1.2.Fourier級數ppt課件

1、 高等數學（高等數學（ 下）下） 河海大學理學院河海大學理學院第四節(jié) 傅里葉級數 高等數學（下）高等數學（下）一、三角級數 三角函數系的正交性1.1.三角級數三角級數 10)sincos(2nnnnxbnxaa討論三角級數，要研究它的收斂區(qū)域以及和討論三角級數，要研究它的收斂區(qū)域以及和函數的性質函數的性質 . .顯然，它的和函數一定是周期顯然，它的和函數一定是周期函數函數 . .因而，一個函數能展成三角級數的必因而，一個函數能展成三角級數的必要條件是周期為要條件是周期為 2 2的函數的函數. . 高等數學（下）高等數學（下）2.2.三角函數系的正交性三角函數系的正交性,sin,cos,2sin

2、,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,:上上的的積積分分等等于于零零任任意意兩兩個個不不同同函函數數在在正正交交 , 0cos nxdx,0sin nxdx三角函數系三角函數系),3,2,1( n 高等數學（下）高等數學（下）,0sinsin nmnmnxdxmx,0coscos nmnmnxdxmx.0cossin nxdxmx),2,1,( nm其其中中 高等數學（下）高等數學（下）二、函數展開成傅里葉級數問題問題 1.給定一個給定一個 2周期的函數周期的函數 , 若能展開成三角若能展開成三角級數級數,系數系數 是什么是什么?iiba ,2.展開的條件是什么展開的條件是什么?

3、1.1.傅里葉系數傅里葉系數 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若若有有.)1(0a求求dxkxbkxadxadxxfkkk )sincos(2)(10 高等數學（下）高等數學（下）,220 a dxxfa)(10kxdxbdxkxadxakkkksincos2110 .)2(na求求 nxdxanxdxxfcos2cos)(0cossincoscos1 nxdxkxbnxdxkxakkk 高等數學（下）高等數學（下） nxdxan2cos, na nxdxxfancos)(1),3,2,1( n.)3(nb求求 nxdxxfbnsin)(1),3,2, 1( n nxdxan

4、xdxxfsin2sin)(0sinsinsincos1 nxdxkxbnxdxkxakkk, nb 高等數學（下）高等數學（下） ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann 2020), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann或或傅里葉系數傅里葉系數 高等數學（下）高等數學（下）傅里葉級數傅里葉級數 10)sincos(2nnnnxbnxaa問題問題 10)sincos(2?)(nnnnxbnxaaxf條條件件 高等數學（下）高等數學（下）2.2.狄利克雷狄利克雷

5、(Dirichlet)(Dirichlet)收斂定理收斂定理設設)(xf是是以以 2為為周周期期的的周周期期函函數數. .如如果果它它滿滿足足條條件件: :在在一一個個周周期期內內連連續(xù)續(xù)或或只只有有有有限限個個第第一一類類間間斷斷點點, ,并并且且至至多多只只有有有有限限個個極極值值點點, ,則則)(xf的的傅傅里里葉葉級級數數收收斂斂, ,并并且且(1) 當當x是是)(xf的連續(xù)點時的連續(xù)點時, ,級數收斂于級數收斂于)(xf; ; (2) 當當x是是)(xf的的間間斷斷點點時時, ,收收斂斂于于2)0()0( xfxf; ;(3) 當當x為為端端點點 x時時, ,收收斂斂于于2)0()0

6、( ff. . 高等數學（下）高等數學（下）注意注意: : 函數展開成傅里葉級數的條件比展開函數展開成傅里葉級數的條件比展開成冪級數的條件低的多成冪級數的條件低的多. .解解例例 1 以以 2為為周周期期的的矩矩形形脈脈沖沖的的波波形形 0,0,)(tEtEtumm 將將其其展展開開為為傅傅立立葉葉級級數數. . otumEmE 所給函數滿足狄利克雷收斂條件所給函數滿足狄利克雷收斂條件. .0)(10dttua 高等數學（下）高等數學（下）00cos1cos)(1ntdtEntdtEmm ntdttubnsin)(1 00sin1sin)(1ntdtEntdtEmm)cos1(2 nnEm)1

7、(12nmnE , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(4kknkknkEm ntdttuancos)(1 高等數學（下）高等數學（下）和函數圖象為和函數圖象為otumEmE .), 2, 1, 0(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點點 kkt 1)12sin()12(4)(nmtnnEtu), 2, 1, 0,( kkt 所求函數的傅氏展開式為所求函數的傅氏展開式為 高等數學（下）高等數學（下）注意注意對于非周期函數對于非周期函數, ,假設假設 只在區(qū)間只在區(qū)間 上有定義上有定義, ,并且滿足狄氏收斂條件并且滿足狄氏收斂條件, ,只需作周只需作周期延拓，也可展開成傅氏級數期延拓，也可展開

