 OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為45 22.5 =22.5 .(3)在旋轉(zhuǎn)正方形 OABC的過程中，p值無變化.證明：延長BA交y軸于E點(diǎn)，貝U / AOE=45 -/ AOM , / CON=90 -45 -Z AOM=45 -/ AOM ,/ AOE=Z CON.又 OA=OC, / OAE=180 -90 =90° = / OCN.OAEAOCNI.，OE=ON, AE=CN又 /

4、MOE=Z MON=45 , OM=OM ,.OMEAOMN. . MN=ME=AM+AE.MN=AM+CN ,.尸MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.，在旋轉(zhuǎn)正方形 OABC的過程中，p值無變化.考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).2.如圖，AB為。的直徑，點(diǎn) E在。上，過點(diǎn)E的切線與 AB的延長線交于點(diǎn) D,連接BE,過點(diǎn)。作BE的平行線，交。于點(diǎn)F,交切線于點(diǎn) C,連接AC(1)求證：AC是。的切線；(2)連接EF,當(dāng)/D= 。時(shí)，四邊形FOBE是菱形.【答案】(1)見解析；(2) 30.【解析】 【分析】(1)由等角的轉(zhuǎn)換證明出OCA二OCE ,根據(jù)圓的位置關(guān)系證得 AC是。的切線

5、.(2)根據(jù)四邊形 FOBE是菱形，得到 OF=OB=BF=EF得證 OBE為等邊三角形，而得出 BOE 60 ,根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出答案 .【詳解】(1)證明：.CD與。相切于點(diǎn)E,OE CD , CEO 90 , 又.OC PBE ,COE OEB, /OBE=/ COA .OE=OB,OEB OBE , COE COA,y., oc=oc oa=oe OCA0 OCE(SAS , CAO CEO 90 ,又 AB為。O的直徑，.AC為。O的切線；(2)解：二四邊形FOBE是菱形，OF=OB=BF=EF，OE=OB=BEOBE為等邊三角形，BOE 60 ,而OE CD,D 30 .故答

6、案為30.【點(diǎn)睛】本題主要考查與圓有關(guān)的位置關(guān)系和圓中的計(jì)算問題，熟練掌握圓的性質(zhì)是本題的解題關(guān)Ir3.如圖，已知 4ABC中，AB=AC, ZA=30°, AB=16,以AB為直徑的。與BC邊相交于點(diǎn)D,與AC交于點(diǎn)F,過點(diǎn)D作DEL AC于點(diǎn)E.(1)求證：DE是。的切線；(2)求CE的長；(3)過點(diǎn)B作BG/ DF,交。于點(diǎn)G,求弧BG的長.【答案】(1)證明見解析(2) 8-4 J3 (3) 4兀【解析】【分析】(1)如圖1,連接AD, OD,由AB為。O的直徑，可得 AD± BC,再卞據(jù)AB=AC,可得 BD=DC,再卞K據(jù) OA=OB,則可得 OD/ AC,繼而

7、可得 DEX OD,問題得證；(2)如圖2,連接BF,根據(jù)已知可推導(dǎo)得出 DE=- BF CE=EF根據(jù)/A=30°, AB=16,可2得BF=8,繼而得DE=4,由DE為。的切線，可得 ED2=EF?AE即42=CE? (16-CE),繼 而可求得CE長；(3)如圖3,連接OG,連接AD,由BG/ DF,可得/ CBG=Z CDF=30 ,再根據(jù) AB=AC可 推導(dǎo)得出Z OBG=45 ,由OG=OB,可得Z OGB=45 ,從而可得/ BOG=90 ,根據(jù)弧長公式即 可求得？G的長度.【詳解】(1)如圖1,連接AD, OD；.AB為。的直徑，/ ADB=90 ；即 ADXBC,

8、.AB=AC,BD=DC, .OA=OB, .OD/AC, .DEXAC, DEXOD,/ ODE=/ DEA=90 : .DE為。O的切線；(2)如圖2,連接BF,.AB為。的直徑，/ AFB=90 ,° .BF/ DE, .CD=BD,1 _ _. DE=- BF, CE=EF2 / A=30 ,° AB=16,.BF=8,.DE=4,. DE為。O的切線，ED2=EF?AE.-42=CE? (16-CE),.CE=8-4 收 CE=8+4/3 (不合題意舍去);(3)如圖3,連接OG,連接AD, 1. BG/ DF,/ CBG=Z CDF=30,°.AB=A

