自動控制原理Ch3

1、3-3 反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 3-1 系統(tǒng)的瞬態(tài)響應及性能指標系統(tǒng)的瞬態(tài)響應及性能指標 3-2 勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)第三章第三章 時域分析法時域分析法系統(tǒng)分析系統(tǒng)分析: : 對系統(tǒng)的對系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差和和瞬態(tài)響應瞬態(tài)響應三方面的性能進行分析。三方面的性能進行分析。 直接法直接法求解微分方程求解微分方程 間接法間接法穩(wěn)定性判據(jù)穩(wěn)定性判據(jù) 根軌跡法根軌跡法 頻率法頻率法3.1 3.1 系統(tǒng)的瞬態(tài)響應及性能指標系統(tǒng)的瞬態(tài)響應及性能指標 瞬態(tài)響應：瞬態(tài)響應： 系統(tǒng)的輸出從輸入信號作用時刻起，到穩(wěn)定狀態(tài)為止，隨時間變化的過程。分析瞬態(tài)響應方法分析瞬態(tài)響應方

2、法： 1、直接求解法 2、間接評價法 3、計算機仿真法 一、典型輸入信號一、典型輸入信號 階躍信號階躍信號斜坡信號斜坡信號拋物線信號拋物線信號脈沖信號脈沖信號正弦信號正弦信號tAtrsin)(二、二、 瞬態(tài)響應瞬態(tài)響應. .一階系統(tǒng)一階系統(tǒng)ksksRsCsGB1)()()(輸出輸出TsKsKsTsKsC/111)(輸入輸入r(t)=1(t) 或或 R(s)=1/s111skkk1TsK單位階躍響應單位階躍響應 )1 ()(/ TteKtc時間常數(shù)時間常數(shù) 定義為定義為系統(tǒng)響應達到穩(wěn)態(tài)值系統(tǒng)響應達到穩(wěn)態(tài)值63.2%所需的時間所需的時間 1kT穩(wěn)態(tài)值 系統(tǒng)輸出值與時間常數(shù)系統(tǒng)輸出值與時間常數(shù)T的對

3、應關(guān)系：的對應關(guān)系：t = T， c(1(1T) ) = 0.6320.632 c( () )t = 2 2T，c(2(2T) ) = 0.8650.865c( () )t = 3 3T，c(3(3T) ) = 0.9500.950c( () )t = 4T，c(4(4T) ) = 0.9820.982c( () )由于由于k k 不可能為無窮大，不可能為無窮大，所以，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差不能為所以，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差不能為0 011)(1)()(lim)(lim)(kctctrteett系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差2 2、二階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù) 2222nnnBsssG)( - - 阻尼比，阻尼

4、比， n- - 無阻尼自然振蕩頻率無阻尼自然振蕩頻率 特征方程特征方程0222nnss112122nnnnss解方程解方程 不同，特征根性質(zhì)不同，系統(tǒng)響應特性也不同不同，特征根性質(zhì)不同，系統(tǒng)響應特性也不同 0 1，欠阻尼欠阻尼 =，臨界阻尼，臨界阻尼 ，過阻尼，過阻尼典型典型二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu) 0 1 ，欠阻尼情況欠阻尼情況 系統(tǒng)傳遞函數(shù)系統(tǒng)傳遞函數(shù))()(2dndnnBjsjssGdnjs2, 1輸入輸入r(t)=1(t) 2222222)()(1)()(dnndnnnnssssssssC2)11sin(111)sin1(cos1)()(2222arctantettesCtcntddt

5、nn1L L 0 1 ，欠阻尼情況（續(xù)）欠阻尼情況（續(xù)）系統(tǒng)的誤差為系統(tǒng)的誤差為 ) 0()1arctan1sin(11)()()(222ttetctrtentn當當t時時，穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差e ()。 = =，無阻尼情況，無阻尼情況系統(tǒng)特征根系統(tǒng)特征根 s1,2= = j j n n 單位階躍響應單位階躍響應 ttcncos1)(等幅振蕩等幅振蕩振蕩頻率振蕩頻率: : n當系統(tǒng)有一定阻尼時，當系統(tǒng)有一定阻尼時， d n = =，臨界阻尼情況，臨界阻尼情況 兩相等實數(shù)根：s1= s 2= -n nnnnnssssssC1)(1)()(222)1 (1)(tetcntn 無超調(diào)無超調(diào)無振蕩無振蕩單

