直角三角形的性質(zhì)--教學(xué)設(shè)計

1、19.8(1)直角三角形的性質(zhì)教學(xué)設(shè)計說明一、內(nèi)容與內(nèi)容解析本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是上海教育出版社八年級第一學(xué)期 第十九章 幾何證明這一章節(jié)中的第三節(jié)“直角三角形”內(nèi)容中的“ 19.8 直角三角形的性質(zhì)” ，第 1課時 . 學(xué)生們在七年級的時候，已經(jīng)學(xué)習(xí)并掌握了等腰三角形的判定與性質(zhì)，這為我們研究特殊的三角形提供了一定的認(rèn)知基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)范式. 此前， 對直角三角形， 學(xué)生只學(xué)習(xí)過它的定義及其有關(guān)概念， 以及兩個直角三角形全等的判定， 而這一節(jié)課要研究的就是直角三角形的性質(zhì)： 定理 1 直角三角形的兩個銳角互余.定理 2 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半. 這兩條性質(zhì)分別揭示了直角三角形的主要元素“

2、角”之間的數(shù)量關(guān)系、主要元素“斜邊”及相關(guān)元素“斜邊上的中線”之間的數(shù)量關(guān)系，這是本節(jié)課的學(xué)習(xí)主題與重點(diǎn)同時，無論定理2的文字語言的表述， 還是圖形語言的描述， 都揭示了直角三角形與等腰三角形之間內(nèi)在的天然聯(lián)系，這種聯(lián)系在例題、練習(xí)題中，同樣顯示得那么強(qiáng)烈我認(rèn)為對于這種內(nèi)在的天然聯(lián)系的凸顯與認(rèn)識是很有必要的， 其價值不僅在于對數(shù)學(xué)知識的真正理解， 而且在于數(shù)學(xué)育人層面上， 為如何認(rèn)識 “世界上事物之間是互相聯(lián)系的， 在一定條件下， 是可以互相轉(zhuǎn)化的” 大道理， 提供了一個數(shù)學(xué) “小案例” 。在等腰三角形等腰直角三角形-直角三角形多媒體演示過程中，體現(xiàn)了 “從一般到特殊” ，再“從特殊到一般”的

3、數(shù)學(xué)思想以及“特殊化” 、 “一般化”的研究策略，旨在讓學(xué)生更好的理解這兩條性質(zhì)的“發(fā)生” 同時，觀察圖形變化過程中始終不變的特征， 這種圖形在變化過程中的不變特征就是圖形的性質(zhì) 于是重現(xiàn)了等腰三角形的性質(zhì)、 等腰直角三角形的特殊性質(zhì)， 并得到了直角三角形的性質(zhì)我認(rèn)為，這個多媒體課件的設(shè)計，同樣也是今天教學(xué)內(nèi)容的一部分， “特殊化” “一般化”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要的學(xué)習(xí)策略，在動態(tài)變化過程中，觀察變化中的不變性從而得出圖形性質(zhì)， 是研究圖形性質(zhì)的科學(xué)方法， 這種方法就其本質(zhì)而言，就是觀察變化的世界，把握變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)不變特征的世界觀.直角三角形的性質(zhì)定理2 是后續(xù)研究直角三角形與特殊平行四邊形

4、的基礎(chǔ)與依據(jù)， 直角三角形與等腰三角形的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化也是解直角三角形的利器 這兩條性質(zhì)的學(xué)習(xí)為今后的平面幾何證明學(xué)習(xí)奠定了堅實(shí)的基礎(chǔ)， 提供了更為靈活的證明思路和方法.二、目標(biāo)與目標(biāo)解析由于直角三角形的兩條性質(zhì)定理是本課時的學(xué)習(xí)主題與重點(diǎn)，于是制定“ 1 掌握直角三角形的兩個銳角互余的定理” ， “ 2 初步掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的定理，并能初步運(yùn)用” ，作為這節(jié)課的第一、第二教學(xué)目標(biāo) . 鑒于對“從一般到特殊”“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想及“特殊化”“一般化”策略的認(rèn)識，對定理證明難度的估計和對小組“合作學(xué)習(xí)”功能的發(fā)揮，設(shè)置了 “經(jīng)歷 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 的