9、C,/ ABC=Z C=75 ；/ OBG=75 - 30 =45 ； ,.OG=OB,/ OGB=Z OBG=45 ；/ BOG=90 ； BG的長度=901808一=4 兀.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題，涉及了切線的判定、三角形中位線定理、圓周角定理、弧長公式等，正確添加輔助線、熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵4.如圖，四邊形ABCD是。的內(nèi)接四邊形，AB=CD.（1）如圖（1），求證:AD/ BC;（2）如圖（2），點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，弦DG/ AB,交BC于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)M,求證:AE=2DF;在（2）的條件下，若DG平分/ ADC,GE=5/3 ,tan / ADF=43，求。O

10、的半徑。0(3*網(wǎng)【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3） JT29【解析】試題分析：（1）連接AC.由弦相等得到弧相等，進(jìn)一步得到圓周角相等，即可得出結(jié)論.（2）延長AD到N,使DN=AD,連接NC.得到四邊形 ABED是平行四邊形，從而有 AD=BE, DN=BE.由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到Z NDC=Z B,即可證明 MBE ACND,得到AE=CN,再由三角形中位線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.（3）連接BG,過點(diǎn)A作AHLBC,由（2）知/AEB=/ANC,四邊形ABED是平行四邊 形，得到AB=DE.再證明ACDE是等邊三角形，ABGE是等邊三角形，通過解三角形 ABE, 得到AB,

11、 HB, AH, HE的長，由EC=DE=AB,得到HC的長.在 RtAHC中，由勾股定理 求出AC的長.作直徑AP,連接CP,通過解4APC即可得出結(jié)論.試題解析：解：（1）連接 AC. AB=CD, 弧 AB視 CD, z. ZDAC=ZACB, .AD/ BC.(2)延長 AD至ij N,使 DN=AD,連接 NC. .AD/ BC, DG/ AB, 二.四邊形 ABED是平行四邊形，AD=BE,，DN=BE. ABCD是圓內(nèi)接四邊形，./NDO/B. / AB=CD,1.MBECND,AE=CN. / DN=AD, AF=FQDF=-CN, ，AE=2DF.H (7)(3)連接BG,過

12、點(diǎn)A作AHBC,由(2)知/AEB=/ANC,四邊形ABED是平行四邊 形，AB=DE. DF/CN, ，/ADF=/ ANC, . / AEB=/ADF, ，tan/AEB= tan Z ADF=4>/3 , DG 平分/ADC, . / ADG=/CDG. AD/ BC,/ ADG=/CED,/NDC=/DCE . / ABO/NDC, . / ABC=/DCE. . AB/DG, . . / ABC=/DEC, / DEC=Z ECD=Z EDC,工DE是等邊三角形， . AB=DE=CE -/ GBC=Z GDC=60 ;/G=/DCB=60； . ABGE 是等邊三角形，BE=

13、 GE=5，3 . / tan Z AEB= tan / ADF= 4 J3 ,設(shè) HE=x，貝U AH=473x .ZABE=Z DEC=60 °, ，/BAH=30 °, . . BH=4x, AB=8x,，4x+x=5 石，解得：x=T3 .AB=8V3, HB=4T3, AH=12, EC=DE=AB=8>/3, HC=HE+EC= 73 83 = 9J3.在 RtA AHC 中，ac= Jah2 hc2 J122 (9峋2 =3而.AC作直徑A巳連接CP,/ ACP=90°,/ P=ZABC=60 ,sin/ P=,APm ACAP - sin60

14、 oo的半徑是J129 .5.已知：如圖， ABC中，AC=3, /ABC=30°.(1)尺規(guī)作圖：求作 ABC的外接圓，保留作圖痕跡，不寫作法;試題分析：(1)按如下步驟作圖： 作線段AB的垂直平分線； 作線段BC的垂直平分 線；以兩條垂直平分線的交點(diǎn) 。為圓心，OA長為半圓畫圓，則圓 。即為所求作的圓. 如圖所示(2)要求外接圓的面積，需求出圓的半徑，已知AC= 3,如圖弦AC所對的圓周角是/ABC=30。，所以圓心角/AOC=60。，所以？AOC是等邊三角形，所以外接圓的半徑是3故可求得外接圓的面積. . AC=3, /ABC=30,°Z AOC=60 ； .AOC是

