自動(dòng)控制原理Ch3

1、3-3 反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 3-1 系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)及性能指標(biāo)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)及性能指標(biāo) 3-2 勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)第三章第三章 時(shí)域分析法時(shí)域分析法系統(tǒng)分析系統(tǒng)分析: : 對(duì)系統(tǒng)的對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差和和瞬態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)三方面的性能進(jìn)行分析。三方面的性能進(jìn)行分析。 直接法直接法求解微分方程求解微分方程 間接法間接法穩(wěn)定性判據(jù)穩(wěn)定性判據(jù) 根軌跡法根軌跡法 頻率法頻率法3.1 3.1 系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)及性能指標(biāo)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)及性能指標(biāo) 瞬態(tài)響應(yīng)：瞬態(tài)響應(yīng)： 系統(tǒng)的輸出從輸入信號(hào)作用時(shí)刻起，到穩(wěn)定狀態(tài)為止，隨時(shí)間變化的過(guò)程。分析瞬態(tài)響應(yīng)方法分析瞬態(tài)響應(yīng)方

2、法： 1、直接求解法 2、間接評(píng)價(jià)法 3、計(jì)算機(jī)仿真法 一、典型輸入信號(hào)一、典型輸入信號(hào) 階躍信號(hào)階躍信號(hào)斜坡信號(hào)斜坡信號(hào)拋物線信號(hào)拋物線信號(hào)脈沖信號(hào)脈沖信號(hào)正弦信號(hào)正弦信號(hào)tAtrsin)(二、二、 瞬態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng). .一階系統(tǒng)一階系統(tǒng)ksksRsCsGB1)()()(輸出輸出TsKsKsTsKsC/111)(輸入輸入r(t)=1(t) 或或 R(s)=1/s111skkk1TsK單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng) )1 ()(/ TteKtc時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù) 定義為定義為系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值63.2%所需的時(shí)間所需的時(shí)間 1kT穩(wěn)態(tài)值 系統(tǒng)輸出值與時(shí)間常數(shù)系統(tǒng)輸出值與時(shí)間常數(shù)T的對(duì)

3、應(yīng)關(guān)系：的對(duì)應(yīng)關(guān)系：t = T， c(1(1T) ) = 0.6320.632 c( () )t = 2 2T，c(2(2T) ) = 0.8650.865c( () )t = 3 3T，c(3(3T) ) = 0.9500.950c( () )t = 4T，c(4(4T) ) = 0.9820.982c( () )由于由于k k 不可能為無(wú)窮大，不可能為無(wú)窮大，所以，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差不能為所以，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差不能為0 011)(1)()(lim)(lim)(kctctrteett系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差2 2、二階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù) 2222nnnBsssG)( - - 阻尼比，阻尼

4、比， n- - 無(wú)阻尼自然振蕩頻率無(wú)阻尼自然振蕩頻率 特征方程特征方程0222nnss112122nnnnss解方程解方程 不同，特征根性質(zhì)不同，系統(tǒng)響應(yīng)特性也不同不同，特征根性質(zhì)不同，系統(tǒng)響應(yīng)特性也不同 0 1，欠阻尼欠阻尼 =，臨界阻尼，臨界阻尼 ，過(guò)阻尼，過(guò)阻尼典型典型二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu) 0 1 ，欠阻尼情況欠阻尼情況 系統(tǒng)傳遞函數(shù)系統(tǒng)傳遞函數(shù))()(2dndnnBjsjssGdnjs2, 1輸入輸入r(t)=1(t) 2222222)()(1)()(dnndnnnnssssssssC2)11sin(111)sin1(cos1)()(2222arctantettesCtcntddt

5、nn1L L 0 1 ，欠阻尼情況（續(xù)）欠阻尼情況（續(xù)）系統(tǒng)的誤差為系統(tǒng)的誤差為 ) 0()1arctan1sin(11)()()(222ttetctrtentn當(dāng)當(dāng)t時(shí)時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差e ()。 = =，無(wú)阻尼情況，無(wú)阻尼情況系統(tǒng)特征根系統(tǒng)特征根 s1,2= = j j n n 單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng) ttcncos1)(等幅振蕩等幅振蕩振蕩頻率振蕩頻率: : n當(dāng)系統(tǒng)有一定阻尼時(shí)，當(dāng)系統(tǒng)有一定阻尼時(shí)， d n = =，臨界阻尼情況，臨界阻尼情況 兩相等實(shí)數(shù)根：s1= s 2= -n nnnnnssssssC1)(1)()(222)1 (1)(tetcntn 無(wú)超調(diào)無(wú)超調(diào)無(wú)振蕩無(wú)振蕩單

