概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)冊電子版

1、院(系)班姓名 學(xué)號第一章概率論的基本概念練習(xí)1.1樣本空間、隨機(jī)事件一、寫出以下隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：1.從兩名男乒乓球選手 A, B和三名女乒乓球選手 C, D,E中選拔一對選手參加男女混合雙 打，觀察選擇結(jié)果。2.10件產(chǎn)品中有4件次品，其余全是正品，從這10件產(chǎn)品中連續(xù)抽取產(chǎn)品，每次一件，直 到抽到次品為止，記錄抽出的正品件數(shù)。二、有三位學(xué)生參加高考，以A表示第i人考取(i=1,2,3).試用A表示以下事實(shí)：1 .至少有一個(gè)考??；2.至多64738291有兩人考取；3.恰好有兩人落榜。三、投擲一枚硬幣5次，問下列事件A的逆事件人是怎樣的事件？1. A表示至少出現(xiàn) 3次正面；2. A表示至

2、多出現(xiàn) 3次正面；3. A表示至少出現(xiàn) 3次反 面。四、袋中有十個(gè)球，分別編有1至10共十個(gè)號碼，從其中任取一個(gè)球，設(shè)事件A表示取 得的球的號碼是偶數(shù)”，事件B表示 取得的球的號碼是奇數(shù) ”，事件C表示 取得的球的 號碼小于5"，則C,A = C,AC,AC, A=B,AB分別表示什么事件？五、在某系的學(xué)生中任選一名學(xué)生 ，令事件A表示 被選出者是男生”；事件B表示 被選出 者是三年級學(xué)生”；事件C表示被選出者是運(yùn)動(dòng)員”。(1)說出事件ABC的含義；(2)什么時(shí)候有恒等式 AqBqC=C;(3)什么時(shí)候有關(guān)系式 C £ B正確；(4)什么時(shí)候有等式 A = B成立。學(xué)習(xí)參考

3、練習(xí)1.2概率、古典概型一、填空1 .已知事件 A, B的概率 P(A)= 0.7,P (B ) 0.6R事件 AB的概率 P(AB)=0.4，則學(xué)習(xí)參考P(A 一. B): , P(A B): , P(A B) , P(A.B)二尸(Ab)=, P(A_.AB)=.2 .設(shè) A,B 為兩個(gè)事件，P(B) =0.7,P(AB)=0.3，則 P(A+B)=.3 .設(shè)A,B為兩個(gè)任意不相容事件，則P(A - B) =.4 .設(shè) A,B 為兩個(gè)事件,P(A) =0.5,P(A B) =0.2,則 P(AB)=.八 1八八 15 .已知 P(A) = P(B) =P(C) =, P(AB) =0, P

4、(AC) = P(BC)=,則 A, B,C 全不46發(fā)生的概率為.二、設(shè) A,B是兩事件，且 P(A)=0.6, P(B)=0.7，求(1)在什么條件下，P(AB)取到最大值？ (2)在什么條件下，P(AB)取到最小值？三、一批產(chǎn)品20件，其中3件次品，任取10件，求(1)其中恰有一件次品的概率 ；(2)至少有一件次品的概率。四、甲、乙兩艘油輪駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘油輪的碼頭，它們都將在某日8時(shí)至20時(shí)抵達(dá)碼頭。甲輪卸完油要一小時(shí)，乙輪要兩小時(shí)。假設(shè)每艘油輪在8時(shí)到20時(shí)的每一時(shí)刻 抵達(dá)碼頭的可能性相同。1 .求甲乙兩輪都不需等候空出碼頭的概率；2 .設(shè)A表示甲、乙同一時(shí)刻抵達(dá)碼頭，問A是

5、否是不可能事件，并求P(A)。五、某年級有10名大學(xué)生是1986年出生的，試求這10名大學(xué)生中1.至少有兩人是同一天生日的概率 ；2.至少有一人在十月一日過生日的概率。1六、設(shè) P(A) =P(B) =3,求證：P(AB) = P(AB)七、設(shè) A,B 為兩個(gè)事件,P(A) = 0.7,P(A B) = 0.3，求 P(AB)。練習(xí)1.3條件概率、全概率公式一、填空1 .設(shè)A,B為兩個(gè)事件，P(A) =a,P(B)=b,P(B|A) = c,且a,b,c都是已知的小于 1的正 數(shù)，則 P(AB) =, P(A=B) =, P(A B) =, P(AB)=，P(B|A)=, P(B|A)=.2

6、.設(shè) A, B 為兩個(gè)事件,P(A) =0.9,P(AB) = 0.36，則 P(AB)=L3 .設(shè)A,B,C為一完備事件組，且P(A) = 0.5 , P(B)=0.7 ,則 P(C)=,P(AB) =.4 .已知 A,A2,A3 為一完備事件組，P(Ai)=0.1, P(A2)=0.5, P(B|Ai)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=0.1,則 P(AJB)=.5 .設(shè) A,B 為隨機(jī)事件，且 P(A)=0.92 , P(B)=0.93 , P(B|A)=0.85 ,則 P(A B)=P(AUB戶 二二、一臺電子儀器出廠時(shí)，使用壽命1000小時(shí)以上白概率為 0.6,