15、等邊三角形，圓的半徑是3, 圓的面積是S=nt2=9兀6.如圖所示，以 RtABC的直角邊AB為直徑作圓O,與斜邊交于點(diǎn) D, E為BC邊上的中 點(diǎn)，連接DE.(1)求證：DE是。的切線；(2) 連接OE, AE,當(dāng)/CAB為何值時(shí)，四邊形 AOED是平行四邊形？并在此條件下求 sin/CAE 的值.【答案】 見解析；(2) _10.10【解析】分析：(1)要證 DE是。的切線，必須證 ED± OD,即/EDB+/ ODB=90(2)要證AOED是平行四邊形，則 DE/ AB, D為AC中點(diǎn)，又BD± AC,所以 ABC為等 腰直角三角形，所以 /CAB=45,再由正弦的概

16、念求解即可.詳解：(1)證明：連接O、D與B、D兩點(diǎn)，.BDC是RtA ,且E為BC中點(diǎn)，/ EDB=Z EBD. ( 2 分)又 OD=OB且/ EBD+Z DBO=90 , / EDB+Z ODB=90 : .DE是。O的切線.(2)解： / EDO=Z B=90°,若要四邊形AOED是平行四邊形，則 DE/ AB, D為AC中點(diǎn)，又 ; BD± AC, .ABC為等腰直角三角形./ CAB=45 :過E作EHI±AC于H,設(shè) BC=2k,則 EH=(k, AE=/5k,EH 10 sin / CAE .AE 10點(diǎn)睛：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切

17、線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心 和這點(diǎn)(即為半徑)，再證垂直即可.7.如圖，ABC 中，ZA=45°, D 是 AC邊上一點(diǎn)，。經(jīng)過 D、A、B 三點(diǎn)，OD/ BC. (1)求證：BC與。相切；(2)若 OD=15, AE=7,求 BE的長.【答案】(1)見解析；(2)18.【解析】分析：(1)連接OB,求出/ DOB度數(shù)，根據(jù)平行線性質(zhì)求出/CBO=90,根據(jù)切線判定得出即可；(2)延長BO交。于點(diǎn)F,連接AF,求出/ABF,解直角三角形求出 BE.詳解：(1)證明：連接OB.-.1 / A=45 ,°/ DOB=90 :1. OD/ BC, / DOB+/ CBO=1

18、80 :/ CBO=90 : 直線BC是。O的切線.(2)解：連接BD.則ODB是等腰直角三角形，/ODB=45； BD=/1OD=15/l, . /ODB=/ A, /DBE=/ DBA,.-.DBEAABD,BD2=BE?BA(15'g 2= (7+BE) BE, .BE=18 或-25 (舍棄)， .BE=18.點(diǎn)睛：本題考查了切線的判定，圓周角定理，解直角三角形等知識點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大.8.如圖， ABC內(nèi)接于OO,弦ADLBC,垂足為H,連接 OB.(1)如圖 1,求證：/DAC=/ ABO;(2)如圖2,在弧AC上取點(diǎn)

19、F使/CAF=/ BAD,在弧AB取點(diǎn)G,使AG/ OB,若/ BAC=6C0, 求證:GF=GD;(3)如圖3,在(2)的條件下，AF、BC的延長線相交于點(diǎn) E若AF： FE=1:9,求sin/ADG的值。，一一一一一11【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）【14【解析】試題分析：（1）延長BO交。于點(diǎn)Q,連接AQ.由圓周角定理可得：/AQ&/ACB,再由等角的余角相等即可得出結(jié)論；（2）證明4DFG是等邊三角形即可；（3）延長GA,彳FQ±AG,垂足為Q,作ON，AD,垂足為N,作OM，BC,垂足為 M, 延長AO交。于點(diǎn)R,連接 GR/DP，AG, DK,AE

