軸對稱中幾何動點最值問題總結

1、軸對稱中幾何動點最值問題總結軸對稱的作用是“搬點移線”，可以把圖形中比較分散、缺乏聯(lián)系的元素集中到“新的圖形”中，為應用某些基本定理提供方便。比如我們可以利用軸對稱性質(zhì)求幾何圖形中一些線段和的最大值或最小值問題。利用軸對稱的性質(zhì)解決幾何圖形中的最值問題借助的主要基本定理有三個：（1）兩點之間線段最短；（2）三角形兩邊之和大于第三邊；（3）垂線段最短。初中階段利用軸對稱性質(zhì)求最值的題目可以歸結為：兩點一線，兩點兩線，一點兩線三類線段和的最值問題。下面對三類線段和的最值問題進行分析、討論。（ 1） 兩點一線的最值問題 : （ 兩個定點 + 一個動點）問題特征：已知兩個定點位于一條直線的同一側，在直

2、線上求一動點的位置， 使動點與定點 線段和最短。核心思路：這類最值問題所求的 線段和中只有一個動點， 解決這類題目的方法是找出任一定點關于直線的對稱點，連結這個對稱點與另一定點，交直線于一點，交點即為動點滿足最值的位置。方法： 1. 定點過動點所在直線做對稱。2. 連結對稱點與另一個定點，則直線段長度就是我們所求。變異類型：實際考題中，經(jīng)常利用本身就具有對稱性質(zhì)的圖形， 比如等腰三角形，等邊三角形、正方形、圓、二次函數(shù)、直角梯形等圖形，即其中一個定點的對稱點就在這個圖形上。1. 如圖，直線 l 和 l 的同側兩點 A、 B，在直線 l 上求作一點 P，使 PA+PB最小。（ 2） 一點兩線的最

3、值問題 : （ 兩個動點 +一個定點）問題特征：已知一個定點位于平面內(nèi)兩相交直線之間，分別在兩直線上確定兩個動點使線段和最短。核心思路：這類問題實際上是兩點兩線段最值問題的變式，通過做這一定點關于兩條線的對稱點，實現(xiàn)“搬點移線” ，把線段“移”到同一直線上來解決。變異類型：1. 如圖，點 P 是 MON內(nèi)的一點，分別在 OM， ON上作點 A， B。使 PAB的周長最小。2. 如圖， 點 A 是 MON外的一點， 在射線 OM上作點 P，使 PA與點 P 到射線 ON的距離之和最小。（ 3） 兩點兩線的最值問題 : （ 兩個動點 +兩個定點）問題特征：兩動點，其中一個隨另一個動（一個主動，一個

4、從動），并且兩動點間的距離保持不變。核心思路：用平移方法，可把兩動點變成一個動點，轉化為“兩個定點和一個動點”類型來解。變異類型：1. 如圖，點 P， Q為 MON內(nèi)的兩點，分別在 OM， ON上作點 A，B。使四邊形 PAQB的周長最小。2.如圖，已知A（ 1， 3）， B（ 5， 1），長度為2 的線段PQ 在x 軸上平行移動，當AP+PQ+QB的值最小時，點P 的坐標為()3.（ 4） 兩點兩線的最值問題 : （ 兩個動點 +兩個定點）問題特征：兩動點分別在兩條直線上獨立運動，一動點分別到一定點和另一動點的距離和最小。核心思路：利用軸對稱變換， 使一動點在另一動點的對稱點與定點的線段上（

5、兩點之間線段最短），且這條線段垂直于另一動點的對稱點所在直線（連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短）時，兩線段和最小，最小值等于這條垂線段的長。變異類型：演變?yōu)槎噙呅沃荛L、折線段等最值問題。1. 如圖，點 A 是 MON內(nèi)的一點，在射線 ON上作點 P，使 PA與點 P 到射線 OM的距離之和最小。二、常見題目Part1 、三角形1如圖，在等邊ABC中， AB=6， AD BC， E 是 AC上的一點， M是 AD上的一點，且AE=2，求 EM+EC的最小值。2如圖，在銳角ABC中， AB=42， BAC 45°， BAC的平分線交BC于點 D， M、N 分別是 AD和

6、 AB上的動點，則 BM+MN的最小值是 _。3如圖， ABC中，AB=2， BAC=30°，若在 AC、AB上各取一點 M、N，使 BM+MN的值最小，則這個最小值。Part2 、正方形1如圖，正方形 ABCD的邊長為 8， M在 DC上，丐 DM 2， N 是 AC上的一動點， DN MN的最小值為 _。 即在直線 AC上求一點 N，使 DN+MN最小 。2如圖所示，正方形ABCD的面積為12， ABE是等邊三角形，點E 在正方形ABCD內(nèi)，在對角線 AC上有一點P，使 PD PE的和最小，則這個最小值為（）A23B26C3D63在邊長為 2 的正方形 ABCD中，點 Q為 BC

7、邊的中點，點 P為對角線 AC上一動點， 連接PB、 PQ，則 PBQ周長的最小值為 _ （結果不取近似值） 。4如圖，四邊形ABCD是正方形，AB = 10cm ， E 為邊 BC的中點， P 為 BD上的一個動點，求 PC+PE的最小值；Part3、矩形1如圖，若四邊形 BD 上的一個動點，求ABCD是矩形，AB = 10cm，BC = 20cm，EPC+PD的最小值；為邊BC 上的一個動點，P 為1如圖， 若四邊形ABCD是菱形，Part4 、菱形AB=10cm，ABC=45°，E為邊BC 上的一個動點，P 為BD 上的一個動點，求PC+PE的最小值；Part5 、直角梯形1已知直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=DC=5，點 P 在 BC 上秱動，則當 PA+PD取最小值時， APD 中邊 AP 上的高為（）Part6 、一次函數(shù)一次函數(shù)y = kx+ b 的