5、探究和推導(dǎo)證明過程，體會從一般到特殊再從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，并從中分享小組合作探究成功的喜悅” 作為第三教學(xué)目標(biāo) 出于對充分發(fā)揮教學(xué)內(nèi)容本身具有的育人功能的認(rèn)識， 設(shè)置了第四條教學(xué)目標(biāo)： “ 通過多媒體動態(tài)變化過程的演示，定理證明、例題解析、練習(xí)演練中兩類圖形具有規(guī)律性的呈現(xiàn)，認(rèn)識到“變化與不變”、“一般與特殊”、“聯(lián)系與轉(zhuǎn)化”是世界事物普遍性的反映”三、教學(xué)問題診斷分析在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生們會遇到一些困難和問題 .首先，在直角三角形的兩條性質(zhì)中， “兩銳角互余” ，利用三角形內(nèi)角和為180 度， 學(xué)生容易探究得到， 容易理解的 . 但是， “斜邊上的中線等于斜邊的一半”如果老師沒

6、有認(rèn)真設(shè)計， 合理引導(dǎo)， 學(xué)生是很難進(jìn)行自主探究得到的 怎么會想到斜邊上的中線， 而不是其他兩條直角邊上的中線？這條中線又怎么會恰巧等于斜邊的一半？這些都是“橫”在學(xué)生探求路途中的“坎” . 其次，即使探究到了“斜邊上的中線等于斜邊的一半” 這個結(jié)論， 但如何證明這個結(jié)論， 對于學(xué)生來說也是較為困難的， 因為依據(jù)現(xiàn)有圖形和已知條件不能直接證明可得， 而是需要通過添加輔助線，把證明線段的“倍半問題”轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等問題，并要構(gòu)造出兩個全等的三角形. 基于以上兩點(diǎn)，我把本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)設(shè)置為：直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)定理的探究和推導(dǎo) .四、教學(xué)支持條件分析第 3 頁共 7 頁本章是論證幾何

7、的入門，學(xué)生初學(xué)演繹推理，證明難度不宜過高，故把演繹 與非演繹適當(dāng)結(jié)合；證明的難度也應(yīng)分層面對、逐步提高，把握好這兩個“度”.根據(jù)以上教學(xué)問題診斷分析，為了更好的實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，需要2個支持條件.條件1:多媒體技術(shù).從等腰三角形的性質(zhì)復(fù)習(xí)引入，然后特殊化變?yōu)轫斀?為直角一一等腰直角三角形，發(fā)現(xiàn)它具有一般的等腰三角形的性質(zhì)以外，還具有 以下兩條特有的性質(zhì)：1.所有的銳角均為45度；2.頂角平分線、底邊（斜邊） 上的中線、底邊（斜邊）上的高這三條線段的長都等于底邊（斜邊）的一半 .再 對其一般化，變?yōu)閮芍苯沁叢灰欢ㄏ嗟?，即一般的直角三角?在這個從一般到 特殊，再從特殊到一般的動態(tài)變化過程， 采用多

8、媒體技術(shù)展現(xiàn)給學(xué)生，幫助學(xué)生 探究和理解直角三角形的性質(zhì).尤其是直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，需要多媒 體技術(shù)環(huán)境下進(jìn)行實(shí)驗操作，緩慢展示動態(tài)變化過程，以助學(xué)生歸納、猜想 .條件2:小組討論.探究得到直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)定理后，其推導(dǎo)證 明也是本節(jié)課的一個難點(diǎn).教師引導(dǎo)后采用學(xué)生小組討論合作完成，具完成結(jié)果 可以分享給全班同學(xué).這樣，既化解了難點(diǎn)，又提高了課堂教學(xué)效率 .五、教學(xué)過程設(shè)計教師活動復(fù)習(xí)引入回憶等腰三角形的性質(zhì)，得到等腰直角三角形 特有的性質(zhì)，以此進(jìn)而猜想一般的直角三角形一般化 兩直角邊不一定相等設(shè)想：如果原來的等腰直角三角形變化為一般 的直角三角形，哪些性質(zhì)還將保留呢？這就是