20、,垂足為 P、K.設(shè)AF=k,則FE=9k, AE=10k,在 4AHE 中，AH=5k.設(shè) NH=x,貝（J AN=5k-x, AD=10k-2x.在 AQF中， AF=k, AQ=k , FQ=K3k.由（2）知：4GDF是等邊三角形，得到 GD=GF=DF,進(jìn)而得到 22AG=9k-2x.OM=NH=x, BC=2V3x, GF=BC=2V3x,在 AGQF中，GQ=AG+AQ=19 k-2x, QF=k, 227,-11,_ _ _GF=2V3x,由勾股定理解出 x -k ,得至ij AG=9k-2x=k, AR=2OB=4OM=4x=7k.在42 GAR中，由sin/ADG=sin/

21、R即可得出結(jié)論.試題解析：解：（1）證明：如圖1,延長BO交。O于點(diǎn)Q,連接AQ. BQ 是。直徑，./QAB=900. AD± BC,Z AHC=900.,弧 AB=M AB, . Z AQB=ZACB. / AQB+Z ABO=900, / ACb/ CAD=900/ ABO=Z CAD（2）證明：如圖2,連接DF. AG/OB, . . / ABO=/BAG. / Z ABO=ZCAD, . / CAD=/BAG./ BAO600,/ BAD+Z CAD=Z BAD+Z BAG=600,即Z GAD=Z BAC=60 .° / BAD=/CAF. . . / CAF+

22、/CAD=60°,Z GAD=Z DAF=600,/ DGF=Z DAF=60 :弧 GD=MGD,ZGAD=ZGFD=600, . . / GFD=/DGF=600, . . DFG是等邊三角形，.GD=GF.(3)如圖3,延長GA,彳FQ, AG,垂足為 Q,彳ON± AD,垂足為N,作OMLBC,垂足為 M,延長 AO交。O于點(diǎn)R,連接GR/DPXAG, DK, AE,垂足為 P、K. AF: FE=1: 9, 設(shè) AF=k,貝U FE=9k, AE=10k.在 AHE中，Z E=300, AH=5k.設(shè) NH=x，貝U AN=5k-x. / ONXAD, . AD=

23、2AN=10k-2x又在 AQF 中， / GAF=1200, . / QAF=600, AF=k,AQ=- , FQ=j/lk22 ,由(2)知：4GDF是等邊三角形，.-.GD=GF=DF,Z GAD=Z DAF=600,，DP=DK,AGPDA FKD, AAPDAAKDFK=GP, AP=AK, ZADK=300,，AD=2AK=AP+AK=AF+AG .AG=10k-2x-k=9k-2x.1c 作 OMBC, ON LAD,OM=NH=x. / Z BOD=- Z BOC=Z BAC=6002 .BC=2BM=2石x. Z BOC=ZGOF, . GF=BC=2V3x在AGQF中，G

24、Q=AG+AQ=11k-2x, QF=3k, GF=2V3x GQ2FQ2GF22xx2會舍去11 .AG=9k-2x=k , AR=2OB=4OM=4x=7k, 2在 AGAR 中，/RGA=900,AG 11 . sin / ADG=Sin / R= = 一 .AR 14點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題.熟練掌握圓的基本性質(zhì)和常用的輔助線做法是解答本題的關(guān) 鍵.9.如圖，已知 BC是。O的弦，A是。外一點(diǎn)，4ABC為正三角形，D為BC的中點(diǎn)，M 為。上一點(diǎn)，并且 /BMC=60 .（1）求證：AB是。的切線；（2）若E, F分別是邊AB, AC上的兩個動點(diǎn)，且 ZEDF=120,。的半徑為2,試問

25、BE+CFW值是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.【答案】（1）證明見試題解析；（2） BE+CF的值是定值，為等邊 ABC邊長的一半.【解析】試題分析：（1）連結(jié)OB、OD,如圖1,由于D為BC的中點(diǎn)，由垂徑定理的推理得ODXBC, /BOD=/ COD,即可得到 / BOD=/ M=60° ,貝U / OBD=30°,所以 / ABO=90°,于 是得到AB是。的切線；（2）作DMXABT M, DNXACT N,連結(jié)AD,如圖2,由4ABC為正三角形，D為BC 的中點(diǎn)，得到 AD平分/BAC, /BAC=60 ,利用角平分線性質(zhì)得 DM=DN

26、,得ZMDN=120 :由/EDF=120得到 /MDE=/NDF,于是有 DME DNF,得到 ME=NF,得至I BE+CF=BM+CN 由 BM=1 BD, CN= OC,得至I BE+CF=1 BC 即可判斷 BE+CF的值是定值，為等邊 ABC邊長的一半.試題解析：（1）連結(jié) OB、OD,如圖1,D為BC的中點(diǎn)，.-.OD± BC, / BOD=/ COD,，/ODB=90；/ BMC=1/BOC, . / BOD=/M=60 °, . . / OBD=30 ； . ABC為正三2角形，/ABC=60, .ABO=60+30 =90°,ABXOB, .