8、成傅氏級數. .)(xf, 例例2將將函函數數 xxxxxf0,0,)( 展展為為傅傅立立葉葉級級數數. 解解所給函數滿足狄利克雷收斂條件所給函數滿足狄利克雷收斂條件. .xy0 2 2 高等數學（下）高等數學（下） nxdxxfancos)(1 00cos1cos)(1nxdxxnxdxx)1(cos22 nn1)1(22 nn dxxfa)(10 001)(1xdxdxx, , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(42kknkknk 高等數學（下）高等數學（下） nxdxxfbnsin)(1 00sin1sin)(1nxdxxnxdxx, 0 12)12cos()12(14

9、2)(nxnnxf)( x所求函數的傅氏展開式為所求函數的傅氏展開式為),3,2,1( n 高等數學（下）高等數學（下）利用傅氏展開式求數項級數的和利用傅氏展開式求數項級數的和,)12cos()12(142)(12 nxnnxf, 0)0(,0 fx時時當當 222513118,4131211222 設設),8(513112221 411,62 高等數學（下）高等數學（下）,6141212222 ,41312112223 ,244224113.122 .) 12( ,sin) 1(2)(11kxnxnxfnn)2(,sin2)(1kxnnxxfn 高等數學（下）高等數學（下） xxxxf002

10、)(3?)23( S)( xy0 高等數學（下）高等數學（下）為為周周期期的的連連續(xù)續(xù)函函數數，且且是是以以設設 2)(xf 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf可可逐逐項項積積分分，試證明：試證明：, )(2)(1122202 nnnbaadxxf.)(,的傅立葉系數的傅立葉系數為為其中其中xfbann證證 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf 102sin)(cos)()(2)(nnnnxxfbnxxfaxfaxf例例4 4 高等數學（下）高等數學（下）可可逐逐項項積積分分，)(xf dxxfa)(20 dxxf)(2 1sin)(cos)(nnnnxdxxfb

11、nxdxxfa dxxfa)(20 1sin)(cos)(nnnnxdxxfbnxdxxfa0a na nb , )(2)(122202 nnnbaadxxf結論可證結論可證. . 高等數學（下）高等數學（下）思考題思考題 若若函函數數)()(xx ，問問：)(x 與與)(x 的的傅傅里里葉葉系系數數na、nb與與n 、n ), 2 , 1 , 0( n之之間間有有何何關關系系？ 高等數學（下）高等數學（下）思考題解答思考題解答 nxdxxancos)(1 )()cos()(1tdntt nxdxx cos)(1 nxdxx cos)(1n ), 2 , 1 , 0( n 高等數學（下）高等數

12、學（下） nxdxxbnsin)(1 )()sin()(1tdntt nxdxx sin)(1 nxdxx sin)(1n ), 2 , 1( n,nna .nnb 高等數學（下）高等數學（下）四、小結四、小結1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數；傅里葉系數；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數的非周期函數的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級數的意義傅氏級數的意義整體逼近整體逼近 高等數學（下）高等數學（下）四、小結四、小結1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數；傅里葉系數；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數的非周期函數的傅氏展開式；傅氏展開式；5.

13、傅氏級數的意義傅氏級數的意義整體逼近整體逼近 高等數學（下）高等數學（下）四、小結四、小結1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數；傅里葉系數；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數的非周期函數的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級數的意義傅氏級數的意義整體逼近整體逼近 高等數學（下）高等數學（下）四、小結四、小結1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數；傅里葉系數；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數的非周期函數的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級數的意義傅氏級數的意義整體逼近整體逼近 高等數學（下）高等數學（下）四、小結四、小結1.基本概念；基本概念；2.傅

14、里葉系數；傅里葉系數；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數的非周期函數的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級數的意義傅氏級數的意義整體逼近整體逼近 高等數學（下）高等數學（下）四、小結四、小結1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數；傅里葉系數；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數的非周期函數的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級數的意義傅氏級數的意義整體逼近整體逼近 高等數學（下）高等數學（下）四、小結四、小結1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數；傅里葉系數；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數的非周期函數的傅氏展開式；傅氏展開式；5.

15、傅氏級數的意義傅氏級數的意義整體逼近整體逼近 高等數學（下）高等數學（下）四、小結四、小結1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數；傅里葉系數；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數的非周期函數的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級數的意義傅氏級數的意義整體逼近整體逼近 高等數學（下）高等數學（下）四、小結四、小結1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數；傅里葉系數；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數的非周期函數的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級數的意義傅氏級數的意義整體逼近整體逼近 高等數學（下）高等數學（下）四、小結四、小結1.基本概念；基本概念；2.傅

16、里葉系數；傅里葉系數；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數的非周期函數的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級數的意義傅氏級數的意義整體逼近整體逼近 高等數學（下）高等數學（下）四、小結四、小結1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數；傅里葉系數；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數的非周期函數的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級數的意義傅氏級數的意義整體逼近整體逼近 高等數學（下）高等數學（下）四、小結四、小結1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數；傅里葉系數；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數的非周期函數的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級數的意義傅氏