函數的對稱性（課堂PPT）

1、1有些函數有些函數 其圖像有著優(yōu)美的對稱性，其圖像有著優(yōu)美的對稱性，同時又有著優(yōu)美的對稱關系式同時又有著優(yōu)美的對稱關系式21-3-1-265432-xx( 1)(1)FF( 2)(2)FF()( )FxF x780 x （偶函數）（偶函數）Y=F(x)圖像關于直線圖像關于直線x=0對稱對稱知識回顧知識回顧l從從”形形”的角度看，的角度看，l從從”數數”的角度看，的角度看，F(-x)=F(x)XY31-3-1-265432782x ( )f x f(x)= f(4-x) f(1)= f(0)= f(-2)= f(310)= f(6)f(4-310)0 x4-xY=f(x)圖像關于直線圖像關于直線

2、x=2對稱對稱f(3)f(4)l從從”形形”的角度看，的角度看，l從從”數數”的角度看，的角度看，xy4 f(1+x)= f(3-x) f(2+x)= f(2-x) f(x)= f(4-x) 對于任意的對于任意的x你還能得到怎樣的等式？你還能得到怎樣的等式？l從從”形形”的角度看，的角度看，l從從”數數”的角度看，的角度看，Y=f(x)圖像關于直線圖像關于直線x=2對稱對稱1-3-1-26543272x ( )f x0 x4-xYx5-2-x1-3-1-26543278x=-1 f(x)= f(-2-x)x思考思考?若若y=f(x)圖像關于直線圖像關于直線x=-1對稱對稱Yx6-1+x-1-x

3、1-3-1-26543278x=-1 f(-1+x)= f(-1-x)思考思考?若若y=f(x)圖像關于直線圖像關于直線x=-1對稱對稱 f(x)= f(-2-x)Yx7猜測：若猜測：若y=f(x)圖像關于直線圖像關于直線x=a對稱對稱 f(x)=f(2a-x)xa f(a-x)=f(a+x)8xa在在y=f(x)圖像上任取一點圖像上任取一點P點點P關于直線關于直線x=a的對稱點的對稱點P則有則有P的坐標應滿足的坐標應滿足y=f(x)也在也在f(x)圖像上圖像上P(x0,f(x0)PP(2a-x0,f(x0) f(x0)=f(2a-x0)即：即： f(x)=f(2a-x)x02a-x0 y=f

4、(x)圖像關于直線圖像關于直線x=a對稱對稱（代數證明）（代數證明） ()求證求證已知已知 y=f(x)圖像關于直線圖像關于直線x=a對稱對稱 f(x)=f(2a-x)9xa在在y=f(x)圖像上任取一點圖像上任取一點P若點若點P關于直線關于直線x=a的對稱點的對稱點P也在也在f(x)圖像上圖像上P(x0,f(x0)PP(2a-x0,f(x0) f(x0)=f(2a-x0) f(x)=f(2a-x)x02a-x0 y=f(x)圖像關于直線圖像關于直線x=a對稱對稱（代數證明）（代數證明） ()已知已知求證求證 y=f(x)圖像關于直線圖像關于直線x=a對稱對稱 則則y=f(x)圖像關于直線圖像

5、關于直線x=a對稱對稱? f(x)=f(2a-x)P在在f(x)的圖像上的圖像上10ly=f(x)圖像關于直線圖像關于直線x=a對稱對稱 f(x)=f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)ly=f(x)圖像關于直線圖像關于直線x=0對稱對稱 f(x)=f(-x)特例：特例：a=0軸對稱性軸對稱性思考？思考？ 若若y=f(x)滿足滿足f(a-x)=f(b+x),則函數圖像關于則函數圖像關于 對稱對稱 a+b2x= 直線直線xa11-xxxyoF(-x)+F(x)=0 y=F(x)圖像關于圖像關于(0,0)中心對稱中心對稱中心對稱性中心對稱性類比探究類比探究 al從從”形形”的角度看，的角度看，

6、l從從”數數”的角度看，的角度看，12F(x)+F(2a-x)=0 xyo a y=F(x)圖像關于圖像關于(a,0)中心對稱中心對稱l從從”形形”的角度看，的角度看，l從從”數數”的角度看，的角度看，中心對稱性中心對稱性類比探究類比探究x2a-x13F(x)+F(2a-x)=0F(a-x)+F(a+x)=0 xyo al從從”形形”的角度看，的角度看，l從從”數數”的角度看，的角度看，中心對稱性中心對稱性類比探究類比探究 a+x a-x y=F(x)圖像關于圖像關于(a,0)中心對稱中心對稱b14aF(a+x)+F(a-x)=2bF(x)+F(2a-x)=2bb中心對稱性中心對稱性 y=F(

