初一奧數(shù)練習(xí)題及解答

1、初一奧數(shù)練習(xí)題一甲多開支100元，三年后負(fù)債600元求每人每年收入多少？S 的末四位數(shù)字的和是多少？ 4一個(gè)人以3千米/小時(shí)的速度上坡，以6千米/小時(shí)的速度下坡，行程12千米共用了3小時(shí)20分鐘，試求上坡與下坡的路程5求和： 6證明：質(zhì)數(shù)p 除以30所得的余數(shù)一定不是合數(shù)8若兩個(gè)整數(shù)x ，y 使x 2+xy+y2能被9整除，證明：x 和y 能被3整除9如圖195所示在四邊形ABCD 中，對角線AC ，BD 的中點(diǎn)為M ，N ，MN 的延長線與AB 邊交于P 點(diǎn)求證：PCD 的面積等于四邊形ABCD 的面積的一半 解答： 所以 x=5000(元 所以S 的末四位數(shù)字的和為1995=24 3因?yàn)?

2、a-b 0，即a b 即當(dāng)ba 0或b a 0時(shí)，等式成立 4設(shè)上坡路程為x 千米，下坡路程為y 千米依題意則 有由有2x+y=20， 由有y=12-x將之代入得 2x+12-x=20 所以 x=8(千米 ，于是y=4(千米 5第n 項(xiàng)為 所以 6設(shè)p=30qr ，0r 30因?yàn)閜 為質(zhì)數(shù)，故r 0，即0r 30假設(shè)r 為合數(shù)，由于r 30，所以r 的最小質(zhì)約數(shù)只可能為2，3，5再由p=30qr 知，當(dāng)r 的最小質(zhì)約數(shù)為2，3，5時(shí)，p 不是質(zhì)數(shù)，矛盾所以，r 一定不是合數(shù) 7設(shè) 由式得(2p-1(2q-1=mpq，即(4-mpq+1=2(p+q可知m 4由，m 0，且為整數(shù)，所以m=1，2，

3、3下面分別研究p ，q (1若m=1時(shí)，有 解得p=1，q=1，與已知不符，舍去 (2若m=2時(shí)，有 因?yàn)?p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2時(shí)無解 (3若m=3時(shí)，有 解之得 故 p q=8 8因?yàn)閤 2+xy+y2=(x-y2+3xy由題設(shè)，9(x2+xyy 2 ，所以3(x2xy y 2 ，從而3(x-y2因?yàn)?是質(zhì)數(shù)，故3(x-y進(jìn)而9(x-y2由上式又可知，93xy ，故3xy 所以3x 或3y 若3x ，結(jié)合3(x-y，便得3y ；若3y ，同理可得，3x 9連結(jié)AN ，CN ，如圖1103所示因?yàn)镹 是BD 的中點(diǎn)，所以 上述兩式相加 另一方面，S PCD =SC

4、ND S CNP S DNP 因此只需證明S AND S CNP S DNP 由于M ，N 分別為AC ，BD 的中點(diǎn)，所以S CNP =SCPM -S CMN =SAPM -S AMN =SANP 又S DNP =SBNP ，所以S CNP S DNP =SANP +SBNP =SANB =SAND 初一奧數(shù)練習(xí)題二1已知3x 2-x=1，求6x 3+7x2-5x 2000的值2某商店出售的一種商品，每天賣出100件，每件可獲利4元，現(xiàn)在他們采用提高售價(jià)、減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，這種商品每漲價(jià)1元，每天就少賣出10件試問將每件商品提價(jià)多少元，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少元？3

5、如圖196所示已知CB AB ，CE 平分BCD ，DE 平分CDA ，12=90°求證：DA AB 4已知方程組 的解應(yīng)為 一個(gè)學(xué)生解題時(shí)把c 抄錯(cuò)了，因此得到的解為 求a 2b 2c 2的值5求方程xy -2x +y =4的整數(shù)解6王平買了年利率7.11的三年期和年利率為7.86的五年期國庫券共35000元，若三年期國庫券到期后，把本息再連續(xù)存兩個(gè)一年期的定期儲蓄，五年后與五年期國庫券的本息總和為47761元，問王平買三年期與五年期國庫券各多少？(一年期定期儲蓄年利率為5.22 7對k ，m 的哪些值，方程組 至少有一組解？8求不定方程3x 4y 13z=57的整數(shù)解9小王用5元

