計算方法習(xí)題

1、。常用白，=£計算。X相對誤差限與是相對誤差的最大限度, 計算相對誤差限。緒論（一）考核知識點誤差的來源類型；絕對誤差和絕對誤差限，相對誤差和相對誤差限，有效數(shù)字；絕對誤差的傳播。（二）復(fù)習(xí)要求1 .知道產(chǎn)生誤差的主要來源。2 . 了解絕對誤差和絕對誤差限、相對誤差和相對誤差限和有效數(shù)字等概念以及它們之間的關(guān)系。3 .知道四則運算中的誤差傳播公式。一、重點內(nèi)容一個物理量的真實值和我們算出的值往往不相等，其差稱為誤差。引起誤差的原因是多方面的，主要有:模型誤差，觀測誤差，截斷誤差，舍入誤差。在計算方法中主要討論的是截斷誤差和舍入誤差。誤差：設(shè)精確值X*的近似值為X,差3=*X稱為近似值

2、X的誤差（絕對誤差）。誤差限近似值x的誤差限 是誤差e的一個上界，即| e| = | x x| w &。相對誤差er是誤差e與精確值X的比值，% =上 fIX有效數(shù)字如果近似值X的誤差限e是它某一個數(shù)位的半個單位，我們就說X準確到該位。從這一位起到前面第一個非0數(shù)字為止的所有數(shù)字稱為X的有效數(shù)字。二、難點內(nèi)容（1）設(shè)精確值X*的近似值x, x= ± 0. ai&anx 10m, d, a?,，an是。9之中的自然數(shù)，且 ai*O, |x -x*| < e = 0.5 x iOml, 1< l < n0 則 x 有 l 位有效數(shù)字。（2）設(shè)近似值x=&

3、#177; 0. a0anX10m有n位有效數(shù)字，則其相對誤差限|£,區(qū)一匚乂1口一底】孫 設(shè)近似值x= 土 0. a1a2anX 10m的相對誤差限不大于 一-xlO+1則它至少有n位有效數(shù)字。g +1） 要求精確到103,取該數(shù)的近似值應(yīng)保留4位小數(shù)。三、例題例 1 設(shè) x*= =3.1 4159261-近似值x=3.14 =0.314 X101，即m=1它的誤差是 0.0015926，有即n=3， 故x=3.14 有 3為有效數(shù)字。x=3.14 準確到小數(shù)點后第 2 位。近似值x=3.1416 ,它的誤差是0.0000074，有即m=1, n5， x=3.1416 有 5位有效

4、數(shù)字。近似值x=3.1415 ,它的誤差是 0.0000926，有即m=1, n = 4, x=3.1415有4位有效數(shù)字。這就是說某數(shù)有s 位數(shù)， 若末位數(shù)字是四舍五入得到的，那么該數(shù)有s 位有效數(shù)字；若末位數(shù)字不是四舍五入得到的，那么該數(shù)有s 位或 s 1 位有效數(shù)字。例 2 指出下列各數(shù)具有幾位有效數(shù)字，及其絕對誤差限和相對誤差限：2.0004 0.0020090009000.00解因為 xi=2.0004 = 0.20004 X 101,它的誤差限 0.00005=0.5 X 101 5,即 m=1,n=5,故 x=2.0004 有 5 位有效數(shù)字 . 相對誤差限x2= 0.00200

5、 ，誤差限0.000005 ，因為m= 2， n=3， x2= 0.00200 有 3 位有效數(shù)字。相對誤差限r(nóng)=0.00005/0.00200=0.25% 。x3=9000,絕對誤差限為 0.5,因為m=4,n=4, x3=9000有4位有效數(shù)字，相對誤差限r(nóng)= 0.5/9000=0.0056%x4=9000.00 ，絕對誤差限0.005 ，因為m=4， n=6， x4=9000.00 有 6 位有效數(shù)字，相對誤差限為r=0.005/9000.00=0.000056%由x3與x4可以看到小數(shù)點之后的0,不是可有可無的，它是有實際意義的。例31n2=0.69314718，精確到 10一3的近似

6、值是多少？解精確到10 3= 0.001 ,即絕對誤差限是=0.05,故至少要保留小數(shù)點后三位才可以。Ln2 0.693。例 4 如何去設(shè)計一個好的算法？答：一個好的算法必須滿足：1、 計算步驟簡化以減少運算次數(shù)及誤差積累；2、 避免兩個相同號數(shù)數(shù)值相近的數(shù)相減； 3、 計算若干同號數(shù)時的和,按絕對值增大的順序相加；4、避免乘除法中數(shù)值絕對值過大或過小 ； 5、 防止大數(shù)吃掉小數(shù)； 6、 選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法。四、練習(xí)題 . * . . . . . . . -一 -1 .設(shè)某數(shù)X,它的保留三位有效數(shù)字的近似值的絕對誤差是 。2 . 設(shè)某數(shù) x*, 它的精確到10 4的近似值應(yīng)取小數(shù)點后位。3

