(完整word版)高中數(shù)學(xué)基本不等式知識點歸納及練習(xí)題

1、高中數(shù)學(xué)基本不等式的巧用，a+b1 .基本不等式：abib< 2(1)基本不等式成立的條件：a>0, b>0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.2 .幾個重要的不等式c bb aa+ b c(1)a2+b2>2ab(a, bCR)； (2)- + ->2(a, b 同號)；(3)ab<2(a, bCR)；a b2a2一b2a b 2(a, bC R).3 .算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) a b設(shè)a>0, b>0,則a, b的算術(shù)平均數(shù)為一丁，幾何平均數(shù)為 朝，基本不等式可敘述為兩個 正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它的幾何平均數(shù).4 .利用基本不

2、等式求最值問題已知x>0, y>0,則(1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時、x+ y有最小值是2yp.(簡記：積定和最小)如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時，xy有最大值是pp(簡記：和定積最大)一個技巧運用公式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2+b2>2ab逆用就是ab&%2:一.%b至MOb(a-bN0)逆用就是abf. ayb 2(a.b>.0)等一還要注意:孤拆項:. 技巧和公式等號成立的條件等.兩個變形(1)a2J|b2>, a2b 2之a(chǎn)b缸b£R,當(dāng)縣僅當(dāng)包亍,b.Ml.等號).；.一丐1b&g

3、t;. ayb>. Vab>彳2彳(a 20M b> Q,當(dāng)且僅當(dāng)a三一 b 一時取笠號， a b這兩個不等式鏈用處很大一注意掌握它們 三個注意9(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視.要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可.(2)在運用基本不等式時，要特別注意“拆” “拼” “湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正” “定” “等”的條件.(3)連續(xù)使用公式時取等號的條件很嚴(yán)格，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致.應(yīng)用一：求最值例1:求下列函數(shù)的值域,2.1(1) y= 3x +芽一、1(2) y=x+-x解題技巧：技巧

4、一：湊項5例1 ：已知x ,求函數(shù)y4y4x21的最大值。4x 5技巧二：湊系數(shù)例1.當(dāng)0C克U4時，求y x(8 2x)的最大值。技巧三：分離2例3.求y x一7x10(x1)的值域。x 1技巧四：換元技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況,應(yīng)結(jié)合函數(shù)a f (x) x 的單倜性。x例：求函數(shù)yx2 5=5=的值域。x2 4練習(xí).求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時,x的值.(1) yx2 3x 1 /-,(x 0) yx2x1,xx 33 (3) y12sin x ,x (0,) sin x2,已知0x 1,求函數(shù)y "x(1 x)的最大值.；3. 0y Jx

5、(2 3x)的最大值.條件求最值1.若實數(shù)滿足aa bb 2 ,則33的最小值是變式：若log 4 x技巧六：整體代換:11心log 4 y 2 ,求的最小值.并求x, y的值x y多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。192：已知x 0,y 0,且1,求x y的最小值。 x y變式：(1)若x,y R且2x y 1,求11的最小值 x y(2)已知a,b, x, y R且a b ，求x y的最小值x y2技巧七、已知x, y為正實數(shù)，且x 2 + y =1,求x/ + y 2的最大值.1技巧八：已知 a, b為正頭數(shù)，2b+ab+a= 30,求函數(shù)丫=元 的取小

6、值.技巧九、取平方5、已知x, y為正實數(shù)，3x+ 2y=10,求函數(shù) W=4 +2y的最值. 應(yīng)用二：利用基本不等式證明不等式2221.已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證： a b c ab bc ca1)正數(shù) a, b, c 滿足 a+b+c=1,求證：(1 a)(1 b)(1 - c) >8abc111例 6：已知 a、b、c R ,且 a b c 1。求證：一 1 一 1 一 18abc應(yīng)用三：基本不等式與恒成立問題19例：已知x 0, y 0且一 一 1,求使不等式 x y m恒成立的實數(shù) m的取值范圍。 x y應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用：1a b、例：若 a b

7、1,P dlga lgb,Q (1g a 1g b), R lg()，則 P,Q, R的大小關(guān)系是 22解:(1) y=3x 2 + 2x7 封 2(2)當(dāng) x>0 時，y=x +j 3x 2 - 122 = J6 ，值域為乖1 > x - 1 =2; xx+oo)當(dāng) x<0 時， y=x+x= ( x-x ) w 2，值域為(一00, 2 U 2 , +8)解：因4x0 ,所以首先要“調(diào)整”符號，又(4xQx4x 0， y4x 21 5 4x 52)小 不是常數(shù)，所以對4x 2要進(jìn)行拆、湊項,4x ,32 3 15 4x當(dāng)且僅當(dāng)4x1r,即x 1時,5 4x上式等號成立，故

