基與維數的幾種求法

1、線性空間基和維數的求法方法一根據線性空間基和維數的定義求空間的基和維數，即：在線性空間V中，如果有n個向量1, n滿足：1, 2, n線性無關。V中任一向量總可以由1, 2, , n線性表示。那么稱V為n維（有限維）線性空間，n為V的維數，記為dim v n，并稱 ,2, n為線性空間V的一組基。如果在V中可以找到任意多個線性無關的向量，那么就成V為無限維的。例1設V X AX 0，A為數域P上m n矩陣，X為數域P上n維向量，求V 的維數和一組基。解 設矩陣A的秩為r，則齊次線性方程組 AX 0的任一基礎解系都是 V的基，且V的 維數為n r。0 a例2數域P上全體形如的二階方陣，對矩陣的加

2、法及數與矩陣的乘法所組成a b的線性空間，求此空間的維數和一組基。0 1 000a解易證為線性空間V1 a,bp的一組線性無關的向1 0 01ab0a亠0a0100量組，且對V中任一兀素有a+ babab1001按定義0 1 , 0 0為v的一組基，V的維數為2。10 0 1方法二 在已知線性空間的維數為 n時，任意n個向量組成的線性無關向量組均作成線 性空間的基。例3假定R x n是一切次數小于n的實系數多項式添上零多項式所形成的線性空間，2n 1證明：1, x 1 , x 1 ,L , x 1 構成R x n的基。n 1證明考察 k, 1 k2 x 1 L kn x 10由xn 1的系數為

3、0得kn 0，并代入上式可得xn 2的系數kn 1 0依此類推便有kn kn 1L k10，故1, x 1丄，x 1 n 1線性無關n 1的維數為n ,于是1 x 1 l x 1 為R x的基。n方法三利用定理: 維數。數域p上兩個有限維線性空間同構的充分必要條件是它們有相同的證明：由實數域上的矩陣A的全體實系數多項式 f A組成的1 與復數域C作為實數域R上的0證明bi| a,b R同構,并非求它們的維數。V中任一多項式可記為f A =aE bA, a,b R，建立V的如下映射1 q 坤f1 Aa1E b1A a1,b1 R易證是V到V上的單射，滿射即一一映射。再設aia2b| b2 i2

4、a2b2i, a2,b2R, K R，則有kq kb)ikqE kqA k x1故是V'到V的同構映射，所以V到V'同構另外，易證V的一個基為1, i，故dimV 2QV ; VdimV 2方法四 利用以下結論確定空間的基：設1, 2,L , n與1, 2,L , n是n維線性空間V中兩組向量，已知1, 2丄,n可由1 , 2丄，n線性表出：1 a11 1 a21 2 Lan1 n2a121a222 Lan2 nna1n1a2n2 Lann na11a12La1 n令Aa21a22La2nan1an2Lann如果1,2丄Jn為V的一組基，那么當且僅當 A可逆時,2,L , n也

5、是V的一已知1,x,x23,x是p x 4的一組基，證明1,1 x, 1 x 2, 13x 也是p x 4的一組基。證明因為x2x3x2x3x2x31000110012101321所以1,1 x, 13也為p x 4的一組基。組基。方法五 如果空間V中一向量組與 V中一組基等價，則此向量組一定為此空間的一組 基。例6設R x 2表示次數不超過 2的一切實系數一元多項式添上零多項式所構成的線性空間的一組基，證明x2 x,x2 x, x 1為這空間的一組基。證明 k1 x2 x k2 x2 x k3 x 1 0貝 Vk1 k2 0K k2 k30k30解得 k3 k2 k10于是x2 x,x2 x

6、, x 1線性無關，它們皆可由x2,x,1線性表示，因此x2 x,x2 x, x 1與x2,x,1等價，從而 Rx2中任意多項式皆可由x2 x,x2 x,x 1線性表示，故x x, x x, x 1為R x 2的基。利用下面兩個定理:方法六定理一：對矩陣施行行初等變換和列變換，不改變矩陣列向量間的線性關系。定理二：任何一個 m n矩陣A，總可以通過行初等變換和列變換它為標準階梯矩陣:Ir0B，其中Ir表示r階單位矩陣。0依據這兩個定理，我們可以很方便地求出V1 I V2的一個基，從而確定了維數。例7設V1 L1 , 2 ,V2 L1, 2是數域F上四維線性空間的子空間，且數。1,2,1,0 ,