6、調(diào)過(guò)程單調(diào)過(guò)程 ，過(guò)阻尼情況 兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根： ns)1(22, 1211)(ssBssAssCtstsBeAetc211)(無(wú)超調(diào)無(wú)超調(diào)過(guò)程比過(guò)程比 = =長(zhǎng)長(zhǎng) 不同值下的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線族 值一定值一定: :欠阻尼比臨界阻尼更快達(dá)到穩(wěn)態(tài)值；欠阻尼比臨界阻尼更快達(dá)到穩(wěn)態(tài)值；過(guò)阻尼系統(tǒng)反應(yīng)遲鈍；過(guò)阻尼系統(tǒng)反應(yīng)遲鈍；系統(tǒng)大多設(shè)計(jì)成欠阻尼系統(tǒng)大多設(shè)計(jì)成欠阻尼調(diào)整時(shí)間調(diào)整時(shí)間ts ：響應(yīng)到達(dá)并保持在終值響應(yīng)到達(dá)并保持在終值5%5%（或（或2%2%）內(nèi)所需的最短時(shí)間）內(nèi)所需的最短時(shí)間峰值時(shí)間峰值時(shí)間tp: :響應(yīng)曲線到達(dá)第響應(yīng)曲線到達(dá)第一個(gè)峰值所需的時(shí)間一個(gè)峰值所需的時(shí)間上升時(shí)間上升時(shí)間t

7、 tr r ：響應(yīng)從響應(yīng)從終值的終值的10%上上升到終值的升到終值的90%所需的時(shí)間所需的時(shí)間超調(diào)量超調(diào)量 延滯時(shí)間延滯時(shí)間t td d ：響應(yīng)曲線到響應(yīng)曲線到達(dá)終值達(dá)終值50%50%所需的時(shí)間所需的時(shí)間1.1.性能指標(biāo)性能指標(biāo)百分比超調(diào)量百分比超調(diào)量s ：%)()()(100cctcps三、二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)三、二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)v振蕩次數(shù)N：在在0tt0tts s時(shí)間內(nèi)，過(guò)渡過(guò)程時(shí)間內(nèi)，過(guò)渡過(guò)程c(t)c(t)穿越其穩(wěn)態(tài)值穿越其穩(wěn)態(tài)值c()c()次數(shù)的一半。次數(shù)的一半。v衰減比n： 過(guò)渡過(guò)程曲線上同方向的相鄰兩個(gè)過(guò)渡過(guò)程曲線上同方向的相鄰兩個(gè)波峰之比，波峰之比， n =B/Bn

8、 =B/B。對(duì)于定值控制系統(tǒng)：對(duì)于定值控制系統(tǒng)： 常以系統(tǒng)對(duì)單位擾動(dòng)常以系統(tǒng)對(duì)單位擾動(dòng)輸入信號(hào)時(shí)的響應(yīng)特性輸入信號(hào)時(shí)的響應(yīng)特性來(lái)衡量瞬態(tài)性能來(lái)衡量瞬態(tài)性能)sin(1112tedtn)sin1(cos1)(2ttetcddtn二階系統(tǒng)響應(yīng)：二階系統(tǒng)響應(yīng)：2.性能指標(biāo)計(jì)算性能指標(biāo)計(jì)算上升時(shí)間上升時(shí)間 tr (rise time)221sin1cosrdrdrdttttan0ddrt)1arctan(1221arctan令令c(tr)=1)sin1(cos1)(2ttetcddtn按響應(yīng)從零開(kāi)始至第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間計(jì)算。按響應(yīng)從零開(kāi)始至第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間計(jì)算。峰值時(shí)間tp (pea

9、k time)11sin(111)(222arctantetcntn), 3 , 2 , 1(mmtd求導(dǎo)0)sin(1)cos(11)(22tetedttdcdntddtnntan1)tan()sin()cos(2ndddnddttt0整理21ndpt峰值時(shí)間：峰值時(shí)間：峰值時(shí)間峰值時(shí)間tp與振蕩頻率與振蕩頻率 d成反比成反比。當(dāng)當(dāng) n一定一定， 越小越小，tp也越小也越小 最大百分比超調(diào)量s%代入t= tp )11sin(111)(222arctantetcntn)sin(111)(2pdtptetcpn)sin(11212ddnnesin11212e)sin(11212eAe211 最大