27、AB 是。的切線；(2) BE+CF的值是為定值.作口“，人8于”，DNLAC于N,連結(jié) AD,如圖2, 丁 4ABC為正三角形，D為BC的中 點(diǎn)，.AD 平分/BAC, /BAC=60, . DM=DN , / MDN=120 , ./EDF=120, . / MDE=/NDF,在 ADME 和 4DNF 中，/ Z DME=Z DNF. DM=DN, /MDE=/NDF, .DMEADNF, . ME=NF, . . BE+CF=BM- EM+CN+NF=BM+CN,在 RDMB 中，/DBM=60； .BM=1BD,同理可得CN=OC,BE+CF=1 OB+- OC=- BC,. . B

28、E+CF22222的值是定值，為等邊 ABC邊長的一半.俊1圉2考點(diǎn)：1.切線的判定；2.等邊三角形的性質(zhì)；3.定值問題；4.探究型；5.綜合題；6.壓軸題.10.如圖1,等邊4ABC的邊長為3,分別以頂點(diǎn)B、A、C為圓心，BA長為半徑作 AC、 Cb、Ba，我們把這三條弧所組成的圖形稱作萊洛三角形，顯然萊洛三角形仍然是軸對 稱圖形，設(shè)點(diǎn)i為對稱軸的交點(diǎn).(1)如圖2,將這個圖形的頂點(diǎn) A與線段MN作無滑動的滾動，當(dāng)它滾動一周后點(diǎn)A與端點(diǎn)N重合，則線段 MN的長為 ;(2)如圖3,將這個圖形的頂點(diǎn) A與等邊4DEF的頂點(diǎn)D重合，且AB± DE, DE=2tt,將它 沿等邊4DEF的邊

29、作無滑動的滾動當(dāng)它第一次回到起始位置時(shí)，求這個圖形在運(yùn)動過程中 所掃過的區(qū)域的面積；(3)如圖4,將這個圖形的頂點(diǎn) B與。的圓心O重合，。的半徑為3,將它沿。的 圓周作無滑動的滾動，當(dāng)它第 n次回到起始位置時(shí)，點(diǎn)I所經(jīng)過的路徑長為 (請用含 n的式子表示)【答案】(1) 3q(2) 27兀；(3) 2，3n兀【解析】試題分析：(1)先求出AC的弧長，繼而得出萊洛三角形的周長為3兀，即可得出結(jié)論；(2)先判斷出萊洛三角形等邊 DEF繞一周掃過的面積如圖所示，利用矩形的面積和扇形 的面積之和即可；(3)先判斷出萊洛三角形的一個頂點(diǎn)和。重合旋轉(zhuǎn)一周點(diǎn)I的路徑，再用圓的周長公式即可得出.試題解析：解：

30、(1)二.等邊 4ABC的邊長為 3,Z ABC=Z ACB= / BAC=60°,603AC BC AB，"Ac 4*=村”.線段MN的長為lAc lBc lAB =3式故答案為3兀；(2)如圖1.等邊4DEF的邊長為2兀，等邊4ABC的邊長為3, ，S矩形aghf=2兀X 3=6,兀2由題意知，AB± DE, AG±AF,/ BAG=120°,，S扇形 BAG=1203-=3 5圖形在運(yùn)動過360程中所掃過的區(qū)域的面積為3 (S矩形aghf+S扇形bag) =3 (6兀+3/=27兀；(3)如圖2,連接BI并延長交 AC于D. I是4ABC

