面積計(jì)算奧數(shù)題

1、六年奧數(shù)綜合練習(xí)題十答案（圖形面積）簡(jiǎn)單的面積計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容. 要會(huì)計(jì)算面積，首先要能識(shí)別一些特別的圖形：正方形、三角形、平行四邊形、梯形等等，然后會(huì)計(jì)算這些圖形的面積.如果我們把這些圖形畫(huà)在方格紙上，不但容易識(shí)別，而且容易計(jì)算.上面左圖是邊長(zhǎng)為4的正方形，它的面積是 4X4= 16 （格）；右圖是3X5 的長(zhǎng)方形，它的面積是3X5= 15 （格）.上面左圖是一個(gè)銳角三角形，它的底是5,高是4,面積是5 X4 + 2= 10 （格）； 右圖是一個(gè)鈍角三角形，底是 4,高也是4,它的面積是4X4 + 2= 8 （格）.這里特 別說(shuō)明，這兩個(gè)三角形的高線(xiàn)一樣長(zhǎng)，鈍角三角形的高線(xiàn)有可能

2、在三角形的外面.上面左圖是一個(gè)平行四邊形，底是 5,高是3,它的面積是5 X 3 = 15 （格）；右圖是一個(gè)梯形，上底是4 ，下底是7，高是4，它的面積是（4+7） X4 + 2= 22 （格）.上面面積計(jì)算的單位用“格”，一格就是一個(gè)小正方形. 如果小正方形邊長(zhǎng)是1厘米， 1 格就是 1 平方厘米；如果小正方形邊長(zhǎng)是1 米， 1 格就是 1 平方米 . 也就是說(shuō)我們?cè)O(shè)定一個(gè)方格的邊長(zhǎng)是1 個(gè)長(zhǎng)度單位，1 格就是一個(gè)面積單位. 在這一講中，我們直接用數(shù)表示長(zhǎng)度或面積，省略了相應(yīng)的長(zhǎng)度單位和面積單位.一、三角形的面積用直線(xiàn)組成的圖形，都可以劃分成若干個(gè)三角形來(lái)計(jì)算面積. 三角形面積的計(jì)算公式是

3、：三角形面積=底X高+2.這個(gè)公式是許多面積計(jì)算的基礎(chǔ). 因此我們不僅要掌握這一公式，而且要會(huì)靈活運(yùn)用 .例1右圖中BD長(zhǎng)是4, DC長(zhǎng)是2,那么三角形ABD勺面積是三角形ADC®積的多少倍呢？解：三角形ABDW三角形ADC勺高相同.三角形ABD面積=4X高+2.三角形ADC面積=2X高+ 2.因此三角形ABD勺面積是三角形AD面積的2倍.注意：三角形的任意一邊都可以看作是底，這條邊上的高就是三角形的高，所以每個(gè)三角形都可看成有三個(gè)底，和相應(yīng)的三條高.例2右圖中，BD DE EC的長(zhǎng)分別是2, 4, 2.F是線(xiàn)段AE的中點(diǎn)，三角形ABC 的高為4.求三角形DFE的面積.解：BC= 2

4、 + 4 + 2 = 8.三角形ABC面積=8 X 4 +2= 16.我們把A和D連成線(xiàn)段，組成三角形ADE它與三角形ABC的高相同，而DE長(zhǎng) 是4,也是BC的一半，因此三角形 ADE面積是三角形ABC面積的一半.同樣道理， EF是AE的一半，三角形DFE面積是三角形ADE®積的一半.三角形DFE面積=16+4 = 4.例 3 右圖中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是20，寬是12，求它的內(nèi)部陰影部分面積.解：ABE他是一個(gè)長(zhǎng)方形，它內(nèi)部的三個(gè)三角形陰影部分高都與BE一樣長(zhǎng).而三個(gè)三角形底邊的長(zhǎng)加起來(lái)，就是 FE的長(zhǎng).因此這三個(gè)三角形的面積之和是FEX B& 2,它恰好是長(zhǎng)方形ABEFW積的一半.

