三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（課堂PPT）

1、1.4 三角函數(shù)的圖像與三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)性質(zhì)執(zhí)教：執(zhí)教： 克州一中克州一中 阿吉買買提阿吉買買提2O下面我們借助正弦線下面我們借助正弦線(幾何法幾何法)來畫出來畫出y=sinx在在0，2上的圖象上的圖象. 首先，我們來作坐標(biāo)為首先，我們來作坐標(biāo)為(x0，sinx0)的點(diǎn)的點(diǎn)S，不，不妨設(shè)妨設(shè)x00，如圖所示，在單位圓中設(shè)如圖所示，在單位圓中設(shè)AP的長為的長為x0(即即AOP= x0)，則則MP= sinx0，所以點(diǎn)，所以點(diǎn)S (x0，sinx0) 是以是以AP的長為橫坐標(biāo)，正弦線的長為橫坐標(biāo)，正弦線MP 的數(shù)量的數(shù)量為縱坐標(biāo)的點(diǎn)為縱坐標(biāo)的點(diǎn). S (x0，sinx0)My-x1-12O1.

2、4.1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像PA 為了更直觀地研究三角函數(shù)的性質(zhì)，可以先作為了更直觀地研究三角函數(shù)的性質(zhì)，可以先作出它們的圖象出它們的圖象.3 知道如何作出知道如何作出y=sinx的圖象的一個(gè)點(diǎn)，就可以的圖象的一個(gè)點(diǎn)，就可以作出一系列的點(diǎn)，例如，在單位圓中，作出對應(yīng)作出一系列的點(diǎn)，例如，在單位圓中，作出對應(yīng)于于 的角及相應(yīng)的正弦線的角及相應(yīng)的正弦線, 相應(yīng)地相應(yīng)地,把把x軸上從軸上從0到到2這一段分成這一段分成12等份，把角等份，把角x的正弦的正弦線向右平移，使它的起點(diǎn)與線向右平移，使它的起點(diǎn)與x軸上表示數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)重的點(diǎn)重合，再用光滑的曲線把這些正弦線連結(jié)起

3、來，既合，再用光滑的曲線把這些正弦線連結(jié)起來，既得到正弦函數(shù)得到正弦函數(shù)y=sinx在在0，2區(qū)間上的圖象，如區(qū)間上的圖象，如圖所示圖所示. 11 . 6 3 26， ， ，-111oyxA O2232鏈接鏈接4 最后我們只要將函數(shù)最后我們只要將函數(shù)y=sinx， x 0，2的的圖象向左、右平移圖象向左、右平移(每次每次2個(gè)單位個(gè)單位)，就可以得到正就可以得到正弦函數(shù)弦函數(shù)y=sinx， xR的圖象的圖象，如圖所示如圖所示. 正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線(sine curve).正弦曲線正弦曲線-yxO1-1246-2-4-6 以上是借助正弦線描點(diǎn)來作出正弦曲線，也以上

4、是借助正弦線描點(diǎn)來作出正弦曲線，也可以利用圖形計(jì)算器、計(jì)算機(jī)作出正弦曲線可以利用圖形計(jì)算器、計(jì)算機(jī)作出正弦曲線.yxO1-124-235 用描點(diǎn)法用描點(diǎn)法(代數(shù)法代數(shù)法)作出正弦函數(shù)在作出正弦函數(shù)在0，2上的上的圖象，然后由周期性就可以得到整個(gè)圖象圖象，然后由周期性就可以得到整個(gè)圖象.x02y=sinx010-10232(1) 列表列表(2) 描點(diǎn)描點(diǎn)(3) 連線連線-232-xy1-1O2(五點(diǎn)法五點(diǎn)法) 由上圖可以看出，函數(shù)由上圖可以看出，函數(shù)y=sinx，x0，2的的圖象上起著關(guān)鍵作用的點(diǎn)有以下五個(gè)圖象上起著關(guān)鍵作用的點(diǎn)有以下五個(gè):(0，0)， ( ，1) ，( ，0)，( ，-1)，

