2012年高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)中學(xué)第4課時(shí)實(shí)數(shù)與向量的積教案湘教版必修Word版

1、實(shí)數(shù)與向量的積（1）教學(xué)目的：1.掌握實(shí)數(shù)與向量積的定義，理解實(shí)數(shù)與向量積的幾何意義；2.掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律；3.理解兩個(gè)向量共線的充要條件，能夠運(yùn)用共線條件判定兩向量是否平行.教學(xué)重點(diǎn)：掌握實(shí)數(shù)與向量的積的定義、運(yùn)算律、理解向量共線的充要條件教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)向量共線的充要條件的理解授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二個(gè)要素：大小、方向.2.向量的表示方法：用有向線段表示；用字母、等表示；3.零向量、單位向量概念：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量， 長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫單位向量.4.平行向量定義：方

2、向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定0與任一向量平行.向量、平行，記作.5.相等向量定義：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量.7.向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法向量加法的三角形法則和平行四邊形法則8向量加法的交換律：+=+9向量加法的結(jié)合律：(+) +=+ (+)10向量的減法向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差即：a - b = a + (-b) 11差向量的意義： = a, = b, 則= a - b 即a - b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量二、講解新課：1示例：已知非零向量，作出+和(-)+(-)

3、+(-) =+=3=(-)+(-)+(-)=-3（1）3與方向相同且|3|=3|；（2）-3與方向相反且|-3|=3|2實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作：（1）|=|（2）>0時(shí)與方向相同；<0時(shí)與方向相反；=0時(shí)=3運(yùn)算定律 結(jié)合律：()=() 第一分配律：(+)=+ 第二分配律：(+)=+ 結(jié)合律證明：如果=0，=0，=至少有一個(gè)成立，則式成立如果¹0，¹0，¹有：|()|=|=|()|=| |=| |()|=|()| 如果、同號(hào)，則式兩端向量的方向都與同向；如果、異號(hào)，則式兩端向量的方向都與反向 從而()=()第一分配律證明：如果=

4、0，=0，=至少有一個(gè)成立，則式顯然成立如果¹0，¹0，¹當(dāng)、同號(hào)時(shí)，則和同向，|(+)|=|+|=(|+|)|+|=|+|=|+|=(|+|)|、同號(hào) 兩邊向量方向都與同向 即 |(+)|=|+| 當(dāng)、異號(hào)，當(dāng)>時(shí) 兩邊向量的方向都與同向；當(dāng)<時(shí) 兩邊向量的方向都與同向，且|(+)|=|+| 式成立第二分配律證明：如果=，=中至少有一個(gè)成立，或=0，=1則式顯然成立當(dāng)¹，¹且¹0，¹1時(shí)（1）當(dāng)>0且¹1時(shí)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作 則+ +由作法知 ，有ÐOAB=ÐOA1B1

5、|=| OABOA1B1 ÐAOB=Ð A1OB1 因此，O，B，B1在同一直線上，|=| 與方向也相同(+)=+ 當(dāng)<0時(shí) 可類似證明：(+)=+ 式成立4向量共線的充要條件若有向量(¹)、，實(shí)數(shù)，使=，則與為共線向量若與共線(¹)且|：|=，則當(dāng)與同向時(shí)=； 當(dāng)與反向時(shí)=-從而得向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)，使=三、講解范例：例1若32，3，其中，是已知向量，求，.分析：此題可把已知條件看作向量、的方程，通過方程組的求解獲得、.解：記32 3×得得11. 將代入有：評(píng)述：在此題求解過程中，利用了實(shí)