7、1500小時(shí)以上的概率為0.4,現(xiàn)已使用了 1000小時(shí)，求還能使用500小時(shí)以上的概率。三、有十箱產(chǎn)品，已知其中三、二、五箱分別是第一、第二、第三車間生產(chǎn)的，各車間的次品率分別是0.2, 0.1, 0.05,現(xiàn)在任取一箱，再從中任取一件：1.求此件為次品的概率；2.如果此件為次品，問是哪個(gè)車間生產(chǎn)的可能性最大 ？四、人群中患肝癌的概率為0.0004.用血清甲胎蛋白法檢查時(shí)，患有此病被確診的概率為0.95,未患被誤診的概率為 0.01.問普查時(shí)，任一人被此法診斷為肝癌患者的概率有多大？ ？設(shè)此人被此法診斷為肝癌患者，問此人真患有肝癌的概率有多大？比未作檢查時(shí)的概率增大了多少倍？五、有兩箱同型號

8、的零件，A箱內(nèi)裝50件，其中一等品10件；B箱內(nèi)裝30件，其中一等品18件.裝配工從兩箱中任選一箱，從箱子中先后隨機(jī)地取兩個(gè)零件（不放回抽樣）。求：（1）先取出的一件是一等品的概率；（2）在先取出的一件是一等品的條件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率。六、為了防止意外，在礦內(nèi)同時(shí)裝有兩種報(bào)警系統(tǒng)（I）和（II）,每種系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí)，系統(tǒng)（I）和系統(tǒng)（II）有效的概率分別為0.92和0.93.在系統(tǒng)（I）失靈的情況下，系統(tǒng)（II）仍有效的概率為 0.85,求兩個(gè)警報(bào)系統(tǒng)至少有一個(gè)有效的概率。七、設(shè)一人群中有37.5%的人血型為 A型，20.9%為B型，33.7%為。型，7.9%為AB型，已知能

9、允許輸血的血型配對如下表，現(xiàn)在在人群中任選一人為輸血者，再選一人為需要輸血者，問輸血能成功的概率是多少 ？ （V:允許輸血；X:不允許輸血）。受血者,A型B型AB型O型A型VXVVB型XVVVAB型VVVVO型XXXV7學(xué)習(xí)參考院（系）班姓名 學(xué)號練習(xí)1.4獨(dú)立性學(xué)習(xí)參考、填空1 .將一枚骰子獨(dú)立地先后擲兩次，以X和Y分別表示先后擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè)A= X+Y = 10 , B= X >Y，則(1) P(B|A)=; (2) P(A|B)=; (3) P(A + B)=。2 .設(shè)A, B為兩個(gè)相互獨(dú)立的事件 ，P(A)=0.2, P(B) =0.4 ,則P(A+B)=。3 . P(A) =

10、P(A2)=P(A3)=1/3,A, A2, A3為相互獨(dú)立的事件，則(1) A, A2, A3至少出現(xiàn)一個(gè)的概率為 ；(2)A, a A3恰好出現(xiàn)一個(gè)的概率為 ；(3)A, A A3最多出現(xiàn)一個(gè)的概率為 。4.設(shè)P(A)=0.3, P(A + B)=0.6,那么：(1)若A, B為互不相容的事件，則P(B) =； ( 2)若A, B為相互獨(dú)立的事件，則P(B) =； (3)若A1 B ,則P(B).二、設(shè)5件產(chǎn)品中2件是次品3件是正品，對每件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，令A(yù)表示被檢驗(yàn)到的那件產(chǎn)品是次品，則P(A)=2/5, P(A) =3/5.對一件產(chǎn)品作檢驗(yàn)可看成一次試驗(yàn)，于是作了5次試驗(yàn)，據(jù)二項(xiàng)概率公

11、式可知，事件A恰好發(fā)生2次的概率為一一、一22839 B(2) =C5 - 1 - 1 =0.3456.因此這5件廣品中恰有2件次品的概率為0.3456,另一萬 3八5/面這5件產(chǎn)品恰有2件次品是已有的事實(shí)，因此其概率為1,從而1=0.3456 ,請找出理由 推翻此等式”。三、甲、乙、丙三人各自去破譯一個(gè)密碼，他們能譯出的I率分別為1/5,1/3,1/4,試求：(1)恰有一人譯出的概率；(2)密碼能破譯的概率。四、某種電阻的次品率為0.01,作有放回抽樣4次，每次一個(gè)電阻，求恰有2次取到次品的概率和至少有3次取到次的概率。五、某類燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率為0.2,求三個(gè)燈泡在使用1