7、 .()的3位有效數(shù)字是 0.236 X 102。(A)235.54 X 10t(B)235.418(C)2354.82X 10 2(D)0.0023549 X 1034 .設(shè)a*=2.718181828，取 a=2.718,則有()，稱a有四位有效數(shù)字。(A)(B)(C)(D)數(shù)字，絕對誤差限是5 . 設(shè) 某 數(shù)x*, 對 其 進 行 四 舍 五 入 的 近 似 值 是 (), 則 它 有 3 位 有 效(A)0.315(B)0.03150(C)0.0315(D)0.003156 . 以下近似值中，保留四位有效數(shù)字，相對誤差限為(A)0.01234(B)-12.34(C)- 2.20(D)0

8、.2200五、練習(xí)題答案該數(shù)有效數(shù)字第四位的一半。2.四3.(A) 4.(B) 5.(C) 6.(D)方程求根1 一)考核知識點二分法；迭代法一一牛頓法；弦截法。(二)復(fù)習(xí)要求1 .知道有根區(qū)間概念，方程 f(x)=0在區(qū)間(a, b)有根的充分條件。2 .掌握方程求根的二分法；二分法及二分次數(shù)公式，迭代法及其收斂性。3 .熟練掌握牛頓法，掌握初始值的選擇條件。4 .掌握弦截法。一、重點內(nèi)容、一 . . . . . 、 *2 .二分法：設(shè)方程f(x) = 0在區(qū)間a, b內(nèi)有根，用二分有根區(qū)間的方法，得到有根區(qū)間序列：x -xn= (a0=a, b0= b) , n=0, 1, 2,2有誤差估

9、計式：xxn w上!£, n=0, 1, 2,，二分區(qū)間次數(shù)：制+1螞蟲二吐心丫3 .牛頓法：用切線與x軸的交點，逼近曲線 f(x)與x軸的交點。迭代公式為/=x -二匚士(n=1, 2,)，選初始值x。滿足f(xo)f (xo) >0,迭代解數(shù)列一定收斂。(X)4 .弦截法：用兩點連線與x軸交點逼近曲線f (x)與x軸的交點。迭代公式為K+1 =%(右 7小(n=1，2,)二、難點內(nèi)容：(1)、迭代法概念：若方程f (x) = 0表成x= (x),于是有迭代格式：xn= (xn 1) (n=1, 2,)，lim x = x* =我lim/J =刎/)x=xn,存在0V v1,

10、| (x)| ，在區(qū)間a, b內(nèi)任一點為初始值進 RToo -行迭代，迭代數(shù)列收斂。(2)定理一：設(shè)(x)在區(qū)間a,b】上具有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且滿足如下兩個條件：當x a,b時,(x) a,b;存在正常數(shù) L<1,使得對任意x a, b有 (x) L。則 方程f(x)=0在區(qū)間a,b 上有唯一根； 對任思x0 a,b,迭代格式x= (x)收斂，且lim xn x ; n(3)定理二：設(shè)方程f(x)=0在區(qū)間a,b】內(nèi)有根x,且當x a,b時，I (x) 1 ,則對任意初始值 x0 a, b,且x0x ,迭代格式x= (x)發(fā)散。、 一、_.、一 、一 、一一 * * 一 * *»

11、;* *、 / (4)定理二(局部收斂)：設(shè)萬程x= (x)有*Kx,且在x的某個鄰域S (x x x /內(nèi)(x)存在 一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則當 (x ) 1時，迭代公式xn 1(xn)局部收斂；當 (x ) 1時，迭代公式xn 1(xn)發(fā)散。(5)迭代序列收斂階的概念若存在0V v 1, | (x)|,在區(qū)間a,b內(nèi)任一點為初始值進行迭代，迭代數(shù)列收斂。設(shè)迭代序列xn，一*xn 1 x*收斂于x ,如果存在實數(shù) p 1與正常數(shù)c,使得lim c,則稱序列 xn是p階收斂于x 。特npxn x別地，當p 1時，稱序列xn為線性(一次)收斂；xn為線性收斂時，必須要求 c 1。當p 2時，稱序列x

12、n為平方(二次)收斂；當1 p 2時，稱序列xn為超線性收斂；收斂階p越大，則序列 xnr .* 一 與x的誤差縮減越快，也就是序列xn收斂越快。一 一 . * . - . - *, *.(x ) x , (x ) 0,(6)定理四：若(x)在x附近的某個鄰域內(nèi)有p(p 1)階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且(p1)(x*)0, p(x*)0,且對一個任意靠近x*的初始值，迭代公式xn 1(xn)是p階收斂的。三、例題例1證明方程1 x sinx=0在區(qū)間0,1內(nèi)有一個根，使用二分法求誤差不超過0.5 X 10-4的根要迭代多少次？證明令 f (x) = 1 x sin x, f (0)=1>0 , f(1

