第4講_利用軸對稱破解最短路徑問題

1、第一章平移、對稱與旋轉(zhuǎn)第4講 利用軸對稱破解最短路徑問題一、學(xué)習(xí)目標1 .理解“直線上同一側(cè)兩點與此直線上一動點距離和最小”問題通過軸對稱的性質(zhì)與 作圖轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題求解。2.能將實際問題或幾何問題(對稱背景圖)中有關(guān)最短路徑(線段之差最大值)問題借 助軸對稱轉(zhuǎn)化為兩點之間，線段最短問題分析與求解。二、基礎(chǔ)知識輕松學(xué)與軸對稱有關(guān)的最短路徑問題關(guān)于最短距離，我們有下面幾個相應(yīng)的結(jié)論：（1） 在連接兩點的所有線中，線段最短(兩點之間，線段最短)；（2） 三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（3） 在三角形中，大角對大邊，小角對小邊。（4） 垂直平分線上的點到線段兩端點

2、的距離相等；【精講】一般說來，線段和最短的問題，往往把幾條線段連接成一條線段，利用“兩點 之間線段最短”或者“三角形兩邊之和大于第三邊”加以證明，關(guān)鍵是找相關(guān)點關(guān)于直線的 對稱點實現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”。另外，在平移線段的時候，一般要用到平行四邊形的判定和性 質(zhì)。(判定：如果一個四邊形的一組對邊平行且相等，那么這個四邊形是平行四邊形；性質(zhì)： 平行四邊形的對邊相等。)三、重難疑點輕松破最短路徑問題在平面圖形中要解決最短路徑問題，自然離不開構(gòu)建與轉(zhuǎn)化“兩點之間，線段最短”的數(shù)學(xué)公理，通常將涉及到的兩點中的任一點作出關(guān)于直線的對稱點，從而運用兩點之間， 線段最短解決實際問題.在日常生活、工作中，經(jīng)常會遇到

3、有關(guān)行程路線的問題?！白疃搪窂絾栴}”的原型來自于“飲馬問題”、“造橋選址問題”，出題通常以直線、角、等腰(邊)三角形、長方形、正方形、坐標軸等對稱圖形為背景。（5） “一線同側(cè)兩點”問題例1如圖，點A B在直線m的同側(cè)，點B'是點B關(guān)于m的對稱點，AB'交m于點P.（6） AB'與AP+PBf等嗎？為什么？(2)在m上再取一點 N,并連接 AN與NB,比較 AN+NB AP+PB勺大小，并說明理由.解析：（1）二.點B'是點B關(guān)于m的對稱點,PB=PB , AB =AP+PB , .AB' =AP+PB(2)如圖：連接 AN, BN, B' N,

4、. AB' =AP+PB. AN+NB=AN+NB>AB',AN+NB> AP+PB點評：兩條線段之和最短，往往利用對稱的思想， 把兩條線段的和變?yōu)橐粭l線段來研究，利用兩點之間的線段最短得出結(jié)果。這類題主考實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，關(guān)鍵是利用軸對稱、“兩點之間，線段最短”及三角形三邊的關(guān)系等.變式1需要在高速公路旁邊修建一個飛機場，使飛機場 到A, B兩個城市的距離之和最小，請作出機場的位置.（7） “兩點兩線（平行）”問題例2如圖所示，在一條河的兩岸有兩個村莊，現(xiàn)要在河上建一座小橋，橋的方向與河流垂直，設(shè)河的寬度不變，試問：橋架在何處，才能使從 A到B的距離最

5、短？解析：雖然A、B兩點在河兩側(cè)，但連接AB的線段不垂直于河岸. 關(guān) 勾鍵在于使AP+BDt短，但AP與BD未連起來，要用線段公理就要想辦法使P與D重合起來，利用平行四邊形的特征可以實現(xiàn)這一目的.如圖，作BB垂直于河岸GH使BB等于河寬，t連接AB',與河岸 EF相交于P,彳PD! GH貝U PD/ BB'且PD=BB ,于是PDBB為平行四邊形，故PD=BB ,根據(jù)“兩點之間線段最短"，AB'最短，即AP+BW短.故橋建立在PD處符合題意.點評：此題考查了軸對稱最短路徑問題，要利用“兩點之間線段最短”，解決“造橋選址”的簡單的實際問題.但許多實際問題沒這么簡

6、單，需要我們將一些線段進行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點之間線段最短的問題.此類題往往需要利用對稱性、平行四邊形的相關(guān)知識進行轉(zhuǎn)化，以后還會學(xué)習(xí)一些線段轉(zhuǎn)化的方法.變式2如圖，兩個村莊 A和B被一條河隔開，現(xiàn)要在河 A上架設(shè)一座橋 CD.請你為兩村設(shè)計橋址， 使由A村到B村的距 .下載可編輯離最?。俣▋珊影?m n是平行的，且橋要與河垂直）.要求寫出作法，并說明理由.（8） “一點兩線（相交）”解決周長最短問題例3:如圖所示，/ ABC內(nèi)有一點P,在BA BC邊上各取一 點Pi、P2,使 PPB的周長最小.解析：依據(jù)兩點之間線段最短，可分別作點P關(guān)于AB, AC的對稱點，如圖，