12、000小時(shí)以后最 多只有一個(gè)壞了的概率。六、加工某一零件共需要經(jīng)過三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別是0.02,0.03, 0.05,假設(shè)各道工序是互不影響的，問加工出來的零件是次品的概率是多少？七、甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員，投籃命中率分別為 0.7及0.6,每人各投了 3次，求二人進(jìn)球 數(shù)相等的概率。八、若事件A, B相互獨(dú)立，證明A,B也相互獨(dú)立院(系)班姓名 學(xué)號自測題(第一章)一、填空(每空2分)1 .幾何概率中，每個(gè)樣本點(diǎn)的發(fā)生具有 ,而樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 。2 .若事件A, B，則稱A,B互斥。若又，則稱A,B互逆。3 .若事件 A,B，則 P(A= B) = P(A) + P(B

13、),否則 P(A= B) = P(A) + P(B) .4 .設(shè) A,B 為兩事件且 P(A) >0 ,則=P(A)P(B| A)，當(dāng) A,B 時(shí)，P(AB) = P(A)P(B).5 .事件A發(fā)生，而事件B和C至少發(fā)生一個(gè)這一事實(shí)可表示成 。事件A發(fā)生， 必導(dǎo)致事件B和C至少發(fā)生一個(gè)這一事實(shí)可表示成 。6 . A表示投擲10次錢幣時(shí)，至少出現(xiàn)4次正面，則A表示 正面或 反面。7 .在圖書館任取一本書，設(shè)人=是數(shù)學(xué)書 , B= 是中文版的 , C= 90年后出版的,則當(dāng)圖書館里 時(shí)，有Ac BcC =A，當(dāng) 時(shí)，有(A-B) - C =.二、判斷正誤(每小題3分)1 .若事件A的概率P(

14、A)=0,則A = .()2 . 對 任 兩 事 件 A,B , 有 P(A-B) = P(A)-P(AB) ()3 .若 A = 男足球隊(duì)員, 則入=女足球隊(duì)員。 ( )4 .若事件A,B有關(guān)系A(chǔ)> B,則P(A) P(B).()5 .若事件A,B,C相互獨(dú)立，則A,B,C也相互獨(dú)立。()6 .口袋中有四個(gè)球，其中三個(gè)球分別是紅、白、黃色的，另一個(gè)球染有紅、白、黃三色。 現(xiàn)從口袋中任取一球，觀察其顏色。令A(yù)= 球染有紅色 , B = 球染有白色 , C =球染有黃色, 那么事件 A,B,C 相互獨(dú)立。()三、寫出以下兩個(gè)試驗(yàn)的樣本空間(每小題5分)1.10件產(chǎn)品有3件是次品，其余均是正

15、品。每次從中任取一件 (取后不放回)，直到3件 次品全取出為止，記錄取的次數(shù)。2.30名學(xué)生進(jìn)行一次考試，觀察平均成績(個(gè)人成績采用百分制)。四、(12分)設(shè)兩相互獨(dú)立的事件 A,B都不發(fā)生白概率為1/9, A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，求P(A)。五、(10分)一個(gè)班組有7男3女十名工人，現(xiàn)要派4人去學(xué)習(xí)，求4名代表中至少有2名女工的概率。六、（10分）甲、乙、丙三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能單獨(dú)譯出的概率分別為1/5,1/3,1/4 ,求此密碼未被丙譯出而甲、乙至少有一個(gè)譯出的概率。七、（12分）一種產(chǎn)品的正品率為0.96,使用一種簡易方法檢驗(yàn)時(shí)，將正品判為正品的概率為0

16、.98,將次品誤判為正品的概率為0.05?，F(xiàn)任取一件用此法檢驗(yàn)。1.求此件被判為正品的概率；2.當(dāng)判為正品時(shí)，求此件確是正品的概率。學(xué)習(xí)參考第二章隨機(jī)變量練習(xí)2.1隨機(jī)變量及其分布函數(shù)、填空1 .隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)是事件 的概率。2 .用隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)表達(dá)下述概率：PXMa=； PX=a=；PX a =;Pxi ： X < X2:二3 .若 PX MX2 =1 P ,PX 之Xi =1 -a ,其中 Xi < X2,則 PXi < X <X2 =.、分析下列函數(shù)中，哪個(gè)是隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)？0, x<-2_ _1- F1(x)=_12，

17、-2 - x 0;2, x-00, x<011 F3(x)= x + 2，0Wx<31J 式0,x<0(2)F2(x)=<sinx, 0£xcn;1,X之 冗三、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)有如下形式1F(X) = <"?、(2),x”1),試填上(1),(2),(3)x (3)項(xiàng)。四、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x) = A + BQarctgx,(00 <x<=°),求(1)A與B;(2)P -1 < X ±1.院(系)班姓名 學(xué)號練習(xí)2.2離散型隨機(jī)變量及其分布一、填空ak八設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為PX =

