高中數(shù)學(xué)不等式

1、高中數(shù)學(xué)不等式A Aa aB Bb bA Aa aB Bb bbabaa ba ba a b ba a- -b b b ba a- -b b 0 0b b = = a ab b- -a a = = 0 0基本不等式基本不等式注注:是比較兩個(gè)數(shù)大小的依據(jù)是比較兩個(gè)數(shù)大小的依據(jù)一一:不等式的基本性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)第一講不等式和絕對(duì)值不等式第一講不等式和絕對(duì)值不等式高中數(shù)學(xué)不等式1.1.作差作差( (或作商或作商) )2.2.變形變形3.3.例1：比較(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?x+1)(x+2)-(x-3)(x+6) =x2+3x+2-(x2+3x-18)

2、 =200， 所以所以(x+1)(x+2)(x-3)(x+6)高中數(shù)學(xué)不等式、對(duì)稱(chēng)性： 傳遞性：_ 、 ，a+cb+c、ab， ， 那么acbc； ab， ，那么acbc、ab0， 那么，acbd、ab0，那么anbn.（條件 ）、 ab0 那么 （條件 ）nnba abbacacbba ,Rcba ,0c0c0 dc2,nNn2,nNn（可加性）（可加性）（可乘性）（可乘性）（乘法法則）（乘法法則）（乘方性）（乘方性）（開(kāi)方性）（開(kāi)方性） 一一: 不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)高中數(shù)學(xué)不等式2例例cbdadcba 求求證證已已知知, 0, 0011, 01, 0, 0, 0: cddccdcddc

3、cddc證證明明, 0, 0, 011 cadaacd又又由由可得可得cbdacbda , 0, 0, 01, 0 cbcacba又又高中數(shù)學(xué)不等式高中數(shù)學(xué)不等式3.若a、b、x、yR，則 是 成立的（ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件()()0 xyabxaybxaybC5.已知f(x)=ax2+c，且-4f(1)-1，-1f(2)5，求f(3)的取值范圍。4.對(duì)于實(shí)數(shù)a、b、c，判斷下列命題的真假：（1）若cab0，則（2）若ab, ，則a0，b0。 abcacb11ab（真命題）（真命題）f(3)的取值范圍是-1, 20高中數(shù)學(xué)不

4、等式 二二: 基本不等式基本不等式2222如果a，bR，那么a +b 2ab，如果a，bR，那么a +b 2ab， 當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)等 當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)等定理1：定理1：號(hào)成立。號(hào)成立。aabbb幾何解釋幾何解釋高中數(shù)學(xué)不等式（基本不等式）（基本不等式）a+ba+b 如果a，b0，那么ab， 如果a，b0，那么ab，2 2 當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)等 當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)等定理2：定理2：號(hào)成立。號(hào)成立。 三三: 基本不等式基本不等式算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)幾何解釋幾何解釋OabDababACB 兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均。兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均

5、。高中數(shù)學(xué)不等式注：一正、二定、三等。注：一正、二定、三等。例例 3求證求證:(1)在所有周長(zhǎng)相同的矩形中在所有周長(zhǎng)相同的矩形中,正正 方形的面方形的面積最大積最大;(2)在所有面積相同的矩形中在所有面積相同的矩形中,正方形的周正方形的周長(zhǎng)最短長(zhǎng)最短.高中數(shù)學(xué)不等式例例: 某某居民小區(qū)要建一做八邊形的休閑場(chǎng)所居民小區(qū)要建一做八邊形的休閑場(chǎng)所,它的主體造它的主體造型平面圖是由兩個(gè)相同的矩形型平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和和EFGH構(gòu)成的面積構(gòu)成的面積為為200平方米的十字型地域平方米的十字型地域.計(jì)劃在正方形計(jì)劃在正方形MNPQ上建一座上建一座花壇花壇,造價(jià)為每平方米造價(jià)為每平方米4300元