31、的重心也是內(nèi)心，./DAI=30°,AD=-AC=- , OI=AI= AD2=J3,，當(dāng)它第1次回到起始位置時(shí)，點(diǎn)I22 cos DAI cos30所經(jīng)過的路徑是以 。為圓心，OI為半徑的圓周，.當(dāng)它第n次回到起始位置時(shí)，點(diǎn)I所經(jīng)過的路徑長為n?2Tt?J3=2®nTt.故答案為2出門兀.點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題，主要考查了弧長公式，萊洛三角形的周長，矩形，扇形面積公式，解(1)的關(guān)鍵是求出 AC的弧長，解(2)的關(guān)鍵是判斷出萊洛三角形繞等邊4DEF掃過的圖形，解(3)的關(guān)鍵是得出點(diǎn)I第一次回到起點(diǎn)時(shí)，I的路徑，是一道中等難度的 題目.11.如圖，AC是。的直徑，OB是。的

32、半徑，PA切。于點(diǎn)A, PB與AC的延長線交 于點(diǎn) M , / COB= / APB.(1)求證：PB是。的切線；(2)當(dāng)MB=4, MC=2時(shí)，求。的半徑.【答案】（1）證明見解析；（2） 3.【解析】【分析】PB（1）根據(jù)題意/M + /P= 90°,而/COB=/APB,所以有/M + /COB= 90°,即可證明 是。的切線.（2）設(shè)圓的半徑為r,則OM=r+2,BM=4,OB=r,再根據(jù)勾股定理列方程便可求出r.【詳解】證明：（1） .AC是。的直徑，PA切。O于點(diǎn)A, PAX OA在 RtA MAP 中，/ M + / P= 90 ；而 ZCOB= / APB,

33、/ M+/ COB= 90 °,/ OBM=90 °,即 OB± BP,.PB是。的切線；（2）設(shè)OO的半徑為r,OM r 2 ,OB r ,BM 4Q OBM為直角三角形.OM2 OB2 BM2,即（r 2）2 r2+42解得：r=3,OO的半徑為3.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的切線問題，證明圓的切線有兩種思路一種是證明連線是半徑，另一種是證明半彳5垂直.12.如圖，AB為eO的直徑，C、D為eO上異于A、B的兩點(diǎn)，連接CD ,過點(diǎn) 作CE DB ,交CD的延長線于點(diǎn)E ,垂足為點(diǎn)E ,直徑AB與CE的延長線相交于點(diǎn)(1)連接 AC、AD ,求證： DAC ACF

34、180(2)若 ABD 2 BDC.求證：CF是e O的切線.3當(dāng)BD 6 , tan F 時(shí)，求CF的長.420【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；CF .3【解析】【分析】(1)根據(jù)圓周角定理證得 /ADB=90,即AD± BD,由CH DB證彳導(dǎo)AD/CF,根據(jù)平行線 的性質(zhì)即可證得結(jié)論；(2) 連接OC.先根據(jù)等邊對等角及三角形外角的性質(zhì)得出/3=2/ 1,由已知/4=2/1,得到/4=/3,則OC/ DB,再由CH DB,得到OC, CF,根據(jù)切線的判定即可 證明CF為。O的切線； 由 CF/ AD,證出 ZBAD=ZF,得出 tan Z BAD=tanZ F=-BD-

35、=-,求出 AD=4 BD=8,利 AD 43oc 3 用勾股定理求得 AB=10,得出OB=OC= 5,再由tanF=OC=,即可求出CF.CF 4【詳解】解：(1) AB是e O的直徑，且D為e O上一點(diǎn)，ADB 90 ,QCE DB, DEC 90 ,CF /AD ,DAC ACF 180 .(2)如圖，連接OC.Q OA OC ,12.Q 312,3 2 1.Q 4 2 BDC , BDC 1,4 2 1,43,OC /DB.QCE DB, OC CF .又QOC為e O的半徑，CF為e O的切線.D由（1）知 CF /AD ,BAD F , 3 tan BAD tanF -, 4BD