18、k=(k =1,2,|, N),則2=.N(2)設(shè)隨機(jī)變量 X的分布列為X1368R0.20.10.40.31則 P尸X <3 = _.(3)在一批10個(gè)零件中有8個(gè)標(biāo)準(zhǔn)件，從中任取2個(gè)零件，這2個(gè)零件中標(biāo)準(zhǔn)件的分布列是.13 52(4)已知隨機(jī)變量 X只能取-1,0,1,2四個(gè)數(shù)值，其相應(yīng)的概率依次為,，則2c 4c 8c 16cc=.試確定設(shè)隨機(jī)變量 X的分布律為PX =k =a,(k = 0,1,2,11。，九之0為常數(shù)k!a = .二、設(shè)在15只同類型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取一只作不放回抽樣，以X表示取出的次品數(shù)，求X的分布列。三、某一設(shè)備由一個(gè)獨(dú)立工作的元件

19、構(gòu)成，該設(shè)備在一次試驗(yàn)中每個(gè)元件發(fā)生故障的概率為0.1。試求出該設(shè)備在一次試驗(yàn)中發(fā)生故障的元件數(shù)X的分布列。一 、1，)四、PX =n=(n之1為自然數(shù))是一隨機(jī)變量 X的概率分布嗎？為什么？n(n 1)五、一大樓裝有5個(gè)同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明，在任一時(shí)刻t每個(gè)設(shè)備被使用的概率為0.1 ,求在同一時(shí)刻(1)恰有2個(gè)設(shè)備被使用的概率；(2)至少有一個(gè)設(shè)備被使用的概率 。六、設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.001。如果射擊5000次，試求擊中兩次或兩次以上的概率。七、有2500名同一年齡和同一社會(huì)階層的人參加了保險(xiǎn)了保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn)。在一年中每個(gè)人死亡的概率為 0.002 ,每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在

20、 1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可以保險(xiǎn)公司領(lǐng)取 2000元賠償金，求：(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率；(2)保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率。院(系)班姓名 學(xué)號練習(xí)2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布一、填空'x,0<x<1;(1)設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度為f(x) =4a x, 1 <x<2;,則2=.、0, 其它。2、 一 ._(2)設(shè)X N(巴。2),且 PN M <X cN+k。 =0.95,則卜=。2x, 0 _ x _1;(3)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度f(x) =/ 升，則P0.3 <X<0.7二 。0, 其匕。

21、2、(4)設(shè)測量某一目標(biāo)的距離時(shí)發(fā)生的隨機(jī)誤差為X (米)，且X N(20,40 ),則在一次測量中誤差的絕對值不超過30米的概率為 。設(shè)電阻的阻值 R為一個(gè)隨機(jī)變量，且均勻分布在 900歐1100歐，則R的概率密度函數(shù)為 , 分布函數(shù)為。k.k( 1-x 2)：1x 1;(6)若隨機(jī)變量X的概率密度為f (x)=1一 對k =,0,其匕。1P X = =,P0 :二 X < 2 -, P0 < X :二 2= 一 設(shè) X 服從正態(tài)分布N(3, 2 )，則 P2 <X <5 =, P-2 <X <7=，若PX c =PX Mc惻c=.1 Je 1000 x

22、- 0;(8)已知電氣元件壽命 X服從指數(shù)分布：f(x) =< 1000e ,x 0；假設(shè)儀器裝有5個(gè)這、0,x<0o樣元件且其中任一個(gè)元件損壞時(shí)儀器即停止工作，則儀器無故障工作1000小時(shí)以上的概率為.學(xué)習(xí)參考mJI、某學(xué)生求得一連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為f(x) =cosx, 一萬<x<，;試問該學(xué)0,其它。生計(jì)算是否正確兀cos x. 0 ：: x ;三、連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度為f (x) = ,2 試求分布函數(shù) F (x)及、0,其它。P二 X -. 42四、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)= Ae"|, -°o<x<y .

23、求(1)系數(shù)A ; (2)P0 < X < 1; (3) X的分布函數(shù)。五、設(shè)某儀器有三只獨(dú)立工作的同型號電子元件，其壽命(小時(shí))都服從同一指數(shù)分布，1 _x_e 600 x , 0； E、-概率密度為f(x)=« 600e ,x ;試求在儀器使用的最初200小時(shí)內(nèi)，至少有一只0,x < 0o元件損壞的概率。六、設(shè)隨機(jī)變量 X在12,5】上服從均勻分布，現(xiàn)對X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測，求至少有兩次的 觀測值大于3的概率。bx,0 < x <1,1七、設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度函數(shù)為f (x)= (2,1 Mx <2,試確定常數(shù)b,并求其分布函x0,其它；學(xué)習(xí)

24、參考練習(xí)2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布、填空則Y =1X的分布1.設(shè)X的分布列為X1012341/121/61/31/121/4R1/12為。.1 寸 11, 若 X = 2n;2 .設(shè)X可能取值為1, 2,k,并設(shè)PX =k = - I ,令Y = «.2 J1,若X=2n-1n = 1,2,111 .則Y的分布列為<3 .設(shè)X的概率密度為f (x)，則Y = X3的概率密度為 。2x, 0 x 1,4 .設(shè)X的概率密度為f (x) = «'，則丫 = e”的概率密度為。、0, 其它.5 .若X1,X2，Xn是正態(tài)總體N"。2)的一組簡單隨機(jī)樣本，則一

