(完整word版)高中數(shù)學(xué)的八個(gè)有趣模型——搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球

1、八個(gè)有趣模型一一搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球類型一、墻角模型(三條線兩個(gè)垂直，不找球心的位置即可求出球半徑)圖1圖2圖3方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式圖4222(2R)2 a2 b2c2,即 2R J a2 b2 c2 ,求出 R例1 (1)已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為A. 16 B . 20 C . 244,體積為16,則這個(gè)球的表面積是(D . 32(2)若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為<3 ,則其外接球的表面積是解：(1) Va2h 16, a 2, 4R2 a222a h 4 4 16 24, S 24 ,選 C； 4R2 3 33 9, S 4 R2

2、 95MN,若側(cè)棱SA 2J3,則(3)在正三棱錐S ABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點(diǎn)，且 AM正三棱錐S ABC外接球的表面積是。 36解：引理：正三棱錐的對(duì)棱互垂直 。證明如下： 如圖(3) -1 ,取AB, BC的中點(diǎn)D,E ,連接AE,CD , AE,CD交于H ,連接SH ,則H是底面正三角形ABC的中心， SH 平面ABC , SH AB ,AC BC, ADBD, CD AB, AB 平面 SCD,AB SC,同理:BC SA, AC SB,即正三棱錐的對(duì)棱互垂直,本題圖如圖(3)-2,AM MN , SB/MN ,AM SB, AC SB, SB 平面 SAC,SB S

3、A, SB SC, SB SA, BC SA,SA 平面 SBC,SA SC,故三棱錐S ABC的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直，(2R)2 (2.3)2 (2.3)2(2.3)236 ,即 4R2 36 ,正三棱錐S ABC外接球的表面積是36(3)題-210 C.36、4、40 D. 33,那么它的外接球的表面積是（4）在四面體S ABC中，SA 平面ABC , BAC 120 ,SA AC 2, AB 1,則該四面體的外接球的表面積為（D ） A.11B.7（5）如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為（6）已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長(zhǎng)為 何體外接球的體積為1的等腰直角三角形

4、和邊長(zhǎng)為 1的正方形，則該幾解析:(4)在 ABC中，BC2 AC22AB 2ABBC cos120 7BCJ7 , ABC的外接球直徑為2rsinBCBAC（5）三條側(cè)棱兩兩生直,ab12bcabcac(6) (2R)b24222(2R)2 (2r)2 SA2)240萬設(shè)三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為24, a 3, b2 q D23c 3, R 4a,b,c ( a,b,cR ),則4,c 2, (2R)22.2a b229, S 4 R 29V 4 R33類型二、垂面模型（一條直線垂直于一個(gè)平面）,321 .題設(shè)：如圖5, PA平面ABC解題步驟：第一步：將 ABC畫在小圓面上， A為小圓直徑的一個(gè)端

5、點(diǎn)，作小圓的直 徑AD，連接PD ,則PD必過球心O ;第二步：O1為ABC的外心，所以O(shè)O1 平面ABC,算出小圓Q的半r （三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得asin Absin Bc1 2r), OO1 PA ；sinC2第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：(2R)2 PA2 (2r)2 2R P PA2 (2r)2 ； R2r2 OO12R ,r2 OO122.題設(shè)：如圖6, 7, 8, P的射影是 ABC的外心 三棱錐P ABC的三條側(cè)棱相等 三棱錐P ABC的底面 ABC在圓錐的底上，頂點(diǎn) P點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)P圖8-3解題步驟:第一步：確定球心 O的位置，取ABC的外心

6、Oi,則P,O,Oi三點(diǎn)共線;第二步：先算出小圓 O1的半徑AO1 r ,再算出棱錐的高 PO1 h （也是圓錐的高）第三步：勾股定理：OA2 O1A2 O1O2R2 （h R）2 r2 ,解出R方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓。例2 一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）CA. 3 B. 2C. 16D ,以上都不對(duì)3解：選 C, ( 3 R)2 1 R2, 3 2 3R R2 1 R2, 4 2.3R 0,23,S4 R2163類型三、切瓜模型（兩個(gè)平面互相垂直）圖9-1圖9-2P圖9-3圖9-4391 .題設(shè)：如圖9-1 ,平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC

