四點(diǎn)二次插值的單片機(jī)匯編程序?qū)崿F(xiàn)

1、四點(diǎn)二次插值的單片機(jī)匯編程序?qū)崿F(xiàn)在微機(jī)化的儀器儀表控制軟件中，特殊是迅速控制軟件中，或因挺直計(jì)算過(guò)于復(fù)雜，或因惟獨(dú)閱歷數(shù)據(jù)沒(méi)有理論公式，常采納查表插值法計(jì)算某些數(shù)據(jù)。普通適合于插值法的函數(shù)是光潔性較好的函數(shù)。所謂“光潔性較好”是指以下兩個(gè)方面：延續(xù)且盡量高階地可導(dǎo)；其泰勒綻開(kāi)式中高次項(xiàng)的肯定值較小。采納多項(xiàng)式插值時(shí)，若提高多項(xiàng)式次數(shù)，除了增強(qiáng)計(jì)算量(在高速實(shí)時(shí)控制的程序中，計(jì)算速度是很重要的問(wèn)題)外，從數(shù)學(xué)上看還有若干缺點(diǎn)，故實(shí)際應(yīng)用中普通不用太高的次數(shù)。拋物線插值(三點(diǎn)二次插值)是常用的一種。提高精度的另一途徑是增強(qiáng)節(jié)點(diǎn)密度。對(duì)于三點(diǎn)二次插值，節(jié)點(diǎn)密度若能提高二倍，則截?cái)嗾`差大約可以縮小到本

2、來(lái)的18。但是這樣一來(lái)數(shù)據(jù)表的容量也要加大二倍，因此在容量和精度間存在著沖突。 本文介紹一種“四點(diǎn)二次插值”算法，與一般三點(diǎn)=次插值相比，節(jié)點(diǎn)密度不變，計(jì)算量也差不多，但精度(最大誤差限)大致相當(dāng)于節(jié)點(diǎn)密度提高二倍的效果。四點(diǎn)二次插值的思想是：計(jì)算(xk,xk+1)區(qū)間的插值時(shí)，用(xk-1,xk,)的三點(diǎn)二次插值結(jié)果和(xk,xk+1)的三點(diǎn)二次插值結(jié)果相平均，作為最后結(jié)果。若采納等距節(jié)點(diǎn)，間距為h，按照這個(gè)思想，不難推出以下計(jì)算公式：與一般的三點(diǎn)二次插值法對(duì)照，可以看出計(jì)算量差不多(乘法次數(shù)相同，除以4可以用移位實(shí)現(xiàn))。下面粗略分析其精度。二次插值誤差余項(xiàng)應(yīng)有三個(gè)零點(diǎn)，此法中xk和k+1是

3、其兩個(gè)零點(diǎn)。明顯，假如第三個(gè)零點(diǎn)在x1和xk+1的中點(diǎn)處，則其精度和節(jié)點(diǎn)密度提高二倍后的三點(diǎn)二次插值法相同。 設(shè)(xk-1,xk，xk+1)的三點(diǎn)二次插值誤差余項(xiàng)為r1(x)，(xk,xk+1xk+2)的三點(diǎn)二次插值誤差余項(xiàng)為r2(x)則四點(diǎn)二次插值的誤差余項(xiàng)為系數(shù)k(1,2)反映中點(diǎn)xm處四點(diǎn)二次插值的誤差，比本來(lái)三點(diǎn)二次插值的誤差減小的程度。若f'''(x)是常數(shù)，則k(1，2)=0，因而r(xm)=0。也就是說(shuō)，r(z)第三個(gè)零點(diǎn)在xm處，達(dá)到上文所述的效果。對(duì)于比較光潔的函數(shù)，f'''(x)在小區(qū)間內(nèi)不會(huì)變幻太大，故k(1,2)式中的分子

4、肯定值應(yīng)較小。若k(1，2)近于0，則r(xm)也近于0，r(x)的零點(diǎn)仍在xm附近，效果與上述臨近?？梢宰C實(shí)(限于篇幅證實(shí)略)，只要f'''(1)與f'''()之比在o.52之間，則第三個(gè)零點(diǎn)必定在xk和xk+1之間。若k(1,)肯定值較大即f'''(2)與f'''(2)之比距1較遠(yuǎn))，或，f'''(1)與，f(2)反號(hào)，則零點(diǎn)不在中點(diǎn)附近，此時(shí)精度并沒(méi)有顯然提高，但不會(huì)比本來(lái)的狀況差。這必定是k(1,2)式中的分母肯定值太小，也就是說(shuō)，是處在，f''

5、9;(x)過(guò)零或近于零的區(qū)域。對(duì)于較光潔的函數(shù)，原三點(diǎn)二次插值法的截?cái)嗾`差大致正比于其三階導(dǎo)數(shù)，因此三階導(dǎo)數(shù)較大的區(qū)域也是精度最差的區(qū)域。f'''(x)過(guò)零或近于零的區(qū)域中，誤差原來(lái)就遠(yuǎn)小于其它區(qū)域。綜上所述，四點(diǎn)二次插值法與之相比，在三階導(dǎo)數(shù)較大的區(qū)域，精度大致改進(jìn)到相當(dāng)于節(jié)點(diǎn)密度提高二倍后的三點(diǎn)二次插值法；在三階導(dǎo)數(shù)近于0的區(qū)域，則不會(huì)比本來(lái)三點(diǎn)二次插值法差。從有用的角度，可以說(shuō)已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了上文所說(shuō)的效果。另外，還可以指出，這個(gè)算法中的v1、v2都是由數(shù)據(jù)表中相鄰項(xiàng)的差值產(chǎn)生的，肯定值經(jīng)常較小，故乘法常可以采納低精度乘。這一點(diǎn)在以較低檔的微處理器構(gòu)成的應(yīng)用系統(tǒng)中是有實(shí)際意義的。如下面的程序中，結(jié)果是雙字節(jié)精度，但其中乘法為單字節(jié)。下面將給出以mcs-96單片機(jī)匯編語(yǔ)言和avr單片機(jī)匯編語(yǔ)言編寫的程序?qū)嵗?shí)例中，取間隔h為2的整數(shù)冪。這樣，定點(diǎn)形式的自變量只要采納容易的移位，即可以得出整數(shù)的k和純小數(shù)的“，作為下列程序的入口參數(shù)。在mcs一96單片機(jī)的程序中，k和u均取雙字節(jié)；在avr單片機(jī)的程序例中，k和u均取單字節(jié)，但結(jié)果為雙字節(jié)。這是一個(gè)應(yīng)用程序中用來(lái)查幾種數(shù)據(jù)表的子程序。由于這些表都是增函數(shù)，故下面設(shè)計(jì)中認(rèn)定“v2×u+v1必為正”。表中相鄰項(xiàng)的差，符合程序注釋中的要求