6、錢買40個(gè)水果招待五位朋友水果有蘋果、梨子和杏子三種，每個(gè)的價(jià)格分別為20分、8分、3分小王希望他和五位朋友都能分到蘋果，并且各人得到的蘋果數(shù)目互不相同，試問他能否實(shí)現(xiàn)自己的愿望？ 解答：1原式=2x(3x2-x+3(3x2-x-2x+2000 =2x×13×1-2x+2000=20032原來每天可獲利4×100元，若每件提價(jià)x 元，則每件商品獲利(4x 元，但每天賣出為(100-10x件如果設(shè)每天獲利為y 元，則y (4x(100-10x=400100x-40x-10x 2=-10(x2-6x 9 90400=-10(x-32490 所以當(dāng)x=3時(shí)，y 最大=4

7、90元，即每件提價(jià)3元，每天獲利最大，為490元 3因?yàn)镃E 平分BCD ，DE 平分ADC 及12=90°(圖1104 ，所以ADC BCD=180°， 所以 AD BC 又因?yàn)?AB BC ， 由， AB AD 4依題意有 所以 a 2+b2+c2=345x y -2x +y =4，即 x (y -2+(y -2=2， 所以(x +1(y -2=2因?yàn)閤 10，且x ，y 都是整數(shù)，所以 所以有 6設(shè)王平買三年期和五年期國庫券分別為x 元和y 元，則因?yàn)?y=35000-x，所以 x(10.0711×3(10.0522 2+(35000-x(1+0.0786&

8、#215;5=47761， 所以 1.3433x 48755-1.393x=47761， 所以 0.0497x=994， 所以 x=20000(元 ，y=35000-20000=15000(元 7因?yàn)?(k1x m-4， m 為一切實(shí)數(shù)時(shí)，方程組有唯一解當(dāng)k=1，m=4時(shí)，的解為一切實(shí)數(shù)，所以方程組有無窮多組解當(dāng)k=1，m 4時(shí)，無解所以，k 1，m 為任何實(shí)數(shù)，或k=1，m=4時(shí)，方程組至少有一組解8由題設(shè)方程得z 3m-y x=19-y-4(3m-y-m =19+3y-13m 原方程的通解為 其中n ，m 取任意整數(shù)值9設(shè)蘋果、梨子、杏子分別買了x ，y ，z 個(gè)，則 消去y ，得12x-

9、5z=180它的解是x=90-5t，z=180-12t代入原方程，得y=-23017t 故x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12tx=20，y=8，z=12 因此，小王的愿望不能實(shí)現(xiàn)，因?yàn)榘此囊?，蘋果至少要有123+456=2120個(gè)初一奧數(shù)練習(xí)題三 1解關(guān)于x 的方程2解方程 其中a b c 03求(8x3-6x 2+4x-73(2x5-3 2的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和 4液態(tài)農(nóng)藥一桶，倒出8升后用水灌滿，再倒出混合溶液4升，再用水灌滿，這時(shí)農(nóng)藥的濃度為72，求桶的容量5滿足-1.77x=-2x的自然數(shù)x 共有幾個(gè)？這里x表示不超過x 的最大整數(shù)，例如-5.6=-6，3=3

10、6設(shè)P 是ABC 內(nèi)一點(diǎn)求：P 到ABC 三頂點(diǎn)的距離和與三角形周長之比的取值范圍7甲乙兩人同時(shí)從東西兩站相向步行，相會時(shí)，甲比乙多行24千米，甲經(jīng)過9小時(shí)到東站，乙經(jīng)過16小時(shí)到西站，求兩站距離8黑板上寫著三個(gè)數(shù)，任意擦去其中一個(gè)，將它改寫成其他兩數(shù)的和減1，這樣繼續(xù)下去，最后得到19，1997，1999，問原來的三個(gè)數(shù)能否是2，2，2？9設(shè)有n 個(gè)實(shí)數(shù)x 1，x 2，x n ，其中每一個(gè)不是+1就是-1，且 求證：n 是4的倍數(shù) 解答：1化簡得6(a-1x=3-6b+4ab，當(dāng)a 1時(shí)， 2將原方程變形為 由此可解得x=ab+c3當(dāng)x=1時(shí)，(8-6+4-73(2-12=1即所求展開式中各