5、(2 ，0)2326 觀察正弦和余弦曲線觀察正弦和余弦曲線(如下圖如下圖) 的形狀和位置的形狀和位置,說出它們的異同點(diǎn)，說出它們的異同點(diǎn)，yxO1-124-23y=cosxy=sinx 它們的形狀相同，且都夾在兩條平行直線它們的形狀相同，且都夾在兩條平行直線y=1與與y=1之間之間. 但它們的位置不同，正弦曲線交但它們的位置不同，正弦曲線交y軸軸于原點(diǎn)，余弦曲線交于原點(diǎn)，余弦曲線交y軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)(0，1).由由cox=sin(x+ )，可知，可知y=cosx圖象向左平移圖象向左平移 個(gè)單個(gè)單位得到位得到，余弦函數(shù)的圖象叫做余弦曲線余弦函數(shù)的圖象叫做余弦曲線 .222y=cosx圖象的最高點(diǎn)圖象

6、的最高點(diǎn)( 0，1)，與，與x軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)( ，0)， ( ，0), 圖象的最低點(diǎn)圖象的最低點(diǎn)(，1).327 事實(shí)上，描出五點(diǎn)后，函數(shù)事實(shí)上，描出五點(diǎn)后，函數(shù)y=sinx，x0，2的圖象形狀就基本確定了，因此在精確程度要的圖象形狀就基本確定了，因此在精確程度要求不高時(shí)，我們常常找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)求不高時(shí)，我們常常找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后用然后用光滑曲線將它們連結(jié)起來，就得到函數(shù)的簡圖光滑曲線將它們連結(jié)起來，就得到函數(shù)的簡圖，今后，我們將經(jīng)常使用這種今后，我們將經(jīng)常使用這種“五點(diǎn)五點(diǎn)(畫圖畫圖)法法” 例例1 畫出下列函數(shù)的簡圖：畫出下列函數(shù)的簡圖： (1) y=1+sinx； (2) y=c

7、osx x0，2 )-232-xy1-1O2-232-xy1-1O28x02x02 sin2x010 1032 例例2 用用“五點(diǎn)法五點(diǎn)法”畫出下列函數(shù)的簡圖：畫出下列函數(shù)的簡圖：y=sin2x x0，2 ) 描點(diǎn)畫圖，然后由周期性得整個(gè)圖象描點(diǎn)畫圖，然后由周期性得整個(gè)圖象(如圖所示如圖所示)24342yxO1-12-3-23y=sin2xy=sinx兩圖象有何關(guān)系？兩圖象有何關(guān)系？9練習(xí)練習(xí)1.畫出下列函數(shù)的簡圖，并說明這些函數(shù)的畫出下列函數(shù)的簡圖，并說明這些函數(shù)的圖象與圖象與正弦曲線正弦曲線的區(qū)別和聯(lián)系的區(qū)別和聯(lián)系: (1) y=sinx1 ； (2) y=2sinx.y= sinx1 y

8、=sinxxyO2-21-2-1-3y=sinx1的圖象可由的圖象可由正弦曲線正弦曲線向下平移向下平移1個(gè)單位個(gè)單位.10y=sinxy= 2sinxxyO2-21-2-1-322. 畫出下列函數(shù)的簡圖，并說明這些函數(shù)的圖象畫出下列函數(shù)的簡圖，并說明這些函數(shù)的圖象與與正弦曲線正弦曲線的區(qū)別和聯(lián)系的區(qū)別和聯(lián)系: (2) y=2sinx. y=2sinx的圖象可由正弦曲線上的每一點(diǎn)的的圖象可由正弦曲線上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼淖優(yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標(biāo)不變倍，橫坐標(biāo)不變.112. 畫出下列函數(shù)的簡圖，并說明這些函數(shù)的圖象畫出下列函數(shù)的簡圖，并說明這些函數(shù)的圖象與與余弦曲線余弦曲線的區(qū)別和聯(lián)系的