6、調(diào)過程單調(diào)過程 ，過阻尼情況 兩個不相等的實數(shù)根： ns)1(22, 1211)(ssBssAssCtstsBeAetc211)(無超調(diào)無超調(diào)過程比過程比 = =長長 不同值下的二階系統(tǒng)單位階躍響應曲線族 值一定值一定: :欠阻尼比臨界阻尼更快達到穩(wěn)態(tài)值；欠阻尼比臨界阻尼更快達到穩(wěn)態(tài)值；過阻尼系統(tǒng)反應遲鈍；過阻尼系統(tǒng)反應遲鈍；系統(tǒng)大多設(shè)計成欠阻尼系統(tǒng)大多設(shè)計成欠阻尼調(diào)整時間調(diào)整時間ts ：響應到達并保持在終值響應到達并保持在終值5%5%（或（或2%2%）內(nèi)所需的最短時間）內(nèi)所需的最短時間峰值時間峰值時間tp: :響應曲線到達第響應曲線到達第一個峰值所需的時間一個峰值所需的時間上升時間上升時間t

7、 tr r ：響應從響應從終值的終值的10%上上升到終值的升到終值的90%所需的時間所需的時間超調(diào)量超調(diào)量 延滯時間延滯時間t td d ：響應曲線到響應曲線到達終值達終值50%50%所需的時間所需的時間1.1.性能指標性能指標百分比超調(diào)量百分比超調(diào)量s ：%)()()(100cctcps三、二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應性能指標三、二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應性能指標v振蕩次數(shù)N：在在0tt0tts s時間內(nèi)，過渡過程時間內(nèi)，過渡過程c(t)c(t)穿越其穩(wěn)態(tài)值穿越其穩(wěn)態(tài)值c()c()次數(shù)的一半。次數(shù)的一半。v衰減比n： 過渡過程曲線上同方向的相鄰兩個過渡過程曲線上同方向的相鄰兩個波峰之比，波峰之比， n =B/Bn

8、 =B/B。對于定值控制系統(tǒng)：對于定值控制系統(tǒng)： 常以系統(tǒng)對單位擾動常以系統(tǒng)對單位擾動輸入信號時的響應特性輸入信號時的響應特性來衡量瞬態(tài)性能來衡量瞬態(tài)性能)sin(1112tedtn)sin1(cos1)(2ttetcddtn二階系統(tǒng)響應：二階系統(tǒng)響應：2.性能指標計算性能指標計算上升時間上升時間 tr (rise time)221sin1cosrdrdrdttttan0ddrt)1arctan(1221arctan令令c(tr)=1)sin1(cos1)(2ttetcddtn按響應從零開始至第一次到達穩(wěn)態(tài)值所需的時間計算。按響應從零開始至第一次到達穩(wěn)態(tài)值所需的時間計算。峰值時間tp (pea

9、k time)11sin(111)(222arctantetcntn), 3 , 2 , 1(mmtd求導0)sin(1)cos(11)(22tetedttdcdntddtnntan1)tan()sin()cos(2ndddnddttt0整理21ndpt峰值時間：峰值時間：峰值時間峰值時間tp與振蕩頻率與振蕩頻率 d成反比成反比。當當 n一定一定， 越小越小，tp也越小也越小 最大百分比超調(diào)量s%代入t= tp )11sin(111)(222arctantetcntn)sin(111)(2pdtptetcpn)sin(11212ddnnesin11212e)sin(11212eAe211 最大

10、超調(diào)量s求法(續(xù))%)()()(%100cctcps s與 的關(guān)系 %21100se%10011121e調(diào)節(jié)時間ts)1%ln(12nst）4）32%(5%(nsnstt)(%)()(cctc由ts 定義21%tne%)sin(12tedtn近似算法近似算法%1)sin(112tedtn兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù), 1)sin(td%12tne小結(jié)小結(jié)當當 n一定，一定，要減小要減小tr和和tp，必須減少，必須減少 值，值，要要減少減少ts則應增大則應增大n值，而且值，而且 值有一定范圍，值有一定范圍，不能過大不能過大增大增大 n，能使能使tr，tp和和ts都減少都減少最大超調(diào)量最大超調(diào)量s s只由