7、為小圓的直徑）第一步：易知球心 。必是 PAC的外心，即 PAC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑AC 2r ;第二步：在 PAC中，可根據(jù)正弦定理 一c 2R,求出Rsin A sin B sin C2 .如圖9-2 ,平面PACOC2 O1C2 O1O23 .如圖9-3 ,平面PAC平面ABC ,且ABR2 r2 O1O2平面ABC ,且ABBC （即AC為小圓的直徑）AC 2R2O1O2BC （即AC為小圓的直徑），且P的射影是ABC的外心 三棱錐P ABC的三條側(cè)棱相等三棱P ABC的底面 ABC在圓錐的底上，頂點(diǎn) P點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)解題步驟:第一步：確定球心 O的位置，取 ABC的外心

8、O1,則P,O,O1三點(diǎn)共線;第二步：先算出小圓 O1的半徑AO1 r ,再算出棱錐的高 PO1 h （也是圓錐的高）；第三步：勾股定理： OA2 O1A2 O1O2R2 （h R）2 r2 ,解出R4.如圖9-3 ,平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC為小圓的直徑），且PA AC ,則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：（2R）2 PA2 （2r）22R VPA2 （2r）2 ； R2 r2 OOi2R 、r2 OQ2例3 （1）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為1,底面邊長(zhǎng)為2J3,則該球的表面積為 （2）正四棱錐S ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為 J2 ,各頂點(diǎn)都在同

9、一個(gè)球面上，則此球的體積為解：（1）由正弦定理或找球心都可得 2R 7, S 4 R2 49 ,4（2）萬法一：找球心的位置，易知r 1 , h 1, h r ,故球心在正萬形的中心 ABCD處，R 1, V 一3方法二：大圓是軸截面所的外接圓，即大圓是SAC的外接圓，此處特殊， Rt SAC的斜邊是球半徑，42R 2, R 1 , V (3)在三麴t P ABC 中，PA PB PCJ3,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60 ,則該三棱錐外接球的體積為（A.B.C. 4D.解：選D,圓錐A, B,C在以r3八J的圓上,2（4）已知三棱錐S ABC的所有頂點(diǎn)都在球徑，且SC 2 ,則此棱錐的體積

10、為（O的求面上,AABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球。的直B.D.解：OO1 ,R2 r21（；）23, 6 一，h32.633 sh1招2 6工類型四、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）10-3,直三棱柱內(nèi)接于球圖 10-2 ,圖題設(shè)：如圖10-1 , 是任意三角形）（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以第一步：確定球心。的位置，。1是 ABC的外心，則OOi 平面 ABC ;第二步：算出小圓Oi的半徑AOi1r , OOAA121.h ( AA12h也是圓柱的高）；22r Rr2 g)2 ,解出 R_ 2 _ 22 _ 2h第三步：勾股定理:OA O1A O1OR (-)2例

11、4 （1） 一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上， 9且該六棱柱的體積為 -，底面周長(zhǎng)為3,則這個(gè)球的體積為 81解：設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為 a ,正六棱柱的圖為 h,底面外接圓的關(guān)徑為 r ,則a ，23123.33.39- c 2.321、2.底面積為 S 6 （一） , V柱 Sh h 一， h v3 , R （） （） 1 ,4288822R 1,球的體積為V(2)直三棱柱 ABC A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB AC AA 2 , BAC 120 ,則此球的表面積等于2、3解：BC 2<3 , 2r 4, r 2, R ，5

12、, S 20sin120(3)已知 EAB所在的平面與矩形 ABCD所在的平面互相垂直，EA EB 3, AD 2, AEB 60 ,則多面體E ABCD的外接球的表面積為。 16解析：折疊型，法一：EAB的外接圓半徑為r1 J3, OO1 1,DR <1 3 2 ；法二：01M今,202DR2-4, R 2, S 16(4)在直三棱柱ABC的表面積為AB1cl 中，AB 4,AC 6, A -,AA1 316034則直三棱柱 ABC A1 B1cl的外接球解析：BC2 16 36 2 4 6 1 28, BC 2v7, 2r22,7 4. 72. 7r ,3332R22AA1、2r（一

13、）28340160 S -類型五、折疊模型題設(shè)：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊 (如圖11)圖1110第一步：先畫出如圖所示的圖形，將BCD畫在小圓上，找出 BCD和 ABD的外心H1和H2;第二步：過H1和H2分別作平面BCD和平面ABD的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心 O,連接OE,OC ；2.22第二步：解 OEHi,算出OHi,在Rt OCHi中，勾股定理： OH1 CHi oc例5三棱錐P ABC中，平面PAC 平面ABC , PAC和 ABC均為邊長(zhǎng)為2的正三角形，則三棱 錐P ABC外接球的半徑為.解析：2r1 2r22sin 60r1R202 H2r121 4 5-

