(精)2016年各地中考數(shù)學(xué)解析版試卷分類匯編：等腰三角形

1、等腰三角形一、選擇題1(2016·山東煙臺)如圖，RtBC的斜邊AB與量角器的直徑恰好重合,B點(diǎn)與0刻度線的一端重合,A=40°，射線C繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動,與量角器外沿交于點(diǎn)D，若射線CD將ABC分割出以BC為邊的等腰三角形,則點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)是()A40°B7°C0°或8°D80°或140°【考點(diǎn)】角的計(jì)算.【分析】如圖，點(diǎn)O是AB中點(diǎn)，連接DO,易知點(diǎn)在量角器上對應(yīng)的度數(shù)=DOB2BCD，只要求出BCD的度數(shù)即可解決問題【解答】解:如圖，點(diǎn)O是B中點(diǎn)，連接D點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)=DO=2CD，當(dāng)射線CD將A

2、C分割出以C為邊的等腰三角形時,BD=40°或7°,點(diǎn)在量角器上對應(yīng)的度數(shù)=DOB=BD=°或140°,故選D2（01·山東棗莊)如圖，在A中,AB=C，A=3°，E為BC延長線上一點(diǎn)，B與ACE的平分線相交于點(diǎn),則D等于A.5° B7 ° C.0° D.5°第4題圖【答案】A【解析】試題分析：在ABC中,ABA，A=30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得ABC=CB75°,所以A=180°AB=10°-75°=0°,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得D

3、B=37.5°，AC=2.5°,即可得BCD127.5°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得D=18°DBBC=180°-5°-127.5°=°，故答案選A.考點(diǎn):等腰三角形的性質(zhì);三角形的內(nèi)角和定理.(2016.山東省泰安市，分）如圖,在PB中，PA=PB,M,N,K分別是PA，P，AB上的點(diǎn),且MBK，N=AK,若MK44°，則的度數(shù)為（ ）44°B.66°C8°D92°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB,證明AK，得到MKKN，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出A=MKN4

4、4°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可.【解答】解：PA=PB，=,在AM和B中，,AMKBK，AMBK，MKBMNNKBA+AMK,A=KN=4°，P=18°AB=9°，故選:D【點(diǎn)評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)，掌握等邊對等角、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵4.（2016·江蘇省揚(yáng)州）如圖,矩形紙片B中，AB=4，C=6將該矩形紙片剪去個等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面積的最小值是()A.6B.3C.2.5D.2【考點(diǎn)】幾何問題的最值.【分析】以B為邊作等腰直角三

5、角形EBC,延長BE交A于F,得BF是等腰直角三角形，作D于，得EG是等腰直角三角形，在矩形BC中剪去ABF,BCE，EG得到四邊形EDG,此時剩余部分面積的最小【解答】解:如圖以BC為邊作等腰直角三角形EBC，延長BE交AD于F,得ABF是等腰直角三角形,作EGC于G，得EGC是等腰直角三角形,在矩形D中剪去BF，BC,ECG得到四邊形EFDG,此時剩余部分面積的最小×6×4×4×3×6×3×325.故選C.二、填空題1.(206·湖北黃岡）如圖,已知ABC,DCE, FG， G是4個全等的等腰三角形，底邊C,C

6、E，GI在同一條直線上，且AB=2,BC.連接I,交FG于點(diǎn)Q，則I=_.A D F Q B C E G I(第4題）【考點(diǎn)】相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì).【分析】過點(diǎn)A作AC 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得到MCBC=，從而MI=MC+EG+GI=.再根據(jù)勾股定理，計(jì)算出AM和AI的值；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出角相等，從而證明CQ,則IACG,故=，可計(jì)算出QI=A D F E G I【解答】解：過點(diǎn)A作AMBC根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),得 M=BC=.MI=M+CEEG+GI=.在RtAMC中,AM=C2-MC2= 22-（）2I=4.易證CGQ，則ICI=即=QI=.故答案為

7、:.(206·四川資陽)如圖，在×3的方格中，A、C、D、E、F分別位于格點(diǎn)上,從C、D、E、F四點(diǎn)中任取一點(diǎn),與點(diǎn)A、B為頂點(diǎn)作三角形,則所作三角形為等腰三角形的概率是 .【考點(diǎn)】概率公式；等腰三角形的判定【分析】根據(jù)從C、F四個點(diǎn)中任意取一點(diǎn)，一共有種可能，選取D、C、F時，所作三角形是等腰三角形,即可得出答案【解答】解:根據(jù)從C、D、E、F四個點(diǎn)中任意取一點(diǎn),一共有4種可能，選取D、C、F時，所作三角形是等腰三角形,故P（所作三角形是等腰三角形）=；故答案為：.3. (216·四川成都·4分)如圖，在矩形ABC中,A=3，對角線AC，相交于點(diǎn)O，A