6、數(shù)與向量的積以及它所滿足的交換律、結(jié)合律，從而解向量的二元一次方程組的方法與解實(shí)數(shù)的二元一次方程組的方法一致.例2凸四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)分別為E、F，求證(+).解法一：構(gòu)造三角形，使EF作為三角形中位線，借助于三角形中位線定理解決.過點(diǎn)C在平面內(nèi)作，則四邊形ABGC是平行四邊形，故F為AG中點(diǎn).EF是ADG的中位線，EF =, .而，（）.解法二：創(chuàng)造相同起點(diǎn)，以建立向量間關(guān)系如圖，連EB，EC，則有，又E是AD之中點(diǎn)，有0.即有；以與為鄰邊作平行四邊形EBGC，則由F是BC之中點(diǎn)，可得F也是EG之中點(diǎn).（）（）四、課堂練習(xí)：1.錯(cuò)例分析判斷向量e與e是否共線?對(duì)此題，有同學(xué)解

7、答如下：解：e，e，與共線.分析：乍看上述解答，真是簡(jiǎn)單明快.然而，仔細(xì)研究題目已知，卻發(fā)現(xiàn)其解答存有問題，這是因?yàn)?，原題已知中對(duì)向量e并無任何限制，那么就應(yīng)允許e0，而當(dāng)e0時(shí)，顯然0，0，此時(shí)，不符合定理中的條件，且使成立的值也不惟一(如，等均可使成立)，故不能應(yīng)用定理來判斷它們是否共線.可見，對(duì)e0的情況應(yīng)另法判斷才妥.綜上分析，此題應(yīng)解答如下：解：(1)當(dāng)e0時(shí)，則e0由于“零向量與任一向量平行”且“平行向量也是共線向量”，所以，此時(shí)與共線.(2)當(dāng)e0時(shí)，則e0，e0(這時(shí)滿足定理中的0，及有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)（），使得成立)與共線.綜合(1)、(2)可知，與共線.2.用向量法解決幾何問

8、題向量是數(shù)學(xué)中重要概念之一，是解決數(shù)學(xué)問題的得力工具，它簡(jiǎn)潔明快，許多幾何里的命題，如果用向量知識(shí)來解決就顯得格外簡(jiǎn)練.如圖，MN是ABC的中位線，求證：MNBC，且MNBC.證明：M、N分別是AB、AC邊上的中點(diǎn)，所以=，=，=-=（-）=.因此，且BC.五、小結(jié):通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握實(shí)數(shù)與向量的積的定義，掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律，理解兩個(gè)向量共線的充要條件，并能在解題中加以運(yùn)用. 六、課后作業(yè)：1當(dāng)ÎZ時(shí)，驗(yàn)證：(+)=+證：當(dāng)=0時(shí)，左邊=0(+)= 右邊=0+0= 分配律成立當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，令=n, 則有：n(+)=(+)+(+)+(+)=+=n+n即為正整數(shù)時(shí)，分配律

9、成立當(dāng)為負(fù)整數(shù)時(shí)，令=-n（n為正整數(shù)），有-n(+)=n-(+)=n(-)+(-)=n(-)+n(-)=-n+(-n)=-n-n分配律仍成立DABMCMab綜上所述，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，(+)=+恒成立 2如圖，在ABC中，=, = ，AD為邊BC的中線，G為ABC的重心，求向量DAEMCMabBMFMGM解法一：=, = 則=+=+而=+解法二：過G作BC的平行線，交AB、AC于E、F AEFABC， = = = =+=+3在 ABCD中，設(shè)對(duì)角線=，=試用, 表示，解法一：= =+=-=-=+=+=+解二：設(shè)=，=則+= ，即 += ；-= ，即-= =(-)， =(+)即 =(-) =(+) 4設(shè), 是兩個(gè)不共線向量，已知=2+k, =+3, =2-, 若三點(diǎn)A, B, D共線，求k的值解：=-=(2-)-(+3)=-4A, B, D共線 ,共線 存在使=即2+k=(-4) k=-8七、板書設(shè)計(jì)（略）八、課后記：實(shí)數(shù)與向量的積的定義可以看作是數(shù)與數(shù)的積的概念的推廣.啟發(fā)學(xué)生在掌握向量加法的基礎(chǔ)上，