10、超調(diào)量s求法(續(xù))%)()()(%100cctcps s與 的關(guān)系 %21100se%10011121e調(diào)節(jié)時(shí)間ts)1%ln(12nst）4）32%(5%(nsnstt)(%)()(cctc由ts 定義21%tne%)sin(12tedtn近似算法近似算法%1)sin(112tedtn兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù), 1)sin(td%12tne小結(jié)小結(jié)當(dāng)當(dāng) n一定，一定，要減小要減小tr和和tp，必須減少，必須減少 值，值，要要減少減少ts則應(yīng)增大則應(yīng)增大n值，而且值，而且 值有一定范圍，值有一定范圍，不能過(guò)大不能過(guò)大增大增大 n，能使能使tr，tp和和ts都減少都減少最大超調(diào)量最大超調(diào)量s s只由

11、只由 決定，決定， 越小，越小，s s越大越大四、四、 增加零極點(diǎn)對(duì)二階系統(tǒng)響應(yīng)的影響增加零極點(diǎn)對(duì)二階系統(tǒng)響應(yīng)的影響高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式)()()(01110111nmasasasabsbsbsbsRsCnnnnmmmm零極點(diǎn)的形式 )( )()()()()()(11221122nmsspsasszsbsRsCkirinininiinqilimimimiim22式中q+2l=m，k+2r=n 高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng) ssspsasszsbsCkirinininiinqilimimimiim1)()()()()(1122112222假設(shè)沒(méi)有重極點(diǎn)假設(shè)沒(méi)有重極點(diǎn) kirin

12、ininininiininiiiissBsApsCsabsC11222001)(1)(2rininiininiitninikitpitBtAeeCabtci122 100)1sin1cos()(求拉氏反變換求拉氏反變換 高階系統(tǒng)小結(jié)系數(shù)很小的分量、遠(yuǎn)離虛軸,衰減很快,常可以忽略高階系統(tǒng)的性能可用低階系統(tǒng)近似估計(jì) 主導(dǎo)極點(diǎn)主導(dǎo)極點(diǎn)定義有一對(duì)（或一個(gè)）極點(diǎn)距虛軸較近，其它有一對(duì)（或一個(gè)）極點(diǎn)距虛軸較近，其它極點(diǎn)較遠(yuǎn)，其實(shí)數(shù)部分為它的極點(diǎn)較遠(yuǎn)，其實(shí)數(shù)部分為它的1 15 5或更小，或更小，并且附近又沒(méi)有零點(diǎn)。并且附近又沒(méi)有零點(diǎn)。主導(dǎo)極點(diǎn)主導(dǎo)極點(diǎn) 舉例舉例三階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)) 1)(12(1)(2ss

13、ssGB若n）（64/1 主導(dǎo)極點(diǎn)主導(dǎo)極點(diǎn)系統(tǒng)的性能可用系統(tǒng)的性能可用二階系統(tǒng)來(lái)表示二階系統(tǒng)來(lái)表示 例例 3.13.1 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 試求系統(tǒng)近似的單位階躍響應(yīng)試求系統(tǒng)近似的單位階躍響應(yīng)c(t) 。 解解:)102 . 520)(60)(20()03.20(1012. 3)(325ssssssW對(duì)消零極點(diǎn)得對(duì)消零極點(diǎn)得)102 . 520)(60(1012. 3)(325ssssW近似為一個(gè)二階系統(tǒng)近似為一個(gè)二階系統(tǒng) 323102 . 520102 . 5)(sssW近似的單位階躍響應(yīng)為近似的單位階躍響應(yīng)為10( )1 esin(71.41.43)0tc ttt 例例

14、3.23.2 假設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為假設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 )6)(256()5 . 2(60)(2sssssGB試分析零點(diǎn)試分析零點(diǎn)-2.5-2.5和極點(diǎn)和極點(diǎn)-6-6對(duì)系統(tǒng)階對(duì)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的影響躍響應(yīng)的影響。 解解:1 1、系統(tǒng)增益、系統(tǒng)增益=1=1，對(duì)階，對(duì)階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零 零極點(diǎn)分布圖例例 3.23.2（續(xù)）（續(xù)）2 2、 用用MATLABMATLAB仿真，得到單位階躍響應(yīng)曲線仿真，得到單位階躍響應(yīng)曲線 單位階躍響應(yīng)曲線單位階躍響應(yīng)曲線 A: 原三階系統(tǒng)， 超調(diào)量s%=37%調(diào)節(jié)時(shí)間ts=1.6秒)6)(256(1502sssD:D:忽略零極點(diǎn)的系統(tǒng)忽略零