7、 2 1,1,1,12, 1,0,1 , 21, 1,3,7 .求 V1 I V2 的一個基與維解若r V1 I V2，則存在x,y1, y2r 為1X22 y1 1 y2 2(1)即有x1 1X22 y1 1 y2 2 0( 2)若 1, 2,1,2線性無關，（2）僅當xX2y1y20時成立那么V1 I V是零子空間，因而沒有基，此時維數為0,V1 V2是直和若存在不全為零的數x1, x2, y1, y2使（2）成立，則V1 IV2有可能是非零子空間若為非零子空間，由（1）便可得到基向量r。以 1, 2 ,1,2為列向量作矩陣A ,經行初等變換將 A化為標準階梯形矩陣112 11 0 012

8、11 10 1 04A行初等變換A11030 0 1301170 0 002121A。r i 4 23 i 25,2,3,4 是 Vi I V?的一個基dim Vi I V21同時知，1, 2是V1的一個基，dimV1 2i, 2是V?的一個基，dim V2 21, 2, 1, 2是V V2的一個基，dim V1 V2秩 A =3方法七 在線性空間V中任取一向量，將其表成線性空間 V 線性無關向量組的線性組合的形式，必要的話需說明向量組是線性無關的。這一線性無關向量組就是我們要找的基。例8求V L（ 1，2）與V2 L（ 1，2）的交的基和維數。、八1 （1,2,1,0）1 （2，1,0,1）

9、設，2 （ 11,1,1）2 （1， 1,3,7）解 任取V1IV2，貝yV1，X11X22，且V2,y11y22，x1 1 x2 2 y1 1 y2 （注：此時a雖然已表成一線性組合的形式，但它僅僅是在V1、V2中的表示，并非本題所求，即要在空間V1 V2中將a線性表出）X1 1 X2 2 y1 1 y20,求咅公2,%,丫2X1X2 2y1 y202x1X2 y1 y20X1X23y20X2 y17 y20解得（：X1,X2, Y1,Y2)(k,4k,3k,k)k( 1 4 2 )k(3 12)k(5, 2,3,4)故V1 IV2是一維的，基是(5,2,3,4)易知（5, 2,3,4）是非

10、零向量，是線性無關的。方法八 按維數公式求子空間的交與和的維數和基維數公式：如果V1V2是有限維線性空間V的兩個子空間，那么dim Vjdim 'V2dimV1V2dim V11 V2例9已知13, 1,2,1,20,1,0,211,0,1,3 , 22,3,1, 6求由向量41, 2生成的P的子空間V1L1, 2 與向量 1,2生成的子空間V! L 1, 2的交與和空間的維數的一組基。解因為V|V2 L1 , 2,1,2 ，對以1, 2,1, 2為列的矩陣施行行初等變換：30 12000 011 031103AB20 11001 112 360003秩A秩B3，所以V1V2的維數是3

11、且11 2 , 1 ：,2為極大線性無關組，故它們是VV2的一組基。又由1, 2線性無關知 V的維數為2，同理V2的維數也為2，由維數公式知 Vi I V2的 維數為2 23 1。從矩陣B易知i 2 i 2 2,故i 23, 3,2, 3是Vi,V2公有的非零向量，所以它是交空間V1 I V2的一組基。方法九由替換定理確定交空間的維數。替換定理：設向量組1, 2 L, r線性無關，并且1, 2丄，r可由向量組 1, 2丄，s線性表出，那么1 r s2必要時可適當對1, 2,L , s中的向量重新編號，使得用1, 2,L , r替換1, 2,L , r后所得到的向量組1, 2,L , r, r 1,L , s與向量組1, 2丄，s等價。特別，當r s時，向量組1, 2,L , s與向量組1, 2,L , s等價。例 10 已知向量組 !2,0,1,3 , 20,3,1,0 , 31,2,0,2 , 42,6,3,3 ,設它們是向量組 1, 2, 3的線性組合，又設向量組1,2丄,rm與向量組1, 2, 3等價，試求r1,r2,L , rm生成的空間的交空間的基和維數。20 130411 0701解013 100310 03102 021202 120