8、當(dāng)x 1時，丫由耿1。評注：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。解析：由口工,4知，2工 口，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x (8 2x) 8為定值，故只需將y x(8 2x)湊上一個系數(shù)即可。y三以”2力三g2廣部一2初1干號-2亍三2當(dāng)2或二8-2其，即x=2時取等號 當(dāng)x=2時，y x(8 2x)的最大值為8。評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值。解析一：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有(x+1)的項，再將其分離。# l+10 _

9、S+1廣十“二十力十42.：(x 1)4. x 19 (當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“=”號)解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令t =x+ 1,化簡原式在分離求最值。(t 1)2 7(t 1)+10 t2 5t 4=t當(dāng) x n -1 ,即 t=x + 1 2 口 時,(當(dāng)t=2即x=1時取“=”號)。評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為y mg(x)Ag(x)B(A0,B0) , g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運用基本不等式來求最值。t(tx2 411t (t 2)x2 4 t因為10,t - t1不在區(qū)間2,故等號不成立

10、，考慮單調(diào)性。1 -、-在區(qū)間t1,單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間2, 為單調(diào)遞增函數(shù)，故 y也。2所以，所求函數(shù)的值域為52,分析：“和”到“積”個縮小的過程，而且3a3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值,解：3a 和3b 都是正數(shù)，3a 3b >2J3a 3b 2'3a b 6當(dāng)3a 3b時等號成立，由a b 2及3a19錯解：Qx 0, y 0,且 1 1, x y錯因：解法中兩次連用基本不等式，在x y2'xy等號成立條件是x3b得a b 1即當(dāng)a b 1時，3a 3b的最小值是6.-9 x y 2廬2a 12 故 x y min 12。 x y. xy19 條件是即

11、y 9x,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用基本不等式處理問題時，列出 x y等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解：Q x0, y 0,- x9x10 6 10 16 y當(dāng)且僅當(dāng)yx9x , 時，上式等號成立，又y1,可得4, y 12 時，xy min 16。分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab<同時還應(yīng)化簡q + y 2中y2前面的系數(shù)為x1+y 22分析:卜面將x,1 +y2分別看成兩個因式:x 2 +(A 4 )2x 2 +匕22即 x1 + y 2 =2 x2這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑,性或基本不等式求解，

12、對本題來說，這種途徑是可行的； 件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值, 的途徑進(jìn)行。一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題二是直接用基本 不等式，對本題來說，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式,再用單調(diào)因已知條2b 2+30bb+ 1訃30-2b法. a- b+1 '302b-2ab= b=b+1令 t = b+1, 1 vt v 16, ab=一 .2 一. 一2t +34t31由 a>0得，0vb<1516、，16-，16 八=2 (t +-t- ) + 34 /t +-t- >2、/t =8 ab< 181 y y 18當(dāng)且僅當(dāng)t = 4,即

13、b=3, a=6時，等號成立。法二：由已知得：30-ab=a+2b-a + 2b>2-xj2abu2+22 u-30<0, -5啦 WuW3啦1ab< 18, . y>一1830 -ab>22-0b點評：本題考查不等式dab (a,b R )的應(yīng)用、不等式的解法及運算能力； 如何由已知不等式 ab a 2b 30(a,bR)出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵是尋找到a b與ab之間的關(guān)系，由此想到不等,、a b式 jab (a,b R ),這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含 ab的不等式，進(jìn)而解得 ab的范圍.2變式：1.已知a>0, b>0, ab (a+b) = 1,求

14、a+ b的最小值。2.若直角三角形周長為 1,求它的面積最大值。a+ b a 2+ b 2解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，一g <2,本題很簡單啊 +V2y w* y(聲)2+ (的)2=小=3x+ 2y =25解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和 為定值”條件靠攏。此0, W= 3x+2y+2啊必=10+2弧- 2y2 < 10+ h/3x ) 2 - (2y ) 2 = 10+(3x+2y) = 20 此竄=2鄧變式：求函數(shù)y '2- 5-2x(- x 5)的最大值。2 2解析：注意到2x 1與5

15、2x的和為定值。y2 ( 2x 1 ,5 2x)2 4 2, (2x 1)(5 2x) 4 (2x 1) (5 2x) 8又y 0,所以0 y 2也3當(dāng)且僅當(dāng)2x 1=5 2x ,即x -時取等號。故ymax 2衣。評注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件?？傊?，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等"，同時還要注意一些變形技巧，積 極創(chuàng)造條件利用基本不等式。分析：不等式右邊數(shù)字8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個“2”連乘，又1 1 L_a b_c 2 bc,可由此變形入手。 a a a a1 / 1 a b c 2 bc斛.Qa、b、c R , a b c 1。 一 1 a a a a上述三個不等