6、元,在四個(gè)相同的矩形上在四個(gè)相同的矩形上(圖中圖中陰影部分陰影部分)鋪花崗巖地坪鋪花崗巖地坪,造價(jià)沒(méi)平方米造價(jià)沒(méi)平方米210元元,再在四個(gè)空再在四個(gè)空角角(圖中四個(gè)三角形圖中四個(gè)三角形)上鋪草坪上鋪草坪,每平方米造價(jià)每平方米造價(jià)80元元. (1)設(shè)總造價(jià)為設(shè)總造價(jià)為S元元,AD長(zhǎng)長(zhǎng)x為米為米,試建立試建立S關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系式式; (2)當(dāng)為何值時(shí)當(dāng)為何值時(shí)S最小最小,并求出這個(gè)最小值并求出這個(gè)最小值.QDBCFAEHGPMN解解: :設(shè)設(shè)AM=yAM=y米米2 22 2200-x200-x從而 4xy+x = 200y =從而 4xy+x = 200y =4x4x2 22 2于于

7、是是S S = = 4 42 20 00 0 x x + +2 21 10 04 4x xy y+ +8 80 02 2y y0 x 10 20 x 10 2高中數(shù)學(xué)不等式高中數(shù)學(xué)不等式高中數(shù)學(xué)不等式解解： 1x 01x011x 11xx= 112111) 1(21111xxxx 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 111xx即即 0 x時(shí) 11xx有最小值有最小值13、若，則為何值時(shí)若，則為何值時(shí) 11xx有最小值，最小值為幾？有最小值，最小值為幾？高中數(shù)學(xué)不等式1.yxx4、求函數(shù)的值域解解:2121,0) 1 (xxxxx時(shí)當(dāng),1,0)2(Rxxx時(shí)當(dāng)2)1()(21xxxx21xx)., 22,(y高中

8、數(shù)學(xué)不等式1(3)821xxxx21、求函數(shù)y=的最小值；x-3、求函數(shù)y=的值域. 作業(yè)作業(yè)47(3)3aaa3、求證其中高中數(shù)學(xué)不等式三：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)三：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式幾何平均不等式類(lèi)比基本不等式得類(lèi)比基本不等式得3 3+ +a a+ +b b+ +c c如如果果a a、b b、c cR R ，那那么么a ab bc c，3 3 當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)a a = = b b = = c c時(shí)時(shí)，等等定定理理3 3：號(hào)號(hào)成成立立。，1 12 23 3n n1 12 23 3n nn n1 12 23 3n n1 12 23 3n n對(duì)對(duì)于于n n個(gè)個(gè)a a , ,a a , ,a

9、a , ,a a正正數(shù)數(shù)它它們們的的算算術(shù)術(shù)平平均均數(shù)數(shù)不不小小于于它它們們的的幾幾何何平平均均數(shù)數(shù)，a a + +a a + +a a + + +a a , ,即即 a a a a a a , ,a an n當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)a a = = a a = = a a = = = a a 時(shí)時(shí), ,推推廣廣：等等號(hào)號(hào)成成立立高中數(shù)學(xué)不等式.3 32 2）若若x x+ +y y+ +z z= =p p（定定值值），p p 則則當(dāng)當(dāng)x x= =y y= =z z時(shí)時(shí), ,x xy yz z有有最最大大值值2 27 7,.z3 3設(shè)設(shè)x x, ,y y都都是是正正數(shù)數(shù)，則則有有 1 1）若若x xy yz z= =s s（定定值值）， 則則當(dāng)當(dāng)x x= =y y= =z z時(shí)時(shí), ,x x+ +y y+ +z z有有定定最最小小值值3 3 s s理理：注：一正、二定、三等。注：一正、二定、三等。高中數(shù)學(xué)不等式例例1: 如圖，把一塊邊長(zhǎng)是如圖，把一塊邊長(zhǎng)是a的正方形的正方形鐵鐵 片的各角切片的各角切 去大小相同的小正方形，去大小相同的小正方形， 再把它的邊沿著虛線折轉(zhuǎn)作成一個(gè)無(wú)蓋再把它的邊沿著虛線折轉(zhuǎn)作成一個(gè)無(wú)蓋方底的盒子，問(wèn)切去的正方形邊長(zhǎng)是多方底的盒子，問(wèn)切去的正方形邊長(zhǎng)是多小時(shí)？才能使盒子的容積最大？小時(shí)？才能使盒子的容積最大？ax2 2解：依題意有 v =(a