理論力學(xué)論文——

1、理論力學(xué)論文振子在恒定阻尼下的振動(dòng)在這學(xué)期的理論力學(xué)課程中，我們接觸了機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)了有阻尼情況下的自由振動(dòng)。教材上指出，當(dāng)振動(dòng)速度不大時(shí)，由于介質(zhì)粘性引起的阻力近似的與速度成正比，即 ，這樣的阻尼稱為粘性阻尼或線性阻尼。系數(shù)稱為粘性阻尼系數(shù)。但是，振子在滑動(dòng)摩擦作用下的運(yùn)動(dòng)，雖然十分常見(jiàn)，卻幾乎沒(méi)有討論。我認(rèn)為，其原因可能是滑動(dòng)摩擦使運(yùn)動(dòng)微分方程變得十分復(fù)雜。在這種情況下，我嘗試著自己推一推公式，討論一下這個(gè)問(wèn)題。假定一個(gè)彈簧振子，由質(zhì)量為的物體和勁度系數(shù)的彈簧組成，置于水平面上。物體和水平面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為。開始，物體對(duì)平衡位置的偏離為，由靜止釋放。如圖所示。1 物體最后靜止時(shí)所到達(dá)

2、的位置在單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)中，我們?cè)徐o力偏移。與之類似，我們定義偏離 （1）其中，為一常數(shù)，只與初始條件有關(guān)。也是彈簧的恢復(fù)力和摩擦力相等時(shí)的偏離。它是與彈簧振子和接觸面有關(guān)的量。由功能原理知道，在第一個(gè)半周期里，彈簧所損失的勢(shì)能等于克服摩擦力所作的功，即 （2）式中為第一個(gè)半周期之后物體的坐標(biāo)。由式（2）得到同理，在第二個(gè)半周期里有而 從而，我猜測(cè)遞推公式為 （5）設(shè)物體經(jīng)過(guò)幾個(gè)半周而最后靜止于，則必然滿足 （6）用（5）代入得 （7）這樣，最后位置可以直接由（7）、（5）兩式得到。，對(duì)于特定的彈簧振子來(lái)說(shuō)，取決于初始偏離。如果，由式（7）得到，振子根本不振動(dòng)。這是顯然的，因?yàn)榧?，初?/p>

3、偏離等于或小于“臨界”偏離，彈性力小于或等于最大靜摩擦力，物體當(dāng)然靜止。如果，振子只運(yùn)動(dòng)半周即停止，不能相反運(yùn)動(dòng)。如果，振子振動(dòng)一周而停止 ，越小，振動(dòng)次數(shù)越多。2 振子運(yùn)動(dòng)表達(dá)式彈簧振子的運(yùn)動(dòng)微分方程式為 ： （8）式中“”表示摩擦力與物體速度相反，或者寫成 （9）對(duì)于（9）式我們以前見(jiàn)過(guò)。它表明振子除了受到彈性力作用之外還受到恒力的作用。我們?nèi)§o平衡位置為原點(diǎn)，便可以使方程成為標(biāo)準(zhǔn)的無(wú)摩擦情況的微分方程。因此，由（9）的解立即可以寫出： （10）式中，是相對(duì)平衡點(diǎn)的振幅，所以有 由（5）和（1）得出合并（10）中兩式得到 （11）上式中，為運(yùn)動(dòng)的周期。上式即為彈簧振子的運(yùn)動(dòng)表達(dá)式。顯然，如果，上式即為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式。此外，由上式看出，振動(dòng)周期仍然等于無(wú)阻尼情況振子的周期。這是與書上的粘性阻尼不同的一點(diǎn)。整個(gè)振動(dòng)時(shí)間決定于振動(dòng)次數(shù)：，。3 總的能量損失物體總的運(yùn)動(dòng)路程為： 由（5）得到：最初能量為，那么，損失能量與總能量的比值為同時(shí)，也可以這樣計(jì)算：兩種計(jì)算結(jié)果一致。以上，便是我的理論力學(xué)論文。如果有欠妥的地方，請(qǐng)張老師給我指出來(lái)，我再修改。在完成論文的過(guò)程中，我是以自己推公式為主，論文的主體結(jié)構(gòu)皆模仿教材上的思路，一步一步深入。同時(shí)，我也查閱過(guò)一