9、 我們本節(jié)課所要探究的問題 （點(diǎn)明課題） 二、學(xué)習(xí)新知1、直角三角形性質(zhì)定理一學(xué)生活動答：（1）等腰三角形兩底角相等.（2）等腰三角形“三線合一”答：等腰直角三角形具備一般 的等腰三角形的所有性質(zhì)外， 還具有以下特有的性質(zhì)：（1）所有的銳角都為45度.（2）頂角平分線、底邊（斜邊） 上的中線、底邊（斜邊）上的 高這三條線段長都等于底邊（斜邊）的一半.教學(xué)設(shè)計意圖 從學(xué)生已有的認(rèn) 知基礎(chǔ)“等腰三角 形”的性質(zhì)出發(fā) 利用“等腰直角三 角形”這個特殊的 等腰三角形（也是 特殊的直角三角 形），作為知識的 “橋梁”，溝通了 等腰三角形和直 角三角形間的聯(lián) 系，從而自然引發(fā) 學(xué)生對直角三角 形性質(zhì)探究的

10、興 趣.同時也體會從“一 般”至U “特殊”， 再從“特殊”回到 “一般”的研究問這時，兩銳角/ A與/B還會都等于45度嗎？ 如果不是，那么這兩銳角間存在怎樣的數(shù)量關(guān) 系呢？答：/A、/ B都不等于45° ./A與/ B互余.由/ A+Z B+/ 0=180°，/ C題的數(shù)學(xué)思想方 法.A1教學(xué)策略2動態(tài)父化 概括/、艾性=90° ,可得/ A+/B=90° .CAB問：如果用文字語言表述，可以得出怎樣的一個真命題？定理1:直角三角形的兩個銳角互余.簡約的幾何語言表示：在 RtABC 中，0=90° （已知），Z A+Z B= 90。（直角三

11、角形的兩個銳角互答：直角三角形的兩個銳角互 余.余）教學(xué)策略1特殊、一般一一展現(xiàn)學(xué)習(xí)主題2、直角三角形性質(zhì)定理二教師操作幾何畫板使等腰直角三角形連 續(xù)、動態(tài)變化為任意的直角三角形，讓學(xué)生觀 察三條線段的長度分別變化的狀況.提出卜列 問題串后可能要動用幾何畫板的度量的功能.1一般化,兩直角邊不一定相等學(xué)生可能沒有一 般的直角三角形 斜邊上的中線與 斜邊的長度關(guān)系 的認(rèn)知基礎(chǔ)，所以 用幾何畫板動態(tài) 演示并發(fā)揮度量 功能，幫助學(xué)生理 解.AMBAM T H B問題串i：我們發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形底邊（斜邊）上重合的三條線段（中線、高和頂角平分 線）都等于底邊（斜邊）的一半，那么，在一般的直角三角形中，這

12、三條條線段還會都等于斜邊的一半嗎？這三條線段中有沒有一條線段等于斜邊的一半呢？如果有，是哪一條？如何證明？答：不會；有，其中斜邊上的中線等于 斜邊的一半.略這只是我們通過實(shí)驗操作得到的一個猜想，下面我們要想法證明我們的猜想結(jié)論是正確的.A卜已知：如圖，在 RtABC 中，/ACB=90° ,CD尾劊廿AB卜的山給<j' i . . 、. i . i j i.CB第9頁共7頁 一 1求證：CD= AB.2答：不能，不行.倍長中線.將證明線段的倍半關(guān)系轉(zhuǎn) 化為證明線段的相等關(guān)系.分析：問題串2:根據(jù)題中的已知條件和現(xiàn)有的圖形你能直接證明CD= Iab嗎？不添置輔助線行嗎？