11、只由 決定，決定， 越小，越小，s s越大越大四、四、 增加零極點對二階系統(tǒng)響應的影響增加零極點對二階系統(tǒng)響應的影響高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式)()()(01110111nmasasasabsbsbsbsRsCnnnnmmmm零極點的形式 )( )()()()()()(11221122nmsspsasszsbsRsCkirinininiinqilimimimiim22式中q+2l=m，k+2r=n 高階系統(tǒng)單位階躍響應高階系統(tǒng)單位階躍響應 ssspsasszsbsCkirinininiinqilimimimiim1)()()()()(1122112222假設(shè)沒有重極點假設(shè)沒有重極點 kirin

12、ininininiininiiiissBsApsCsabsC11222001)(1)(2rininiininiitninikitpitBtAeeCabtci122 100)1sin1cos()(求拉氏反變換求拉氏反變換 高階系統(tǒng)小結(jié)系數(shù)很小的分量、遠離虛軸,衰減很快,常可以忽略高階系統(tǒng)的性能可用低階系統(tǒng)近似估計 主導極點主導極點定義有一對（或一個）極點距虛軸較近，其它有一對（或一個）極點距虛軸較近，其它極點較遠，其實數(shù)部分為它的極點較遠，其實數(shù)部分為它的1 15 5或更小，或更小，并且附近又沒有零點。并且附近又沒有零點。主導極點主導極點 舉例舉例三階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)) 1)(12(1)(2ss

13、ssGB若n）（64/1 主導極點主導極點系統(tǒng)的性能可用系統(tǒng)的性能可用二階系統(tǒng)來表示二階系統(tǒng)來表示 例例 3.13.1 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 試求系統(tǒng)近似的單位階躍響應試求系統(tǒng)近似的單位階躍響應c(t) 。 解解:)102 . 520)(60)(20()03.20(1012. 3)(325ssssssW對消零極點得對消零極點得)102 . 520)(60(1012. 3)(325ssssW近似為一個二階系統(tǒng)近似為一個二階系統(tǒng) 323102 . 520102 . 5)(sssW近似的單位階躍響應為近似的單位階躍響應為10( )1 esin(71.41.43)0tc ttt 例例

14、3.23.2 假設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為假設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 )6)(256()5 . 2(60)(2sssssGB試分析零點試分析零點-2.5-2.5和極點和極點-6-6對系統(tǒng)階對系統(tǒng)階躍響應的影響躍響應的影響。 解解:1 1、系統(tǒng)增益、系統(tǒng)增益=1=1，對階，對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零 零極點分布圖例例 3.23.2（續(xù)）（續(xù)）2 2、 用用MATLABMATLAB仿真，得到單位階躍響應曲線仿真，得到單位階躍響應曲線 單位階躍響應曲線單位階躍響應曲線 A: 原三階系統(tǒng)， 超調(diào)量s%=37%調(diào)節(jié)時間ts=1.6秒)6)(256(1502sssD:D:忽略零極點的系統(tǒng)忽略零

15、極點的系統(tǒng)超調(diào)量超調(diào)量s s%=9.5%，調(diào)，調(diào)節(jié)時間節(jié)時間ts=1.2秒秒256252ssC:C:忽略零點的系統(tǒng)忽略零點的系統(tǒng)超調(diào)量超調(diào)量s s%=5.5%調(diào)節(jié)時間調(diào)節(jié)時間ts=1.4秒秒) 6)(256(1502sss不能忽略零極點的影響不能忽略零極點的影響一個不能忽略的零點對系統(tǒng)的影響一個不能忽略的零點對系統(tǒng)的影響 是使超調(diào)量加大，響應速度加快是使超調(diào)量加大，響應速度加快一個不能忽略的極點對系統(tǒng)的影響一個不能忽略的極點對系統(tǒng)的影響 是使超調(diào)量減小，調(diào)節(jié)時間增加是使超調(diào)量減小，調(diào)節(jié)時間增加B:B:忽略極點的系統(tǒng)忽略極點的系統(tǒng)超調(diào)量超調(diào)量s s% %= =54.5% %，調(diào)，調(diào)節(jié)時間節(jié)時間t

16、s=1.5秒秒256)5.2(102sss31改善系統(tǒng)性能的措施改善系統(tǒng)性能的措施 （1）誤差的比例）誤差的比例+微分控制微分控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為)2()1 ()(2nndsssTsG2222222)1 ()2/(2)1 ()(nndndnnndndsssTsTssTsW閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為 2/nddT 式中，式中， 32（2）輸出量的速度反饋控制）輸出量的速度反饋控制 閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為 222222( )2(/2)2nntnnntnnW ssKsss 式中，式中， /2ttnK33五、線性定常系統(tǒng)的一個特性五、線性定常系統(tǒng)的一個特性 對于線性定常系統(tǒng)

