曲線方程的表示方法

1、第一章曲§ 1.1曲線萬程的表示萬法 曲線的概念：曲線是點(diǎn)按照某一 規(guī)律在空間中運(yùn)動(dòng)的軌跡?，F(xiàn)實(shí)中的各種軌跡曲線圖形。 在空間直角坐標(biāo)系 Oxyz中，點(diǎn)P的坐標(biāo)表示為（x,y,z），x軸、y 軸、z軸上的單位向量分別記為 4 4 4i ,j,k 。彳T 彳寸向量r = OP = xi yj zk，可簡(jiǎn)記z2為 r 二(x, y, z) oVx2對(duì)任意向量a,b，成立三角形不L7a4bJr b<_4a補(bǔ)充知識(shí):(1) 向量的內(nèi)積TT設(shè) a = (aa2,a3), b = (b1,b2,b3),定義a b=|a| |b|cos，稱為向量a 與b的內(nèi)積；記為a b或(a,b)，其中：

2、 是向量a與b的夾角。T T可以證明：a b二aM 已20 a3b3。2 T T 222|a= (a,a)=印，2玄3 ;= |a 2(a,b) |b。(2) 向量的外積(或叉積)定義向量c的大小為l|a| |b|si，(on，且c與a,b垂直，方向?yàn)槭筧,b，c恰 成右手坐標(biāo)系，此向量 c稱為a與b 的外積，記為a b ；在直角坐標(biāo)系中，可以證明：T設(shè) a = (aa2,a3), b = (dbd),444ii j kai a2 a3bi b2 b31 a2a3aia3a a?1I b2b3Jbib3Jbib24a4 C/k=4-c呻b4a外積的大小除了按上面的方法計(jì) 算外，還有下面簡(jiǎn)便的計(jì)

3、算J|a|b-(a,b)2 oT設(shè)a=佝，已2,已3），Tb =TC(ci ,C2 , C3) o混合積aia2a3a (Z c)=bib2dCiC2C3記 a (b c)= (a,顯然有a (b c)=幾何意義0二重外積展開式a (b c) = (a c)b - (a b)c ,=(a c)b - (b c)a。潔壺一(a b) (c d)二二(c,d,a)b -定理設(shè)4片-4I 1a cadib c4 <'b4 dooT為三階正交矩陣，a 二(耳總忌)，b = (bbb), 則有(aT) (bT)二 sgn(detT)(a b )T。證明aT =a(:, U(a m,a Ma

4、 爲(wèi))，bT =b(： i,： 2, ： 3) =(b ： i,b ： 2,b ： 3)，由外積的計(jì)算公式，并利用Lagrange恒等式，可得= sgn(detT)(a ；)T，這是由于 mi構(gòu)成右手系，或構(gòu)成 左手系。求 z x2 y2 _ 2x _ 4y 9, x2 y2 _ 6x 2y 11 的最小值.解 x2 y2 - 2x - 4y 9 = x - 1 2 y - 2亠0 - 2 2 是點(diǎn)P x, y,0與點(diǎn)A 1,2,2的距離，又 Jx2 + y2 _ 6x + 2y +11 = J( x_ 3 )2 + (y + 1 )2 + (0 _ 1 )2是點(diǎn)P x, y,0與點(diǎn)B 3,-

5、1,-1的距離也是點(diǎn)P x,y,0與點(diǎn)C 3, -1,1的距離，由于| ABg PA| + |PB，故z的最小值為| AB| = V22 .注意點(diǎn) A( 1,2,2盧點(diǎn)C(3, 1,1)同在xOy平面的一側(cè)，在xOy平面 上尋找一點(diǎn)P(x,y,0 )，使|PA| + |PC|最小，點(diǎn)B(3, 1,1)是點(diǎn)C(3, -1,1)關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)，PC = PBAC = J14,此題的幾何意義是經(jīng)典熟知的 .一、平面曲線的幾種表示方法1 ° 顯表達(dá)：y = f (x)，函數(shù) y = f (x)的圖象G(f)說成是一段曲 線。y= f(x)是該曲線的表 達(dá)式，如果某曲線是函數(shù)y = f