15、極點(diǎn)的系統(tǒng)超調(diào)量超調(diào)量s s%=9.5%，調(diào)，調(diào)節(jié)時(shí)間節(jié)時(shí)間ts=1.2秒秒256252ssC:C:忽略零點(diǎn)的系統(tǒng)忽略零點(diǎn)的系統(tǒng)超調(diào)量超調(diào)量s s%=5.5%調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間ts=1.4秒秒) 6)(256(1502sss不能忽略零極點(diǎn)的影響不能忽略零極點(diǎn)的影響一個(gè)不能忽略的零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響一個(gè)不能忽略的零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響 是使超調(diào)量加大，響應(yīng)速度加快是使超調(diào)量加大，響應(yīng)速度加快一個(gè)不能忽略的極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響一個(gè)不能忽略的極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響 是使超調(diào)量減小，調(diào)節(jié)時(shí)間增加是使超調(diào)量減小，調(diào)節(jié)時(shí)間增加B:B:忽略極點(diǎn)的系統(tǒng)忽略極點(diǎn)的系統(tǒng)超調(diào)量超調(diào)量s s% %= =54.5% %，調(diào)，調(diào)節(jié)時(shí)間節(jié)時(shí)間t

16、s=1.5秒秒256)5.2(102sss31改善系統(tǒng)性能的措施改善系統(tǒng)性能的措施 （1）誤差的比例）誤差的比例+微分控制微分控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為)2()1 ()(2nndsssTsG2222222)1 ()2/(2)1 ()(nndndnnndndsssTsTssTsW閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為 2/nddT 式中，式中， 32（2）輸出量的速度反饋控制）輸出量的速度反饋控制 閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為 222222( )2(/2)2nntnnntnnW ssKsss 式中，式中， /2ttnK33五、線性定常系統(tǒng)的一個(gè)特性五、線性定常系統(tǒng)的一個(gè)特性 對(duì)于線性定常系統(tǒng)

17、對(duì)于線性定常系統(tǒng)：若系統(tǒng)輸入為：若系統(tǒng)輸入為：則由拉普拉斯變換的微分法則，系統(tǒng)輸出為則由拉普拉斯變換的微分法則，系統(tǒng)輸出為)()()(sRsWsC,d)(d)(1ttrtr)(d)(d)(11ssRttrLsR)()()()(1ssCsRssWsCttctcd)(d)(1所以所以 上式說(shuō)明，當(dāng)線性定常系統(tǒng)輸入信號(hào)為原來(lái)輸入信號(hào)的導(dǎo)上式說(shuō)明，當(dāng)線性定常系統(tǒng)輸入信號(hào)為原來(lái)輸入信號(hào)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，這時(shí)系統(tǒng)的輸出為原來(lái)輸出的導(dǎo)數(shù)。同理：數(shù)時(shí)，這時(shí)系統(tǒng)的輸出為原來(lái)輸出的導(dǎo)數(shù)。同理：,d)()(2ttrtr)(1)(2sRssR)(1)(1)()()()(22sCssRssWsRsWsCttctcd)()(2則

18、系統(tǒng)輸出為則系統(tǒng)輸出為這時(shí)這時(shí)34由上可以得出線性定常系統(tǒng)的重要特性：由上可以得出線性定常系統(tǒng)的重要特性： (1)(1)由于單位脈沖信號(hào)是單位階躍信號(hào)對(duì)時(shí)由于單位脈沖信號(hào)是單位階躍信號(hào)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，所以單位脈沖響應(yīng)也應(yīng)是單位間的一階導(dǎo)數(shù)，所以單位脈沖響應(yīng)也應(yīng)是單位階躍響應(yīng)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。階躍響應(yīng)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。 (2)(2)由于單位斜坡信號(hào)和單位拋物線信號(hào)分由于單位斜坡信號(hào)和單位拋物線信號(hào)分別是單位階躍信號(hào)對(duì)時(shí)間的一重和二重積分，別是單位階躍信號(hào)對(duì)時(shí)間的一重和二重積分，所以單位斜坡響應(yīng)和單位拋物線響應(yīng)也應(yīng)是單所以單位斜坡響應(yīng)和單位拋物線響應(yīng)也應(yīng)是單位階躍響應(yīng)對(duì)時(shí)間的一重和二重積分。位階

