81認識不等式----案例

1、第8章 一元一次不等式§8.1 認識不等式一、背景分析1學(xué)習(xí)任務(wù)分析不等式是解決實際問題的一種數(shù)學(xué)模型，它不僅是初中階段學(xué)習(xí)的重點內(nèi)容，而且也是后面學(xué)習(xí)函數(shù)等知識的基礎(chǔ).它是在學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程組之后的后續(xù)內(nèi)容，貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終,起著橫貫上下的作用.本節(jié)是本章的第一課時，主要學(xué)習(xí)兩個概念：不等式和不等式的解.重點是讓學(xué)生理解不等式和不等式的解的意義，能正確列出不等式；難點是準確應(yīng)用不等號，正確理解不等式的解；滲透建模、類比、分類等思想方法.2學(xué)生情況分析學(xué)生在小學(xué)對不等量關(guān)系、數(shù)量大小的比較等知識已經(jīng)有所了解,但對含有未知數(shù)的不等式還是第一次接觸，本節(jié)就是對“不等”

2、這一概念進一步明確，使它成為一種有效的數(shù)學(xué)工具.學(xué)生在列不等式時，對數(shù)量關(guān)系中的“不大于”、“不小于”、“負數(shù)”、“非負數(shù)”等數(shù)學(xué)術(shù)語的含義不能準確理解，在把用文字語言表述的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為用符號表示的不等式時有一定困難.二、教學(xué)目標設(shè)計依據(jù)課程標準對79年級不等式學(xué)段的目標要求和本班學(xué)生實際情況，特確定如下目標：知識與技能1.能夠從現(xiàn)實問題中抽象出不等式，理解不等式的意義，會根據(jù)給定條件列不等式.2.正確理解“非負數(shù)”、“不小于”等數(shù)學(xué)術(shù)語.3.理解不等式的解的意義，能舉出一個不等式的幾個解并且會檢驗一個數(shù)是否某個不等式的解.過程與方法經(jīng)歷由具體實例建立不等式模型的過程，進一步發(fā)展學(xué)生的符號感

3、和數(shù)學(xué)化的能力，體會在解決問題的過程中與他人合作的重要性.情感態(tài)度與價值觀使學(xué)生產(chǎn)生獨立克服困難、運用知識解決問題的成功體驗，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心；在獨立思考的基礎(chǔ)上，積極參與討論，在合作交流中有一定收獲.三、教學(xué)過程設(shè)計（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新知（用時8分鐘）設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)教育必須基于學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，現(xiàn)實情境問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的平臺，數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一就是幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)現(xiàn)實，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實基于此,設(shè)置如下情境: 200克 x克情境1：如圖，天平左盤放三個蘋果，右盤放200克砝碼，天平傾斜.設(shè)每個蘋果的質(zhì)量為x克，怎樣表示x與200之間的關(guān)系？先引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、合作交流，再根

4、據(jù)情況出示思考題：1天平左邊的三個蘋果的總質(zhì)量如何用含x的代數(shù)式表示？2天平哪邊重？3應(yīng)該用怎樣的符號才能把表示天平左右兩邊的代數(shù)式連接起來？答案：3x200,或2003x. 由實際問題入手，既體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的實用性，又激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.情境2:如圖,小明與小聰玩蹺蹺板,大家都不用力時,蹺蹺板左低右高.小明體重50千克,小聰體重a千克,小聰背的書包重2千克,小明沒有背書包.怎樣表示a與50之間的關(guān)系呢?在上個情境的啟發(fā)下，學(xué)生分組討論后可以很快得到答案：a+250,或50a+2.通過上面兩個實例,學(xué)生們切實經(jīng)歷了不等式的產(chǎn)生過程,體驗到不等式是由于表示不等關(guān)系的需要而產(chǎn)生的數(shù)學(xué)模型.接著師生互

5、動進行歸納：引導(dǎo)學(xué)生思考:上面的4個式子:3x200，2003x,a+250，50a+2.有什么共同特征?它們是等式嗎?目的是引導(dǎo)學(xué)生回憶等式的概念，類比得出不等式的概念：用不等號“<”或“>”表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式（inequality）.教師順勢引出本節(jié)課題：§8.1認識不等式同時告訴學(xué)生：“”、“”、“”也是不等號,并利用下表加深印象.常見不等號的讀法和意義：不等號讀 法表示的意義大于左邊的量比右邊的量大小于左邊的量比右邊的量小大于或等于左邊的量不小于右邊的量小于或等于左邊的量不大于右邊的量不等于左邊的量大于或小于右邊的量通過以上探索，學(xué)生很自然地理解了不等