13、)= sin1<0 . . f (x)=1 x sin x=0 在0 , 1有根。又 f1(x)=-1 cosx<0(x 0.1), 故 f(x)=0 在區(qū)間0 , 1內(nèi)有唯一實根。給定誤差限=0.5X10-4,有13.2877 ,只要取 n=14o計算過程保留4位小數(shù)。ln(b a) ln / ln 0.5 4ln 10 (n 1 1ln 2ln 2例2用迭代法求方程 x5-4x-2=0的最小正根，分析容易判斷1 , 2是方程的有根區(qū)間。若建立迭代格式5_5_x 2x 2x ，即(x)44(x)5x441(x(1,2),此時迭代發(fā)散。建立迭彳t格式x V4x 2, (x) V4x

14、 2, (x)454 (4x 2)44 ,(x (1,2),此時迭代收斂。5解建立迭代格式,(x) x x(x)一(x (,),取初始值xx2 5 4x1 2 5 7.724 1.5051,Xi 5 4xo 2 5 6 1.4310x3 5 4x2 2 5 8.0204 1.5165x4 V4x3 2 5/8.066 1.5182, X5 gZx4 2 V8.0728 1.5185。取 x 1.5185。例3試建立計算Ja的牛頓迭代格式，并求,的近似值，要求迭代誤差不超過10 6。分析首先建立迭代格式.確定取幾位小數(shù)，求到兩個近似解之差的絕對值不超過106。解令 x , a, f(x),求x的

15、值.牛頓迭代格式為xkxkf(Xk)f (Xk)Xkxka- xk xk,.,)。迭代誤差不超過106,計算結(jié)果應(yīng)保留小數(shù)點后6位。當 x=7或 8 時，x3=343 或 512, f()f()，而f ( )f ()，取 x0=8，有Xi23x0411.7913 827.478 078x22x13a3xf7.478078411.7913 7.47807827.439 956x32x23a3x227.439956411.7913 7.43995627.439760x42x33a3x327.439760411.7913 7.43976027.4397607.439760例4用弦截法求方程x3在x=

16、1.5附近的根計算中保留5位小數(shù)點.分析先確定有根區(qū)間.再代公式.解 f(x)=x3x21, f(1)= 1, f (2)=3 ,有根區(qū)間取1,2。xn迭代公式為xnf(xn)f (xn) f (xn )(xn xn)(n=1,2,)取 x2,x (x x )x x x xx31.253 1.252 11.253232 (1.25 2)1.253 1.25223 221.37662x41.376623 1.376622 11.37662 32321.376623 1.376622 1.253 1.252(1.37662 1.25) 1.48881x5x6321.488811.4888111.4

17、8881 3231.488811.488811.37662_ _3_ _21.463483 1.4634821.46348 3丁1.463483 1.463482 1.488811-21.37662(1.48881 1.37662) 1.463481321.488812(1.46348 1.48881) 1.46553取 x 1.46553 , f (1.46553)-0.000145例5.3用牛頓法求解LeonaH。方程/ 十 lx2 + 10x - 20 = 0要求< io、解 由J"(l)=-7 < 0/(2) = 16 >0,內(nèi)此八%) =0在(1,2)內(nèi)白

18、一個根，且 r >0,/(2) >0,故應(yīng)取4 = 2,利用牛頓迭代公式式七) z. n . o 、g。"，)計算結(jié)果見例表5-3例表5-3kA-kk0221 3S33XK704一.41 36KMM10911 61 31 36886941951 368808108:0 1 x 10« ,故取夕。必二1 368808108。例5.4利用牛頓法求/TIJ的近似值。斛 設(shè)則求/(外=0的正根就是求/HL /(10) =-15 < 0. /(II) =6 >0 知(10,11)內(nèi)方程有根.再由(*) =2x=2 >0知，可取,為=11 ,用牛頓法看“二

19、航-(云-115)/(2xt)( =0,1,2,)得x0 =11, / = 10 72727273x3 =10 72380586. 4 = 10.72380530可以看出,士盧3已經(jīng)在小數(shù)點后有6位數(shù)字相同，故可取a/=10.723805 0例 5.7 /lx) = (x -l)3(x -2) =0(1)取椀=0.9,用牛頓迭代法計算,孫；(2)取出 = 0 9,用計算重根的牛頓迭代格式計算與，；(3) iR x0 = 0. 9,= 1.1 ,用弦裁法計算為2,4 (4)觀察三種方法的收斂速度。解(1)用牛頓迭代格式fMf'H)當小;0 9時，有= 0.9 -= 0.93235二0 9