7、以 BC為對稱軸作P的對稱點M,以BA為對稱軸作出 P的對稱點N,連 MN BA BC于點 Pi、P2. PPP2為所求作三角形.點評：解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化“直線上同一側(cè)兩點與此直線上一動點距離和最小”問題（將軍飲馬問題），其核心是化折為直（兩點之間線段最短）的 思想，轉(zhuǎn)化技巧是能夠運用軸對稱性質(zhì)及作圖求解問題.變式3城關(guān)中學(xué)八（2）班舉行文藝晚會，桌子擺成兩直條（如 圖中的AQ BQ, AO桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果， 站 在C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果， 然后回到C處，請你在下圖 幫助他設(shè)計一條行走路線，使其所走的總路程最短？（9） “一線異側(cè)兩點”“差最大”問題例4在定直線XY異

8、側(cè)有兩點A、B,在直線XY上求作 一點P,使PA與PB之差的絕對值最大.解析：作法：作點 B關(guān)于直線XY的對稱點B',作直線AB'交XY于P點，則點P為所求點（如圖）；若B' A/ XY （即B'、A到直 線XY的距離相等），則點P不存在.證明：連接BP,在XY上任意取點P',連接 P' A P' B,貝U PB=PB , P' B=P B,因為 |P' B- P' A|=|P ' B' P' A|VAB' =|P' B-PA|=|PB - PA|,所以，此時點P使|PA -

9、 PB|最大.點評：本題考查的是最短線路問題，解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)畫出圖形, 再由兩點之間線段最短的知識求解.變式4.如圖，在 ABC中，AB=AC AB的垂直平分線交 AB于N,交AC于M 連接 MB若 AB= 8 cm, MBC勺周長是 14 cm,(1)求BC的長(2)在直線 MN±是否存在點 巳 使| PA- CP|的值最大，若存在, 畫出點P的位置，并求最大值，若不存在，說明理由。（10） “兩點一線+線段”例5直線L的同側(cè)有兩點 A B,在直線L上求兩點C D,使得AG CD DB的和最小,且CD的長為定值a,點D在點C的右側(cè)。作法：將點A向右平移a個單位

10、到Ai作點B關(guān)于直線L的對稱點B連結(jié)AiBi交直線L于點D過點A作AC/ A1D交直線L于點C,連結(jié)BD,則線段AG CD DB的和最小。點 C、D即為所求。變式5長方形 OACB OA=3 OB=4 D為邊OB的中點.(1)若E為邊OA上的一個動點，當(dāng) CDE的周長最小時，畫出點E的位置；(2)若E、F為邊OA上的兩個動點，且 EF=2,當(dāng)四邊形 CDEF勺周長最小時，畫出點 E F的位置;(6)臺球擊點問題例6如圖，在臺球桌面 ABCDt,有白和黑兩球分別位于 M N兩點處，問：怎樣撞擊白球 M使白球先撞擊臺邊 BC,反彈后再去擊中解析：作N關(guān)于BC的對稱點N',連接MN交BC于點

11、E,連接EN按,1MET向撞擊白球 M白球M反彈后必沿EN方向擊中黑球 N.點評：要使白球M撞擊臺邊BC反彈后再去擊中黑球 N,必須使 四/MEB/NEC由軸對稱還可得，/ N' EG/NEC又對頂角/MEB/N EC故可彳#到/ ME=/NEC本題重在考查軸對稱的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用，關(guān)鍵注意對應(yīng)點的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應(yīng)點之間的距離相等，對應(yīng)的角、線段都相等.變式6如圖，甲乙丙丁四人做接力游戲.開始時，甲站在長方形操場 處，丙在BC的中點G處，乙，丁分別站在 AR CD邊上.游戲 規(guī)則是，甲將接力棒傳給乙，

12、乙傳給丙，丙傳給丁，最后丁跑 回傳給甲.如果他們四人的速度相同，試找出乙，丁站在何處， 他們的比賽用時最短？（請畫出路線，并保留作圖痕跡，作法 不用寫）四、課時作業(yè)輕松練A.基礎(chǔ)題組1 .如圖，直線l是一條河，P, Q是兩個村莊.欲在 L上的某處修建一個水泵站，向 巳ABCD*J部的E點Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實線表示鋪設(shè)的管道， 則所需管道最短的是（）.下載可編輯2 .已知，如圖 ABC為等邊三角形，高 AH=10cm P為AH上一動點，D為AB的中點，則PD+PB勺最小值為 cm.第2題第3題3 .如圖，MN是正方形ABCD勺一條對稱軸，點 P是直線MN上的一個動點，當(dāng) PC