5、同樣道理，F(xiàn)EC他是長(zhǎng)方形，它內(nèi)部三個(gè)三角形（陰影部分）面積之和是它的面積的一半.因此所有陰影的面積是長(zhǎng)方形 ABC畫(huà)積的一半，也就是20X 12+2= 120.通過(guò)方格紙，我們還可以從另一個(gè)途徑來(lái)求解. 當(dāng)我們畫(huà)出中間兩個(gè)三角形的高 線(xiàn)，把每個(gè)三角形分成兩個(gè)直角三角形后，圖中每個(gè)直角三角形都是某個(gè)長(zhǎng)方形的一半，而長(zhǎng)方形ABC奧由這若干個(gè)長(zhǎng)方形拼成.因此所有這些直角三角形（陰影部 分）的面積之和是長(zhǎng)方形ABC畫(huà)積的的一半.例 4 右圖中， 有四條線(xiàn)段的長(zhǎng)度已經(jīng)知道，還有兩個(gè)角是直角，那么四邊形ABCD（陰影部分）的面積是多少？解：把A和C連成線(xiàn)段，四邊形ABCDft分成了兩個(gè)，三角形ABCff

6、i三角形ADC.對(duì)三角形ABC來(lái)說(shuō)，AB是底邊，高是10,因此面積=4X 10+ 2= 20.對(duì)三角形ADC來(lái)說(shuō)，DC是底邊，高是8 ,因此面積=7X 8+ 2 = 28.四邊形 ABCD0 積=20 + 28 = 48.這一例題再一次告訴我們，鈍角三角形的高線(xiàn)有可能是在三角形的外面.例5在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)有一個(gè)三角形 BEF線(xiàn)段AE= 3, DF= 2,求三角形 BEF的面積.解：要直接求出三角形BEF的面積是困難的，但容易求出下面列的三個(gè)直角三角形的面積三角形ABE面積=3X 6X2= 9.三角形 BCF面積=6 X （6-2） +2= 12.三角形 DEF面積=2X （6-3） +2=

7、 3.我們只要用正方形面積減去這三個(gè)直角三角形的面積就能算出：三角形 BEF 面積=6X 6-9-12-3 =12.例6在右圖中，ABC虛長(zhǎng)方形，三條線(xiàn)段的長(zhǎng)度如圖所示，M是線(xiàn)段DE的中點(diǎn)，求四邊形ABMD陰影部分）的面積.解：四邊形ABMDK已知的太少，直接求它面積是不可能的，我們?cè)O(shè)法求出三 角形DCEW三角形MBE勺面積，然后用長(zhǎng)方形ABCD勺面積減去它們，由此就可以求得四邊形ABMD）面積.把M與C用線(xiàn)段連起來(lái)，將三角形DC成兩個(gè)三角形.三角形DCE的面積是7 X2 + 2=7.因?yàn)镸是線(xiàn)段DE的中點(diǎn)，三角形DMC三角形MC靦積相等，所以三角形 MCE 面積是7 +2 = 3.5.因?yàn)锽

8、E= 8是CE= 2的4倍，三角形MBE與三角形MCEt一樣，因此三角形MBEW積是3.5 X4=14.長(zhǎng)方形 ABCD0積=7X （8 + 2） =70.四邊形 ABMDM 積=70-7- 14 = 49.二、有關(guān)正方形的問(wèn)題先從等腰直角三角形講起.一個(gè)直角三角形，它的兩條直角邊一樣長(zhǎng)，這樣的直角三角形，就叫做等腰直角三角形. 它有一個(gè)直角（90 度） ，還有兩個(gè)角都是45 度，通常在一副三角尺中. 有一個(gè)就是等腰直角三角形.兩個(gè)一樣的等腰直角三角形，可以拼成一個(gè)正方形，如圖（a） . 四個(gè)一樣的等腰直角三角形，也可以拼成一個(gè)正方形，如圖（b） .一個(gè)等腰直角三角形，當(dāng)知道它的直角邊長(zhǎng)，從圖