6、式的意義及常見的不等號的讀法和意義，本節(jié)重點和難點都得到了初步突破.（二）深入思考，再探新知（用時10分鐘）結(jié)合課本上的問題，再出示如下問題：問題1：小華和李敏兩人的建議，到底誰的比較合算呢？為什么? 同學(xué)們的探索過程如下:小華：買27張票，付款：5×27=135(元);李敏：買30張票，付款：4×30=120(元).顯然120<135.這就是說，買30張票比買27張票付款要少，表面上看是“浪費”了3張票，而實際上節(jié)省了.問題2: 我們只用120元就買了30張票，買30張票，我們不僅省錢，而且多買了票，是“浪費”還是“節(jié)省”？問題3：買30張票比買27張票付的款還要少

7、，這是不是說任何情況下都是多買票反而花錢少？如果你們一家三口去游園，是不是也買30張票呢？為什么去的人少了,買30張票就不合算呢？ 問題4：至少要有多少人去參觀，多買票反而合算呢？能否用數(shù)學(xué)知識來解決？教師先指出：設(shè)有x人要去公園游園.此時重點啟發(fā)學(xué)生從以下兩方面探索，滲透分類思想.（1）如果x30，則按實際人數(shù)買票，每張票只付4元.（2）如果x30，那么：按實際人數(shù)買票x張,要付款5x元；買30張票,要付款4×30120(元).如果買30張票合算，則1205x.問題5:x取哪些數(shù)值時,1205x成立？為便于思考,讓學(xué)生借助表格進行探究.引導(dǎo)學(xué)生有目的地討論、探索， 人數(shù)x需付款5x

8、30張票的價格120與5x的大小關(guān)系1205x成立嗎？211051201205x不成立221101201205x不成立231151201205x不成立24120120120=5x不成立251251201205x成 立261301201205x成 立271351201205x成 立281401201205x成 立291451201205x成 立列表計算：由上表可見，當x= 25，26,27，28，29時，也就是說，至少要有 25 人進公園時，買30張票合算.接著借助學(xué)生完成的表格，引導(dǎo)學(xué)生觀察最后一列，分析、討論：X的值可以分為哪幾類？學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)X的值分兩類：一類使1205x不成立，一類使12

9、05x成立.進一步引導(dǎo)學(xué)生類比方程的解的概念概括出不等式的解的概念：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解 。設(shè)計依據(jù)：類比是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方法，此環(huán)節(jié)不僅讓學(xué)生理解了不等式的解的意義，突破了重點和難點，而且感受了其中的函數(shù)思想，為今后學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。（三）典例示范，應(yīng)用新知（用時6分鐘）例1用不等式表示下列關(guān)系，并寫出兩個滿足不等式的數(shù)：（1）x的一半小于1；（2）y與4的和大于0.5；（3）a是負數(shù)；（4）b是非負數(shù).這是教材第52頁的例題，前3個小題,讓學(xué)生獨立思考,教師個別指導(dǎo)完成后,讓學(xué)生點評.重點啟發(fā)變式最后一個小題并給出規(guī)范的書寫過程，如把“b是非負數(shù)”變式為“b是負數(shù)”、

10、 “b是正數(shù)”,“b是非正數(shù)”等,讓學(xué)生反復(fù)體味不等號的用法和意義.解：（1）0.5x<-1,如x=-3,-4;（2）y+4>0.5,如y=0,1;（3）a<0，如a=-3,-4；（4）b是非負數(shù)，就是b不是負數(shù)，它可以是正數(shù)或零，即b>0或b=0，通?？梢员硎境蒪0，如b=0,2.然后啟發(fā)學(xué)生歸納出:1.列不等式的基本步驟: （1）確定不等式兩邊的代數(shù)式.（2）根據(jù)所給條件中的關(guān)系，選擇合適的不等號.（順利突出本節(jié)重點）2.常用的表示不等關(guān)系的詞語及對應(yīng)的不等號:關(guān)鍵詞語第一類：明確表明數(shù)量的不等關(guān)系第二類：明確表明數(shù)量的范圍特征大 于比大小 于比小不大于不超過至 多