13、+PD1小時，/ PCD=4 .為慶祝60年國慶圣典，陽光中學(xué)八年級（2）班舉行一次文藝晚會，桌子擺成兩真線（如圖：AQ OB AO桌子上擺滿蘋果，BOM子上擺滿桔子，坐在 C處的小華想先拿蘋果再拿桔子，然后回到座位C處，/ AOB、于90度，請你幫助他設(shè)計一條行走路線，使小華所走路程最短.請作出路線圖，并用字母表示所走路線.（保留作圖痕跡，不寫作法、不必說明理由）B.中檔題組5 .如圖，山娃星期天從 A處趕了幾只羊到草地li放羊，然后趕羊到小河12飲水，之后再回到B處的家，假設(shè)山娃趕羊走的都是直路，請你為它設(shè)計一條最短的路線，標明放羊與 飲水的位置.6 .如圖，一牧民從 A點出發(fā)，到草地出發(fā)

14、，到草地MNfe喂馬，該牧民在傍晚回到營帳 B之前先帶馬去小河邊 PQ給馬飲水（MN PQ均為直線），試問牧民應(yīng)走怎樣的路線，才能使整個路程最短？（簡要說明作圖步驟，并在圖上畫出）C.挑戰(zhàn)題組7 .如圖，荊州古城河在 CC處直角轉(zhuǎn)彎，河寬均為 5米， 從A處到達B處，須經(jīng)兩座橋：DD , EE'（橋?qū)挷挥嫞?，設(shè) 護城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，A B在東西方向上相距65米，南北方向上相距 85米，如何架橋可使到 A到B的 路程最短，畫出路程圖五、我的錯題本參考答案變式練習(xí)變式1解：利用軸對稱圖形的性質(zhì)可作點A關(guān)于公路的對稱點 A ,連接A' B,與公路的交點就是點 P的位

15、置.變式2解：如圖，過點 B作BO!n,且使BC等于河寬，連接 AC交直線m與M彳MN/ BC即可. 理由：兩點之間線段最短.變式3解析：本題意思是在 OA上找一點D,在OB上找一點E,使 CDE的周長最小.如果作點C關(guān)于OA的對稱點是 M關(guān)于OB的對稱 "："r b- - I- -” - a k§點是N,當(dāng)點D> E在MNLh時， CD前周長為 CD+DE+EC=MN匕時周長最小.j變式4解：（i）因MN直平分 AB,所以MB= MA又因 MBC勺周長是14 cm,故AC+BC =14 cm,所以 BC= 6 cm.(2)當(dāng)點P位于直線MNW BC延長線的

16、交點時，PA CP的值最大，最大值是 6cmi理由：因A、B關(guān)于直線 MNX寸稱，所以AP=BP當(dāng)點P位于MN(直線MNW BC延長線的交點除外)上時，根據(jù)三角形三邊關(guān)系始終有I PB- CP| <BC,當(dāng)點P位于直線 MN與BC延長線的交點 P時, 即B C、P三點成線時，存在| PA- CP| = BC= 6 cm為最大值，變式5解：(1)如圖，作點 D關(guān)于OA的對稱點D',連接CD'與OA交于點 e，連接 de若在邊OA上任取點E'與點E不重合、，連接CE'、DE'、D'E'心幺/d七飛月由 DE'+CE'=D

17、'E'+CE' > CD'=D'E+CE=DE+CE/可知 CDE的周長最小.(2)如圖，作點 D關(guān)于OA的對稱點D',在CB邊上截取 CG=2連接D'G與OA交于點E,在EA上截取EF=2, GC/ EF, GC=EF .四邊形 GEFC平行四邊形，有 GE=CF又GC EF的長為定值，此時得到的點E、F使四邊形CDEF的周長最小.變式6解：作點G關(guān)于CD的對稱點G',作E關(guān)于AB的對稱點E'連接G' E',交CD于點F、交AB于點H,故比賽最短的路線為： HR8F."課堂作業(yè).A.基礎(chǔ)題

18、組1 .D解析：利用對稱的性質(zhì)，通過等線段代換，將所求路線長轉(zhuǎn)化為兩定點之間的距離.作點P關(guān)于直線L的對稱點P',連接QP交直線L于M根據(jù)兩點之間，線段最短，可知選項D鋪設(shè)的管道，則所需管道最短.故選D.2 .10解析：連接PC,根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)，可得PC=BPPD+P酸取最小值，應(yīng)使 口 P、C三點一線.連接 PC, .ABE等邊 三角形，D為AB的中點，PD+PBW最小值為： PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm3 . 45°解析：二當(dāng) PC+PD1小時，作出 D點關(guān)于MN勺對稱點，正好是A點，連接AG AE正方形對角線，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出/ PCD=45 , ，/PCD=45.4 .解析：要求小華所走路程最短路線，如圖，可作點C關(guān)于OA的對稱點M作點C關(guān)于OB的對稱點N.連接MN交OA于點F,交OB于點E, 最短路線CEFB.中檔題組5解：作出點 A關(guān)于li的對稱點E,點B適于12的對稱點F,連接EF, 交于li, 12于點C,點B,則AC, C口 BD是他走的最短路線.6 .解