19、躍響應(yīng)對(duì)時(shí)間的一重和二重積分。3.2 勞斯判據(jù)勞斯判據(jù) v勞斯赫爾維茨(RouthHurwitz)判據(jù)，代數(shù)判據(jù)方法 v根軌跡法，圖解求特征根的方法v奈魁斯特(Nyquist)判據(jù)，基于復(fù)變函數(shù)理論的方法v 李雅普諾夫方法 ，適用于線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng) 常用的穩(wěn)定性分析方法 一、一、 穩(wěn)定性穩(wěn)定性(Stability)的概念的概念(a) 穩(wěn)定的 (b) 不穩(wěn)定的 定義定義穩(wěn)定穩(wěn)定: 系統(tǒng)受到外作用后，偏離了正常工作點(diǎn)。系統(tǒng)受到外作用后，偏離了正常工作點(diǎn)。當(dāng)外作用消失后，系統(tǒng)能回復(fù)到原來(lái)的工作當(dāng)外作用消失后，系統(tǒng)能回復(fù)到原來(lái)的工作點(diǎn)。點(diǎn)。單輸入單輸出線性系統(tǒng) rbrbrbcacacammmnnn

20、)1(1)(0)1(1)(00cacacannn)1(1)(00)(lim)(lim)(lim) 1() 1 (tctctcnttt系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定 特征方程特征方程 0nnnnasasasa1110設(shè)方程 k個(gè)實(shí)根 pi (i=1，2，k) r對(duì)共軛復(fù)數(shù)根 s ij i (i=1，2，r) k+2r=n kiriiiiittpitBtAeeCtcii11)sincos()(s零輸入時(shí)零輸入時(shí)討論v若特征方程的根均具有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若特征方程的根均具有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)穩(wěn)定；v復(fù)數(shù)根對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)是衰減振蕩的；復(fù)數(shù)根對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)是衰減振蕩的； 實(shí)數(shù)根對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)輸出為指數(shù)衰減形式；實(shí)數(shù)根對(duì)應(yīng)

21、的系統(tǒng)輸出為指數(shù)衰減形式；v若特征方程的根中有一個(gè)或一個(gè)以上是正數(shù)，若特征方程的根中有一個(gè)或一個(gè)以上是正數(shù)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；v特征方程中有實(shí)部為零的根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)特征方程中有實(shí)部為零的根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。定狀態(tài)。 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件所有特征根均具有負(fù)實(shí)部所有特征根均具有負(fù)實(shí)部 所有特征根，均在所有特征根，均在根平面的左半部分根平面的左半部分 =所有極點(diǎn)均位于所有極點(diǎn)均位于 s 平面平面的左半部分的左半部分 系統(tǒng)穩(wěn)定性的簡(jiǎn)單例子二、二、 勞斯判據(jù)勞斯判據(jù)(Routh Criterion)1. 1. 系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步判

22、別 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程 0nnnnasasasasD1110)( 特征方程的所有系數(shù)均為正數(shù)，且不等于0。穩(wěn)定的必要條件：穩(wěn)定的必要條件：系數(shù)行系數(shù)行2. 2. 勞斯判據(jù)勞斯判據(jù) 001110aasasasannnn0系統(tǒng)特征方程 勞斯陣列表 10113214321332125311420gsfsdddscccsbbbsaaasaaasnnnnn170613150412130211aaaaabaaaaabaaaaab131512121311bbaabcbbaabc第一列系數(shù)均為正數(shù)，系統(tǒng)穩(wěn)定，第一列系數(shù)均為正數(shù)，系統(tǒng)穩(wěn)定，計(jì)算行計(jì)算行第一列系數(shù)有負(fù)數(shù)，則第一列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)第一列系數(shù)有負(fù)數(shù)，