13、2添置怎樣輔助線？這樣添置輔助線的目的是什么？ 討論：我們四人一組分別討論，尋找證明思路.學(xué)生分析完畢后，展示證明過程.證明：延長CD到點(diǎn)E,使DE=CD ,聯(lián)結(jié)AE.CD是斜邊AB的中線，.AD = BD（三角形中線的定義）.在 AED與 BCD中，AD BD（已證）， 1= 2（對頂角相等），CD DE（已作），AEDA BCD （S.A.S）. .AE = BC （全等三角形對應(yīng)邊相等）； /3=/ B （全等三角形對應(yīng)角相等） . ./ACB=90° （已知），Z 4+ ZB=90° （直角三角形兩銳角互余）. / 4+ / 3= 90°（等量代換）, 即

14、/ CAE = / ACB（等量代換）. 在 CAB與 ACE中，BC EA（已證）， ACB= CAE（已證）,CA AC（公共邊），CABA ACE （S.A.S）. .AB = CE （全等三角形對應(yīng)邊相等）. 一 1又. CD= CE（已作），2強(qiáng)調(diào)定理的 三種語言形態(tài)轉(zhuǎn) 化是為熟練運(yùn)用 定理奠定基礎(chǔ). CD= 1AB（等量代換）. 2由此得到另一個定理：定理2:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的 一半.簡約的幾何語言表示：在 RtAABC 中，. / ACB = 90°, CD 是斜邊本題主要是 直角三角形性質(zhì) 定理2的簡單運(yùn) 用，難度不大，但 給出了證題規(guī)范， 如打星的兩步

15、.AB上的中線（已知）， CD= 1AB（=AD = BD）（直角三角形斜邊上2的中線等于斜邊的一半）.學(xué)習(xí)了定理2可以解決什么問題呢？我們來看 一個例子.例1 如圖，在 ABC中，ADXBC,垂足是點(diǎn)D, E、F分別是 AB、AC的中點(diǎn)，且 DE = DF. 求證：AB= AC.證明：. ADXBC （已知）, ./ADB = /ADC=90° （垂直的定義）.又E是AB的中點(diǎn)（已知），DE = AB 2 斜邊的一半） -1同理DF= 一（直角三角形斜邊上的中線等于教學(xué)策略4精選典題一一發(fā)揮多重功能AC. 2. DE = DF （已知），.AB=AC （等式性質(zhì)）.圖形的“分割”是

16、將一個圖形“一分為二”，圖 形的“拼合”是將兩個圖形“合二為一”，這是 改變圖形的兩種互逆的思維方式.問題串3:細(xì)看性質(zhì)定理 2的圖形，以直角 三角形斜邊上的中線為公共邊的兩個三角形是什么三角形？如果用“分割”這個詞來表述，可以表述成 怎樣的一個真命題？細(xì)看例1的圖形，如果用“分割”這個詞來 表述，可以表述成怎樣的一個真命題？如何用“拼合”來表述剛才的兩個真命題？教學(xué)策略3形象語言一一揭示聯(lián)系、轉(zhuǎn)化等腰三角形；直角三角形的斜邊上的中線把直角三角形分成兩個等腰三角形；等腰三角形底邊上的中線 把等腰三角形分成兩個全等 的直角三角形；兩個全等的直角三角形可 以拼合成一個等腰三角形；兩個腰相等、頂角互補(bǔ)的等腰三 角形可以拼成一個直角三角 形.引導(dǎo)學(xué)生發(fā) 現(xiàn)直角三角形的 斜邊上的中線把 直角三角形分成 兩個等腰三角形， 從中體會這兩種 特殊三角形之間 存在的聯(lián)系.三、課堂練習(xí)1.已知，如圖， BE、CF分別是 ABC的高,D是BC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE、DF.求證： DEF是等腰三角形.四、課堂小結(jié)談?wù)勥@節(jié)課你有什么收獲、體會或想法?五、布置作業(yè)練習(xí)冊：習(xí)題19.8(1)六、目標(biāo)檢測設(shè)計已知，如圖，BE、CF分別是 ABC的高，D是BC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié) DE、DF .求證： DEF