9、（a）知，它的面積是直角邊長(zhǎng)的平方+ 2.當(dāng)知道它的斜邊長(zhǎng)，從圖（b）知，它的面積是斜邊的平方+ 4例 7 右圖由六個(gè)等腰直角三角形組成. 第一個(gè)三角形兩條直角邊長(zhǎng)是8. 后一個(gè)三角形的直角邊長(zhǎng)，恰好是前一個(gè)斜邊長(zhǎng)的一半，求這個(gè)圖形的面積.解： 從前面的圖形上可以知道，前一個(gè)等腰直角三角形的兩個(gè)拼成的正方形，等于后一個(gè)等腰直角三角形四個(gè)拼成的正方形. 因此后一個(gè)三角形面積是前一個(gè)三角形面積的一半，第一個(gè)等腰直角三角形的面積是8X8 + 2 = 32.這一個(gè)圖形的面積是32+16+ 8 + 4 + 2 +1= 63.例8如右圖，兩個(gè)長(zhǎng)方形疊放在一起，小長(zhǎng)形的寬是 2, A點(diǎn)是大長(zhǎng)方形一邊的中點(diǎn)，

10、并且三角形ABB等腰直角三角形，那么圖中陰影部分的總面積是多少？解： 為了說(shuō)明的方便，在圖上標(biāo)上英文字母D， E， F， G.三角形ABC的面積=2X 2 + 2 = 2.三角形ABC ADE EFGM是等腰直角三角形.三角形ABC的斜邊，與三角形ADE勺直角邊一樣長(zhǎng)，因此三角形 ADE面積=ABC 面積X 2 = 4.三角形EFG勺斜邊與三角形ABC的直角邊一樣長(zhǎng).因此三角形EFG面積二人8而積+2= 1.陰影部分的總面積是4+1 = 5.例9如右圖，已知一個(gè)四邊形 ABCD勺兩條邊的長(zhǎng)度AD= 7, BC= 3,三個(gè)角的 度數(shù)：角B和D是直角，角A是45° .求這個(gè)四邊形的面積.

11、解：這個(gè)圖形可以看作是一個(gè)等腰直角三角形ADE切掉一個(gè)等腰直角三角形BCE.因?yàn)锳是45° ,角D是90° ,角E是180 -45 -90 = 45,所以AD虛等腰直角三角形，BCE&是等腰直角三角形.四邊形ABCD勺面積，是這兩個(gè)等腰直角三角形面積之差，即7X 7 + 2-3X3 + 2 = 20.這是 1994 小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題. 原來(lái)試題圖上并沒(méi)有畫(huà)出虛線(xiàn)三角形.參賽同學(xué)是不大容易想到把圖形補(bǔ)全成為等腰直角三角形. 因此做對(duì)這道題的人數(shù)不多.但是有一些同學(xué)，用直線(xiàn) AC把圖形分成兩個(gè)直角三角形，并認(rèn)為這兩個(gè)直角三角形是一樣的，這就大錯(cuò)特錯(cuò)了. 這樣做，

12、角A 是 45 °，這一條件還用得上嗎？圖形上線(xiàn)段相等，兩個(gè)三角形相等，是不能靠眼睛來(lái)測(cè)定的，必須從幾何學(xué)上找出根據(jù)， 小學(xué)同學(xué)尚未學(xué)過(guò)幾何，千萬(wàn)不要隨便對(duì)圖形下結(jié)論. 我們應(yīng)該從題目中已有的條件作為思考的線(xiàn)索. 有 45°和直角，你應(yīng)首先考慮等腰直角三角形.現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向正方形的問(wèn)題.例10在右圖11 X15的長(zhǎng)方形內(nèi)，有四對(duì)正方形（標(biāo)號(hào)相同的兩個(gè)正方形為一對(duì)） ，每一對(duì)是相同的正方形，那么中間這個(gè)小正方形（陰影部分）面積是多少？解： 長(zhǎng)方形的寬，是“一”與“二”兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，是“一”、 “三”與“二”三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和 .長(zhǎng)-寬=15-11 =4是“