23、則第一列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)等于在右半平面上根的個(gè)數(shù)等于在右半平面上根的個(gè)數(shù) 43說(shuō)明說(shuō)明v系數(shù)的計(jì)算進(jìn)行到其余的系數(shù)項(xiàng)全為系數(shù)的計(jì)算進(jìn)行到其余的系數(shù)項(xiàng)全為0止，止，直到直到s0 0行；系數(shù)的完整陣列為倒三角形；行；系數(shù)的完整陣列為倒三角形；v為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可用一個(gè)正整數(shù)去除或乘為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可用一個(gè)正整數(shù)去除或乘某一行的各元素，并不影響穩(wěn)定性結(jié)論。某一行的各元素，并不影響穩(wěn)定性結(jié)論。例例3.3 系統(tǒng)特征方程為試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 0611126ssss234解2 2、勞斯陣列表如下勞斯陣列表如下 s4 1 12 6 1 12 6 s3 6 11 6 111 1、特征方程所有系數(shù)均為正

24、，滿(mǎn)足、特征方程所有系數(shù)均為正，滿(mǎn)足穩(wěn)定的必要條件穩(wěn)定的必要條件 3 3、第一列系數(shù)均為正實(shí)數(shù)，故系統(tǒng)穩(wěn)定、第一列系數(shù)均為正實(shí)數(shù)，故系統(tǒng)穩(wěn)定 s2 61/6 6 61/6 6 s1 455/61455/61 s0 6 6系數(shù)行系數(shù)行計(jì)算行計(jì)算行系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征方程為試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 023456523sssss解 1、勞斯表如下勞斯表如下 s5 1 2 5 1 2 5 s4 3 1 6 3 1 6 s3 s2 s1 s02 2、第一列系數(shù)的符號(hào)改變了兩次，系統(tǒng)有兩、第一列系數(shù)的符號(hào)改變了兩次，系統(tǒng)有兩個(gè)特征根的實(shí)部為正個(gè)特征根的實(shí)部為正 ，系統(tǒng)

25、閉環(huán)不穩(wěn)定。，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。例例3.45 95 9 ( (各系數(shù)各系數(shù)均已乘均已乘3) 3) -11 15 (-11 15 (各系數(shù)各系數(shù)均已乘均已乘5/2)5/2)174 (174 (各系數(shù)各系數(shù)均已乘均已乘11) 11) 15 特殊情況 (1) 勞斯陣列表中某一行的第一個(gè)系數(shù)為零，其余各系數(shù)不為零(或沒(méi)有其余項(xiàng)) ?？梢杂靡粋€(gè)很小的正數(shù)e 來(lái)代替為零的元素，繼續(xù)計(jì)算其他各項(xiàng)。 解1、勞斯表勞斯表 s 3 1 1 s 2 2 2 2 2 2、e e 的上下兩個(gè)系數(shù)符號(hào)相同，的上下兩個(gè)系數(shù)符號(hào)相同， 有一對(duì)虛根存在有一對(duì)虛根存在 , ,系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)系統(tǒng)特征方程為02232

26、sss試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 例例3.5用一個(gè)很小的正數(shù)e 來(lái)代替零 如果如果e 上下元素符號(hào)相同，表明特征方程有一對(duì)共上下元素符號(hào)相同，表明特征方程有一對(duì)共軛虛根（臨界狀態(tài)），屬不穩(wěn)定。如果軛虛根（臨界狀態(tài)），屬不穩(wěn)定。如果e 上下元素符號(hào)上下元素符號(hào)相反，表明特征方程有正實(shí)部根存在，系統(tǒng)不穩(wěn)定相反，表明特征方程有正實(shí)部根存在，系統(tǒng)不穩(wěn)定 s 1 0e es 0 2 特殊情況 (2)勞斯陣列表中某一行勞斯陣列表中某一行( (設(shè)為第設(shè)為第k k行行) )的所有系數(shù)均的所有系數(shù)均為零，則說(shuō)明在根平面內(nèi)存在一些大小相等，并為零，則說(shuō)明在根平面內(nèi)存在一些大小相等，并且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的根且關(guān)于原