25、1,X = (X1 +X2 +一 +Xn)服從。n一 5x 至 0 ;6.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度為f (x)='則X的函數(shù)Y = JX的概率密度,0,x <0.y (y)=X一、設(shè)XN(R,。2),求證Y=3 -也服從正態(tài)分布。5三、測量球的直徑，設(shè)其值服從a,b上的均勻分布，求球的體積的分布密度四、設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求隨機(jī)變量Y =1 - 2 | X |的分布密度。五、已知離散型隨機(jī)變量 X的分布列為：X-2-1012PX =aj1/51/61/51/1511/30試求：(1) Y=2X+1; (2) Y=X2 的分布列。六、設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度為f (

26、x)=2x,0 二 x ： 1,c求Y = 3X +1的概率密度。0,其它七、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為fX(x)=22/ (1 x ), x 0, L '" 求Y = lnX的概率密度。0,x <0,學(xué)習(xí)參考學(xué)習(xí)參考院（系）班姓名學(xué)號自測題（第二章）、填空（每小題4分）1 .將一枚勻質(zhì)硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，則PX <1 =2 .設(shè)X在a, b內(nèi)服從均勻分布，則X落在a, c（ c < b）內(nèi)的概率為 3.設(shè)X的概率密度為Csinx, f(X)=. 0,0 _ x _ ：,皿心 則0 =其它，1 -e-x. x 0一4 .設(shè)X的分布函數(shù)為F

27、 （x） = «,則X的概率密度為0, x < 0,5 .若某電話交換臺每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，則每分鐘恰有8次呼喚的概率為 二、判斷正誤（每小題4分）2x1.函數(shù)F（ x）=2 以 < +）厘定是某一隨機(jī)變量X的分布函數(shù)；1 x( )2 .設(shè) X 123Pi 0.30.40.5為 某 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 列 一 4x . 0<x ： 1.3 .設(shè)X的分布密度為f（x） = «, 一»',則當(dāng)aE0時(shí)，有PX >a =PX <a;0, 其它（）2. X - 1 .、一4.若XN（此仃），則Y =也是一隨

28、機(jī)變量，且YN（0,1）（）er三、（12分）設(shè)X0-1分布，其分布列為PX =1 = p, PX =0 = q淇中p+q=1,求X的分布函數(shù)，并作出其圖形。四、（13分）設(shè)X服從泊松分布，且PX =0 =0.4，求PX >2.五、（15分）設(shè)一支步槍擊中飛機(jī)的概率為0.005,試求當(dāng)1000支步槍同時(shí)開火時(shí)，1.飛機(jī)被擊中的概率；2.飛機(jī)恰中一彈的概率。六、（12分）隨機(jī)變量 X在a,b內(nèi)的分布密度為f（x）,在a,b外為0,求隨機(jī)變量Y =3X的分布密度。 2七、（12分）若隨機(jī)變量X在（1,6）內(nèi)服從均勻分布，則萬程y +Xy + 1=0有實(shí)根的概率為多大？院（系）班姓名學(xué)號第三章

29、 隨機(jī)向量練習(xí)3.1二維隨機(jī)向量及其分布、填空C, 5 三 x<10,4 < y < 9,1 .設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為f（x, y）=S苴，則C=;J 0, 其它一x y0,其它，貝0,2e（x - 2y）2 .設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為f（x ,y尸,0,PX Y _ 1 =;-x_y_y-e - e e、L ，、口13 .設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為 F(x,y) = « ,0,二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為4.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f (x, y) = 222"二(16 x )(25 y )x _ 0

30、,y _ 0,皿，則其它 ,，則二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為 ;5 .用(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù) F (x, y)表示下述概率(1) Pa <X <b,Y <c =； (2) PXWa,YEb=；(3) P0<Y%=; (4) PX>a,Y<b=L二、擲二枚硬幣，以X表示第一枚硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)，Y表示第二枚硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)，試求二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布。2 xy _ 一x20 M x < 1 0< y < 2三、設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度f(x,y)=/3 , 0 x 1, y2,試求10,其它PX +Y>1

31、O四、設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度f(x, y) = !C(R-&y x 7 <R,0,x y - R求:(1)系數(shù) C; (2) (X,Y)落在 x2 +y2 <r2(r <R)內(nèi)的概率。五、設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律如下表Y-1011/41/421/6a試求：(1) a的值；(2) (X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù) F(x, y).學(xué)習(xí)參考院（系）班姓名 學(xué)號練習(xí) 3.2-3.3二維隨機(jī)變量的邊緣分布和條件分布x2 <y <1,其它 Cx2y0,、設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度f（x, y） = jCXy,1.試確定常數(shù)C; 2.求邊緣概率密度。二、設(shè)連