17、對于線性定常系統(tǒng)：若系統(tǒng)輸入為：若系統(tǒng)輸入為：則由拉普拉斯變換的微分法則，系統(tǒng)輸出為則由拉普拉斯變換的微分法則，系統(tǒng)輸出為)()()(sRsWsC,d)(d)(1ttrtr)(d)(d)(11ssRttrLsR)()()()(1ssCsRssWsCttctcd)(d)(1所以所以 上式說明，當線性定常系統(tǒng)輸入信號為原來輸入信號的導上式說明，當線性定常系統(tǒng)輸入信號為原來輸入信號的導數(shù)時，這時系統(tǒng)的輸出為原來輸出的導數(shù)。同理：數(shù)時，這時系統(tǒng)的輸出為原來輸出的導數(shù)。同理：,d)()(2ttrtr)(1)(2sRssR)(1)(1)()()()(22sCssRssWsRsWsCttctcd)()(2則

18、系統(tǒng)輸出為則系統(tǒng)輸出為這時這時34由上可以得出線性定常系統(tǒng)的重要特性：由上可以得出線性定常系統(tǒng)的重要特性： (1)(1)由于單位脈沖信號是單位階躍信號對時由于單位脈沖信號是單位階躍信號對時間的一階導數(shù)，所以單位脈沖響應也應是單位間的一階導數(shù)，所以單位脈沖響應也應是單位階躍響應對時間的一階導數(shù)。階躍響應對時間的一階導數(shù)。 (2)(2)由于單位斜坡信號和單位拋物線信號分由于單位斜坡信號和單位拋物線信號分別是單位階躍信號對時間的一重和二重積分，別是單位階躍信號對時間的一重和二重積分，所以單位斜坡響應和單位拋物線響應也應是單所以單位斜坡響應和單位拋物線響應也應是單位階躍響應對時間的一重和二重積分。位階

19、躍響應對時間的一重和二重積分。3.2 勞斯判據(jù)勞斯判據(jù) v勞斯赫爾維茨(RouthHurwitz)判據(jù)，代數(shù)判據(jù)方法 v根軌跡法，圖解求特征根的方法v奈魁斯特(Nyquist)判據(jù)，基于復變函數(shù)理論的方法v 李雅普諾夫方法 ，適用于線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng) 常用的穩(wěn)定性分析方法 一、一、 穩(wěn)定性穩(wěn)定性(Stability)的概念的概念(a) 穩(wěn)定的 (b) 不穩(wěn)定的 定義定義穩(wěn)定穩(wěn)定: 系統(tǒng)受到外作用后，偏離了正常工作點。系統(tǒng)受到外作用后，偏離了正常工作點。當外作用消失后，系統(tǒng)能回復到原來的工作當外作用消失后，系統(tǒng)能回復到原來的工作點。點。單輸入單輸出線性系統(tǒng) rbrbrbcacacammmnnn

20、)1(1)(0)1(1)(00cacacannn)1(1)(00)(lim)(lim)(lim) 1() 1 (tctctcnttt系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定 特征方程特征方程 0nnnnasasasa1110設(shè)方程 k個實根 pi (i=1，2，k) r對共軛復數(shù)根 s ij i (i=1，2，r) k+2r=n kiriiiiittpitBtAeeCtcii11)sincos()(s零輸入時零輸入時討論v若特征方程的根均具有負實部，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若特征方程的根均具有負實部，則系統(tǒng)穩(wěn)定；v復數(shù)根對應的系統(tǒng)運動是衰減振蕩的；復數(shù)根對應的系統(tǒng)運動是衰減振蕩的； 實數(shù)根對應的系統(tǒng)輸出為指數(shù)衰減形式；實數(shù)根對應

21、的系統(tǒng)輸出為指數(shù)衰減形式；v若特征方程的根中有一個或一個以上是正數(shù)，若特征方程的根中有一個或一個以上是正數(shù)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；v特征方程中有實部為零的根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)特征方程中有實部為零的根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。定狀態(tài)。 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件所有特征根均具有負實部所有特征根均具有負實部 所有特征根，均在所有特征根，均在根平面的左半部分根平面的左半部分 =所有極點均位于所有極點均位于 s 平面平面的左半部分的左半部分 系統(tǒng)穩(wěn)定性的簡單例子二、二、 勞斯判據(jù)勞斯判據(jù)(Routh Criterion)1. 1. 系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步判