20、3235 9 000,310 95446-U%3.0。4%7 “外/(3)“欠。-f/(/)“町-可(2)計算或根的牛頓迭代公式一(4)m是重根數(shù)，顯然1是/(4)的三重根。取% = 0 9，可得=0. 9 - 3x2 = «| - 3f5)/'(盯)0 0011-07034二。99706=0. 99706 - 3 x _彳7 = 0,999997(3)弦版法迭代格式5”一后)二赴小取 %0 = 0.9 , x, =1.1,有孫-房寶。*)=0-9-61= 101“)- X.盯-一)一二福*2)= 1 0099(4)% = 1是/(%)的三重根，用單根牛頓公式計算重根為線性收

21、斂，計算乖根的牛頓公式為二階.所以收斂較快.例5.9分別用牛頓送代法和弦截法計算Xo解(1)用牛頓迭代法；設(shè)/(力)二/-Q=0 ,/'(4)XM(1=nx取a = 6 , n = 3時，有63x1A03 031 8196412 2222241 8171221 8171251 81712如卜.是取«0 = a/2的計算結(jié)果，見例表56例表5-6所以xe = 1.81712(2)用弦截法：iS /(a) =，- 6 *取而=6. 0,盯=3. 0 .有_ (/ 一1加招)% =一)-)如卜是計"結(jié)果，見例表5-7僅表5 -71*>06 0s1 8321713 0

22、6】8179222 6666771 8171332 12903g1 5171241 91B289J 31712所以x* = 1.81712例4選擇填空題1 .設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù)，若滿足 ,則方程f(x)=0在區(qū)間a, b一定有實根。答案:f (a)f (b)<02 .用簡單迭代法求方程 f (x)=0的實根，把方程f( x)=0表成x= (x),則f (x)=0的根是()(A) y=x與y= (x)的交點(B)y=x與y= (x)交點的橫坐標(C) y=x與x軸的交點的橫坐標(D) y= (x)與x軸交點的橫坐標答案：(B)3 .為求方程x3x21=0在區(qū)間1.3,1.6

23、內(nèi)的一個根，把方程改寫成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式, 迭代公式不收斂的是()。c 1 1(A) x2,，迭代公式：xk 1-=(B)x 1xk 1(C) x31 x2,迭代公式：xk1 (1 x2)1/3 (D)答案：(A)解答：在中 x2 1, (x) T,| (x)-x 1Jx 12(x 1)x 14，迭代公式:xk 11 口2 ,k 12xxk2x3 1 x2,迭代公式：xk1 12 xkxk 4 12F7HF L075828,故迭代發(fā)散。1.330.901 1 ,故迭代收斂。在中x 12, (x) 1 口， x) xx.-7. 2x2 16在(C)中，(x) 3d x2, x) r

24、-T-r I 0.5515 1,故迭代收斂。3(1 x2)2/33(1 1.32)2/3在(D)中，類似證明，迭代收斂.4 .牛頓切線法是用曲線f (x)上的 與x軸的交點的橫坐標逐步逼近f(x) =0的解；而弦截法是用曲線f(x)上的 與x軸的交點的橫坐標逐步逼近f(x)=0的解。答案：點的切線；兩點的連線四、練習(xí)題1 .用二分法求方程f(x)=0在區(qū)間a, b內(nèi)的根xn,已知誤差限，確定二分的次數(shù) n是使()。(A)ba (B)f (x)(C)x*-xn(D)x*-xn ba2 .設(shè)方程f(x)=x 4+2x=0,在區(qū)間1,2上滿足，所以f(x)=0在區(qū)間1,2內(nèi)有根。建立x一迭代公式x,

25、因為,此迭代公式發(fā)散。3 .牛頓切線法求解方程f (x)=0的近似根，若初始值x0滿足()，則解的迭代數(shù)列一定收斂。(A) f(xo)f (x) <0 (B) f (xo)f (x) >0 (C) f(xo)f (x) 0 (D) f(xo)f (x) 04 .設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 f(a)f(b)<0,當 時，則用弦截法產(chǎn)生的解數(shù)列收斂到方程f(x)=0的根。5 .用二分法求方程x3-x-1=0在區(qū)間1.0,1.5內(nèi)的實根，要求準確到小數(shù)點后第2位。6 .試用牛頓切線法導(dǎo)出下列各式的迭代格式：(1) C不使用除法運算；(2) - C不使用開方和除