32、續(xù)型隨機(jī)變量（X,Y）在以原點(diǎn)為中心，各邊平行于坐標(biāo)軸，邊長為2a和2b的矩 形內(nèi)服從均勻分布，求: 1. （X,Y）的概率密度；2.關(guān)于X和Y的邊緣分布密度。學(xué)習(xí)參考,k =0,1 ,而且在之=0及2=1的條、已知的概率密度函數(shù)為P =k =(0.3)k(0.7)1”件下關(guān)于”的條件分布如下表n123P平=01/72/74/7P邛=11/21/31/6試求：1.二維隨機(jī)變量 «,”)的聯(lián)合分布律；2 .關(guān)于n的邊緣分布；3 .在“03的條件下關(guān)于之的條件分布律1. I y I ： x.0 : x ： 1.四、設(shè)隨機(jī)變量 住產(chǎn))的概率密度f (x, y) = < ,求條件概率密

33、度' ”0,其它f I (y |x), f (x| y).學(xué)習(xí)參考院（系）班姓名 學(xué)號練習(xí)3.4隨機(jī)變量的獨(dú)立性、填空1.設(shè)（X,Y）的聯(lián)合分布律如下表所示 ，則（p,q）=時(shí)，X與Y相互獨(dú)立。-1101/15P1q1/521/53/102.離散型隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布律為(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)P1/61/91/181/3aP若X與Y獨(dú)立，則a=, P=二、設(shè)（X,Y）的聯(lián)合分布為X0109/256/2516/254/25判斷X與Y是否相互獨(dú)立0 MX<2,0 m y ：二 1,、試求關(guān)于X與Y的其它32、設(shè)（X,Y）的概率密

34、度為：f（x,y） =45Xy ,0,邊緣分布密度，且問X與Y是否相互獨(dú)立。四、設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布律為Xyiy2y3Xia1/9cX21/9b1/3若X與Y相互獨(dú)立，求參數(shù)a,b,c的值。五、設(shè)（X,Y）為G:x2+y2 W4上的均勻分布，求1.關(guān)于X與Y的邊緣分布密度；2.判斷X與Y是否獨(dú)立。六、設(shè)X與Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,X在（0, 0.2）上服從均勻分布，Y的概率5e,y,y 0,號度是fY (y)=0, y -01.求X與Y的聯(lián)合分布密度；2.求PYMX.學(xué)習(xí)參考院(系)班姓名 學(xué)號練習(xí)3.5 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一、填空1 .設(shè)X與Y是相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量

35、，它們的分布函數(shù)分別為FX(x),FY(y)，則Z =maxX,Y的分布函數(shù)是 , W =min X ,Y的分布函數(shù)是 。2 一一一 一一一2 一2 .設(shè)隨機(jī)變量 X與Y是相互獨(dú)立，且XNiac% ) , Y N (a2,仃2 ),則Z = X +Y仍具有正態(tài)分布，且有Z。3 .已知隨機(jī)變量XN(3,1) , Y N(2,1),且X與Y是相互獨(dú)立的，Z = X - 2Y + 7 ,則 Z 。二、設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y的分布律分別為X13Pk0.30.7Y24Pk0.60.4學(xué)習(xí)參考X與Y的分布密度分別為求X +Y的分布律。三、兩個(gè)相互獨(dú)立的均勻分布的隨機(jī)變量1, 0 < x &l

36、t; 1,1, 0 < y < 1,fx（x）fY（y） =0, 其匕（0,其匕求Z = X +Y的概率密度。四、設(shè)X與Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們分別服從參數(shù)為兒，九2的泊松分布，證明Z=X+Y服從參數(shù)為 九十九2的泊松分布.五、設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的分布密度為f（x,y）3X, 0"：了7 ",試Z =X -Y 0, 其它的分布函數(shù)和分布密度。,，、一 2e"（x 2y）. x 0. y 0.六、設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的分布密度為f（x,y） =e , x ,y,求Z = X+2YI 0, 其它的分布函數(shù)。七、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且服從同一分布

37、，證明：22Pa ；min X,Y Mb =PX a -PY b八、設(shè)某種型號的電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地服從N（160,202）分布，隨機(jī)地選取4只，求其中沒有一只壽命小于180的概率。院（系）班姓名 學(xué)號自測題（第三章）一、填空（每小題4分）1 .設(shè)離散型隨機(jī)變量（X,Y）的分布律如表（1）,則2=.2 .設(shè)離散型隨機(jī)變量（X,Y）的分布律如表（2）,則PX>1,Y22=.X0101/61/311/9a21/181/9123410.100.1020.300.10.2300.200(2)X01Pkqp3.設(shè)X與Y的分布律分別為Y01Pkqp0<p<1,p+q=1,且X與

38、Y相互獨(dú)立，則（X,Y）的分布律為 .4.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y均在0, 1上服從均勻分布，則（X,Y）的概率密度為.二、（15分）設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度函數(shù)為：ke42x5y）,x 0,y 0,f（x）=00, 其它（1）確定常數(shù)k;（2）求（X,Y）的分布函數(shù)。三、（10分）設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度函數(shù)為：24y(1 - x), 0 _ x ： 1,0 , y :二 x"x)=4y' ) 升工 ，求關(guān)于x、丫的邊緣分布密度。I 0,其它四、(15分)設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且它們的概率密度分別為fX(X)= e , ",I 0, 其它2y