13、三”正方形的邊長(zhǎng) .寬又是兩個(gè)“三”正方形與中間小正方形的邊長(zhǎng)之和，因此中間小正方形邊長(zhǎng)=11-4X2 = 3.中間小正方形面積=3X 3= 9.如果把這一圖形，畫(huà)在方格紙上，就一目了然了.例 11 從一塊正方形土地中，劃出一塊寬為1 米的長(zhǎng)方形土地（見(jiàn)圖），剩下的長(zhǎng)方形土地面積是15.75 平方米 . 求劃出的長(zhǎng)方形土地的面積.解： 剩下的長(zhǎng)方形土地，我們已知道長(zhǎng) - 寬 =1（米）.還知道它的面積是15.75 平方米，那么能否從這一面積求出長(zhǎng)與寬之和呢？如果能求出，那么與上面“差”的算式就形成和差問(wèn)題了 .我們把長(zhǎng)和寬拼在一起，如右圖.從這個(gè)圖形還不能算出長(zhǎng)與寬之和，但是再拼上同樣的兩個(gè)正

14、方形，如下圖就拼成一個(gè)大正方形，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，恰好是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之和.可是這個(gè)大正方形的中間還有一個(gè)空洞. 它也是一個(gè)正方形，仔細(xì)觀察一下，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它的邊長(zhǎng)，恰好是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之差，等于1 米 .現(xiàn)在，我們就可以算出大正方形面積：15.75X4+1X 1= 64 （平方米）.64是8X8,大正方形邊長(zhǎng)是8米，也就是說(shuō)長(zhǎng)方形的長(zhǎng) +寬 =8（米）.因此長(zhǎng)=（8+1） +2= 4.5 （米）.寬=8-4.5 =3.5 （米）.那么劃出的長(zhǎng)方形面積是4.5X1 =4. 5 （平方米）.例12如右圖.正方形ABC方正方形EFG野放在一起.已知小正方形EFGC勺邊 長(zhǎng)是6,求三角形AEG（陰影

15、部分）的面積.解：四邊形AEC堡一個(gè)梯形.它的下底是AD,上底是EQ高是CD因此四邊形AECDS積=（小正方形邊長(zhǎng)十大正方形邊長(zhǎng)）X大正方形邊長(zhǎng)+ 2三角形ADG直角三角形，它的一條直角邊長(zhǎng) DG二（小正方形邊長(zhǎng)十大正方形邊長(zhǎng)） ，因此三角形ADGW積=（小正方形邊長(zhǎng)十大正方形邊長(zhǎng)）X大正方形邊長(zhǎng)+ 2.四邊形AECD與三角形ADG面積一樣大.四邊形AHC虛它們兩者共有，因此， 三角形AEHI三角形HCGM積相等，都加上三角形 EHGM積后，就有陰影部分面積二三角形ECC®積=小正方形面積的一半=6X6 + 2= 18.十分有趣的是，影陰部分面積，只與小正方形邊長(zhǎng)有關(guān)，而與大正方形邊

