高中數(shù)學(xué)必修2立體幾何專題二面角典型例題解法總結(jié)

1、二百角的求法一、定義法：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平而叫 做二面角的而，在棱上取點，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角 的平面角。本定義為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律。如例1中從二面角S-AM-B中半平而ABM上的一己知點 （B）向棱AM作垂線，得垂足（F）；在另一半平而ASM內(nèi)過該垂足（F）作棱AM的垂線（如GF）,這兩 條垂線（BF、GF）便形成該二面角的一個平而角.再在該平而角內(nèi)建立一個可解三角形，然后借助直角三 角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。例1如圖，四棱錐S - 中，底面A8C。為矩形，SD_L

2、底面488, AD = 23C = SO = 2,點 M 在側(cè)棱SC上，ZABM=6Q°（I）證明：M在側(cè)棱SC的中點（II）求二而角S AM-3的大小。證（I）略解（II）：利用二而角的定義，在等邊三角形A8W中過點8作8AM交AW于點尸，則點尸為AM的中點，過F點在平面ASM內(nèi)作GF_LAA/, GF交AS于G,連結(jié) AC, VAADCAADSt，AS-AC,且 M 是 SC 的中點，A AM ± SC, GF±AM,，GFAS,又 YQ 為 AM 的中點，,.GF是AAMS的中位線，點G是AS的中點。則NGF8即為所求二而角.= 則G/ =丑， 2又,SA

3、= AC =遙，AM = 2, AM = A3=2,=角形，cosZBFG =GF2 +FB2 -BG22GF-FBV62xxM #2BF = 6 。在GAB中，AG =, AB = 2, NGA8 = 90°, 2.,二面角S AM - 8的大小為arccos（-坐） 練習(xí)1如圖，已知四棱錐P-A8CD,底而48CD為菱形，%L平而488, ZABC = 60°,E, F分別是8&PC的中點.（I ）證明：AE±PD;（IT）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為求二面角£41C的余弦值.分析：第1題容易發(fā)現(xiàn)，可通過證AEJ_

4、AD后推出AEL平面APD, 使命題獲證，而第2題，則首先必須在找到最大角正切值有關(guān)的線段計算出各線段的長度之后，考慮到運 用在二面角的棱AF上找到可計算二面角的平面角的頂點S,和兩邊SE與SC,進(jìn)而計算二面角的余弦值。（答案：二面角的余弦值為坐）二、三垂線法三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂 直.通常當(dāng)點P在一個半平而上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律。如（例2）過二而角B-FC（-C中半平面BFC上的一已知點B作另一半平而FC】C的垂線，得垂足0：再過該垂足0作棱FJ的垂線，得垂足P,連結(jié)起點與

5、終點得 斜線段PB,便形成了三垂線定理的基本構(gòu)圖（斜線PB、垂線B0、射影0P）。再解直角三角形求二面角的 度數(shù)。例2.如圖，在直四棱柱ABCD-A|BCD中，底而ABCD為等腰梯形，AB 1 . 1 1 1 1 一, ob = 6 f】fy=等 CC, CFOP= -Lx2 = -V？TF 2BP = J； + 3 =呼OP cos /OPB =BPV22_ ""B2 _2y/5練習(xí)2如圖，在四棱錐夕 ABC。中，底面A8CD是矩形.已知 AB = 3, AD = 2, PA = 2,PD = 2叵、4PAB =60°.（I ）證明A。J_平而248；（H）求異

6、而直線PC與AO所成的角的大小：（IH）求二面角夕一8。一4的大小.分析：本題是一道典型的利用三垂線定理求二面角問題，在證明ADJ_平面PAB后，容易發(fā)現(xiàn)平面PAB,平 面ABCD,點P就是二而角P-BD-A的半平面上的一個點，于是可過點P作棱BD的垂線，再作平面ABCD 的垂線，于是可形成三垂線定理中的斜線與射影內(nèi)容，從而可得本解法。（答案：二面角P 30-A的大/9 小為 arctan )4三.補梭法本法是針對在解構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確交線的求二 面角題目時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱 為補棱）.然后借助前述的定義法與三垂線法解題。即當(dāng)二平而沒有 明確的交線時，

7、一般用補棱法解決例3如圖所示，四棱錐P-ABCD的底而八8CD是邊長為1的菱形，ZBCD=60° , E 是 8 的中點，%_1_底而 488, PA = 2.（I ）證明：平而P8E_L平而%8;（II）求平而力。和平而P8E所成二而角（銳角）的大小.分析：本題的平面力。和平面P8E沒有明確的交線，依本法顯然要 補充完整（延長AD、8E相交于點F,連結(jié)PF.）再在完整圖形中的 PF上找一個適合的點形成二面角的平面角解之。（I ）證略 解：（II）延長AD、8E相交于點F,連結(jié)PF.過點4作4HLp8于"，由（I ）知平面P8E,平面外8,所以AHL平面PBE.在 RtA4