7、x)圖像關于圖像關于(a,b)中心對稱中心對稱類比探究類比探究xyo15思考？思考？(1)若若y=f(x)滿足滿足f(a-x)+f(b+x)=0, (2)若若y=f(x)滿足滿足f(a-x)+f(b+x)=2c,則函數圖像關于則函數圖像關于 對稱對稱 a+b2( ,0 )點點則函數圖像關于則函數圖像關于 對稱對稱 a+b2( ,C )點點16 知識內容：知識內容：函數圖像的對稱性函數圖像的對稱性對稱關系式對稱關系式 y=F(x)圖像關于圖像關于x=a軸對稱軸對稱F(x)=F(2a-x)F(a-x)=F(a+x) y=F(x)圖像關于點圖像關于點(a,b)中心對稱中心對稱F(x)+F(2a-x)

8、=2bF(a-x)+F(a+x)=2b17 數學思想方法數學思想方法:1.數形結合數形結合2.由特殊到一般由特殊到一般3.類比思想類比思想18知識遷移：知識遷移：已知對任意已知對任意x，有，有f(x+2)=f(-x),當當x 2,3，y=x求當求當x -1,0時，時，f(x)的解析式？的解析式？19謝謝謝謝!20奇函數奇函數F(-x)=-F(x)即：即：F(-x)+F(x)=0函數圖像關于函數圖像關于(0,0)中心對稱中心對稱-xx21F(x)+F(2a-x)=0F(a-x)+F(a+x)=0函數圖像關于函數圖像關于(a,0)中心對稱中心對稱-xx22a函數圖像關于函數圖像關于(a,0)中心對

9、稱中心對稱F(a+x)+F(a-x)=0F(x)+F(2a-x)=023函數圖像關于函數圖像關于(a,0)中心對稱中心對稱24-x x 函數圖像關于直線函數圖像關于直線x=0對稱對稱F(-x)=F(x) 函數圖像關于直線函數圖像關于直線x=a對稱對稱F(a-x)=F(a+x) x=aF(x)=F(2a-x)函數圖像關于函數圖像關于(0,0)中心對稱中心對稱函數圖像關于函數圖像關于(a,0)中心對稱中心對稱F(-x)=-F(x)F(a-x)+F(a+x)=0F(x)+F(2a-x)=0軸對稱軸對稱中心對稱性中心對稱性a25( )f x函數函數 圖像關于圖像關于 軸對稱軸對稱xa()()f axf

10、 axxD 證明：證明： （必要性）（必要性）2627xxxxxx1-3-1-265432281-3-1-22-xx29301-3-1-265432-xx( 1)(1)FF( 2)(2)FF()( )FxF x78( )f x6x (5)(7)ff(4)(8)ff(6)(6)fxfx6x ( 6)( 6)fxfx 思考？若函數思考？若函數 圖像關于圖像關于 軸對稱，軸對稱，( )f xxa( )f x有怎樣的對稱關系式？有怎樣的對稱關系式？0 x 31xa函數函數y=f(x)圖像關于圖像關于x=a軸對稱軸對稱證明：證明： （必要性）（必要性）任取任取y=f(x)圖像上一點圖像上一點P(x0,y

11、0)若點若點P關于直線關于直線x=a的對稱點的對稱點P也在也在f(x)圖像上圖像上分析：分析：P(x0,y0)PP(2a-x0,y0)代入代入y=f(x) Y0=f(2a-x0)y=f(x)圖像上每圖像上每一一點及其關于點及其關于x=a對稱點對稱點都在都在y=f(x)圖像上圖像上則則y=f(x)圖像上圖象關于圖像上圖象關于x=a對稱對稱則由則由P的任意性可知的任意性可知？ f(x)=f(2a-x)32 函數圖像關于直線函數圖像關于直線x=0對稱對稱F(-x)=F(x) 函數圖像關于直線函數圖像關于直線x=a對稱對稱F(a-x)=F(a+x) x=aF(x)=F(2a-x)函數圖像關于函數圖像關

12、于(0,0)中心對稱中心對稱函數圖像關于函數圖像關于(a,0)中心對稱中心對稱33? xa任取任取y=f(x)圖像上一點圖像上一點P(x0,y0)設設P是是P關于直線關于直線x=a的對稱點的對稱點由由f(x)圖像關于圖像關于x=a對稱對稱P也在也在y=f(x)圖像上圖像上P(x0,y0)Pf(2a-x0)=f(x0)即：即： f(x)=f(2a-x)x02a-x0P(2a-x0,y0)猜測：若猜測：若f(x)圖像關于直線圖像關于直線x=a對稱對稱 f(x)有怎樣的對稱關系式？有怎樣的對稱關系式？ f(x)=f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)證明證明: () y0=f(x0)34P(x0,f(x0)若若P也在也在f(x)圖像上，圖像上，xa(2a-x0, y0)PP(2a-x0, y0)代入代入y=f(x) f(2a-x0) =f(x0) y0？= f(2a-x0)=y0P在