22、別 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程 0nnnnasasasasD1110)( 特征方程的所有系數(shù)均為正數(shù)，且不等于0。穩(wěn)定的必要條件：穩(wěn)定的必要條件：系數(shù)行系數(shù)行2. 2. 勞斯判據(jù)勞斯判據(jù) 001110aasasasannnn0系統(tǒng)特征方程 勞斯陣列表 10113214321332125311420gsfsdddscccsbbbsaaasaaasnnnnn170613150412130211aaaaabaaaaabaaaaab131512121311bbaabcbbaabc第一列系數(shù)均為正數(shù)，系統(tǒng)穩(wěn)定，第一列系數(shù)均為正數(shù)，系統(tǒng)穩(wěn)定，計算行計算行第一列系數(shù)有負數(shù)，則第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)第一列系數(shù)有負數(shù)，

23、則第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)等于在右半平面上根的個數(shù)等于在右半平面上根的個數(shù) 43說明說明v系數(shù)的計算進行到其余的系數(shù)項全為系數(shù)的計算進行到其余的系數(shù)項全為0止，止，直到直到s0 0行；系數(shù)的完整陣列為倒三角形；行；系數(shù)的完整陣列為倒三角形；v為了簡化計算，可用一個正整數(shù)去除或乘為了簡化計算，可用一個正整數(shù)去除或乘某一行的各元素，并不影響穩(wěn)定性結(jié)論。某一行的各元素，并不影響穩(wěn)定性結(jié)論。例例3.3 系統(tǒng)特征方程為試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 0611126ssss234解2 2、勞斯陣列表如下勞斯陣列表如下 s4 1 12 6 1 12 6 s3 6 11 6 111 1、特征方程所有系數(shù)均為正

24、，滿足、特征方程所有系數(shù)均為正，滿足穩(wěn)定的必要條件穩(wěn)定的必要條件 3 3、第一列系數(shù)均為正實數(shù)，故系統(tǒng)穩(wěn)定、第一列系數(shù)均為正實數(shù)，故系統(tǒng)穩(wěn)定 s2 61/6 6 61/6 6 s1 455/61455/61 s0 6 6系數(shù)行系數(shù)行計算行計算行系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征方程為試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 023456523sssss解 1、勞斯表如下勞斯表如下 s5 1 2 5 1 2 5 s4 3 1 6 3 1 6 s3 s2 s1 s02 2、第一列系數(shù)的符號改變了兩次，系統(tǒng)有兩、第一列系數(shù)的符號改變了兩次，系統(tǒng)有兩個特征根的實部為正個特征根的實部為正 ，系統(tǒng)

25、閉環(huán)不穩(wěn)定。，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。例例3.45 95 9 ( (各系數(shù)各系數(shù)均已乘均已乘3) 3) -11 15 (-11 15 (各系數(shù)各系數(shù)均已乘均已乘5/2)5/2)174 (174 (各系數(shù)各系數(shù)均已乘均已乘11) 11) 15 特殊情況 (1) 勞斯陣列表中某一行的第一個系數(shù)為零，其余各系數(shù)不為零(或沒有其余項) 。可以用一個很小的正數(shù)e 來代替為零的元素，繼續(xù)計算其他各項。 解1、勞斯表勞斯表 s 3 1 1 s 2 2 2 2 2 2、e e 的上下兩個系數(shù)符號相同，的上下兩個系數(shù)符號相同， 有一對虛根存在有一對虛根存在 , ,系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)系統(tǒng)特征方程為02232

26、sss試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 例例3.5用一個很小的正數(shù)e 來代替零 如果如果e 上下元素符號相同，表明特征方程有一對共上下元素符號相同，表明特征方程有一對共軛虛根（臨界狀態(tài)），屬不穩(wěn)定。如果軛虛根（臨界狀態(tài)），屬不穩(wěn)定。如果e 上下元素符號上下元素符號相反，表明特征方程有正實部根存在，系統(tǒng)不穩(wěn)定相反，表明特征方程有正實部根存在，系統(tǒng)不穩(wěn)定 s 1 0e es 0 2 特殊情況 (2)勞斯陣列表中某一行勞斯陣列表中某一行( (設(shè)為第設(shè)為第k k行行) )的所有系數(shù)均的所有系數(shù)均為零，則說明在根平面內(nèi)存在一些大小相等，并為零，則說明在根平面內(nèi)存在一些大小相等，并且關(guān)于原點對稱的根且關(guān)于原