26、法運算。五、練習(xí)題答案1 .(C)2. f(),f();(x) 1n 1n .>13.(B)4.f(x) 05.1.32236.(1) xn 12xn Cxn, (2)xn 11.5xn 0.5cxn5.4旱研知識練習(xí)第;分讓堂方拜再。=?-21-$=0左。，明內(nèi)嶷的近慨他，口算推篇到 第4附小敢.(2)用泄代注求卜：力捏的豺小iF機11) 丁 -4* - 5 -。用- I 7= -r-3 =*/5I 0(3) < =工.% =20;(土)= / 1 3 =必片 * I。4用牛穆西代法醫(yī)風(fēng)0*'-3*-】- 0/|飛=上附近的女電'4) ) !H1 WifXJUlh

27、 e' - 3? . 0 tn - - D. J附近的根，計即流踴4電6位小心，(5)用牛迭代法裁齷I線住方程如工r3*： - W * 0* 加£ - * T = 0 y.*，s(IJ)5.5茶礎(chǔ)知以糠習(xí)警號等第()x* +2 1016U) 11 1,51 冷 2) 0 W107 3) L SWS 4) 0, (W361I卿承(4) -0.45白驪2(5> 港晌% =10 216293, -0.823973J線性方程組的數(shù)值解法（一）考核知識點高斯順序消去法，列主元消去法；雅可比迭代法，高斯一一賽德爾迭代法；消去法消元能進行到底的條 件，迭代解數(shù)列收斂的條件。（二）復(fù)習(xí)

28、要求1 .知道高斯消去法的基本思想，熟練掌握高斯順序消去法和列主元消去法。2 .掌握線性方程組雅可比迭代法和高斯一一賽德爾迭代法。3 .知道解線性方程組的高斯消去法消元能進行到底的條件，知道迭代解數(shù)列收斂概念和上述兩種迭代法的收斂性的充分條件。一、重點內(nèi)容1 .高斯消去法：解線性方程組 AX= b,對增廣矩陣 口沏 順序作初等行變換，使矩陣 A化為上三角形矩立.11 / 口。注意：本章討論線性陣，再回代，從而得到線性方程組的解。要求作初等行變換消元過程中, 方程組的解的方法，不討論解的存在性。2 .列主元消去法：在高斯順序消去法中，2, 3,，n1）把第行作為主方程，做第 組的解。3, LU公

29、式法A LU 其中1%1每次消元之前，要確定主元啖 舊/卜耀（k= 1, k次消元。把系數(shù)矩陣化為上三角形矩陣，從而得到線性方程U11U12U13UmU22U23U2nU1 n11n2UnnLU1j aj,j 1,2,.n2,3,.nj k,k 1,.,n, ki k 1,.,n2,3.,n011 i1U11U kj akjaik likik 11. uki ij , i 1k 1l U uij jkj 1Ukk4.雅可比迭代法：解線性方程組 AX= b的雅可比迭代法公式為4.高斯賽德爾迭代法：解線性方程組 AX= b的高斯賽德爾迭代法公式為3-1*M礎(chǔ)4M2產(chǎn)產(chǎn)+%(i =1, 2,，n；

30、k=0, 1, 2,) aH J-l/-；+!二、難點內(nèi)容：解的收斂性定理(1)高斯消去法消元過程能進行到底的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的各階順序主子式不為0; AX= b能用高斯消去法求解的充分必要條件是A的各階順序主子式不為0。(2)(迭代法基本定理)：設(shè)線性方程組 X= B圻f對于任意初始向量 X0)及任意f ,對應(yīng)此方程組的迭代公式：X(k+1)= B(k)X+ f,收斂的充分必要條件是tnaE其中入i(i=1, 2,，n)為迭代矩陣B的特,征根。當 入i為復(fù)數(shù)時，|入i |表示入i的模。(3)(迭代法收斂的充分條件)設(shè)線性方程組 AX= b, (1)若A是嚴格對角占優(yōu)矩陣，則雅可比迭代

31、法和高斯一一賽德爾迭代法收斂；(2)若A為對稱正定矩陣，則高斯一一賽德爾迭代法收斂。2算注：設(shè)矩陣A=aijn,若|如|二|%|或|%|£|可|則稱矩陣A是嚴格對角占優(yōu)矩陣。三、例題例1用順序消去法解線性方程組解順序消元AM-:4-12 14-1 0.5-5 5 50 1.52 - 0.5力注-心).2 14-10 0.5 - 5 5 50017 - 17414于是有同解方程組回代得解：X3= 1, X2=1, xi=1,原線性方程組的解為X= (1,1, 1)T。例 2 取 初 始 向 量 X(0) =(0,0,0) T, 用 雅 可 比 迭 代 法 求 解 線 性 方 程 組解