9、區(qū)別和聯(lián)系: (1) y= 1+cosx ； (2) y=cos(x+ ).3y=1+cosx的圖象可由的圖象可由余弦曲線余弦曲線向上平移向上平移1個(gè)單位個(gè)單位.可由可由余弦曲線余弦曲線上每一點(diǎn)向左平移上每一點(diǎn)向左平移 個(gè)單位得到個(gè)單位得到.3y= 1+cosxy=cosxxyO2-212y=cosxy= cos(x+ )33xyO2-2112周期性的有關(guān)概念：周期性的有關(guān)概念：那么函數(shù)那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)就叫做周期函數(shù) (periodic function)，非零常數(shù)非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期叫做這個(gè)函數(shù)的周期(period). 一般地對于函數(shù)一般地對于函數(shù)f(x)，如果存在如果

10、存在一個(gè)非零常數(shù)一個(gè)非零常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)每一個(gè)x值，都滿足值，都滿足f(x+T)= f(x)最小正周期：最小正周期：對一個(gè)周期函數(shù)對一個(gè)周期函數(shù)f(x)的所有周期中存的所有周期中存在最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做這個(gè)函在最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做這個(gè)函數(shù)的最小正周期數(shù)的最小正周期.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，2k (kz且且k0) 都是它們的周期，它們最小的正周期都是都是它們的周期，它們最小的正周期都是2;正切函數(shù)也是周期函數(shù)，其最小的正周期是正切函數(shù)也是周期函數(shù)，其最小的正周期是.1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

11、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)13說明說明: : 當(dāng)函數(shù)對于當(dāng)函數(shù)對于自變量的一切值自變量的一切值每增加或減少每增加或減少一個(gè)定值一個(gè)定值，函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)時(shí)函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，這個(gè)函數(shù)就叫這個(gè)函數(shù)就叫做周期函數(shù)做周期函數(shù).設(shè)設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集是定義在實(shí)數(shù)集 D上的函數(shù)上的函數(shù)，若存在一個(gè)若存在一個(gè) 常數(shù)常數(shù)T( T0)，具有下列性質(zhì)具有下列性質(zhì): (1)對于對于任何的任何的 xD，有有(xT)D； (2)對于對于任何的任何的 xD，有有f(x+T)=f(x)成立，則成立，則f(x) 叫做周期函數(shù)叫做周期函數(shù).若若函數(shù)函數(shù)f(x)不是當(dāng)不是當(dāng)x取定義域內(nèi)的取定義域內(nèi)的“每一個(gè)值每一個(gè)值”時(shí)時(shí)，

12、都有都有f(x+T)= f(x)成立，則成立，則T就不是就不是f(x)周期周期. 今后本書所說的周期，如果不加特別說明，今后本書所說的周期，如果不加特別說明，一般都是指函數(shù)的最小的正周期一般都是指函數(shù)的最小的正周期.14要重視要重視 “ T0”且為常數(shù)這一條件，且為常數(shù)這一條件， 若若T=0，則則f(x+T)=f(x)恒成立，函數(shù)值不變沒有恒成立，函數(shù)值不變沒有研究價(jià)值；若研究價(jià)值；若T為變數(shù)，則失去了周期的意義為變數(shù)，則失去了周期的意義.一般地，函數(shù)一般地，函數(shù)y=Asin(x+)，y=Acos(x+)(其中其中A，為常數(shù)，且為常數(shù)，且A0，0)的周期的周期2T =若函數(shù)若函數(shù)y=f(x)的