27、點對稱的根 處理步驟利用第利用第k k1 1行的系數(shù)構(gòu)成輔助多項式行的系數(shù)構(gòu)成輔助多項式求輔助多項式對求輔助多項式對s s的導數(shù)，將其系數(shù)構(gòu)成新的導數(shù)，將其系數(shù)構(gòu)成新行，代替第行，代替第k k行行 繼續(xù)計算勞斯陣列表繼續(xù)計算勞斯陣列表 關(guān)于原點對稱的根可通過令輔助多項式等關(guān)于原點對稱的根可通過令輔助多項式等于零求得于零求得 例例3.6系統(tǒng)特征方程為試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 0846322345sssss解1、勞斯表如下勞斯表如下 s 5 1 3 -41 3 -4 s 4 2 6 -82 6 -82 2、第、第1 1列系數(shù)符號改變列系數(shù)符號改變1 1次，有次，有1 1個根在右半平面?zhèn)€根在右

28、半平面 , ,系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定輔助多項式輔助多項式 2s 4 + 6s 2 - 8s 3 0 0求導數(shù)求導數(shù) 8 128 12構(gòu)成新行構(gòu)成新行 8 s 3 + 12 s s 2 3 -8 3 -8 s 1 s 0100/3100/3-8-8三、三、 勞斯判據(jù)的應用勞斯判據(jù)的應用 1. 穩(wěn)定裕量的檢驗穩(wěn)定裕量的檢驗如果所有根均在新虛軸的左邊，則說系統(tǒng)具有穩(wěn)定裕量s 1 例例3.5 檢驗特征方程式 是否有根在右半平面，并檢驗有幾個根在直線 s= -1的右邊。 041310223sss解1、勞斯陣列表 s 3 2 132 13 s 2 10 4 10 4 s 1 12.212.2 s 0 4 4

29、2、第一列無符號改變，故沒有根在s平面右半平面。例例3.7例例3.7（續(xù)）（續(xù)）3、令s= z1，代入特征方程式，得代入特征方程式，得 04) 1() 1() 1(23zzz1310201423zzz24、新的勞斯陣列表新的勞斯陣列表 z 3 2 -1 z 2 4 -1 z 1 -1/2 z 0 -1 5 5、第一列符號改變一次，故有一個根在直、第一列符號改變一次，故有一個根在直線線s= -1s= -1的右邊，因此穩(wěn)定裕量不到的右邊，因此穩(wěn)定裕量不到1 1 2. 2. 分析系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響分析系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響 KsssKsRsCsGB)(1()()()(5特征方程 023Ksss5

30、6勞斯陣列表：s 3 1 5 s 2 6 K s 1 s 0 K 630K0300KK當當0K30時時系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定3.3 3.3 反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)響應瞬態(tài)響應系統(tǒng)響應瞬態(tài)響應性能指標 穩(wěn)態(tài)誤差 穩(wěn)態(tài)誤差是對系統(tǒng)精度的一種衡量穩(wěn)態(tài)誤差是對系統(tǒng)精度的一種衡量輸入信號不同，穩(wěn)態(tài)誤差也會不同輸入信號不同，穩(wěn)態(tài)誤差也會不同系統(tǒng)參數(shù)變化等系統(tǒng)參數(shù)變化等, ,會導致產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差會導致產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差 一、一、穩(wěn)態(tài)誤差的概念穩(wěn)態(tài)誤差的概念1.H(s)=1 1.H(s)=1 時時, ,單位反饋系統(tǒng)單位反饋系統(tǒng) e(t)=r(t)-b(t) )()(lim)(lim)(tctrte

31、eettss系統(tǒng)結(jié)構(gòu)：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)：2.H(s)1 2.H(s)1 時時, , 非單位反饋系統(tǒng)非單位反饋系統(tǒng) E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-G(s)H(s)E(s) E(s)+G(s)H(s)E(s)=R(s) E(s)= R(s) 1+G(s)H(s) 1誤差信號與給定誤差信號與給定值間的傳遞函數(shù)值間的傳遞函數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差與下述有關(guān)： 輸入信號 系統(tǒng)結(jié)構(gòu) 系統(tǒng)參數(shù) 當輸入信號的形式確定后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差將只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù) 穩(wěn)態(tài)誤差定義：穩(wěn)態(tài)誤差定義： 穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值稱為穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值稱為穩(wěn)態(tài)誤差。二、二、 穩(wěn)態(tài)誤差的計算穩(wěn)態(tài)誤差的計算 一般計算法一般計算法 根據(jù)誤