32、建立迭代格式：(k=1,2,3,)第 1 次迭代,k=0: X(0) = 0,得到 X1) =(1,3,5) T,第 2 次迭代k=1：X(2) = (5,3, 3)T；第 3 次迭代，k=2：X(3) = (1,1,1)T；第 4 次迭代，k=3：X(4) = (1,1,1) T;例 3 填空選擇題：1. 用高斯列主元消去法解線性方程組x1 2x2 x302x1x12x2 3x333x22作第 1 次消元后的第2， 3 個方程分別為。解選a21=2為主元，作行互換，第 1個方程變?yōu)椋?X1+2X2+3X3=3,消元得到x20.5x31.52X2 1.5X3 3.5是應(yīng)填寫的內(nèi)容2.用選主元的

33、方法解線性方程組AX= b,是為了()(A) 提高計算速度(B) 減少舍入誤差答案 ：選擇 (B)3. 用高斯賽德爾迭代法解線性方程組(C) 減少相對誤差(D) 方便計算x1 2x2 2x3 1x1 x2 x332x1 2x2 x35k1 k15 2x1x2的迭代格式中= (k=0,l,2,)解答 ：高斯賽德爾迭代法就是充分利用已經(jīng)得到的結(jié)果，求4. 當a() 時，線性方程組答案 ： 5 2x1k 1 2x2k 1X2的值時應(yīng)該用Xi的新值的迭代解一定收斂(A)>6 (B)=6 (C)<6 (D)>6答案 ： (D)解答：當a >6 時，線性方程組的系數(shù)矩陣是嚴格對角占

34、優(yōu)矩陣，由定理6，迭代解一定收斂四、練習(xí)題1. 用高斯列主元消去法解線性方程組2. 用高斯賽德爾迭代法求解線性方程組取初始值(4.67 , 7.62 , 9.05) T,求二次迭代值3. 證明線性方程組的迭代解收斂。4 .用高斯順序消去法解線性方程組，消元能進行到底的充分必要條件是.。5 .用列主元消去法解線性方程組，第1次消元，選擇主元為()。(A)3 (B)4(C)-4(D)9五、練習(xí)題答案1、X= ( -4, 1, 2)T 2、(4.66619,7.61897,9.07452) T 3、提示：系數(shù)矩陣是嚴格對角占優(yōu)矩陣。4、線性方程組的系數(shù)矩陣的各階順序主子式均不為0o5、(C)函數(shù)插值

35、與曲線擬合(一)考核知識點插值函數(shù)，插值多項式，被插值函數(shù)，節(jié)點；拉格朗日插值多項式：插值基函數(shù)；差商及其性質(zhì)，牛頓 插值多項式；線性擬合、二次擬合。(二)復(fù)習(xí)要求1 .了解插值函數(shù)，插值節(jié)點等概念。2 .熟練掌握拉格朗日插值多項式的公式，知道拉格朗日插值多項式余項。3 .掌握牛頓插值多項式的公式，了解差商概念和性質(zhì)，掌握差商表的計算，知道牛頓插值多項式的余項。4 . 了解線性擬合和二次多項式擬合的方法。一、重點內(nèi)容求插值多項式的 基本思想：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)。已知它在a,b上n 1個互不相同的點xo,', ,Xn處的值yo,yi, ,yn。如果多項式p(x)在點Xi上滿

36、足p(xj y (i 0,1, ,n),則稱p(x) 是函數(shù)f(x)的插值多項式。1 .函數(shù)插值：已知函數(shù)f(x)的n個函數(shù)值yk=f(x0, k=0, 1, 2,，n。構(gòu)造一個多項式 P(x),使 得P(xk) = yk。P(x)就是插值多項式，f(x)就是被插函數(shù)，xk就是插值節(jié)點。誤差 R(x) = f (x) - P(x)o2 .拉格朗日多項式：稱n次多項式Pn(x) =y0lo+y1l1 + ynln = Z¥j#為拉格朗日插值多項式，其中基函數(shù):,-任一或Qc-通)3 一工-麗)一玉)(兩一弱G0當n = 1時，線性才f值P(x) = ykl k( x) +yk+1l k

37、+1(x)，其中基函數(shù)式x)=乙+1工Jt+l 一維工當n = 2時，得到二次多項式，就是二次插值。拉格朗日插值多項式的余項為= -3%L 其中 EC (a, b)。01)13.差商與牛頓插值多項式：函數(shù)值與自變量的差商就是差商，一階差商 次聞 "6 代/)(或記作fx°, x1)；商一/二階差商 丁依W 之(或記作 fx°, x1, x2)% -心性質(zhì)n階差商可以表示成n + 1 個函數(shù)值 f (x。，f(x1),.，f(xn)的線性組合，即f （xi）x0,x，,xk =i0 （xixo）（xi x）（xix）（xi xn）當n=1時,f Xo,Xif(Xo)

