數(shù)學(xué)里的鐘表問題“鐘面角”

1、鐘表問題“鐘面角”日常生活中，我們幾乎每天都要看鐘表，然而我們對鐘表表面上的時(shí)針、分針、秒針之間的夾角（即“鐘面角”）問題可能并沒有在意.其實(shí)鐘面角中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)知識，我 們一起來探究一下“鐘面角”問題吧.一、認(rèn)識“鐘面角”要分析鐘面角，我們首先要結(jié)合其圖形特點(diǎn)，尋找并發(fā)現(xiàn)它們的變化規(guī)律.鐘表的表面特點(diǎn)：鐘表的表面都是一個圓形，共有 12個大格，每個大格間有 5個小 格.圓形的表面恰好對應(yīng)著一個周角 360 ,每個大格對應(yīng)30角，每個小格對應(yīng)6角.表 面一般有時(shí)針、分針、秒針三根指針.鐘表時(shí)針、分針、秒針的轉(zhuǎn)動情況：時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)1大格，每12分鐘轉(zhuǎn)1小格，每12個小時(shí)轉(zhuǎn)1個圓周；分針每5分

2、鐘轉(zhuǎn)一大格，每1分鐘轉(zhuǎn)1小格，每小時(shí)轉(zhuǎn)1個圓周； 秒針5秒鐘轉(zhuǎn)1大格，每1秒鐘轉(zhuǎn)1小格，每1分鐘轉(zhuǎn)一個圓周.時(shí)針、分針、秒針的轉(zhuǎn)速：有了以上的認(rèn)識，我們很容易計(jì)算出相應(yīng)指針的轉(zhuǎn)速：鐘表的時(shí)針轉(zhuǎn)速為：30 /小時(shí)或。/分鐘；分針的轉(zhuǎn)速為：6 /分鐘或。/秒鐘；秒針的轉(zhuǎn)速為：6 /秒.有了這些對鐘面角的基本認(rèn)識，我們就可以探究與鐘面角有關(guān)的問題了.二、解決與鐘面角有關(guān)的數(shù)學(xué)問題L計(jì)算從某一時(shí)刻到另一時(shí)刻，時(shí)針（分針）轉(zhuǎn)過的角度公式法：時(shí)（分）針從某一時(shí)刻到另一時(shí)刻轉(zhuǎn)過的角度=時(shí)（分）針轉(zhuǎn)過的時(shí)間X時(shí)（分）針的轉(zhuǎn)速（注意統(tǒng)一單位）.觀察法：若時(shí)（分）針轉(zhuǎn)過了 a大格b小格，則時(shí)（分）針從某一時(shí)刻到另

3、一時(shí)刻轉(zhuǎn) 過的角度為：30a+6b .例1.從3: 15到7: 45,時(shí)針轉(zhuǎn)過 度.從1: 45至IJ 2: 05,分針轉(zhuǎn)過 度.分析：從3: 15到7: 45,時(shí)針走過的時(shí)間為小時(shí)（270分鐘），時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為：X30 =135 (或 270X =135 )4X 30+X 6=135或用觀察法：時(shí)針共走了 4大格小格，時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為:從1: 45到2: 05,分鐘走過的時(shí)間為 20分鐘，分針轉(zhuǎn)過的角度為：20X6 =120 .或用觀察法：分針共走了 4個大格（或20小格）分針轉(zhuǎn)過的角度為：4X30 =120 （或：20X6 =120 ）.2 .計(jì)算某一時(shí)刻時(shí)針（分針）與分針（秒針）之間的

4、夾角求差法：以0點(diǎn)（12時(shí)）為基準(zhǔn)到某一時(shí)刻止，時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度與分針在整點(diǎn)后的 時(shí)間轉(zhuǎn)過的角度差，即時(shí)針、分針之間的夾角.觀察法：某一時(shí)刻時(shí)針、分針相差a個大格b個小格，時(shí)針分針的鐘面角=30a+6b例2 .4： 00點(diǎn)整，時(shí)針、分針的夾角為 .11: 40,時(shí)針、分針的夾角為 .分析：4: 00整，時(shí)針、分針相差 4個大格，夾角為：4X30 =120 .作差法：11: 40,以0點(diǎn)（12時(shí)）為基準(zhǔn)2時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為：11? X30 =350分針轉(zhuǎn)過的角度為：40X6 =240，時(shí)針、分針的夾角為：350 240 =11022觀察法：11: 40分針、時(shí)針相隔3G個大格，時(shí)針、分針的夾角為：3