8、8F 中，因為N84F=60° ,所以，AF=2AB=2=AP.在等腰Rt以中，取PF的中點G,連接AG.則4GJ_PF.連結(jié)HG,由三垂線定理的逆定理得，PFJ_HG.所以乙4GH是平面PAD和平面P8E所成二面角的平而 角（銳角）.在等腰 RtZ%F 中，AG = PA = y/2. 2AP.AB AP.AB" PB y)AP2+AB2sin ZAGH =AG2y/5572故平面力。和平而P8E所成二面角（銳角）的大小是arcsin練習(xí)3己知斜三棱柱ABC-AxBxG的棱長都是a,側(cè)棱與底而 成60。的角，側(cè)面BCJB底面ABC。（1）求證：ACilBC；（2）求平而A

9、B】J與平面ABC所成的二而角（銳角）的大小.提示：本題需要補棱，可過A點作CB的平行線L（答案：所成的二面角為45。）四、射影面積法（COS9 =凡二而角的圖形中含有可求原圖形而積和該圖形在另一個半平而上的射影圖形而積的都可利用射影面積公式（cos6 = ±±）求出二而角的大小。s斜例 4.如圖，在三棱錐PA3C中，AC = BC = 2, ZACB = 90 ,ap=bp=ab, pc±ac.（I ）求證：PC-LAB,）（H）求二面角8 C的大小；分析：本題要求二面角BAPC的大小，如果利用射影面積法解題，不難想到在平面ABP與平而ACP中建立一對原圖形與射

10、影圖形并分別求出S明與S財于是得到下面解法。解：（I）證略（n> VAC = BC, AP = BP, :./APCABPC.又尸C_LAC, .尸C_L8C.又ZAC8 = 90'，即 ACJL8C,且 ACC1PC = C,.3C_L平面尸AC.取AP中點E.連結(jié)BE, CE.：AB = BP, :.BE工AP. EC是8石在平面PAC內(nèi)的射影，:.CELAP.：.AACE是4ABE在平而ACP內(nèi)的射影,于是可求得： AB=BP=AP = y/AC2 +CB2 =272, BE = ylAB2-AE2 =, AE = EC = V2則 5射=SMCE = ； AE* CE =

11、；叵收=1,s 雙=SMBE =gAEEB = ；E 、底=6設(shè)二面角8 APC的大小為S,則cosS =s射_ _J_ _正S 原 V3 3二面角的大小為S = arccosV3VA圖5練習(xí)4：如圖5, E為正方體ABCD - AiBiCiDi的棱CJ的中點，求平面ABiE和底面A小工JDi所成銳角的余弦值.分析 平面ABtE與底而AjB】C】D】交線即二而角的棱沒有給出，要找到二而角的平面角，則必須先作 兩個平面的交線，這給解題帶來一定的難度?？紤]到三角形AB】E在平面A】B】C1D上的射影是三角形 從而求得兩個三角形的面積即可求得二而角的大小。2（答案：所求二面角的余弦值為cos 0=士

12、）.3五、向量法*向量法解立體幾何中是一種十分簡捷的也是非常傳統(tǒng)的解法，可以說所有的立體幾何題都可以用向量 法求解，用向量法解立體幾何題時，通常要建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點的坐標(biāo)，然后將幾何圖中的線 段寫成用坐標(biāo)法表示的向量，進(jìn)行向量計算解題。由AM =(III)解:設(shè)平面CDE的法向量為, = (x, y, z)，則it CE = 0,a DE = 0.例 4 ： 如圖， 在五而體 ABCDEF 中， FA _L 平面 ABCD,1/ 11 AD ± - ± A AB = U B(1,O,O> C(1,1,O> D(0,2,0>F(O,O,1>

13、M -,b-.解:樂=(一1,0,1)2122，DE =(O,-L1> 于是c。4礪= BF DE = ()y() = I BF DE 60° ( II )證明：E = (-1,0,1) AD =(0,2,0> nJf|CEeAM=0.CEAD = 0,因此，CE ± AM, CE J. AD.又AMpAD = A,故CE1.平面AMD.而CEu平面CDE,所以平面AMD J_平面CDE.于是+z = 0,令“L可得 =(u,d.-y + z = 0.又由題設(shè)，平而AC。的一個法向量為u = (0,0,1).練習(xí)5、如圖，在直三棱柱ABC 44G中，平面A8C_L側(cè)而(I )求證：AB-LBCi(H)若直線AC與平面ABC所成的角為氏二而角ABC A的A 大小為。，試判斷8與。的大小關(guān)系，并予以證明.、 比 、分析：由已知條件可知：平而ABBiAiL