38、f(Xi)f (Xo)Xo XiXo Xif (Xi)Xi Xo當n=2時,f Xo,Xi,X2f Xo,Xi fXi,X2XiX2fXo,Xif Xi,X2Xo Xi X2 Xoi )f(X2)Xi X2(X2 Xo)(X2Xi)(Xof (Xo)Xi)(Xo X2)f (Xi)(XiXo)(XiX2)(X2f (X2)Xo)(X2 Xi)1( f(Xo)f (1) ) i (f(Xi) f%)XoX2XoXiXiXoX2XoXiX 2 X2Xif(Xo)f(Xi)( i(Xo Xi)(Xo X2) Xo X2 Xi Xo0:=：一二1、。"Xo <分段線性插值函數(shù) 氣力=2

39、加工)其中l(wèi)k(x)( k=o, i, 2, j-15.三次樣條插值函數(shù)注：差商有兩條常用性質(zhì)：(i)差商用函數(shù)值的線性組合表示；(2)差商與插值節(jié)點順序無關(guān)。用差商為系數(shù)構(gòu)造多項式，就是牛頓插值多項式Nn(X) =f(Xo)+fXo,Xi(X-Xo)+f Xo,Xi, X2(X-Xo)(X-Xi)+-+ f Xo,Xi,X2,，Xn(X-Xo)(X-Xi)(X-X2)(X-Xn-i)牛頓插值多項式的余項為R(X) =f(X) N(X)= f X,Xo,Xi,X2,，Xn(X Xo)(XXi)(X X2)(X Xn i)( X Xn)。4.分段線性插值已知n+i個互異節(jié)點Xo,Xi,，Xn構(gòu)造

40、一個分段一次的多項式P(x),且滿足：(i)P(x)在a, b上連續(xù)；(2)P(Xk)=yk(k=o, i, 2,，n); (3)P(X)在Xk,Xk+i上是線性函數(shù)。,n)是分段線性插值基函數(shù)。(k = o, i, 2,，n-i)( Xk< XWXk+i)其中 S(Xk)=m(k=o, i, 2,，n), hk= Xk+i-Xk(k= o, i, 2,，n- i) , mo, m,，mn滿足的方程組是(*)-1-2 + 2網(wǎng)機I +口3加型=%/ 0%-1+2%=%其中：.?(k(.-一). N ->»1)(k= 1, 2,，n-1)& 十&! 4 友(

41、1)當已知 S(X0)=y0, S(xn) = yn時,(*)式中1】n 6戶1一米，八 /62，八A、°=1， n= 1,= C-%), S=T-3土7；)(2)當已知 S(xo)=yo=mo, S (xn) = y n= mn 時，(*)式化為4飛十2洞i十如啊 =ci 47；九上肉e 1 +2喀* + 為叫日 七比 M <rrifl- 1 A-/rI * 4 « ' «»+ » 4 » ' 上 1M.*_之 + 2 %-1 +"為=1 鹿H =%-1.一 口MT”6、最小二乘法用(x)擬合數(shù)據(jù)(X

42、k, yk)( k=1, 2,，n),使得誤差的平方和之以-必&）t-1為最小，求（x）的方法，稱為最小二乘法。（1）直線擬合 若1y =野（工）=/ 十%x , a。，ai滿足法方程組Mh抬%+ （Z>J的= 2>k i-L7w舅"（E 需JbMn + 二毛/Mi =>/Zt_ JW.JIJUl（2）二次多項式擬合 若/二軀（工）二曰o+/工+4, a。，ai, a2滿足法方程組X*熊Li41nnk尤%Z/七%工注：+ %ZM =N尸產(chǎn)兄 "1%ib1Ktn靛ttn斯£城十/匯就十/ Z城二£九或 比1Jl'al!三、

43、例題例1已知函數(shù)y=f(x)的觀察數(shù)據(jù)為xk-2045yk51-31試構(gòu)造拉格朗日多項式 Pn( x),并計算P( 1)。只給4對數(shù)據(jù)，求得的多項式不超過3次解：先構(gòu)造基函數(shù)l (x)l (x)x(x )(x)x(x )(x)()()()(x )(x)(x) (x )(x)(x)()()l (x)(x )x(x )()()()x(x )(x)l (x)(x )x(x )(x)(x )x(x )()()()所求三次多項式為nyklk x(x )(x) (x )(x)(x)( ) x(x )(x) (x )x(x )P3(x)= k 0=+十R( 1) =例2已知函數(shù)y=f(x)的數(shù)據(jù)如表中第1,

44、 2歹U。計算它的各階差商。 解依據(jù)差商計算公式，結(jié)果列表中。kXkf (xk)一階差商二階差商三階差商四階差商00.400.4107510.550.578151.1160020.650.696751.168000.2800030.800.888111.275730.358930.1973340.901.201521.384100.433480.213000.03134計算公式為f(xk) f(xk ) 八、f(Xk,Xk )(k ,)一階差商Xk Xkf(Xk,Xk ,Xk )f(Xk，Xk ) f(Xk，Xk )(k,)二階差商Xk Xkf(Xk,Xk ,Xk ) f(Xk ,Xk ,Xk