5、3 X30 =1103 .求時(shí)針、分針成特殊角時(shí)對應(yīng)的時(shí)間方程思想：時(shí)針、分針成特殊角時(shí)對應(yīng)的時(shí)間問題，通常以 0點(diǎn)（12時(shí)）為基準(zhǔn)將時(shí) 針、分針?biāo)D(zhuǎn)過的角度可看成一個追及問題，從而借助方程進(jìn)行求解.相等關(guān)系：整點(diǎn)后分針轉(zhuǎn)過的角度一整點(diǎn)后時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度=整點(diǎn)時(shí)分針、時(shí)針的夾角（分針需追趕的角度）+a時(shí)x分分針與指針的夾角（分針應(yīng)多轉(zhuǎn)的角度）或：分針整點(diǎn)后轉(zhuǎn)過的角度一時(shí)針從0點(diǎn)基準(zhǔn)到現(xiàn)在時(shí)刻轉(zhuǎn)過的角度=所成的特殊角例3 .你能用一元一次方程解決下面的問題嗎（課本習(xí)題P114頁第8題）在3時(shí)和4時(shí)之間的哪個時(shí)刻，鐘的分針與時(shí)針：重合；成平角；成直角.分析：重合：設(shè)3時(shí)x分時(shí)針、分針重合.3時(shí)整，時(shí)

6、針、分針的夾角為 90 .即在后x分鐘，分針要比時(shí)針多走 90。，分針才能追及時(shí)針重合.從3時(shí)整到3時(shí)x分，分針走過6x度角，時(shí)針走過度角.依題意有6x =90分針與時(shí)針成平角：設(shè) 3時(shí)x分時(shí)針、分針成平角，即在后 x分鐘,分針先要多走90解得：x = 16追及時(shí)針，然后還要比時(shí)針多走180。.依題意有6x =90+180解得：x=49分針與時(shí)針成直角：應(yīng)分兩種情況討論.分針在時(shí)針的順時(shí)針方向垂直.此時(shí)鐘面角為90 .即在后x分鐘,分針先要多走90追及時(shí)針，然后還要比時(shí)針多走90 .依題意有6x -=90+90180解得:x= 33分針在時(shí)針的逆時(shí)針方向垂直.此時(shí)鐘面角為270 .即在后x分鐘

7、,分針先要多走90追及時(shí)針，然后還要比時(shí)針多走270 .依題意有6x -=90+90180解得：x-65 （不合題意，舍去）4 .鐘面角的綜合應(yīng)用例4.在一個圓形時(shí)鐘的表面,OA表示秒鐘，OB表示分鐘（。為兩針的旋轉(zhuǎn)中心）.若現(xiàn)在時(shí)間恰好是12點(diǎn)整，問經(jīng)過多少秒后， OAB的面積第一次達(dá)到最大分析：4OA即面積最大，設(shè)OA邊上的高為h,則h總小于等于 OB,只有當(dāng)OALOB時(shí), h=OB，此日OAB的面積最大.12點(diǎn)整，分針、秒針重合，設(shè)經(jīng)過 x秒，分針、秒針第一次垂直， OA即面積第一次達(dá)到最大.此時(shí)秒針走過角度為6x,分針走過的角度為.依題意有156x=90解得x=15-15即經(jīng)過15 5

8、9秒后， OAB的面積第一次達(dá)到最大.鐘表夾角問題公式鐘面上分12大格60小格。每1大格均為360除以12等于30度。每 過一分鐘分針走6度，時(shí)針走度，能追度。公式可這樣得來：X時(shí)時(shí)，夾角為30X度。Y分，也就是分針追了時(shí)針度。可用：整點(diǎn)時(shí)的度數(shù)30X減去追了的度數(shù)。如果減得的差是負(fù)數(shù)，則取絕對值，也就是直接把負(fù)號去掉， 因?yàn)槎葦?shù)為非負(fù)數(shù)。因?yàn)闀r(shí)針與分針一般有兩個夾角，一個小于180度，一個大于180度, （180度時(shí)只有一個夾角）因此公式可表示為：|或360-|度。|為絕對值符號。如：2: 10,可代入得：60-55=5度。大于180度的角為：355度。如：11: 20, 330-110=220 度,小于 180 的角:360-220=140 度。:比方說現(xiàn)在是X時(shí)Y分（X要小于等于12）,則時(shí)針過數(shù)字X為Y/60 * 30 = Y/2 度而分針指在Y/5所以時(shí)鐘和分針的夾角 =（Y/5 - X）*30 - Y/2 = 11Y/2 - 30X 度我們先設(shè)求m時(shí)n分時(shí)指針夾角度數(shù)，先求m時(shí)n分時(shí)針分針相對于 12時(shí)轉(zhuǎn)過