14、 .15 ,R 3 3 33法二：02HO1HAH1,R2 AO2 AH2 01H2 0102 - , R3,15類型六、對(duì)棱相等模型（補(bǔ)形為長(zhǎng)方體）題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對(duì)棱分別相等， 求外接球半徑 第一步：畫出一個(gè)長(zhǎng)方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對(duì)棱；(AB CD , AD BC , AC BD )第二步：設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a,b,c, AD BC x, AB CD y, AC BD z ,列方程組,2ab22cb22c2a2x2y2z22(2R) ab2補(bǔ)充:VaBCDabc1abc61 .4 abc3第三步：根據(jù)墻角模型,2R 222a2b2c2.x y2 z圖12R

15、2222222x y zx y z,R J,求出 R, 88例如，正四面體的外接球半徑可用此法。例6 （1）棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形 （正四面體的截面）的面積是 （2） 一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（A 遍 B . C .434. 312解：（1）截面為 PCO1,面積是J2 ；（2）高h(yuǎn) R 1 ,底面外接圓的半徑為R 1,直徑為2R 2,設(shè)底面邊長(zhǎng)為a,則2R a 2, a <3, S a2 33 sin 6044（1）題解答圖 ，1三棱錐的體積為V

16、 Sh3312(3)在三棱錐 A BCD中，AB CD 2,AD BC 3,AC BD 4,則三棱錐 A BCD外接球的表面積為29解析：如圖12,設(shè)補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，三個(gè)長(zhǎng)度為三對(duì)面的對(duì)角線長(zhǎng),設(shè)長(zhǎng)寬高分別為a,b,c,則a2 b2 9,b222c a 162(a222_b c ) 9 4 16 29,2(a2 bb2292，4R229一,S229(4)如圖所示三棱錐 A BCD ,其中AB CD 5, AC BD6,ADBC7,則該三棱錐外接球的表面積為.解析：同上，設(shè)補(bǔ)形為長(zhǎng)方體,三個(gè)長(zhǎng)度為三對(duì)面的對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)長(zhǎng)寬高分別為2(a2 b2 c2) 25 36 49 110, a2 b2 c2

17、55, 4R2 55,【55 ;對(duì)稱幾何體；放到長(zhǎng)方體中】(5)正四面體的各條棱長(zhǎng)都為 J2,則該正面體外接球的體積為a,b,c,解析：這是特殊情況,但也是對(duì)棱相等的模式，放入長(zhǎng)方體中,55類型七、兩直角三角形拼接在一起(斜邊相同，也可看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐)模型PCO圖13題設(shè)： APB ACB 90 ,求三棱錐PABC外接球半徑(分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)O,連接OP,OC ,則 OA OB OC-1OP -AB, 2。為三棱錐P ABC外接球球心，然后在 OCP中求出半徑)，當(dāng)看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐時(shí)與折起成的二面角大小無關(guān)，只要不是平角球半徑都為定值。例7 (1)在矩形A

18、BCD中，AB 4, 則四面體ABCD的外接球的體積為(BC3,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角 B AC D ,A.建12解：(1) 2R AC 5,(2)在矩形ABCD中,的外接球的表面積為125. 9R V2AB 2, BC3R3)1256 4125383,沿BD將矩形1253125,選C6ABCD折疊，連接AC ,所得三棱錐 A BCD解析：(2) BD的中點(diǎn)是球心O, 2R BD 43 , S 4 R2 1317圖14圖15類型八、錐體的內(nèi)切球問題1.題設(shè)：如圖14,三棱錐P ABC上正三棱錐，求其外接球的半徑。第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，E,H分別是兩個(gè)三角形的外心；1 一

19、_第二步：求DH BD, PO PH r, PD是側(cè)面 ABP的高； 3第三步：由 POE相似于 PDH ,建立等式： 店 PO,解出r DH PD2 .題設(shè)：如圖15,四棱錐P ABC上正四棱錐，求其外接球的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，P,O,H三點(diǎn)共線；1第二步：求FH BC, PO PH r , PF是側(cè)面PCD的高； 2第三步：由 POG相似于 PFH ,建立等式：OG 受，解出 HF PF3 .題設(shè)：三棱錐 P ABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等第一步：先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為 r ,建立等式VP ABCABCVOPABPACVO PBCVP ABC1sS ABC3_ SPAB r. SPAC33一(S ABC3S PABSPACS PBC ) r第三步:解出3VP ABCSo abcSo pabSo pacSo pbc習(xí)題：1 .若三棱錐A. 3ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直， 且SA 2 ,SB SC4,則該三棱錐的外接球半徑為解：【A