6、(x)的圖象，貝 g y= f (x) 稱為該曲線的顯表達(dá)式。2°隱表達(dá)式：如果曲線上的點(diǎn)是由方程F (x, y) = 0的解(X, y)所構(gòu)成，則方程F(x, y)二0表示該曲線。例如： 表示一個(gè)圓的曲線，F(xiàn) (x, yp ax by c= 0,表示一個(gè)直線。3°曲線的參數(shù)表示：如果曲線上的點(diǎn)可由；),忙 f / 的點(diǎn)(x, y)來描繪，則稱它為曲線的參數(shù)方程。例如：?jiǎn)挝粓A2 2x y = 1有參數(shù)表達(dá)xrins 二0, 2 ；1 -t2x =O 51 t2或廠2t(-).e2 tan 22 二cos71tan2 丄21 tan1 ta=中,2令-tan2，（即是萬有代換

7、）,一2t1-t2則有x= ，廠肓2.單位圓的參數(shù)方程的幾何意義： 過（-1,0）作斜率為k的直線與 單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)。設(shè)斜率為k，則過點(diǎn)（-1,0）的直線 方程為廠k xi，求它與圓X2 y2=l的交點(diǎn),聯(lián)立得利用求根公式解得，1 - k2X 1k2'2k從而廠V，1k2X =1 kI 2k為單位圓的參數(shù)方程。y2 2例如：橢圓 話 古1有參數(shù)表達(dá)x = asin t, y 二 bcost02 。由參數(shù)x = a(t - sint) y = a(1 - cost)0三t £ 2所確定的曲線稱為旋輪線（也稱為擺線）。 來源背景，它的幾何意義是： 當(dāng)一個(gè)圓沿著一條直線無滑動(dòng)地滾

8、 動(dòng)時(shí)，圓上一個(gè)固定點(diǎn)P所描繪出的 路徑（曲線）叫做旋輪線（也稱為 擺線）。方程建立的過程。 手工操作運(yùn)動(dòng)法。課外搜索閱讀：擺線、最速降 線的文獻(xiàn)資料。4°曲線的極坐標(biāo)表示：r（日）°蘭日 pO極坐標(biāo)表示與直坐標(biāo)表示可以互化,x = r f )cos，,廠 r C )sin 。幾種表示的優(yōu)缺點(diǎn)。二、空間曲線的表示方法1 °參數(shù)表示法：x= x(t)彳 y = y(t) t e :z z(t) ?所形成的點(diǎn)(x(t), y(t), z(t),描繪出空 間中的一條曲線，稱為曲線的參數(shù) 示。例如:2+2 2由于x y = a，它的幾何意義：它的圖形是圓柱螺 線。圓柱螺線

9、的產(chǎn)生方式：將平面 上的矩形圖形卷成圓柱，矩形的對(duì) 角線在圓柱上就是圓柱螺線。螺線的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生方式。列舉常見 的螺線。2°曲線的向量表示法向量：既有大小又有方向的量稱 為向量。在選定坐標(biāo)系下*TTT向量的表示：=X©yaze，或 r = (x,y,z)。X = x(t)把參數(shù)曲線y = y(t)，t ：廠IZ= z(t)改寫成向量形式r = r(t) = (x(t), y(t),z(t) , t ：,，兩者表示的是同樣一條曲線，r = r(t) = (x(t), y(t), z(t) , t ：,稱為該曲線的向量方程。定義1.1如果 x= x(t), y = y(t), z= z(t)都是區(qū)間/ 上的連續(xù)函數(shù)，那么曲 線X = x(t)Iy = y(t) tw 卜z= z(t)''稱為連續(xù)曲線?？臻g曲線的一般定義：設(shè)i是一個(gè)區(qū)間，定義在I上的向量 值函數(shù) r = r(t) =