27、點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的根 處理步驟利用第利用第k k1 1行的系數(shù)構(gòu)成輔助多項(xiàng)式行的系數(shù)構(gòu)成輔助多項(xiàng)式求輔助多項(xiàng)式對(duì)求輔助多項(xiàng)式對(duì)s s的導(dǎo)數(shù)，將其系數(shù)構(gòu)成新的導(dǎo)數(shù)，將其系數(shù)構(gòu)成新行，代替第行，代替第k k行行 繼續(xù)計(jì)算勞斯陣列表繼續(xù)計(jì)算勞斯陣列表 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的根可通過(guò)令輔助多項(xiàng)式等關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的根可通過(guò)令輔助多項(xiàng)式等于零求得于零求得 例例3.6系統(tǒng)特征方程為試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 0846322345sssss解1、勞斯表如下勞斯表如下 s 5 1 3 -41 3 -4 s 4 2 6 -82 6 -82 2、第、第1 1列系數(shù)符號(hào)改變列系數(shù)符號(hào)改變1 1次，有次，有1 1個(gè)根在右半平面?zhèn)€根在右

28、半平面 , ,系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定輔助多項(xiàng)式輔助多項(xiàng)式 2s 4 + 6s 2 - 8s 3 0 0求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù) 8 128 12構(gòu)成新行構(gòu)成新行 8 s 3 + 12 s s 2 3 -8 3 -8 s 1 s 0100/3100/3-8-8三、三、 勞斯判據(jù)的應(yīng)用勞斯判據(jù)的應(yīng)用 1. 穩(wěn)定裕量的檢驗(yàn)穩(wěn)定裕量的檢驗(yàn)如果所有根均在新虛軸的左邊，則說(shuō)系統(tǒng)具有穩(wěn)定裕量s 1 例例3.5 檢驗(yàn)特征方程式 是否有根在右半平面，并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在直線 s= -1的右邊。 041310223sss解1、勞斯陣列表 s 3 2 132 13 s 2 10 4 10 4 s 1 12.212.2 s 0 4 4

29、2、第一列無(wú)符號(hào)改變，故沒(méi)有根在s平面右半平面。例例3.7例例3.7（續(xù)）（續(xù)）3、令s= z1，代入特征方程式，得代入特征方程式，得 04) 1() 1() 1(23zzz1310201423zzz24、新的勞斯陣列表新的勞斯陣列表 z 3 2 -1 z 2 4 -1 z 1 -1/2 z 0 -1 5 5、第一列符號(hào)改變一次，故有一個(gè)根在直、第一列符號(hào)改變一次，故有一個(gè)根在直線線s= -1s= -1的右邊，因此穩(wěn)定裕量不到的右邊，因此穩(wěn)定裕量不到1 1 2. 2. 分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響 KsssKsRsCsGB)(1()()()(5特征方程 023Ksss5

30、6勞斯陣列表：s 3 1 5 s 2 6 K s 1 s 0 K 630K0300KK當(dāng)當(dāng)0K30時(shí)時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定3.3 3.3 反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo) 穩(wěn)態(tài)誤差 穩(wěn)態(tài)誤差是對(duì)系統(tǒng)精度的一種衡量穩(wěn)態(tài)誤差是對(duì)系統(tǒng)精度的一種衡量輸入信號(hào)不同，穩(wěn)態(tài)誤差也會(huì)不同輸入信號(hào)不同，穩(wěn)態(tài)誤差也會(huì)不同系統(tǒng)參數(shù)變化等系統(tǒng)參數(shù)變化等, ,會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差 一、一、穩(wěn)態(tài)誤差的概念穩(wěn)態(tài)誤差的概念1.H(s)=1 1.H(s)=1 時(shí)時(shí), ,單位反饋系統(tǒng)單位反饋系統(tǒng) e(t)=r(t)-b(t) )()(lim)(lim)(tctrte

31、eettss系統(tǒng)結(jié)構(gòu)：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)：2.H(s)1 2.H(s)1 時(shí)時(shí), , 非單位反饋系統(tǒng)非單位反饋系統(tǒng) E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-G(s)H(s)E(s) E(s)+G(s)H(s)E(s)=R(s) E(s)= R(s) 1+G(s)H(s) 1誤差信號(hào)與給定誤差信號(hào)與給定值間的傳遞函數(shù)值間的傳遞函數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差與下述有關(guān)： 輸入信號(hào) 系統(tǒng)結(jié)構(gòu) 系統(tǒng)參數(shù) 當(dāng)輸入信號(hào)的形式確定后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差將只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù) 穩(wěn)態(tài)誤差定義：穩(wěn)態(tài)誤差定義： 穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)誤差。二、二、 穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算 一般計(jì)算法一般計(jì)算法 根據(jù)誤