45、 )f(Xk,Xk ,Xk ,Xk )三階差商Xk Xkf(X ,X ,X ,X ) f(X ,X , X ,X )f(X ,X ,X ,X ,X )四階差商X X例3設(shè)X，X，X，Xn是n+1個互異的插值節(jié)點，lk(X)(k -，n)是拉格朗日插值基函數(shù)，證明:nlk(x) knlk(x)xm Xm(m(2) k，n)證明(1)P n(X)= yd 0+yil l+ - +ynl n= knykl k0f (n )Rn(x)-(n()!(X),f(X)Pn(X) Rn(X)當f(X) 1時,Pn(x)Rn(x)1 =lk(X)f(n)()(n )!(X)由于 f(n)(X)nlk(x)(2)

46、對于 f(X)=Xm,m=0,1,2,，n,對固定Xm(0n),作拉格朗日插值多項式，有XmPn(x) Rn(x)kf(n ) (X"X)"n (X)當 n>m- 1 時，f(n+1)(x)=0 ,n mXkR(x)=0,所以 klk(x)注意：對于次數(shù)不超過n的多項式Qn (x)nanXana x a ,利用上結(jié)果，有：Qn(X)anXnan Xnnnanlk(x)xn anlk(X)Xknalk(x)Xknlk(X)可見，Q(x)的拉格朗日插值多項式就是它自身，即次數(shù)不超過n的多項式在n+1個互異節(jié)點處的拉格朗日插值多項式就是它自身。例4已知函數(shù)ex的下列數(shù)據(jù)x0

47、.100.150.250.30-x e0.9048370.8607080.7788050.740818用分段線性插值法求 x=0.2的近似值。解用分段線性插值，先求基函數(shù)。lk(x)anXn an xn =kaxk a Q(xjlk(x)kl (x)l (x)xl (x)一x. x l (x) x . x.x . x . x.所求分段線性插值函數(shù)為x .P(x) yUk(x). x .k x .一一 ,一0 2所以，e =P(0.2)= 0.81907 *0.2+0.983569=0.819755 。例5選擇填空題1 .設(shè)y=f (x)，只要X0,xi, x2是互不相同的3個值，那么滿足P(x

48、k尸yk(k=0,1,2)的f(x)的插值多項式 P(x) 是(就唯一性回答問題)答案：唯一的解答：因為過3個互異節(jié)點，插值多項式是不超過 2次的。設(shè)P(x)=a2x2+ax+a0,a 2,a 1,a0是待定數(shù)。P(xk)=yk,a xa xaya xa xaya xa xay這是關(guān)于a2,a 1,a0的線性方程組，它的解唯一，因為系數(shù)行列式x xx x (x x )(x x )(x x )x x所以，不超過2次的多項式是唯一的。2 .通過四個互異節(jié)點的插值多項式P(x),只要滿足(),則P(x)是不超過一次多項式。(A)初始值yo=0(B) 一階差商為0(C)二階差商為0(D)三階差商為0答

49、案：(C)解答：因為二階差商為 0,那么牛頓插彳1多項式為N(X)=f (X0)+f (X0, Xi)( xX0)它是不超過一次的多項式。3 .拉格朗日插值多項式的余項是(),牛頓插值多項式的余項是()f(n 1)()(A) Rn(x)f(x) Pn(x)m(x)(n 1)!(B) f (x, X0, Xi, X2,，Xn)( X xi)( XX2)(x Xn 1)( XXn)f(n 1)()(C) Rn(x)f(x) Pn(x)Y(n 1)!(D) f ( X, X0, X1, X2,，Xn)( X Xo)( X X1)( XX2) (XXn 1)( X Xn)答案：(A) , (D) o見

50、教材有關(guān)公式。例6已知數(shù)據(jù)如表的第2, 3歹U,試用直線擬合這組數(shù)據(jù)。解計算列入表中。n=5。ao,a 1滿足的法方程組是5ao 15al15a0 55a131105.5解得 ao=2.45,&=1.25。所求擬合直線方程為y=2.45+1.25 xkXkykx2Xkyk11414224.5493369184481632558.52542.5153155105.56 十 /.0 S "14e齊,(&彳*；，耳4 2是以0, 1, 2為節(jié)點的三次樣條函數(shù)，則 1,b,c應(yīng)取何值？解 由定義給出的條件制)。WC 久可，在工133/'，/_1這(n-1)個內(nèi)點上應(yīng)滿足式占-。)=鼠心o)-0)=寫丫/十 0)故在工1三I處由手”及連續(xù),可得(Q *力*廣42 = 22 口”+ 6 = 52a+ 1