16、長(zhǎng)卻沒(méi)有關(guān)系.三、其他的面積這一節(jié)將著重介紹求面積的常用思路和技巧. 有些例題看起來(lái)不難，但可以給你啟發(fā)的內(nèi)容不少，請(qǐng)讀者仔細(xì)體會(huì).例 13 畫(huà)在方格紙上的一個(gè)用粗線(xiàn)圍成的圖形（如右圖），求它的面積.解：直接計(jì)算粗線(xiàn)圍成的面積是困難的，我們通過(guò)扣除周?chē)叫魏椭苯侨切蝸?lái)計(jì)算.周?chē)≌叫斡? 個(gè)， 面積為 1 的三角形有5 個(gè)， 面積為 1.5 的三角形有1 個(gè)，因此圍成面積是4X 4-3-5-1.5 =6.5.例 6 與本題在解題思路上是完全類(lèi)同的.例14下圖中ABCD是6 X 8的長(zhǎng)方形，AF長(zhǎng)是4,求陰影部分三角形AEF的面 積.解：三角形AEF中，我們知道一邊AF,但是不知道它的高多

17、長(zhǎng)，直接求它的面 積是困難的.如果把它擴(kuò)大到三角形 AEB底邊AB,就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，高是長(zhǎng)方形 的寬，即BC的長(zhǎng)，面積就可以求出.三角形AEB的面積是長(zhǎng)方形面積的一半，而擴(kuò) 大的三角形AFB是直角三角形，它的兩條直角邊的長(zhǎng)是知道的，很容易算出它的面 積 . 因此三角形AEF面積=（三角形 AEB面積）-（三角形AFB面積）= 8X6 + 2-4 X8 + 2=8.這一例題告訴我們，有時(shí)我們把難求的圖形擴(kuò)大成易求的圖形，當(dāng)然擴(kuò)大的部分也要容易求出，從而間接地解決了問(wèn)題. 前面例 9 的解法，也是這種思路.例 15 下左圖是一塊長(zhǎng)方形草地，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是16， 寬是 10. 中間有兩條道路，一條是長(zhǎng)

18、方形，一條是平行四邊形，那么有草部分的面積(陰影部分)有多大？解：我們首先要弄清楚，平行四邊形面積有多大.平行四邊形的面積是底x高.從圖上可以看出，底是2， 高恰好是長(zhǎng)方形的寬度. 因此這個(gè)平行四邊形的面積與10x2的長(zhǎng)方形面積相等.可以設(shè)想，把這個(gè)平行四邊形換成10X2的長(zhǎng)方形，再把橫豎兩條都移至邊上(如前頁(yè)右圖)，草地部分面積(陰影部分)還是與原來(lái)一樣大小，因此草地面積=(16-2) X (10-2) = 112.例 16 右圖是兩個(gè)相同的直角三角形疊在一起，求陰影部分的面積.解：實(shí)際上，陰影部分是一個(gè)梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接來(lái)求它的面積.陰影部分與三角形BC的在一起

19、，就是原直角三角形.你是否看出，ABCD也是 梯形，它和三角形BC的在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD勺面積與陰 影部分面積一樣大.梯形ABCD勺上底BQ是直角邊AD的長(zhǎng)減去3,高就是DC的長(zhǎng). 因此陰影部分面積等于梯形 ABCD面積=(8+8-3) X 5-2= 32.5.上面兩個(gè)例子都啟發(fā)我們，如何把不容易算的面積，換成容易算的面積，數(shù)學(xué)上這叫等積變形. 要想有這種“換”的本領(lǐng)，首先要提高對(duì)圖形的觀察能力 .例17下圖是兩個(gè)直角三角形疊放在一起形成的圖形.已知AF, FE, EC都等于3， CB， BD 都等于 4. 求這個(gè)圖形的面積.解：兩個(gè)直角三角形的面積是很容易求出的三角形 ABC®積=（3+3+3） X4 + 2=18.三角形 CDE®積=（4+4） X 3+2=12.這兩個(gè)直角三角形有一個(gè)重疊部分- 四邊形BCEG， 只要減去這個(gè)重疊部分，所求圖形的面積立即可以得出.因?yàn)锳F= FE= EC = 3,所以AGF, FGE, EGC是三個(gè)面積相等的三角形.因?yàn)镃B= BD= 4,所以CGB BG奧兩個(gè)面