32、差信號(hào)根據(jù)誤差信號(hào)e e( (t t) )與輸入信號(hào)與輸入信號(hào)r r( (t t) )之間的傳遞函數(shù)之間的傳遞函數(shù) )()(11)()(sHsGsRsE終值定理終值定理)()(1)(lim)(lim)(lim00sHsGssRssEteesstss控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) ) 1() 1)(1() 1() 1)(1( )()()(21sTsTsTssTsTsTKsHsGsGnbamK當(dāng)當(dāng)=0=0時(shí)，稱(chēng)系統(tǒng)為時(shí)，稱(chēng)系統(tǒng)為0 0型系統(tǒng)。型系統(tǒng)。當(dāng)當(dāng)=1=1，2 2，時(shí)，稱(chēng)系統(tǒng)為時(shí)，稱(chēng)系統(tǒng)為1 1型，型，2 2型，型， 系統(tǒng)。系統(tǒng)。誤差系數(shù)法誤差系數(shù)法 1.1.系統(tǒng)的型號(hào)系統(tǒng)的型

33、號(hào)系統(tǒng)有個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)，型系統(tǒng)。 Gk(s)中其他零、極點(diǎn)對(duì)分類(lèi)沒(méi)有影響。 增加型號(hào)數(shù)，可使系統(tǒng)精度提高，但對(duì)穩(wěn)定性不利，實(shí)際系統(tǒng)中 。 2. 2.輸入信號(hào)輸入信號(hào)r(t)r(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的關(guān)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的關(guān)系（1 1） 單位階躍輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差單位階躍輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差)()(111)()(1lim000 HGssHsGsesss)()()()(lim000 HGsHsGKsp靜態(tài)位置誤差系數(shù)pssKe110型系統(tǒng)， = 0 （開(kāi)環(huán)放大系數(shù)）KsTsTsTsTKKbasp) 1)(1() 1)(1(lim210Kess111型或1型以上的系統(tǒng)， ) 1)(1(

34、) 1)(1(lim210sTsTssTsTKKbasp0sse（2 2） 單位斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差單位斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差 )()(lim0sHssGKsv靜態(tài)速度誤差系數(shù) vKess10型系統(tǒng)， = 0 0) 1)(1() 1)(1(lim210sTsTsTsTKsKbasvsse1型系統(tǒng)， = KsTsTssTsTKsKbasv) 1)(1() 1)(1(lim210Kess12型或高于2型系統(tǒng)， 2 ) 1)(1() 1)(1(lim210sTsTssTsTKsKbasv0sse)()(1lim1)()(1lim020sHssGssHsGsessssr(t)=t 時(shí)（3 3） 單位拋物

35、線信號(hào)單位拋物線信號(hào)( (等加速度信號(hào)等加速度信號(hào)) )輸入輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差)()(lim20sHsGsKsa靜態(tài)加速度誤差系數(shù) assKe1 時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差 )()(1lim1)()(1lim2030sHsGsssHsGsessss221)(ttr0型或1型系統(tǒng)，= 0或1 0)1)(1()1)(1(lim2120sTsTssTsTKsKbasasse2型系統(tǒng)， =2 KsTsTssTsTKsKbasa) 1)(1() 1)(1(lim22120Kess10sse3型或高于3型系統(tǒng)， 3 aK穩(wěn)態(tài)誤差小結(jié)穩(wěn)態(tài)誤差小結(jié)K1系系 統(tǒng)統(tǒng)階階 躍躍 輸輸 入入r(t) = 1 斜斜 坡坡 輸輸 入入 r(t) = t 拋物線拋物線輸入輸入r(t)=t2/2 0 0型型 1型型0 02 2型型0 00 0K1K11當(dāng)輸入信號(hào)是上述典型信號(hào)的組合時(shí)，為使系統(tǒng)滿(mǎn)足穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的要求，v值應(yīng)按最復(fù)雜的輸入信號(hào)來(lái)選定 例例3.8 已知系統(tǒng)如圖，當(dāng)參考輸入r(t)= 46t3t2時(shí)，試分別求出兩個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 (a) 1型系統(tǒng) (b) 2型系統(tǒng) 解：系統(tǒng)a為1型系統(tǒng)，其Ka = 0，不能緊跟r(t)的3t2分量，所以 ess= ；2.410246assKe系統(tǒng)b為2型系統(tǒng)，其Ka = K = 10/4，所以 當(dāng)輸入為階躍、斜坡和拋物線信號(hào)的組合時(shí)，拋物