8、E垂直平分OB于點(diǎn)E，則AD的長為 .【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì);等邊三角形的判定與性質(zhì).【分析】由矩形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)證出OA=A=OB=，得出BDO=，由勾股定理求出D即可.【解答】解:四邊形BD是矩形，OBOD，OAOC,AC=BD，OA=OB，A垂直平分B，A=AO，OA=B=B3,D=2OB=6,AD=3;故答案為:3.4. （016·四川達(dá)州·3分）如圖，P是等邊三角形A內(nèi)一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)6°得到線段AQ,連接BQ.若PA6，PC=10,則四邊形APQ的面積為 2+9【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).【分析

9、】連結(jié)P，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BAC=60°，AB=AC,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得P=P=6，PA=0°,則可判斷為等邊三角形，所以P=AP=6，接著證明APCAQ得到PCQ=0，然后利用勾股定理的逆定理證明PBQ為直角三角形，再根據(jù)三角形面積公式,利用S四邊形APBQSPQSAP進(jìn)行計(jì)算【解答】解：連結(jié)PQ，如圖，AC為等邊三角形,A=°,AB=C，線段P繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)6°得到線段Q,AP=P=6，PAQ=60°，APQ為等邊三角形，Q=AP=，APA=6°，BAPBAQ=°，CAP=BAQ，在AP和AB中,，PAB,

10、C=Q0，在BPQ中,PB8=64,Q2=62,BQ2=12,而64+6=0,PB2PQ=B，PBQ為直角三角形，BPQ=90°,S四邊形PB=SBPQ+AQ××8×62=24+9.故答案為24+95.(20江蘇淮安，16,3分)已知一個等腰三角形的兩邊長分別為2和，則該等腰三角形的周長是 10 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系.【分析】根據(jù)任意兩邊之和大于第三邊，知道等腰三角形的腰的長度是4，底邊長,把三條邊的長度加起來就是它的周長【解答】解:因?yàn)?<4,所以等腰三角形的腰的長度是4,底邊長2，周長:44=1，答:它的周長是10，故答案為

11、：1【點(diǎn)評】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是先判斷出三角形的兩條腰的長度，再根據(jù)三角形的周長的計(jì)算方法，列式解答即可.(2·廣東廣州)如圖,中，,點(diǎn)在上，將線段沿方向平移得到線段，點(diǎn)分別落在邊上,則的周長是 cm.難易 容易考點(diǎn) 平移 ,等腰三角形等角對等邊解析 CD沿CB平移7cm至EF參考答案 13.（01·廣西賀州)如圖，在ABC中,分別以A、C為邊作等邊三角形CD和等邊三角形CE，連接AE、BD交于點(diǎn)O，則AB的度數(shù)為 12°【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).【分析】先證明DCA，再利用“8字型”證明AOH=DCH=0°即可解決問

12、題【解答】解:如圖：C與BD交于點(diǎn)H.AC,CE都是等邊三角形，D=CA，C=C,ACD=BCE60°,DC=ACE,在CB和AE中,DCBAE，CE=DB，DCCD+C=80°,AH+AH+CAE=180°,DHC=OH,A=D=6°，AOB18°A120°.故答案為120°【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形,學(xué)會利用“字型”證明角相等,屬于中考?？碱}型.8.(2016·山東煙臺）如圖,O為數(shù)軸原點(diǎn),A，B兩點(diǎn)分別對應(yīng),3，作腰長為4的等腰B，連接OC,

13、以O(shè)為圓心，O長為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)M,則點(diǎn)M對應(yīng)的實(shí)數(shù)為 .【考點(diǎn)】勾股定理;實(shí)數(shù)與數(shù)軸；等腰三角形的性質(zhì)【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)得到OCB，則利用勾股定理可計(jì)算出O,然后利用畫法可得到M=OC=,于是可確定點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)【解答】解:AB為等腰三角形，OA=OB=，OAB,在O中，C=，以O(shè)為圓心,CO長為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)M，O=OC,點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)為.故答案為9.（216山東省青島市,3分)如圖，以邊長為2cm的正三角形紙板的各頂點(diǎn)為端點(diǎn)，在各邊上分別截取4cm長的六條線段,過截得的六個端點(diǎn)作所在邊的垂線,形成三個有兩個直角的四邊形把它們沿圖中 虛線剪掉,用剩下的紙板折成一個底為正三角