39、,y 0,其它試求：1. (X,Y)的聯(lián)合分布密度與分布函數(shù) ；2. P0 <X <1,0<Y <2.五、(10分)設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為：Innsin x|_sin y,0 三x _ ,0 三 y 三一F(x, y) =22!0,其它求(X,Y)的概率密度，且問X與Y是否相互獨(dú)立？六、(10分)設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 X與Y的概率密度分別為：fx(X)=11ce 3, x _ 0,30, 其它1 /e 4 y -二 0 fY(y) =<4e , y ,0, 其它試求Z = X +Y的分布密度七、(10分)設(shè)隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布是正方形 G =(x,

40、y):1 <x<3,1<y<3±的均勻分布，試求隨機(jī)變量U 二|X Y|的概率密度f(u).八、(14分)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為：f(x)Ce«x*y) ? > 0, y >0,0,其它(1) 確定常數(shù)c；(2) 求邊緣分布密度fX (x), fY(y)；(3) 求(X,Y)的聯(lián)合分布密度；(4) 討論X與Y的獨(dú)立性；(5)求 P0 <X <1,0 <Y <2.院（系）班姓名 學(xué)號a）隨機(jī)變量的數(shù)字特征練習(xí)4.1數(shù)學(xué)期望一、填空1 .設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：X-1012Pk0.20.10.30.4則

41、E(X)=；E(|X|)=；E(X2)=；E(2X)=.工 0,x，1,2 .隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為 F(x) =，a+barcsin x , - <1定 1, a =I, x 1,._2b =;E(X);E(X );.3.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的分布密度為k, f(x，y)= °，0 ： x ： 1, 0 ： y < 1,其它則 k =；E(X)=；E(Y)=；E(XY)二 二4 .設(shè)隨機(jī)變量 X N(N,。2),則E(|X 臼)=:0, x<0, 一 . 35 .設(shè)隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為F(x) =x, 0ExE1,則E(X)=:J, x >1,5 11

42、6 .設(shè) P(X =n)=,(n=1,2,，),則 E(X)=:2n(n 1)7 .若隨機(jī)變量X的期望E(X)存在，則EEE(X) =.8 .設(shè)X1,X2,X3都服從0, 2上的均勻分布，則E(3X1 X2+2X3) =.9.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律如下表所示，則E(X,Y)=.X012-11/101/207/2023/101/101/10二、對一臺儀器進(jìn)行重復(fù)測試，直到發(fā)生故障為止，假定測試是獨(dú)立進(jìn)行的，每次測試發(fā)生故障的概率均為0.1,求試驗(yàn)次數(shù) X的數(shù)學(xué)期望。三、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f (x) = 2(1 -X)，0W1',試求數(shù)學(xué)期望E(X).I 0, 其它四、對圓的直徑作

43、近似測量，設(shè)其值均勻分布在區(qū)間a,b內(nèi)，求圓面積的數(shù)學(xué)期望。五、平面上點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,a),其中a >0,過A點(diǎn)的直線l與y軸的夾角為0 ,B點(diǎn)，已知6在0,：上均勻分布，求AOAB的面積的數(shù)學(xué)期望。2x,六、設(shè)X與Y是相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，密度函數(shù)分別為：fX(x) = <fY(y)=%* V*1 0,其它.求E(XY).l交x軸于0 M X Ml,其它；0,院(系)班姓名 學(xué)號練習(xí)4.2 方差一、填空1 .設(shè) X 為隨機(jī)變量，且 E(X) =1,E(X2) =2，則 D(X) =.2 .設(shè) X N(0,仃2),則 D(aX +b) =.3 .已知隨機(jī)變量 X服從二項(xiàng)分布，且

44、E(X) =2.4 ,D(X) =1.44，則二項(xiàng)分布的參數(shù) n=, p=。4 .設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)存在，且E(X)=a,E(X2)=b ,c為常數(shù)，則 D ( cX) =.學(xué)習(xí)參考、一、=一-/ 、/ 、15 .設(shè)隨機(jī)變量 X服從某一區(qū)間上的均勻分布，且E(X) = 3, D(X) = § ,則X的概率密度為, P X =2 =, P1 ：二 X :二 3二 .6 .設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 九的泊松分布，且PX =1 = PX =2,則E(X)=D(X) =:7 .設(shè)X為一隨機(jī)變量，若D(10X +1) =10，則D(X) =. X2X218 .設(shè)隨機(jī)變量X的期望EX為一

