任意周期激勵的響應(yīng)

1、第五節(jié)任意周期激勵的響應(yīng)前面所討論的問題都是在振動系統(tǒng)上僅作用一個簡諧激勵或支承只有一種簡諧運(yùn)動所引起的強(qiáng)迫振動。這種情況在實(shí)際問題中還是比較少的。 許多情況是系統(tǒng)上受到一種非 簡諧的周期激勵力或支承運(yùn)動的作用。在一般情況下，一個 周期函數(shù)都可以展開為傅里葉函數(shù)。因此一個周期激勵函數(shù)F(t) =二 ao2（激勵力或支承運(yùn)動） 便可以分解為期激勵函數(shù)可表達(dá)為2兀函數(shù)來處理。F(t T)oO' (an cosn ot bn sin n ot)n(3-31)式中T -激勵函數(shù)的周期，激勵的基頻為' o =上式表明一個復(fù)雜的周期激勵函數(shù)可以分解為一系列具有基頻整倍數(shù)的許多諧波函數(shù)的疊加

2、。其中ao，an和bn是傅氏級數(shù)的系數(shù)，分別為TF(t)dt¥ ： F (t )cos n otdtbn = T2 ：F(t)sin n otdt的振動微分方程為m專 c* kx = F (t)oo二蟲' (an cosn 0t bnsinn 0t)2n=11.上式的第一項(xiàng) 電表示一個常力，它只會影響系統(tǒng)的靜2平衡位置。設(shè)第一項(xiàng) 色的解為 X、con st ，代入上式，22k2.方程mX cX kx 二 ' (an cosn 0t bn sin n 0t)( b)n=1的通解可分為成兩部分：(i) 一部分是有阻尼的自由振動的齊次解。由此前的 討論知，這部分振動在阻尼作

3、用下經(jīng)過一段時間后就衰減 掉。因此，在考慮穩(wěn)態(tài)振動時同樣可以忽略。(ii) 另一部分是穩(wěn)態(tài)振動的非齊次特解。對于線性系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)振動的解可以按照疊加原理，將式(b)右邊的任何一項(xiàng)單獨(dú)地按(3-1)式的微分方程一樣地求其特解，然后把所有的特解疊加起來，就得到穩(wěn)態(tài)振動方程（b）的特解例如mx ex kx 二 an cos n 0t 其解為專)=xni)cos(n0r ni) 式中(c)(1)niv V rn2 2(2 rn)2(1)2rnn而 mx ex kx nsb n 0n(d)其解為xnxn2) si n(n st- n2)式中tgn嚴(yán)T tg J- tg n1- rn方程 mx ex kx

4、二 an cosn 0t bn sin n 0t 的特解為x = 乂 乂n nn二 Xjcos(n °t- J Xfsin(n °t- Jan cos(n ot - n) bnSin(n °t - n)kJ 1- rn2 2(2 rn)2方程(b)： mX+ cX+ kx= $ (an cosn豹 ot + bnsinn ot)n =1的特解為¥¥x 二' Xnn T:an cos(n ot -n -1)bnsin(n °t - n)_n心 1- rn2 2 (2 rn)2則振動微分方程(a)mX cX kx 二 F (t)o

5、da0-' (an cosn ot bn sin n ot)2n=1X 二 X XoO2k n =1的特解為:a“cos(n °t- J gsin(n °t- Jk' 1- * 2(2 rn)2(3-32)（或國旦系統(tǒng)的共振。1o = i n ）時，第n個簡諧分量就會 n因此，當(dāng)系統(tǒng)的固有頻率為激振力系統(tǒng)都將發(fā)生共振。 所以在周期性激頻率的整倍數(shù)時，振力作用下，為了避免共振發(fā)生，不僅要使固有頻率遠(yuǎn)離激振力的頻率，而且還要遠(yuǎn)離激振力頻率的整倍數(shù)。但由于高階共振振幅很小，因此在實(shí)際問題中，只要計(jì)算前幾個低階共振就可以了例題：計(jì)算圖示基礎(chǔ)具有周期運(yùn)動所引起的系統(tǒng)穩(wěn)

6、態(tài)響應(yīng)已知基礎(chǔ)運(yùn)動規(guī)律為=上h ， T = 1s。0 T 2TCxkx>mki（x 為）解：激勵基頻為° =牛=2- (rads)系統(tǒng)運(yùn)動微分方程為mX cX (k kjx 二 k/ 二 k1ht則激勵力為F (t)二 k1x1 = k1ht故有a。F(t)dtk/tdt 二 k1hanF (t)cos n 0tdtk1htcos(n2 t)dtbnF(t)sin n 0tdt：kihtsin(n2 t)dtk1h則激勵力為h h 彳F(t)=ki(sin2 nt)2“心nmXcX (k k)xhkh1s in2nt2二n = n令r2 =k + k一cn 0，rn二2 nm2m nn©n則由常力項(xiàng)引起的響應(yīng)為a0hkx 二2ke2(k k)h1而由力k一sin2 nt引起的響應(yīng)為n=1 nancos(n ot - n) bnSin(n °t - n)心 1- rn2 2 (2 rn)2k1hJ 1 sin(2：