32、差信號根據(jù)誤差信號e e( (t t) )與輸入信號與輸入信號r r( (t t) )之間的傳遞函數(shù)之間的傳遞函數(shù) )()(11)()(sHsGsRsE終值定理終值定理)()(1)(lim)(lim)(lim00sHsGssRssEteesstss控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) ) 1() 1)(1() 1() 1)(1( )()()(21sTsTsTssTsTsTKsHsGsGnbamK當當=0=0時，稱系統(tǒng)為時，稱系統(tǒng)為0 0型系統(tǒng)。型系統(tǒng)。當當=1=1，2 2，時，稱系統(tǒng)為時，稱系統(tǒng)為1 1型，型，2 2型，型， 系統(tǒng)。系統(tǒng)。誤差系數(shù)法誤差系數(shù)法 1.1.系統(tǒng)的型號系統(tǒng)的型

33、號系統(tǒng)有個積分環(huán)節(jié)串聯(lián)，型系統(tǒng)。 Gk(s)中其他零、極點對分類沒有影響。 增加型號數(shù)，可使系統(tǒng)精度提高，但對穩(wěn)定性不利，實際系統(tǒng)中 。 2. 2.輸入信號輸入信號r(t)r(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的關(guān)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的關(guān)系（1 1） 單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差)()(111)()(1lim000 HGssHsGsesss)()()()(lim000 HGsHsGKsp靜態(tài)位置誤差系數(shù)pssKe110型系統(tǒng)， = 0 （開環(huán)放大系數(shù)）KsTsTsTsTKKbasp) 1)(1() 1)(1(lim210Kess111型或1型以上的系統(tǒng)， ) 1)(1(

34、) 1)(1(lim210sTsTssTsTKKbasp0sse（2 2） 單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差 )()(lim0sHssGKsv靜態(tài)速度誤差系數(shù) vKess10型系統(tǒng)， = 0 0) 1)(1() 1)(1(lim210sTsTsTsTKsKbasvsse1型系統(tǒng)， = KsTsTssTsTKsKbasv) 1)(1() 1)(1(lim210Kess12型或高于2型系統(tǒng)， 2 ) 1)(1() 1)(1(lim210sTsTssTsTKsKbasv0sse)()(1lim1)()(1lim020sHssGssHsGsessssr(t)=t 時（3 3） 單位拋物

35、線信號單位拋物線信號( (等加速度信號等加速度信號) )輸入輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差時的穩(wěn)態(tài)誤差)()(lim20sHsGsKsa靜態(tài)加速度誤差系數(shù) assKe1 時的穩(wěn)態(tài)誤差 )()(1lim1)()(1lim2030sHsGsssHsGsessss221)(ttr0型或1型系統(tǒng)，= 0或1 0)1)(1()1)(1(lim2120sTsTssTsTKsKbasasse2型系統(tǒng)， =2 KsTsTssTsTKsKbasa) 1)(1() 1)(1(lim22120Kess10sse3型或高于3型系統(tǒng)， 3 aK穩(wěn)態(tài)誤差小結(jié)穩(wěn)態(tài)誤差小結(jié)K1系系 統(tǒng)統(tǒng)階階 躍躍 輸輸 入入r(t) = 1 斜斜 坡坡 輸輸 入入 r(t) = t 拋物線拋物線輸入輸入r(t)=t2/2 0 0型型 1型型0 02 2型型0 00 0K1K11當輸入信號是上述典型信號的組合時，為使系統(tǒng)滿足穩(wěn)態(tài)響應的要求，v值應按最復雜的輸入信號來選定 例例3.8 已知系統(tǒng)如圖，當參考輸入r(t)= 46t3t2時，試分別求出兩個系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 (a) 1型系統(tǒng) (b) 2型系統(tǒng) 解：系統(tǒng)a為1型系統(tǒng)，其Ka = 0，不能緊跟r(t)的3t2分量，所以 ess= ；2.410246assKe系統(tǒng)b為2型系統(tǒng)，其Ka = K = 10/4，所以 當輸入為階躍、斜坡和拋物線信號的組合時，拋物