14、形的無蓋柱形盒子,則它的容積為 48480c3【考點(diǎn)】剪紙問題.【分析】由題意得出ABC為等邊三角形,OPQ為等邊三角形，得出=60°,B=C=.POQ=6°，連結(jié)O，作QO于,在RtAD中,OA=K0°,得出OD=AD=2m，A=OD=2cm，同理:BEAD=2m，求出、Q，無蓋柱形盒子的容積=底面積×高,即可得出結(jié)果.【解答】解:如圖,由題意得:ABC為等邊三角形，OPQ為等邊三角形,=C=60°,B=BC=AC，POQ=60°，ADAK=0°連結(jié)AO，作QMOP于M，在RtAO中,OADOAK=°，OD=AD

15、=2cm，AD=O=2cm,同理:E=AD=2cm，PQ=E=202×220（c)，M=Psin6°(204)×106，（cm）,無蓋柱形盒子的容積×（204）(106)×448480（cm3);故答案為：48.10.（216·江蘇泰州)如圖，已知直線1l2，將等邊三角形如圖放置,若=40°，則等于 20°【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì).【分析】過點(diǎn)A作Al1，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得BD=.根據(jù)平行線的傳遞性可得Dl2，從而得到D=0°再根據(jù)等邊ABC可得到BAC=60°,就可求出A

16、，從而解決問題【解答】解：過點(diǎn)作l，如圖,則BAD.l1l2，ADl2，DC=4°ABC是等邊三角形，AC60°,ABACAC=60°4°=2°故答案為0°三解答題1. (20年浙江省寧波市）從三角形（不是等腰三角形)一個頂點(diǎn)引出一條射線于對邊相交,頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形,如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形,另一個與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線.(1)如圖1，在AC中,CD為角平分線，A=40°，B=°,求證:D為ABC的完美分割線(2)在ABC中，4&#

17、176;，CD是ABC的完美分割線，且ACD為等腰三角形，求AC的度數(shù).（3)如圖2，BC中,AC=2，C=，C是A的完美分割線,且CD是以D為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)【專題】新定義【分析】（1）根據(jù)完美分割線的定義只要證明BC不是等腰三角形,AD是等腰三角形，BDCBA即可(2）分三種情形討論即可如圖2，當(dāng)ADCD時,如圖中，當(dāng)D=AC時,如圖4中，當(dāng)CCD時，分別求出CB即可.(3）設(shè)B，利用CDAC，得,列出方程即可解決問題【解答】解:（）如圖中,A=40°，B60°,AC=80°,ABC不是等腰三角形,CD平分B

18、，C=BCD=B=0°，ACD=40°，AC為等腰三角形，DC=A=40°，CD=ABC,BCDBAC，C是ABC的完美分割線.(2)當(dāng)CD時,如圖2,CDA=45°，DCBCA，BCD=A=°，CB=ACD+BCD=96°當(dāng)D=AC時,如圖3中,ACD=DC=66°,BDCBCA，CD=A=48°,ACB=C+CD14°.當(dāng)AC時,如圖4中,ADC=48°,BDCBC,CD=A=48°,ADC>BD，矛盾，舍棄CB=9°或14°.（3)由已知AC=AD2，B

19、CDBA,=,設(shè)D=x，（)2(+2）,x0,x=，CDB，=，=×=【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是理解題意,學(xué)會分類討論思想，屬于中考常考題型.2(01·上海)如圖所示,梯形ACD中,BD,B90°,D=15，A=6,BC=12,點(diǎn)E是邊B上的動點(diǎn),點(diǎn)是射線CD上一點(diǎn)，射線D和射線F交于點(diǎn)G，且AGE=DAB.(）求線段的長；（2）如果AEC是以G為腰的等腰三角形,求線段AE的長;（）如果點(diǎn)F在邊C上（不與點(diǎn)C、D重合），設(shè)AE=x,DF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出x的取值范圍.【考點(diǎn)】四邊形綜合題【專題】綜

20、合題.【分析】（1）作DHAB于H，如圖，易得四邊形BCDH為矩形，則DH=B=2,CD=BH,再利用勾股定理計(jì)算出A，從而得到BH和D的長；(2)分類討論：當(dāng)AG時,則AGE=GAE，則判斷G點(diǎn)與D點(diǎn)重合，即DEA，作MAD于M,如圖1,則AMAD=,通過證明RtAMERtAHD，利用相似比可計(jì)算出此時的A長;當(dāng)GA=E時，則AG=AEG，可證明A=D15,(3)作DAB于H,如圖,則AH=9,HE=EA=9,先利用勾股定理表示出E=，再證明EAEA，則利用相似比可表示出EG=,則可表示出D，然后證明DGFEA，于是利用相似比可表示出和y的關(guān)系【解答】解:(）作HA于H,如圖,易得四邊形CD

