高等數(shù)學(xué)第一節(jié)

1、高等數(shù)學(xué)第一節(jié)8.1.1向量的概念向量的概念向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M為為起起點點，2M為為終終點點的的有有向向線線段段.1M2M a21MM零向量：零向量：模長為模長為0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模向量的模(向量的大小向量的大小)：模長為模長為1 1的向量的向量. .單位向量：單位向量：或或或或一、向量的概念一、向量的概念自由向量：自由向量：不考慮起點位置的向量不考慮起點位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .負(fù)向量：負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方

2、向相反的向量. .a aba a高等數(shù)學(xué)第一節(jié)兩向量的夾角的概念：兩向量的夾角的概念：, 0 a, 0 bab ),(ba ),(ab 特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在它們的夾角可在0與與 之間任意取值之間任意取值. 0() 兩向量平行與共線：兩向量平行與共線：兩向量方向相同或相反。兩向量方向相同或相反。O1 加法：加法：cab bc平行四邊形法則平行四邊形法則特殊地：若特殊地：若ababc|bac 分為同向和反向分為同向和反向bac|bac 三角形法則三角形法則(首尾相連首尾相連) ABCDabcABCa二、向量的線性運算二、向量

3、的線性運算向量的加法符合下列運算規(guī)律：向量的加法符合下列運算規(guī)律：（1 1）交換律：）交換律：.abba （2 2）結(jié)合律：）結(jié)合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa減法減法()baba bacabccbaab三角形法則三角形法則(首尾相連首尾相連) ,abababab, 0)1( a 與與a同同向向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反反向向，|aa aa2a21 2 向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法1, ( 1).aaaa 高等數(shù)學(xué)第一節(jié)例例1 試用向量方法證明：對角線互相平分的試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形四邊形必是平行四邊形

4、.證證AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD與與 平行且相等平行且相等,BC結(jié)論得證結(jié)論得證.ABCDMab11()22AMMCACab 11()22BMMDBDab 還可得還可得高等數(shù)學(xué)第一節(jié)同方向的單位向量，同方向的單位向量，表示與非零向量表示與非零向量設(shè)設(shè)aa0按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一個與原向量同方向的單位向量一個與原向量同方向的單位向量.3 數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：（1 1）結(jié)合律：）結(jié)合律：)

5、()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(.0ababa ，使，使一的實數(shù)一的實數(shù)分必要條件是：存在唯分必要條件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量設(shè)向量設(shè)向量定理定理兩個向量的平行關(guān)系兩個向量的平行關(guān)系證證充分性顯然；充分性顯然；必要性：必要性： 設(shè)設(shè),ab 取取取取正正值值，同同向向時時與與當(dāng)當(dāng) ab取取負(fù)負(fù)值值，反反向向時時與與當(dāng)當(dāng) ab.ab 即即有有.同同向向與與此此時時ab aa 且且aab .b .的唯一性的唯一性 ，設(shè)設(shè)ab ，又設(shè)又設(shè)ab 兩式相減，得兩式相減，得，0)( a ，即即0 a ，0 a，故故0 . 即即.0ababa ，使，使一的實數(shù)一的實數(shù)分必要條件是：存在唯分必要條件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量設(shè)向量設(shè)向量定理定理/ ,ba4 數(shù)軸上的向量數(shù)軸上的向量建立一條數(shù)軸及軸上的單位向量建立一條數(shù)軸及軸上的單位向量iiO