11、項(xiàng)系數(shù)之和為1 依題意得 去分母、化簡得7x 2-300x+800=0，即7x-20(x-40=0， 5若n 為整數(shù)，有nx=nx，所以-1.77x=-2x0.23x=-2x+0.23x 由已知-1.77x=-2x，所以-2x=-2x+0.23x， 所以 0.23x=0 又因?yàn)閤 為自然數(shù)，所以00.23x 1，經(jīng)試驗(yàn)，可知x 可取1，2，3，4，共4個(gè) 6如圖1105所示在PBC 中有BC PB PC ， 延長BP 交AC 于D 易證PB PC AB AC 由， BC PB PC AB+AC， 同理 AC PA PC AC BC ， AB PA PB AC AB 得AB BC CA 2(PA

12、PB PC 2(ABBC CA 所以 7設(shè)甲步行速度為x 千米/小時(shí)，乙步行速度為y 千米/小時(shí)，則所求距離為(9x+16y千米依題意得由得16y 2=9x2， 由得16y=249x ，將之代入得 即 (249x 2=(12x2解之得 于是 所以兩站距離為9×816×6=168(千米 8答案是否定的對于2，2，2，首先變?yōu)?，2，3，其中兩個(gè)偶數(shù)，一個(gè)奇數(shù)以后無論改變多少次，總是兩個(gè)偶數(shù)，一個(gè)奇數(shù)(數(shù)值可以改變，但奇偶性不變 ，所以，不可能變?yōu)?9，1997，1999這三個(gè)奇數(shù)。 又因?yàn)?所以，k 是偶數(shù)，從而n 是4的倍數(shù)初一奧數(shù)練習(xí)題四1已知a ，b ，c ，d 都是正

13、數(shù)，并且a d a ，c d b 求證：ac bd ab 2已知甲種商品的原價(jià)是乙種商品原價(jià)的1.5倍因市場變化，乙種商品提價(jià)的百分?jǐn)?shù)是甲種商品降價(jià)的百分?jǐn)?shù)的2倍調(diào)價(jià)后，甲乙兩種商品單價(jià)之和比原單價(jià)之和提高了2，求乙種商品提價(jià)的百分?jǐn)?shù)3在銳角三角形ABC 中，三個(gè)內(nèi)角都是質(zhì)數(shù)求三角形的三個(gè)內(nèi)角 4某工廠三年計(jì)劃中，每年產(chǎn)量遞增相同，若第三年比原計(jì)劃多生產(chǎn)1000臺，那么每年比上一年增長的百分?jǐn)?shù)就相同，而且第三年的產(chǎn)量恰為原計(jì)劃三年總產(chǎn)量的一半，求原計(jì)劃每年各生產(chǎn)多少臺？z=x+y+y+1+x-2y+4， 求z 的最大值與最小值8從1到500的自然數(shù)中，有多少個(gè)數(shù)出現(xiàn)1或5？9從19，20，21

14、，98這80個(gè)數(shù)中，選取兩個(gè)不同的數(shù)，使它們的和為偶數(shù)的選法有多少種？ 解答：1由對稱性，不妨設(shè)b a ，則ac bd ac ad=a(cd ab 2設(shè)乙種商品原單價(jià)為x 元，則甲種商品的原單價(jià)為1.5x 元設(shè)甲商品降價(jià)y ，則乙商品提價(jià)2y 依題意有1.5x(1-y+x(12y =(1.5xx(12 ， 化簡得1.5-1.5y+1+2y=2.5×1.02 所以y=0.1=10， 所以甲種商品降價(jià)10，乙種商品提價(jià)203因?yàn)锳+B C=180°，所以A ，B ，C 中必有偶數(shù)唯一的偶質(zhì)數(shù)為2，所以C=2°所以A+B=178°由于需A ，B 為奇質(zhì)數(shù)，這樣

15、的解不唯一，如 4設(shè)每年增產(chǎn)d 千臺，則這三年的每一年計(jì)劃的千臺數(shù)分別為a-d ，a ，a d 依題意有解之得 所以三年產(chǎn)量分別是4千臺、6千臺、8千臺不等式組： 所以 x 2； 無解 6設(shè)原式為S ，則 所以 又0.112-0.001=0.111 因?yàn)?所以 =0.1057由x 1，y 1得 -1x 1，-1y 1 所以y 10，x-2y+4-1-2×1+4=10所以z=x+y+(y+1+(x-2y+4=x+yx-y 5 (1當(dāng)x+y+0時(shí)，z=-(x+yx-y+5=5-2y由-1y 1可推得35-2y 7，所以這時(shí)，z 的最小值為3、最大值為7 (2當(dāng)x+y0時(shí)，z=(xy+(x