13、周期為的周期為T，則，則y=Af(x+)的周期的周期為為 ，(其中其中A，為常數(shù)為常數(shù), 且且A0，0)T|若在若在函數(shù)的定義域內(nèi)至少能找到一個(gè)函數(shù)的定義域內(nèi)至少能找到一個(gè)x ，使，使f(x+T)= f(x)不成立，我們就斷然函數(shù)不成立，我們就斷然函數(shù)f(x) 不是周期不是周期函數(shù)或函數(shù)或T不是函數(shù)不是函數(shù)f(x)的周期的周期.15y=sinx (xR) y=cosx (xR) 定義域定義域值值 域域周期性周期性xR.y - 1, 1 .T = 2.我們得到正弦、余弦函數(shù)定義域、值域、周期我們得到正弦、余弦函數(shù)定義域、值域、周期:yxO1-124-23y=sinxyxO1-124-23y=co

14、sx16 正弦、余弦函數(shù)的奇偶性正弦、余弦函數(shù)的奇偶性yxO1-124-23y=sinxyxO1-124-23sin(x)= sinx y=sinx 是奇函數(shù)是奇函數(shù)cos(x)= cosx y=cosx是偶函數(shù)是偶函數(shù)定義域關(guān)于定義域關(guān)于 原點(diǎn)對稱原點(diǎn)對稱y=sinx17 正弦函數(shù)的單調(diào)性正弦函數(shù)的單調(diào)性 ？yxO1-124-23y=sinx (xR)x0sinx101012322增區(qū)間為增區(qū)間為 ， 其值從其值從1增至增至1.2 2 ，減區(qū)間為減區(qū)間為 ， 其值從其值從1增至增至 1.322，3+2k+2k(kz)22， +2k+2k(kz)22， 18 余弦函數(shù)的單調(diào)性余弦函數(shù)的單調(diào)性

15、y=cosx (xR)yxO1-124-23x-0cosx1010122 ？增區(qū)間為增區(qū)間為，0 ，其值從其值從1增至增至1.減區(qū)間為減區(qū)間為0 ， ，其值從其值從1增至增至 1.+2k，2k，(kz)2k，2k+，(kz)19 正弦、余弦函數(shù)的對稱軸、對稱中心正弦、余弦函數(shù)的對稱軸、對稱中心:yxO1-124-23y=sinxyxO1-124-23y=cosx對稱軸對稱軸對稱中心對稱中心y=sinxy=cosx函數(shù)函數(shù)軸、中心軸、中心x =+kkz2，()x=kkz，（）k0（ ， ）k02（， ）20 x02cosx101012cosx20202232(1) 先用先用“五點(diǎn)法五點(diǎn)法”畫一個(gè)

16、周期的圖象，列表畫一個(gè)周期的圖象，列表: 例例1 用用“五點(diǎn)法五點(diǎn)法”畫出下列函數(shù)的簡圖：畫出下列函數(shù)的簡圖： (1) y=2cosx xR (2) y=sin2x xR 描點(diǎn)畫圖，然后由周期性得整個(gè)圖象描點(diǎn)畫圖，然后由周期性得整個(gè)圖象(如圖所示如圖所示)xO2-124-23-21yy=2cosxy=cosx兩圖象有何關(guān)系？兩圖象有何關(guān)系？21 例例2 求下列函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)自變量求下列函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)自變量 x 的集合：的集合： (1) y=cos ；x3 解解 函數(shù)的函數(shù)的y=cos 的最大值為的最大值為1，x3 因?yàn)槭挂驗(yàn)槭筩osz取得最大值的取得最大值的z的集合為的

17、集合為: z|z=2k，kz，x3 令令z = ， 由于由于 =2k，得得 x= 6k.x3 所以，使函數(shù)所以，使函數(shù) y=cos 取得最大值時(shí)自變量取得最大值時(shí)自變量x 的集的集 合為合為: z | z = 6k，kz.x3 練習(xí)練習(xí) 函數(shù)函數(shù)y=sinx 的值域是的值域是 ( ) A.1, 1 B. ，1 C. D.2(x)63121322，312，B22 解解 函數(shù)的函數(shù)的y=2sin2x 的最大值為的最大值為2(1)=3， 因?yàn)槭挂驗(yàn)槭箂inz取得最小值的取得最小值的z的集合為的集合為: z|z=-+2k kz2， 令令z =2x，由于由于2x= +2k，得得2xk .4 所以，使函數(shù)