21、H為矩形，D=C=12，CD=H，在RtAD中，AH=9，BH=H=69=，D7；(2）當(dāng)EE時，則E=GE,G=DAB，GAEDB,G點(diǎn)與點(diǎn)重合,即D=EA，作MAD于，如圖1，則AM=A=，E=HAD,AMERtAD,AE:D=AM：AH,即E:1：9，解得AE=；當(dāng)G=GE時，則GE=AE,AE=DAB，而AGEADG+DA，DAB=GAE+G，GE=ADG，AEG=DG,AE=A=1，綜上所述,AEC是以EG為腰的等腰三角形時,線段E的長為或1；()作DA于H,如圖2，則H=,HE=AEAH=x9,在tAE中,DE=,E=DAB，AEG=DEA,AGEDA，G:AE=AE：ED,即：x

22、x:，G，DG=DEEG=，DFE，F(xiàn)EA，DF:EDG:G,即y:x（）:,y=（9x）.【點(diǎn)評】本題考查了四邊形的綜合題:熟練掌握梯形的性質(zhì)等等腰三角形的性質(zhì);常把直角梯形化為一個直角三角形和一個矩形解決問題;會利用勾股定理和相似比計(jì)算線段的長;會運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題. 3（1·江蘇省宿遷）如圖,在矩形ABD中，AD4，點(diǎn)P是直線A上一動點(diǎn),若滿足PB是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個，則的長為 .【分析】如圖,當(dāng)A=AD時，滿足PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個【解答】解:如圖,當(dāng)AB=AD時，滿足PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個,P1BC，PBC是等腰直角三角形，

23、3C是等腰直角三角形（P3=P3）,則AB=D=4，故答案為【點(diǎn)評】本題考查矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意,屬于中考?？碱}型.4（2·江蘇省宿遷）如圖,已知BD是AB的角平分線，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，EB，EFC求證:=F【分析】先利用平行四邊形性質(zhì)證明DE=CF，再證明EB=D，即可解決問題【解答】證明:ED，AC，四邊形EFCD是平行四邊形,DCF,BD平分ABC，EBDDB，EBC，EDB=DBC,EBDB,E=ED,B=CF【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用直線知識解決問題,屬于基礎(chǔ)題,

24、中考?？碱}型.5(201·江蘇省宿遷）已知AB是等腰直角三角形，ACBC=2,D是邊B上一動點(diǎn)（、B兩點(diǎn)除外）,將CA繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到EF,其中點(diǎn)E是點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn),點(diǎn)F是點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)（）如圖1,當(dāng)=0°時，G是邊AB上一點(diǎn),且GAD,連接GF.求證:FAC;(2）如圖2，當(dāng)0°10°時，A與F相交于點(diǎn)M.當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C、不重合時,連接CM，求CM的度數(shù)；設(shè)D為邊B的中點(diǎn),當(dāng)從90°變化到180°時,求點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長【分析】(）欲證明GFAC,只要證明A=GB即可解決問題.（）先證明A、D、M、C四點(diǎn)共圓，得到CMAD=4&#

25、176;，即可解決問題利用的結(jié)論可知,點(diǎn)M在以A為直徑的O上,運(yùn)動路徑是弧CD，利用弧長公式即可解決問題.【解答】解:（1)如圖1中,C=C，ACB90°,AB4°，EF是由CD旋轉(zhuǎn)逆時針得到，90°,CB與C重合,CBE=4°，ABFA+CBF90°，BA=B，BGF=BFG=45°,=BGF=45°,GFC.(）如圖2中,CACE,CD=CF，CE=CEA，CDF=CFD，AC=EF，AC=CDF，2CA+AC=80°,2CDF+C=180°，CA=CD，A、D、M、C四點(diǎn)共圓，CMF=CAD=45°，CMD10°CM=15°.如圖3中,O是AC中點(diǎn),連接D、CM.A=DB，CB，DAB,A=90°，由可知A、D、M、C四點(diǎn)共圓,當(dāng)從90°變化到180°時，點(diǎn)M在以C為直徑的O上，運(yùn)動路徑是弧CD,OA=OC，C=D,DOAC，DOC=90°,的長.當(dāng)從90°變化到180°時,點(diǎn)運(yùn)動的路徑長為.【點(diǎn)評】本題考查幾何變換綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、弧長公式、四點(diǎn)共圓等知識,解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)A、M、C四點(diǎn)共圓，最后一個問題的關(guān)鍵，正確探究出點(diǎn)M的運(yùn)動路徑,記住弧長公式，屬于中