16、-y+5=2x+5由-1x 1及可推得32x+57，所以這時(shí)z 的最小值為3、最大值為7 由(1，(2知，z 的最小值為3，最大值為78百位上數(shù)字只是1的數(shù)有100，101，199共100個(gè)數(shù)；十位上數(shù)字是1或5的(其百位上不為1 有2×3×10=60(個(gè) 個(gè)位上出現(xiàn)1或5的(其百位和十位上都不是1或5 有2×3×8=48(個(gè) 再加上500這個(gè)數(shù)，所以，滿足題意的數(shù)共有100+60+48+1=209(個(gè) 9從19到98共計(jì)80個(gè)不同的整數(shù)，其中有40個(gè)奇數(shù)，40個(gè)偶數(shù)第一個(gè)數(shù)可以任選，有80種選法第一個(gè)數(shù)如果是偶數(shù)，第二個(gè)數(shù)只能在其他的39個(gè)偶數(shù)中選取，

17、有39種選法同理，第一個(gè)數(shù)如果是奇數(shù)，第二個(gè)數(shù)也有39種選法，但第一個(gè)數(shù)為a ，第二個(gè)為b 與第一個(gè)為b ，第二個(gè)為a 是同一種選法，所以總的選法應(yīng)該折半，即共有 種選法初一奧數(shù)練習(xí)題五 初一奧數(shù)練習(xí)題五 練習(xí)題 1一項(xiàng)任務(wù)，若每天超額 2 件，可提前計(jì)劃 3 天完工，若每天超額 4 件，可提前 5 天完工，試 求工作的件數(shù)和原計(jì)劃完工所用的時(shí)間 2已知兩列數(shù) 2，5，8，11，14，17，2(200-1×3， 5，9，13，17，21，25，5(200-1×4， 它們都有 200 項(xiàng)，問這兩列數(shù)中相同的項(xiàng)數(shù)有多少項(xiàng)？ 3求 x3-3px2q 能被 x22axa2 整除的條

18、件 4證明不等式 5若兩個(gè)三角形有一個(gè)角對應(yīng)相等求證：這兩個(gè)三角形的面積之比等于夾此角的兩邊乘積之 比 6已知(x-12 除多項(xiàng)式 x4ax3-3x2bx3 所得的余式是 x+1，試求 a，b 的值 7今有長度分別為 1，2，3，9 的線段各一條，可用多少種不同方法，從中選用若干條，使 它們能圍成一個(gè)正方形？ 8 平面上有 10 條直線， 其中 4 條是互相平行的 問： 10 條直線最多能把平面分成多少部分？ 這 9邊長為整數(shù)，周長為 15 的三角形有多少個(gè)？ 解答： 解答： 1設(shè)每天計(jì)劃完成 x 件，計(jì)劃完工用的時(shí)間為 y 天，則總件數(shù)為 xy 件依題意得 解之得 總件數(shù) xy=8×

19、;15=120(件，即計(jì)劃用 15 天完工，工作的件數(shù)為 120 件 2 第一列數(shù)中第 n 項(xiàng)表示為 2(n-1×3， 第二列數(shù)中第 m 項(xiàng)表示為 5(m-1×4 要使 2(n-1 ×35+(m-1×4 所以 因?yàn)?1n200，所以 所以 3 m=1，4，7，10，148 共 50 項(xiàng) x3-3px+2q 被 x22axa2 除的余式為 3(a2-px2(qa3， 所以所求的條件應(yīng)為 4令 因?yàn)?所以 5如圖 1-106(a，(b所示ABC 與FDE 中， A=D現(xiàn)將DEF 移至ABC 中，使A 與D 重合，DE=AE，DF=AF，連結(jié) FB此 時(shí)，AEF的面積等于三角形 DEF 的面積 ×得 6不妨設(shè)商式為 x2+·x由已知有 x4ax3-3x2bx3 =(x-12(x2+·x+(x1 =(x2-2x1(x2· xx1 =x4+(-2x3+(1-2x2(1-2x+1 比較等號兩端同次項(xiàng)的系數(shù)，應(yīng)該有 只須解出 所以 a=1，b=