45、非負(fù)值，且E(1) = 2 , D(1)=，則222E (X) =。、口,2X -39 .若隨機(jī)變量 XN(N,。2),則Y服從 分布。廣01 1310 .若隨機(jī)變量 X1,X2,X3相互獨(dú)立，且服從相同的兩點(diǎn)分布，則X=£ Xi0.8 0.2；y服從 分布，且 E(X) =, D(X) =.二、設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為PX =k = p(1 p)k,k =1,2,111,其中0 < p <1為常數(shù)，求 D(X)。X2xe-q x 0三、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=仃2 e ,x>0,其中仃A0的常數(shù)，求9 x<0D(X)。四、 (1 ) 設(shè)隨機(jī)變量 X1

46、, X2, X3，糕互獨(dú)立，且有、，1、，E(Xi)=i,DX(i = )i i 5,設(shè)Y = 2X1 X2+3X3 萬 X4，求 D( Y).22(2)設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨(dú)立，且 XN(720,30 ),Y N (640, 25 ),求乙=2X +Y,Z2 =X -Y 的分布。五、證明事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)的方差不超過1/4.六、設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律如下表所示 ，求E(X +Y), E(XY), D(X+Y), D(XY).X123-101/153/1502/155/154/15學(xué)習(xí)參考院(系)班姓名 學(xué)號練習(xí)4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)一、填空1 .設(shè) D(X)=4, D(Y)=

47、9, Pxy =0.5 ,則 D(2X_3Y)=.2 .設(shè)兩隨機(jī)變量X與Y的方差分別為25和16 ,相關(guān)系數(shù)為0.4 ,則D(2X+Y)=； D(X-2Y)=。3 .設(shè)X與Y是兩相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率分布分別為：XN(0,1),Y在(-1,1)學(xué)習(xí)參考入、口_、1,二、設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度f(x, y) =/， 0,三、設(shè)隨機(jī)變量X與Y的方差分別為25和36,相關(guān)系數(shù)為 0.4,求D(X+Y)及上服從均勻分布，則cov(X,Y尸4 .如果存在常數(shù) a,b(a #0)，使 PY =aX +b =1 ,且 0 <D(X)收，那么 PXY5 .如果X與Y滿足D(X +Y) =D

48、(X Y),則必有X與Y| y | ： x,0 : x ： 1其它，求co”。學(xué)習(xí)參考、Z 中，E(X) = E(Y)=1, E(Z) = 1,1 、1,PYZ=,設(shè) W=X+Y + Z ,求 22,x2 y2 -1 一y) = n,試證X與Y是不相【0,其它2, E(X2) =20, E(Y) = 3, E(Y2) =34,X +2Y) , D(X -Y).D(X -Y).四、已知三個(gè)隨機(jī)變量 X、 Y D(X) =D(Y) =D(Z) =1,% =0,；xzE(W), D(W).五、設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度 f(x,關(guān)的，但是X與Y不是相互獨(dú)立的。六、設(shè)X與Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，已知E

49、(X):XY =0.5 ,求：(1) E(3X +2Y) , E(X Y); (2) D(七、假設(shè)隨機(jī)變量 X在區(qū)間0,2上均勻分布，求X與|X-1|的相關(guān)系數(shù)P院(系)班姓名 學(xué)號第五章大數(shù)定律和中心極限定理、設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2.5,試?yán)们斜妊┓虿坏仁焦烙?jì)概率P| X-E(X)戶7.5的值。二、設(shè)某批產(chǎn)品的次品率為 p= 0.1,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取1000件，求抽得次品數(shù)在90到100件的概率。三、設(shè)某單位有200臺電話機(jī)，每臺電話大約有5%的時(shí)間要使用外線通話，若每臺電話是否使用外線是相互獨(dú)立的，問該單位總機(jī)至少需要安裝多少條外線，才能以90%以上的概率保證每臺電話機(jī)需要使用外

50、線時(shí)不被占用。四、設(shè)一大批電子元件中，合格品占1 ,從中任意選購6000個(gè)，試問把誤差名限定為多少 6時(shí)，才能保證合格品的頻率與概率之差的絕對值不大于君的概率為0.99?此時(shí)，合格品數(shù)在哪個(gè)范圍內(nèi)？五、如果中(x)為正的單調(diào)遞增函數(shù)，而E6(|X |) =m存在，試證明P(|X t>t) < 中(t)六、擲均勻硬幣4000次，求正面出現(xiàn)的頻率與概率之差的絕對值不超過0.01的概率。七、設(shè)男孩出生率為0.515,求在10000個(gè)新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率？院(系)班姓名 學(xué)號自測題(第四、五章)一、填空1 .設(shè)X 在a,b上服從均勻分布，其分布密度,E(X) =, D(X).2 .設(shè)X 服從參數(shù)為九的指數(shù)分布，其分布密度,E(X) =, D(X) =.3 .設(shè) (X,Y)NW 下 2,。；尸 22,P),則 E(X)=,E(Y) =學(xué)習(xí)參考三、已知隨機(jī)變量 X的概率分布密度為f(x)=0, x :二 0m xe , x至0 km!，求 E(X)及 D(X)。四、設(shè)隨機(jī)變量 X的概率分布密度為f(x) =ax(1 - x),0 < x < 10, 其它，求 a, E(X), D(X)及D(X) =, D(Y