18、所以，使函數(shù)y=2sin2x 取得最小值時(shí)自變量取得最小值時(shí)自變量x 的集合為的集合為:x|xkkz.4 ， 例例2 求下列函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)自變量求下列函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)自變量 x 的集合：的集合： (2) y=2sin2x. 練習(xí)練習(xí) 求下列函數(shù)的最小值及取得最小值時(shí)自變量求下列函數(shù)的最小值及取得最小值時(shí)自變量 x 的集合：的集合： (1) y=2sinx； (2) y=2cosx.3(1) x|x=+2k kz2，；(2) x|x=6k kz，；23例例3不通過求值，指出下列各式大于不通過求值，指出下列各式大于0還是小于還是小于0 (1) sin( ) sin( ) ;

19、(2) cos( ) cos( ) 1810235174又又 y=sinx 在在 上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，2 2 ，23233(2)cos()coscos555，3045，又又 y=cosx 在在0，上是減函數(shù)上是減函數(shù)210182 解解(1)sin()sin(1018）sin()sin()0.1810即 1717cos()coscos444，3coscos543coscos054 ，2317cos()cos()0.5424 (1) sin2500 sin2600 ; (2) cos cos158149練習(xí)練習(xí)1不求值，分別比較下列各組中兩個(gè)三角函不求值，分別比較下列各組中兩個(gè)三角函數(shù)值的大小

20、數(shù)值的大小: (1) sin2500 與與 sin2600 ; (2) cos 與與 cos158149練習(xí)練習(xí)2 利用函數(shù)的性質(zhì)，比較下列各題中兩個(gè)三利用函數(shù)的性質(zhì)，比較下列各題中兩個(gè)三角函數(shù)值的大小角函數(shù)值的大小: (1) sin103045與與 sin sin164030 ; (2) sin5080與與 sin1440 ; (3) cos7600與與 cos(7700)； (4) cos 與與 cos .47()444()9 (4) cos cos47()444().9 sin103045sin sin164030(2) sin5080cos(7700)25解解 (1) y=2sin(x

21、 ) = 2sinx，例例4 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： (1) y=2sin(x )； (2) y=sin(2x+ )3 222232kxk，5,1212kxk得3222232kxk，71212kxk，所以單調(diào)增區(qū)間為所以單調(diào)增區(qū)間為:12(kz).512kk， 函數(shù)在函數(shù)在 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增.32k2k kz22，（）函數(shù)在函數(shù)在 上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減，2k2k kz22，（）單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為:7(kz).1212kk，26例例4 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(2) y=sin(2x+ )3 222232kxk，5,1212kxk得32222

22、32kxk，71212kxk，所以單調(diào)增區(qū)間為所以單調(diào)增區(qū)間為:12(kz).512kk，32k2k ,(kz)22，2k2k ,(kz)22，單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為:7(kz).1212kk，解解 (2) 令令z=2x + ，函數(shù)函數(shù)y=sinz的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)增區(qū)間為:3函數(shù)函數(shù)y=sinz的單調(diào)減區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為:2732kx+2k2kx2k24244 ， 所以單調(diào)增區(qū)間為所以單調(diào)增區(qū)間為:32k2k 44+， +352kx+2k2kx2k24244，(3) y = sin(x + )；432k2k ,(kz)22，2k2k ,(kz)22，解解 (3) 令令z=x + ，函數(shù)函數(shù)y=sinz的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)增區(qū)間為:4函數(shù)函數(shù)y=sinz的單調(diào)減區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為:52k2k 44+， + 所以單調(diào)減區(qū)間為所以單調(diào)減區(qū)間為:281.了解正弦函數(shù)圖象了解正弦函數(shù)圖象( (代數(shù)描點(diǎn)法、幾何描點(diǎn)代數(shù)描點(diǎn)法、幾何描點(diǎn)法法) )、余弦函數(shù)圖象、余弦函數(shù)圖象( (代數(shù)