11、不小于不低于至 少正數(shù)負數(shù)非負數(shù)非正數(shù)不等號0000通過歸納，加深對不等號的用途和意義的理解，第一個難點再次突破.例2下列各數(shù):0，3，3，4,0.5，20 ,0.4中, 是方程x+3=0的解； 是不等式x+30的解； 是不等式2x+3x的解.此例是為突出重點和難點而增加的題目，體現(xiàn)創(chuàng)造性地拓寬、使用教材.通過判斷這幾個數(shù)是否方程x+3=0的解,啟發(fā)學(xué)生類比得出:檢驗一個數(shù)是否不等式的解的方法:把所給的數(shù)值分別代入不等式的兩邊，化簡后，觀察不等式是否成立，成立者即為不等式的解，否則不是.(第2個難點又一次順利突破.)答案：0，3，3，4,0.5，20,0.4中,3是方程x+3=0的解；0，3，

12、4,0.5,0.4是不等式x+30的解；-20是不等式2x+3x的解.（四）闖關(guān)檢測，強化新知（用時8分鐘）第一關(guān): 1、判斷下列各式中哪些是不等式，哪些不是。（是打“”不是打“×”） x+1=2 （ ） 5x-31 （ ） x-6 （ ） 11x-46（ ） 74 （ ） 2x-y0 （ ）目的是強化本節(jié)重點，檢測學(xué)生識別不等式的水平.第二關(guān):用“”或“”填空:（1）7 3； （2）7+3 4+3； （3）7+（-1） 4 +（-1）；（4）7×3 4×3； （5）7×（-3） 4×（-3）（6）7÷（-3） 4 ÷（-3

13、）.此題是為下一節(jié)學(xué)習(xí)不等式的基本性質(zhì)做必要的鋪墊.答案:（1）;（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.第三關(guān):用適當?shù)牟坏仁椒柋硎鞠铝嘘P(guān)系：（1）與1的和是正數(shù)； （2）的2倍與1的和大于3； （3）的一半與4的差的絕對值不小于； （4）的2倍減去1不小于與3的和； （5）與的平方和是非負數(shù)； （6）的2倍加上3的和大于2且小于4； 第四關(guān)：判斷下列各數(shù)，哪些是不等式x+24的解。（是打“”不是打“×”） -1；（ ） -3；（ ） -2.5；（ ） 0；（ ） 1；（ ） 2；（ ） 3；（ ） 3.5；（ ） 4；（ ）目的是考查學(xué)生檢驗不等式的解的能力。第五關(guān):火眼金睛,

14、下列說法中，哪些是正確的？哪些是錯誤的？請把錯誤的加以改正.（1）“2x與1的和是負數(shù)”用不等式表示為：2x+10；（2）“a與b的差是非負數(shù)”用不等式表示為：a-b0；（3）“a的2倍與4的差不小于5”用不等式表示為：2a-45；（4）“x的相反數(shù)與3的和是正數(shù)”用不等式表示為：3-x0.解:（1），（4）正確；（2）（3）錯誤,改正如下：（2）因為非負數(shù)即0,可改為:a-b0；（3）因為不小于5即5,可改為:2a-45.此題旨在幫助學(xué)生充分辨析“負數(shù)”、“非負數(shù)”、“不小于”等關(guān)鍵詞.（五）反思盤點，整合新知(6分鐘)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么收獲？取得了哪些經(jīng)驗教訓(xùn)?還有哪些問題需要請教？設(shè)計意圖：通過反思、歸納，培養(yǎng)概括能力；幫助學(xué)生總結(jié)經(jīng)驗教訓(xùn)，鞏固知識技能，提高認知水平.方法:先放手讓學(xué)生獨立歸納,寫出反思總結(jié),在小組交流后，選代表在全班發(fā)言,老師根據(jù)情況完善如下：本節(jié)主要內(nèi)容：兩個概念：不等式、不等式的解.三種思想：建模思想、類比思想、分類思想.四個注意：一要注意“負數(shù)”、“非負數(shù)”、“不大于”、“不小于”等關(guān)鍵性詞語的含義.二要注意仔細審題,正確列出不等式.三要注意檢驗一個數(shù)是否某個不等式的解的方法.四要注意觀