36、 3.AD 4Q BD 64AD - BD 8 , 3AB J6 82 10，OB 0c 5.QOC CF ,OCF 90 ,tanFOC CF解得CF20本題考查了切線的判定、解直角三角形、圓周角定理等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是(2)中，需要運(yùn)用三角函數(shù)、勾股定理和由平行線得出比例式才能得出結(jié)果.13.結(jié)果如此巧合！下面是小穎對一道題目的解答.題目：如圖，RABC的內(nèi)切圓與斜邊 AB相切于點(diǎn)D, AD=3, BD=4,求 ABC的面積.解：設(shè)4ABC的內(nèi)切圓分別與 AG BC相切于點(diǎn)E、F, CE的長為x.根據(jù)切線長定理，得 AE=AD=3, BF=BD=4, CF=CE=x根據(jù)

37、勾股定理，得(x+3)，(x+4) 2= (3+4) 2.整理，得 x2+7x=12.所以 2abc=AC?BC21 ， c、 ，=(x+3) (x+4)2(x2+7x+12)1,=X (12+12)2=12.小穎發(fā)現(xiàn)12恰好就是3X4即4ABC的面積等于 AD與BD的積.這僅僅是巧合嗎? 請你幫她完成下面的探索.已知：4ABC的內(nèi)切圓與 AB相切于點(diǎn) D, AD=m, BD=n.可以一般化嗎？(1)若/C=90,求證： ABC的面積等于 mn.倒過來思考呢？(2)若 AC?BC=2mn,求證 / C=90 .改變一下條件(3)若/C=60,用m、n表示4ABC的面積.42【答案】(1)證明見

38、解析；(2)證明見解析；(3) SaABC=J3mn；【解析】【分析】(1)設(shè)4ABC的內(nèi)切圓分別與 AC BC相切于點(diǎn)E、F, CE的長為x,仿照例題利用勾股定 理得(x+m) 2+(x+ n)2=(m+n)2,再根據(jù)Saabc= ：AC>BG即可證明&abc=mn.(2)由 AC?BC= 2mn ,得 x2+ (m+n) x=mn,因此 AC2+ BC2= ( x+ m) 2+ (x+n) 2= AB2,利用勾股定理逆定理可得 ZC= 90°. (3)過點(diǎn)A作AGBC于點(diǎn)G,在RtAACG中， 根據(jù)條件求出 AG、CG,又本!據(jù)BG=BC CG得到BG .在RtA

39、ABG中，根據(jù)勾股定理可得 x2 + (m + n) x=3mn,由此 Sabc= tBC?AG=餡mn.【詳解】 設(shè) ABC的內(nèi)切圓分別與 AC BC相切于點(diǎn)E、F, CE的長為x, 根據(jù)切線長定理，得： AE= AD= m、BF= BD= n、CF= CE= x,(1)如圖1,在RtABC中，根據(jù)勾股定理，得：( 整理，得：x2+ (m + n) x=mn,x+ m) 2+ ( x+ n) 2= (m+n) 2,(x+ n) = 2mn ,G,BG= BC- CG= (x+ n) - ； (x+ m),),CG= AC?cos60°=, (x+m),所以 S abc= AC?BC

40、 =-(x+ m) ( x+ n)工=-x2+ (m + n) x+ mn2=-(mn + mn)=mn;(2)由 AC?BC= 2mn ,得：(x+ m)整理，得：x2+ (m + n) x=mn, . AC2+ BC2= (x+m) 2+ ( x+ n) 2= 2x2+ (m+n) x + m2+n2= 2mn + m2+ n22=(m + n)= AB2,根據(jù)勾股定理逆定理可得 / C= 90。；(3)如圖2,過點(diǎn)A作AG, BC于點(diǎn)(m + n)在RtABG中，根據(jù)勾股定理可得:(x+ m) 2+ (x+ n)(x+m) 2整理，得：x2+ (m + n) x=3mn,Sa abc= BC?AG=4X (x+ n) ?近 (x+ m)22=眄b2+ (m+n) x+mn4,3 -，-、=x (3mn+ mn)4=73mn .【點(diǎn)睛】本題考查了圓中的計(jì)算問題、與圓有關(guān)的位置關(guān)系以及直角三角形，注意掌握方程思想與 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.14.已知：如圖，以等邊三角形ABC一邊AB為直徑的OO與邊AC、BC分別交于點(diǎn) D、E,過點(diǎn)D作DF，BC,垂足為F. （1）求證：DF為。的切線；（2）若等邊三角形 ABC【答案】（1）見解析（2）曼32【解析】試題分析：（1）連接DO,要證明DF為O O的切線只